SUCCESSIONI NUMERICHE
|
|
- Angelica Andreoli
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 SUCCESSIONI NUMERICHE Una funzione reale di una variabile reale f di dominio A è una legge che ad ogni x A associa un numero reale che denotiamo con f(x). Se A = N, la f è detta successione di numeri reali. Se con n si denota la variabile che descrive l insieme N, allora l immagine di n tramite la f, cioè f(n), si denota con a n e si usa la notazione (a n ) o a 1, a 2,..., a n,... per denotare la successione f. I numeri a 1, a 2,..., a n,... rappresentano i termini della successione, rispettivamente, primo, secondo,..., n-mo termine della succesione. Il termine a n è noto, anche, come termine generale della successione (da tale termine si ottengono tutti i termini della successione attribuendo ad n successivamente i valori 1,2,...). Il codominio della successione (a n ) si denota con {a n : n N} o semplicemente con {a n }. Una successione (a n ) è limitata, limitata superiormente, limitata inferiormente se tale è il suo codominio. E facile verificare che una successione (a n ) è limitata se e solo se esiste una costante M > 0 tale che a n M per ogni n N.
2 Una successione (a n ) è non decrescente se a n a n+1 per ogni n N e noncrescente se a n a n+1 per ogni n N. Le successioni nondecrescenti o noncrescenti sono dette monotone. In particolare sono monotone le successioni costanti, cioè tali che a n = a per ogni n N. Una successione (a n ) è crescente (rispettivamente decrescente) se a n < a n+1 (rispettivamente a n > a n+1 ) per ogni n N. Le successioni crescenti o decrescenti sono dette strettamente monotone. Ovviamente ogni successione strettamente monotona è monotona. Esempio 1. La successione n 1 n Infatti per ogni n N n 1 n essendo n 2 1 < n 2. < n n + 1 è crescente. Esempio 2. La successione (1/n) è decrescente. Infatti 1/n > 1/(n + 1) per ogni n N
3 Esempio 3. La successione di termine generale ( 1) n è limitata, dato che il suo codominio { 1, 1} è un insieme limitato. Siano (n k ) una successione crescente e (a n ) una successione. La successione (a nk ) è detta sotto successione della (a n ). In pratica la successione (a nk ) si ottiene dalla successione (a n ) prendendo solo i termini di posto n 1, n 2,..., n k,... (Si noti che i termini della sottosuccessione conservano lo stesso ordine che hanno nella successione data). Esempio 4. a nk = 1/2k. Se a n = 1/n e n k = 2k, allora Se una successione è limitata tale risulta ogni sua sottosuccessione, il viceversa in generale non sussiste. Definizione 1. Una successione (a n ) converge al numero reale a, se per ogni ε > 0, esiste n ε N tale che per ogni n N con n n ε risulta a n a < ε. Per indicare che la successione (a n ) converge ad a useremo una delle notazioni lim a n = a, a n a.
4 Osservazione 1. Per stabilire se una successione converge ad a occorre, fissato ε > 0, risolvere la disequazione a n a < ε. Se l insieme delle soluzioni di tale disequazione, per ogni ε > 0, contiene tutti i numeri naturali maggiori di un opportuno numero reale ν ε, allora la successione a n a, in caso contrario non corvenge ad a. Esempio 5. Lasuccessione ( n+1 n ) converge a 1. Fissato ε > 0, risulta n < ε 1 n n < ε n > 1 ε. Basta scegliere n ε maggiore di 1/ε perché la definizione sia verificata. Esempio 6. La successione (1/n) non converge a 1. In virtù dell osservazione 1 dobbiamo risolvere la disequazione 1/n 1 < ε. Si noti che n N è soluzione se e solo se 1 1/n < ε, cioè se e solo se 1 ε < 1/n. Supponendo ε < 1, n è soluzione se e solo se n < 1/(1 ε) e ciò permette di concludere che la successione considerata non converge a 1.
