Limiti e continuità di funzioni reali di una variabile

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1 di funzioni reali di una variabile Corso di Analisi Matematica - capitolo VI Facoltà di Economia, UER Maria Caterina Bramati Université Libre de Bruxelles ECARES 22 Novembre 2006

2 Intuizione di ite di funzione Qualche esempio Esempi Consideriamo la funzione f : R R, y = f (x) y = x 2 + 2x + 3 la funzione f : R\{1} R, y = f (x) y = x 2 1 x 1

3 Limite di funzione Richiamo: punto di accumulazione Dato A R, x 0 R è punto di accumulazione per A se r > 0, x A : x x 0, x I (x 0, r) cioè se ogni intorno di x 0 contiene punti di A diversi da x 0. - Diciamo che x 0 = + è punto di accumulazione di A se A è ilitato superiormente (cioè se sup A = + ) - Diciamo che x 0 = è punto di accumulazione di A se A è ilitato inferiormente (cioè se inf A = )

4 Limite di funzione Definizione Siano A R, f : A R e x 0 un punto di accumulazione per A. Diremo che f tende al ite L in x 0 e scriviamo se f (x) = L x x 0 caso 1 x 0 R e L R ε > 0 δ > 0 : x x 0 < δ, x A, x x 0 = f (x) L < ε caso 2 x 0 R e L = + M R δ > 0 : x x 0 < δ, x A, x x 0 = f (x) > M

5 Limite di funzione Definizione caso 3 x 0 = + e L R ε > 0 N R : x > N, x A = f (x) L < ε caso 4 x 0 = + e L = + M R N R : x > N, x A = f (x) > M Con opportune modifiche è possibile estendere i casi 2, 3, 4 a L = e x 0 =.

6 Limite di funzione e ite di successione Teorema ( ponte ) Siano A R, f : A R e x 0 un punto di accumulazione per A. Allora x x 0 f (x) = L se e solo se, per ogni successione {x n } n N convergente a x 0, con x n x 0 per ogni n N, risulta f (x n) = L. n +

7 Limite di funzione e ite di successione Dimostrazione Ci itiamo al caso 1: x 0, L R. = Dalla definizione di ite di funzione ε > 0 δ > 0 : x x 0 < δ, x A, x x 0 = f (x) L < ε vogliamo dimostrare che per ogni successione x n x 0, x n x 0 n si ha che f (x n ) L, cioè dato che allora ε > 0 n N : n n = x n x 0 < ε, x n A, x n x 0 ε > 0 n N : n n = f (x n ) L < ε. Ponendo ε = ε, allora è dato δ. Poniamo ε = δ, allora è dato n; ponendo n = n, per n n si ha che anche n n e dunque x n x 0 < ε = δ che implica (dalla def. di ite di funzione) che f (x n ) L < ε.

8 Limite di funzione e ite di successione Dimostrazione = Si dimostra per assurdo (ipotesi tesi implica un assurdo). Supponiamo, per assurdo, che x x0 f (x) L, vale a dire ε > 0 : δ > 0 x : x x 0 < δ, x x 0 e f (x) L ε. Per δ = 1/n, sia x n il corrispondente di x per ogni n N. Dunque x n cosí definita è una successione che converge a x 0. Resta da mostrare che f (x n ) L, cioè ε > 0 : n n n : f (x n ) L ε. In effetti, con ε = ε allora f (x n ) L ε, n. Dunque {f (x n )} non converge a L per n +, che è una contraddizione.

9 Limite di funzione Teorema ( di permanenza del segno per iti di funzioni) Siano A R, f : A R e x 0 un punto di accumulazione per A. Allora x x 0 f (x) = L > 0 = δ > 0 : x x 0 < δ, x A, x x 0 = f (x) > 0 (versione x 0 R). Risulatato analogo (con opportune modifiche dei segni di disuguaglianza) per i casi L < 0 e L =. Dimostrazione Analoga alla dim. del teorema di permanenza del segno per le successioni: basta porre ε = L se L < e M = 0 se L =. Allora δ > 0 : x x 0 < δ, x A, x x 0 = L } {{ L } < f (x) < L + L. =0

10 Limite di funzione Corollario Siano A R, f : A R e x 0 un punto di accumulazione per A. Se esiste x x0 f (x) e se f (x) 0 vicino a x 0 = x x0 f (x) 0 Dimostrazione Dal teorema di permanenza del segno: contrapposta della versione x x0 f (x) = L < 0 = f (x) < 0.