5 Teorema 1. è limitata. Ogni successione convergente Dimostrazione. Supponiamo che la successione (a n ) converga ad a. Fissato ε > 0 esiste n ε N tale che per ogni n n ε risulta a ε < a n < a + ε. Prima di a ε cadono al più i primi n ε 1 termini della successione e tra questi consideriamo il più piccolo (se non abbiamo termini della successione prima di a ε, scegliamo a ε) sia esso h. Tra quelli maggiori di a + ε (che sono al più n ε 1) scegliamo quello più grande (in assenza di termini maggiori di a + ε, scegliamo a + ε) sia esso k. Otteniamo così due numeri h, k che sono rispettivamente un minorante e un maggiorante per la successione che risulta quindi limitata. Definizione 2. Una successione (a n ) diverge positivamente se, per ogni k > 0, esiste n k N tale che per ogni n N con n n k risulta a n > k. Definizione 3. Una successione (a n ) diverge negativamente se, per ogni k > 0, esiste n k N tale che per ogni n N con n n k risulta a n < k.
6 Osservazione 2. Per stabilire se la successione (a n ) diverge positivamente (negativamente) occorre risolvere la disequazione a n > k (a n < k) se l insieme delle soluzioni di tale disequazione contiene, per ogni k, tutti i numeri naturali maggiori di un opportuno ν k allora la successione considerata diverge positivamente (negativamente). In caso contrario la successione non diverge. Esempio 7. La successione ( n) diverge positivamente. Risolviamo la disequazione n > k, con k R+. Elevando al quadrato otteniamo che n è soluzione se e solo se n > k 2 = ν k. Se scegliamo n k > ν k, risulta n > k per ogni n n k e per definizione la successione (a n ) diverge positivamente. Esempio 8. Se a n +, allora a n. Fissato k > 0 esiste n k N tale che a n > k, moltiplicando per 1, otteniamo a n < k per gni n n k e per definizione la successione a n diverge negativamente. Teorema 2. Ogni successione divergente positivamente (negativamente) non è limitata superiormente (inferiormente) ma è dotata di minimo (massimo).
7 Definizione 4. Una successione a n è regolare se ammette limite finito o infinito. Teorema 3. Se una successione ammette limite questo è unico. Dimostrazione. Si noti che una successione non può essere contemporaneamente convergente e divergente perché risulterebbe limitata e non limitata nello stesso tempo. Non può essere divergente positivamente e negativamente perché risulterebbe limitata inferiormente e nello stesso tempo non limitata inferiormente. Per concludere occorre mostrare che una successione non può convergere a due limiti diversi. Supponiamo per assurdo che a n a e a n b, con a b. Posto 2ε = b a, scegliamo n N tale che Risulta a n a < ε, a n b < ε. 2ε = b a = (b a n ) + (a n a) a n b + a n a < ε + ε = 2ε e ciò è assurdo.
8 Teorema 4. (Teorema del confronto limite finito). Siano (a n ), (b n ), (c n ) tre successioni tali che a n b n c n per ogni n N. Se allora esiste lim a n = lim c n = a, lim b n = a. Dimostrazione. Fissato ε > 0 esiste n ε tale che per ogni n n ε risulta a ε < a n < a + ε, a ε < c n < a + ε. Di conseguenza, per ogni n n ε, risulta a ε < a n b n c n < a + ε e quindi a ε < b n < a + ε. Quanto ottenuto permette di affermare che lim b n = a. Teorema 5. (Teorema del confronto limite infinito). Siano (a n ) e (b n ) due successioni tali che a n b n per ogni n N. i) Se a n +, allora b n +. ii)se b n, anche a n.
9 Per il calcolo dei limiti di successioni sono utili i seguenti risultati Se a n a e b n b allora: (i) a n + b n a + b, (ii) a n b n ab, (iii) a n a, (iv) se bb n 0 per ogni n N, allora a n /b n a/b, (v) se a n > 0, a > 0, allora a b n n a b, (vi) se a n > 0, a > 0, allora log a n log a (log x denota il logaritmo naturale di x), (vii) se a n > 0, a n 0, allora log a n, (viii) se a n > 0, a n +, allora log a n + (ix) se a n > 0, a n 0, allora a b n n 0 se b > 0 e a b n n + se b < 0, (x) se a n > 0, a n +, allora a b n n b > 0 e a b n n 0 se b < 0. + se Se la successione a n 0 e la successione (b n ) è limitata allora la successione a n b n 0.
10 Per il calcolo del limite di una successione che si presenta sotto forma indeterminata del tipo 0/0 oppure / è utile il seguente criterio dovuto a Stolz-Cesaro. Teorema 6. (Criterio di Stolz-Cesaro). Siano (a n ) e (b n ) due successioni con (b n ) strettamente monotona. Supponiamo che: oppure allora se esiste esiste anche lim a n = lim b n = 0 lim b n =, lim a n a n 1 b n b n 1 = l lim a n b n = l. Esempio 9. Se a n a verificare che a lim a n = a. n Utilizzando il criterio di Stolz-Cesaro tale limite esiste sicuramente se esiste lim (a a n ) (a a n 1 ) n (n 1) = lim a n = a.
11 Limiti notevoli. Riportiamo, senza verifica, alcuni limiti notevoli utili per il calcolo dei limiti. (i) Se a n + e a n 0, allora lim (1 + 1 a n ) an = e. In particolare e = lim (1 + 1 n )n. (ii) Se a n e a n 0, allora lim (1 + 1 a n ) an = e. (iii) Se a n 0 e a n 0, allora lim (1+a n) 1/an = e, lim lim (1 + a n ) α 1 a n = α, lim a a n 1 a n = log a, sin a n a n = 1.
SUCCESSIONI NUMERICHE
SUCCESSIONI NUMERICHE Definizione: Si chiama successione numerica una funzione definita su IN a valori in IR, cioè una legge che associa ad ogni intero n un numero reale a n. Per abuso di linguaggio, si
Dettagliu 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k
Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure
DettagliMatematica generale CTF
Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione
DettagliAlcuni complementi sulle successioni
Alcuni complementi sulle successioni 1 (Teorema del confronto) Siano {a n } e {b n } due successioni regolari tali che si abbia a n b n n N. (1) Allora: a n b n. (2) Dim. Sia L = a n ed L = b n. Se L =
DettagliLE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE
LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe
DettagliCorso di Analisi Matematica Serie numeriche
Corso di Analisi Matematica Serie numeriche Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 25 1 Definizione e primi esempi 2 Serie a
Dettaglil insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere)
Che cos è una funzione? Assegnati due insiemi X e Y si ha una funzione elemento di X uno e un solo elemento di Y. f : X Y se esiste una corrispondenza che associa ad ogni Osservazioni: l insieme X è detto
Dettagli1 Serie di Taylor di una funzione
Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita
DettagliPer lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme
1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R
DettagliSerie numeriche. 1 Definizioni e proprietà elementari
Serie numeriche Definizioni e proprietà elementari Sia { } una successione, definita per ogni numero naturale n n. Per ogni n n, consideriamo la somma s n degli elementi della successione di posto d s
DettagliCorso di Analisi Matematica. Successioni e serie numeriche
a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Successioni e serie numeriche Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità
DettagliSUCCESSIONI DI NUMERI REALI
SUCCESSIONI DI NUMERI REALI Una funzione reale di una variabile reale di dominio A è una legge che ad ogni x Α associa un numero reale che denotiamo con f(x). Se A = IN, la f è detta successione di numeri
Dettagli1 Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi
Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi (Criterio del rapporto.) Consideriamo la serie a (.) a termini positivi (ossia a > 0, =, 2,...). Supponiamo che esista il seguente ite a +
Dettagli3.1 Successioni. R Definizione (Successione numerica) E Esempio 3.1 CAPITOLO 3
CAPITOLO 3 Successioni e serie 3. Successioni Un caso particolare di applicazione da un insieme numerico ad un altro insieme numerico è quello delle successioni, che risultano essere definite nell insieme
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione
DettagliCAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI Abbiamo studiato successioni e serie numeriche, ora vogliamo studiare successioni e serie di funzioni. Dato un insieme A R, chiamiamo successione di funzioni
DettagliCRITERI DI CONVERGENZA PER LE SERIE. lim a n = 0. (1) s n+1 = s n + a n+1. (2) CRITERI PER LE SERIE A TERMINI NON NEGATIVI
Il criterio più semplice è il seguente. CRITERI DI CONVERGENZA PER LE SERIE Teorema(condizione necessaria per la convergenza). Sia a 0, a 1, a 2,... una successione di numeri reali. Se la serie a k è convergente,
Dettagli3 GRAFICI DI FUNZIONI
3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom
Dettagli+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento:
Capitolo 3 Serie 3. Definizione Sia { } una successione di numeri reali. Ci proponiamo di dare significato, quando possibile, alla somma a + a 2 +... + +... di tutti i termini della successione. Questa
DettagliLe funzioni reali di variabile reale
Prof. Michele Giugliano (Gennaio 2002) Le funzioni reali di variabile reale ) Complementi di teoria degli insiemi. A) Estremi di un insieme numerico X. Dato un insieme X R, si chiama maggiorante di X un
Dettagli19. Inclusioni tra spazi L p.