11 Limite di funzione Teorema ( Unicità del ite ) Siano A R, f : A R e x 0 un punto di accumulazione per A. Se esiste x x0 f (x), allora è unico. Cioè se f (x) = L e f (x) = L x x 0 x x0 = L = L. Dimostrazione Si tratta di dimostrare che se ε > 0 δ > 0 : x x 0 < δ, x A, x x 0 = f (x) L < ε ε > 0 δ > 0 : x x 0 < δ, x A, x x 0 = f (x) L < ε ciò implica che L = L. Basta scegliere ε = ε = L L 2, si ha Assurdo! L ε < f (x) < L + ε } {{ } L +L 2 e L ε } {{ } L +L 2 < f (x) < L + ε.

12 Limite di funzione Teorema ( del confronto per iti di funzioni ) Date tre funzioni reali f (x), g(x), h(x) con dominio dom(f ) = dom(g) = dom(h) a cui appartiene x 0, punto di accumulazione per tali insiemi, se f (x) g(x) h(x) per x vicino a x 0 e se x x0 f (x) = L = x x0 h(x), allora x x0 g(x) = L. Dimostrazione Dalla definizione di ite di f, g, h per x x 0, ponendo δ = δ = δ e ε = ε = ε, allora L ε < f (x) g(x) h(x) < L + ε.

13 Operazioni con i iti Teorema Siano f e g due funzioni reali tali che dom(f ) = dom(g). Siano inlotre x 0 punto di accumulazione per tale insieme e f (x) = L x x 0 g(x) = L. x x0 Allora (f + g)(x) = L + L ; x x 0 (f g)(x) = L L ; x x 0 1 x x 0 f (x) = 1 L ; f (x) g(x) = L L ; x x 0 escluse le forme indeterminate +, 0, 1, 0 0, 0, 0 0,.

14 Limite destro e sinistro di funzione Definizione Siano A R, f : A R e x 0 un punto di accumulazione per A. sia (x 0, x 0 + δ 0 ) A per qualche δ 0 > 0. Diremo che L è il ite destro della funzione per x x 0 se ε > 0 δ (0, δ 0 ) : x 0 < x < x 0 + δ = f (x) L < ε e si scrive x x + 0 f (x) = L;

15 Limite destro e sinistro di funzione Definizione sia (x 0 δ 0, x 0 ) A per qualche δ 0 > 0. Diremo che L è il ite sinistro della funzione per x x 0 se ε > 0 δ (0, δ 0 ) : x 0 δ < x < x 0 = f (x) L < ε e si scrive x x 0 f (x) = L; Dalle definizioni segue che f (x) = L x x 0 x x0 f (x) = L = x x + 0 f (x)

16 Limiti di funzioni monotòne Teorema Siano A R, f : A R. se f è monotòna e itata in (a, b) A, allora esistono i iti f (x) e f (x); x a x b + se f è monotòna e itata in (a, + ) A, allora esistono i iti x + f (x); se f è monotòna e itata in (, b) A, allora esistono i iti x f (x).

17 Limiti di funzioni monotòne Corollario Sia f monotòna in (a, b) A e x 0 punto di accumulazione per A. Allora esistono in R i iti se f è crescente x x 0 f (x) = sup f (x), x (a,x 0 ) x x + 0 f (x) = inf f (x); x (x 0,b) se f è decrescente x x 0 f (x) = inf f (x), x (a,x 0 ) x x + 0 f (x) = sup f (x). x (x 0,b)

18 Limiti notevoli Grazie al teorema ponte si dimostra che x + ( x ) x = e x + x 1 x = 1 x + ax = + se a > 1 1 se a = 1 0 se 0 < a < 1

19 Continuità Definizione Siano A R, f : A R e x 0 A. La funzione f si dice continua in x 0 se ε > 0 δ > 0 : x x 0 < δ, x A = f (x) f (x 0 ) < ε, e si scrive f (x) = f (x 0 ). x x 0 La funzione f si dice continua a destra (a sinistra, risp.) nel punto x 0 A se ( ) x x + 0 f (x) = f (x 0 ) x x 0 f (x) = f (x 0 )

20 Continuità Teorema ( ponte per funzioni continue ) Siano A R, f : A R e x 0 A. La funzione f è continua in x 0 per ogni successione {x n } n N in A convergente a x 0 si ha n + f (x n ) = f (x 0 ).