19. Inclusioni tra spazi L p. Nel n. 15.1 abbiamo provato (Teorema 15.1.1) che, se la misura µ è finita, allora tra i corispondenti spazi L p (µ) si hanno le seguenti inclusioni: ( ) p, r ]0, + [ : p
DettagliSIMULAZIONE TEST ESAME - 1
SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 1. Il dominio della funzione f(x) = log (x2 + 1)(4 x 2 ) (x 2 2x + 1) è: (a) ( 2, 2) (b) ( 2, 1) (1, 2) (c) (, 2) (2, + ) (d) [ 2, 1) (1, 2] (e) R \{1} 2. La funzione f : R R
DettagliTeoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26
Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo
DettagliLimiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale
Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Roberto Boggiani Versione 4.0 9 dicembre 2003 1 Esempi che inducono al concetto di ite Per introdurre il concetto di ite consideriamo i seguenti
DettagliSERIE NUMERICHE. prof. Antonio Greco 6-11-2013
SERIE NUMERICHE prof. Antonio Greco 6--203 Indice Motivazioni........... 3 Definizione........... 3 Errore tipico........... 3 Un osservazione utile...... 3 Condizione necessaria...... 4 Serie armonica.........
Dettagli2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento
DettagliConvessità e derivabilità
Convessità e derivabilità Definizione 1 (convessità per funzioni derivabili) Sia f : (a, b) R derivabile su (a, b). Diremo che f è convessa o concava su (a, b) se per ogni 0 (a,b) il grafico di f sta tutto
DettagliUna ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m =
Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo Se f() è asintotica a m+q allora abbiamo f() m q = o(1), da cui (dividendo per ) m = f() q + 1 f() o(1) = + o(1), mentre q = f() m = o(1). Dunque si ha
DettagliFunzioni. Parte prima. Daniele Serra
Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1
Dettagli4 FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMO
4 FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMO 4.0. Esponenziale. Nella prima sezione abbiamo definito le potenze con esponente reale. Vediamo ora in dettaglio le proprietà della funzione esponenziale a,
Dettagli1. PRIME PROPRIETÀ 2
RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,
DettagliPolitecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).
Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................
DettagliDeterminare il dominio e la derivata delle seguenti funzioni e studiarne la monotonia ed eventuali massimi/minimi. ( ) x + 2.
Determinare il dominio e la derivata delle seguenti funzioni e studiarne la monotonia ed eventuali massimi/minimi (1) (2) (3) (4) f (x) = log ( ) x + 2 x 1 f (x) = x exp( x 3 ) ( f (x) = arctan x ) x 1
Dettagli5. La teoria astratta della misura.
5. La teoria astratta della misura. 5.1. σ-algebre. 5.1.1. σ-algebre e loro proprietà. Sia Ω un insieme non vuoto. Indichiamo con P(Ω la famiglia di tutti i sottoinsiemi di Ω. Inoltre, per ogni insieme
DettagliProva parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8. Cognome:... Nome:... Matricola:...
Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8 Cognome:................ Nome:................ Matricola:................ (Dare una dimostrazione esauriente di tutte le
DettagliPROVA DI VERIFICA DEL 24/10/2001
PROVA DI VERIFICA DEL 24/10/2001 [1] Il prodotto di due numeri non nulli è maggiore di zero se: a. il loro rapporto è maggiore di zero, b. il loro rapporto è minore di zero, c. il loro rapporto è uguale
Dettagli8. Serie numeriche Assegnata la successione di numeri complessi {a 1, a 2, a 3,...} si considera con il nome di serie numerica.
8. Serie numeriche Assegnata la successione di numeri complessi {a 1, a 2, a 3,...} si considera con il nome di serie numerica la nuova successione {s n } definita come s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3
DettagliSchemi delle Lezioni di Matematica Generale. Pierpaolo Montana
Schemi delle Lezioni di Matematica Generale Pierpaolo Montana A volte i fenomeni economici che ci interessano non variano con continuitá oppure non possono essere osservati con continuitá, ma solo a intervalli
DettagliLimiti e continuità di funzioni reali di una variabile
di funzioni reali di una variabile Corso di Analisi Matematica - capitolo VI Facoltà di Economia, UER Maria Caterina Bramati Université Libre de Bruxelles ECARES 22 Novembre 2006 Intuizione di ite di funzione
DettagliLa funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f.
FUNZIONI CONTINUE - ALCUNI ESERCIZI SVOLTI SIMONE ALGHISI 1. Continuità di una funzione Dati un insieme D R, una funzione f : D R e x 0 R, si è detto che f è continua in x 0 se sono soddisfatte le seguenti
DettagliF (x) = f(x) per ogni x I. Per esempio:
Funzioni Primitive (Integrali Indefiniti) (l.v.) Pur essendo un argomento che fa parte del Calcolo Differenziale, molti autori inseriscono funzioni primitive nel capitolo sul Calcolo Integrale, in quanto
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6
EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)
DettagliEsercizi svolti su serie di Fourier
Esercizi svolti su serie di Fourier Esercizio. (Onda quadra. Determinare i coefficienti di Fourier della funzione x [, f(x = x [, prolungata a una funzione -periodica su R (d ora in poi denoteremo con
DettagliA i è un aperto in E. i=1
Proposizione 1. A è aperto se e solo se A c è chiuso. Dimostrazione. = : se x o A c, allora x o A = A o e quindi esiste r > 0 tale che B(x o, r) A; allora x o non può essere di accumulazione per A c. Dunque
DettagliAnalisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012
Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione
DettagliCONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE
CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e
DettagliI appello - 26 Gennaio 2007
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Informatica e delle Telecom. A.A.006/007 I appello - 6 Gennaio 007 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. (N.B. il quesito teorico è obbligatorio)
DettagliMoto uniforme sul toro bidimensionale
4/3/06 Luigi Chierchia Moto uniforme sul toro bidimensionale 1. Il toro bidimensionale Denotiamo con R l insieme dei numeri reali e con Z l insieme dei numeri interi (con segno) {..., 2, 1, 0, 1, 2,...};
DettagliFunzioni e loro invertibilità
Funzioni e loro invertibilità Una proposta didattica di Ettore Limoli Definizione di funzione Sono dati due insiemi non vuoti A (dominio) e B (codominio) Diremo che y=f(x) è una funzione, definita in A
DettagliFUNZIONI CONVESSE. + e x 0
FUNZIONI CONVESSE Sia I un intervallo aperto di R (limitato o illimitato) e sia f(x) una funzione definita in I. Dato x 0 I, la retta r passante per il punto P 0 (x 0, f(x 0 )) di equazione y = f(x 0 )
DettagliL espressione torna invece sempre vera (quindi la soluzione originale) se cambiamo contemporaneamente il verso: 1 < 0.
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Le uguaglianze fra espressioni numeriche si chiamano equazioni. Cercare le soluzioni dell equazione vuol dire cercare quelle combinazioni delle lettere che vi compaiono che la
DettagliFUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE
FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A
DettagliDOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.
FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di
DettagliCapitolo 4: Ottimizzazione non lineare non vincolata parte II. E. Amaldi DEIB, Politecnico di Milano
Capitolo 4: Ottimizzazione non lineare non vincolata parte II E. Amaldi DEIB, Politecnico di Milano 4.3 Algoritmi iterativi e convergenza Programma non lineare (PNL): min f(x) s.v. g i (x) 0 1 i m x S
DettagliSoluzione verifica del 16/12/2014
Soluzione verifica del 6/2/204. Determinare dominio e codominio della funzione y = f(x) il cui grafico è rappresentato nella figura seguente; successivamente valutare i seguenti iti: x x 2 + x x 2 x 2
DettagliSulla monotonia delle funzioni reali di una variabile reale
Liceo G. B. Vico - Napoli Sulla monotonia delle funzioni reali di una variabile reale Prof. Giuseppe Caputo Premetto due teoremi come prerequisiti necessari per la comprensione di quanto verrà esposto
DettagliAnno 3. Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza
Anno 3 Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza 1 Introduzione In questa lezione parleremo delle funzioni. Ne daremo una definizione e impareremo a studiarne il dominio in relazione alle diverse
Dettagli11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni
2 PARAGRAFI TRATTATI 1)La funzione esponenziale 2) grafici della funzione esponenziale 3) proprietá delle potenze 4) i logaritmi 5) grafici della funzione logaritmica 6) principali proprietá dei logaritmi
DettagliUniversità degli Studi di Catania A.A. 2012-2013. Corso di laurea in Ingegneria Industriale
Università degli Studi di Catania A.A. 2012-2013 Corso di laurea in Ingegneria Industriale Corso di Analisi Matematica I (A-E) (Prof. A.Villani) Elenco delle dimostrazioni che possono essere richieste
DettagliFUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA
FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA DEFINIZIONE: Dato un numero reale a che sia a > 0 e a si definisce funzione esponenziale f(x) = a x la relazione che ad ogni valore di x associa uno e un solo
Dettagli10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.