21 Proprietà delle funzioni continue Teorema Date due funzioni f (x) e g(x) a valori reali, con dominio A R continue in x = x 0, allora f (x) ± g(x) f (x) g(x) f (x) g(x), g(x 0) 0 g(f (x)), se g è continua in f (x 0 ) sono continue in x 0.

22 Tipi di discontinuità Dati A R, f : A R e x 0 punto di accumulazione per A, si definiscono 3 tipi di discontinuità tipo 0 discontinuità einabile se finito x x0 f (x), ma f (x 0 ) non è definito (cioè x 0 / A) oppure è diverso da tale ite. Esempio f (x) = x sin 1 x. A = R\{0}. Non continua in x 0 = 0. Per einare tale discontinuità, si definisce f = f (x) se x A x x0 f (x) se x = x 0. Dunque basta aggiungere un punto al grafico.

23 Tipi di discontinuità tipo 1 (salto) se esistono finiti x x + f (x) = L + e 0 x x f (x) = L, ma L + L. 0 Esempio f (x) = x x. In effetti x x + 0 x x x x 0 x x ; tipo 2 se almeno uno tra x x + 0 f (x) e x x 0 f (x), non è finito oppure non esiste. Esempi f (x) = 1 x. In effetti x x + 0 f (x) = e 1 x. In effetti x x x = + x x 0 e 1 x = + x x 0 1 x = ; e 1 x = 0.

24 Cambio di variabile nel ite Teorema Siano A, B R, f : A R e g : B R, x 0 punto di accumulazione per A e y 0 punto di accumulazione per B. Se f (x) = y 0 e g(y) = L, x x 0 y y 0 allora g(f (x)) = L. x x 0 Esempio g(f (x)) = e 1 x, con f (x) = 1 x e g(y) = ey. Allora x 0 + e 1 x = y + ey = + e 1 x = x 0 y ey = 0.

25 Alcuni teoremi Teorema (dei valori intermedi) Sia A R, f : A R continua su un intervallo I = [a, b] A. Allora f assume un qualunque valore compreso tra il suo estremo inferiore ed il suo estremo superiore su I. In simboli, c, f (a) c f (b) o f (b) c f (a) x [a, b] : f (x) = c. Corollario (Teorema degli zeri) Sia A R, f : A R continua su un intervallo I = [a, b] A tale che f (a) f (b) < 0. Allora esiste x 0 (a, b) tale che f (x 0 ) = 0.

26 Metodo di bisezione Si tratta di un applicazione del teorema degli zeri. Esempio Supponiamo di voler determinare una radice reale dell equazione x 3 + 3x 2 + 3x 2 = 0 che denotiamo con f (x) = x 3 + 3x 2 + 3x 2. Poiché f (0) = 2 e f (1) = 5, la radice z R tale che f (z) = 0 sarà tra x = 0 e x = 1. Il teorema degli zeri, che si può applicare poiché f è continua su [0, 1] e f (0) f (1) = 10 < 0, ci garantisce l esistenza di un numero reale z per il quale f (z) = 0. La procedura per determinare tale z è iterativa e viene chiamata metodo di bisezione. Si tratta di determinare f (x) per il valore medio fra x = 0 e x = 1, cioè per = 0.5. Ora f (0.5) = > 0, mentre f (0) < 0. Perciò la radice z si trova (per il teorema degli zeri) tra x = 0 e x = 0.5. Si itera la procedura, calcolando la funzione nel valore medio x = = 0.25, cioè f (0.25) =

27 Metodo di bisezione Algoritmo del Metodo di Bisezione. Sia A R, f : A R continua su un intervallo I = [a, b] A. 1. si pongono a 0 = a e b 0 = b; 2. calcolare c k = a k 1+b k 1 2 e f (c k ). Se f (c k ) 0, allora f (ck ) f (a k 1 ) > 0, = si pongono a k = c k e b k = b k 1 ; oppure f (ck ) f (a k 1 ) < 0, = si pongono a k = a k 1 e b k = c k ; 3. STOP se a k b k ε, dove ε è un numero fissato.