10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi
DettagliSUCCESSIONI NUMERICHE
SUCCESSIONI NUMERICHE Ua fuzioe reale di ua variabile reale f di domiio A è ua legge che ad ogi x A associa u umero reale che deotiamo co f(x). Se A = N, la f è detta successioe di umeri reali. Se co si
Dettagli1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche
. Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche Per le definizioni e teoremi si fa riferimento ad uno qualsiasi dei libri M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi
DettagliAnno 5 4. Funzioni reali: il dominio
Anno 5 4 Funzioni reali: il dominio 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire cos è una funzione reale di variabile reale e a ricercarne il dominio. Al termine di questa lezione sarai in grado
DettagliCOGNOME e NOME: FIRMA: MATRICOLA:
Anno Accademico 04/ 05 Corsi di Analisi Matematica I Proff. A. Villani, R. Cirmi e F. Faraci) Prova d Esame del giorno 6 febbraio 05 Prima prova scritta compito A) Non sono consentiti formulari, appunti,
DettagliFunzioni. Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi:
Funzioni Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi: da un rilevamento empirico da una formula (legge) ESEMPI: 1. la temperatura
DettagliCoordinate Cartesiane nel Piano
Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare
Dettaglirisulta (x) = 1 se x < 0.
Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente
DettagliEdited by Foxit PDF Editor Copyright (c) by Foxit Software Company, 2004 For Evaluation Only.
In un mercato del lavoro competitivo esistono due tipi di lavoratori, quelli con alta produttività L A, che producono per 30 $ l'ora, e quelli con bassa produttività, L B, che producono per 5 $ l'ora.
DettagliCorrispondenze e funzioni
Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione
DettagliInsiemi di livello e limiti in più variabili
Insiemi di livello e iti in più variabili Insiemi di livello Si consideri una funzione f : A R, con A R n. Un modo per poter studiare il comportamento di una funzione in più variabili potrebbe essere quello
DettagliEsponenziali e logaritmi
Istituto d Istruzione Superiore A Tilgher Ercolano (Na) Prof Amendola Alfonso Premessa Esponenziali e logaritmi Questa breve trattazione non vuole costituire una guida completa ed esauriente sull argomento,
Dettagli16. Vari modi di convergenza delle successioni di funzioni reali misurabili.
16. Vari modi di convergenza delle successioni di funzioni reali misurabili. L argomento centrale di questa ultima parte del corso è lo studio in generale della convergenza delle successioni negli spazi
DettagliSOLUZIONI D = (-1,+ ).
SOLUZIONI. Data la funzione f() ( ) ln( ) a) trova il dominio di f b) indica quali sono gli intervalli in cui f() risulta positiva e quelli in cui risulta negativa c) determina le eventuali intersezioni
DettagliI tre concetti si possono descrivere in modo unitario dicendo che f e iniettiva, suriettiva, biiettiva se e solo se per ogni b B l equazione
Lezioni del 29 settembre e 1 ottobre. 1. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Sia f : A B una funzione da un insieme A ad un insieme B. Sia a A e sia b = f (a) B l elemento che f associa ad a, allora
DettagliParte 6. Applicazioni lineari
Parte 6 Applicazioni lineari A Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Applicazioni fra insiemi, 2 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, 2 3 Applicazioni lineari da R n a R
DettagliEquazioni differenziali ordinarie
Equazioni differenziali ordinarie Denis Nardin January 2, 2010 1 Equazioni differenziali In questa sezione considereremo le proprietà delle soluzioni del problema di Cauchy. Da adesso in poi (PC) indicherà
Dettagli1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione.
1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1.1. Intorni circolari. Assumiamo come distanza di due numeri reali x e y il numero non negativo x y (che, come sappiamo, esprime la distanza tra i punti
DettagliSuccessioni di funzioni reali
E-school di Arrigo Amadori Analisi I Successioni di funzioni reali 01 Introduzione. In questo capitolo applicheremo i concetti di successione e di serie alle funzioni numeriche reali. Una successione di
DettagliIniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:
Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione
DettagliCriterio del rapporto. Sia n a n una successione in [0, + ) ]0, + ) ]0, 1[ Criterio del rapporto. Sia n a n una successione in ]0, + ).
Criterio del rapporto. Si una successione in IR [0, + ) ]0, + ) ]0, [ Criterio del rapporto. Si una successione in ]0, + ). Se esiste k [0, ] ]0, [ [0, [ ]0, ] Criterio del rapporto. Si una successione
DettagliIl valore assoluto. F. Battelli Università Politecnica delle Marche, Ancona. Pesaro, Precorso di Analisi 1, 22-28 Settembre 2005 p.
Il valore assoluto F Battelli Università Politecnica delle Marche Ancona Pesaro Precorso di Analisi 1 22-28 Settembre 2005 p1/23 Il valore assoluto Si definisce il valore assoluto di un numero reale l
Dettagli7 - Esercitazione sulle derivate
7 - Esercitazione sulle derivate Luigi Starace gennaio 0 Indice Dimostrare il teorema 5.5.3.a................................................b............................................... Dimostrazioni.a
Dettaglif(x) = x3 2x 2x 2 4x x 2 x 3 2x 2x 2 4x =, lim lim 2x 2 4x = +. lim Per ricavare gli asintoti obliqui, essendo lim
Esercizi 0//04 - Analisi I - Ingegneria Edile Architettura Esercizio. Studiare la seguente funzione e disegnarne il graco. Soluzione: f(x) = x3 x x 4x La funzione è denita dove il denominatore risulta
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
Dettaglif il sottoinsieme D f di A dei valori che può assumere la variabile indipendente x. Talvolta indicheremo il dominio della funzione f con dom (f).
Liceo Scientico Paritario Ven. A. Luzzago di Brescia. Classe 5A - Anno Scolastico 2014/2015 - Prof. Simone Alghisi 1 Le funzioni (1.1) Denizione Siano A e B due insiemi. Una funzione f : A B é una legge
DettagliLA FUNZIONE INTEGRALE
LA FUNZIONE INTEGRALE MAGLIOCURIOSO & CAMILLO magliocurioso@hotmail.it Sommario. In questa breve dispensa ho semplicementrascritto in L A TEX il contenuto di questa discussione: http://www.matematicamente.it/forum/
DettagliEsercizi di Analisi Matematica I
Esercizi di Analisi Matematica I Andrea Corli e Alessia Ascanelli gennaio 9 Indice Introduzione iii Nozioni preliminari. Fattoriali e binomiali..................................... Progressioni..........................................
DettagliParte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli
Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici
Dettagli1. Distribuzioni campionarie
Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie
DettagliFunzione logaritmo con. funzione inversa della funzione di
FUNZIONE LOGARITMO a è la base della funzione logaritmo ed è una costante positiva fissata e diversa da 1 x è l argomento della funzione logaritmo e varia nel dominio Funzione logaritmo con funzione inversa
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)
DettagliLEZIONE 31. B i : R n R. R m,n, x = (x 1,..., x n ). Allora sappiamo che è definita. j=1. a i,j x j.
LEZIONE 31 31.1. Domini di funzioni di più variabili. Sia ora U R n e consideriamo una funzione f: U R m. Una tale funzione associa a x = (x 1,..., x n ) U un elemento f(x 1,..., x n ) R m : tale elemento
DettagliIntegrali di Riemann e di Cauchy
Integrali di Riemann e di Cauchy Gianni Gilardi Pavia, 14 novembre 1997 L integrale nell ambito delle teorie di Riemann e di Cauchy, fra loro equivalenti, può essere introdotto in vari modi e queste pagine
DettagliParte 2. Determinante e matrice inversa
Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice
DettagliFunzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento
TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una
Dettagli1. I limiti delle funzioni.
1. I iti delle funzioni. 1.1. Considerazioni introduttive. La nozione di ite di una funzione reale di variabile reale costituisce una naturale generalizzazione della nozione di ite di una successione.
Dettagli