SERIE NUMERICHE. prof. Antonio Greco

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1 SERIE NUMERICHE prof. Antonio Greco

2 Indice Motivazioni Definizione Errore tipico Un osservazione utile Condizione necessaria Serie armonica Serie geometrica Definizione Somma ridotta Carattere Achille e la tartaruga... 6 Serie a termini positivi Assoluta convergenza Criterio del confronto Criterio del confronto asintotico 7 Criterio del rapporto Criterio della radice Serie esponenziale lim k + x k /k! = Serie a termini di segno alterno 9 Criterio di Leibniz Funzione ζ di Riemann Controesempi su rapporto e radice 0 Antonio Greco Serie numeriche Pag. 2

3 MOTIVAZIONI Talvolta si è costretti, per la difficoltà del problema considerato, a ripiegare su di una soluzione approssimata. Questo capita, ad esempio, quando si deve calcolare il valore numerico di π. Le serie consentono di esprimere rigorosamente certe approssimazioni. Il calcolo di π è da secoli oggetto di studi approfonditi. In particolare, si attribuisce a Leibniz (674) la scoperta che + π 4 = ( ) k 2k +. Nel 997, invece, è stata scoperta la seguente formula: ( 4 2 π = 6 k 8k + 8k +4 8k +5 ). 2 8k +6 Ulteriori informazioni su questa ed altre formule simili si possono trovare sulla rivista Notices of the American Mathematical Society ( agosto 203, pag. 847). Intuitivamente, la somma di una serie è la somma di infiniti termini. I termini da sommare si possono indicare con la notazione a k, dove l indice k varia nell insieme N dei numeri naturali. DEFINIZIONE Per definire la somma della serie a k () si considera la successione delle somme parziali S n, dette anche somme ridotte, date da n S n = e si procede come segue. Se esiste finito il limite a k lim S n (2) n + si dice che la serie () è convergente, e la sua somma è il valore numerico del suddetto limite. Se, invece, il limite (2) è + o, si dice che la serie () è divergente a + o a. Se, infine, la successione delle somme ridotte S n non ammette limite, si dice che la serie () è indeterminata. L ERRORE TIPICO L errore tipico del principiante è quello di confondere tra loro le due successioni in gioco: quella dei termini da sommare a k, e quella delle somme ridotte S n. UN OSSERVAZIONE UTILE Poiché il limite della successione (S n ) non dipende dai primi termini, il carattere di una serie non dipende dai primi addendi. Antonio Greco Serie numeriche Pag. 3

4 COME RICAVARE a n A PARTIRE DA S n Partendo dall uguaglianza S n = a 0 + +a n e sottraendo da essa l uguaglianza seguente: si trova S n = a 0 + +a n S n S n = a n. (3) Dunque è possibile ritrovare gli addendi a n conoscendo le somme parziali S n. UNA CONDIZIONE NECESSARIA PER LA CONVERGENZA Condizione necessaria affinché la serie () converga, è che lim a n = 0. (4) n + Infatti, se per ipotesi risulta lim S n = S R n + allora si ha anche lim S n = S. n + Di conseguenza, passando al limite nella (3), si ottiene la (4), come volevasi dimostrare. La suddetta condizione non è sufficiente affinché la serie considerata converga. Per dimostrarlo, basta esibire un controesempio, come quello costituito dalla cosiddetta serie armonica (vedere a lato). SERIE ARMONICA Si chiama serie armonica la serie k= k. La serie armonica è divergente perché k= k = + 2 ( ) 4 ( ) 8 ( ) 6 ( ) = +. Quest ultima disuguaglianza si ottiene osservando che > = 2 ; > = 2, eccetera. La dimostrazione del fatto che la serie armonica è divergente riportata sopra è attribuita ad Oresme (anno 360): vedere Kline, Storia del pensiero matematico, Einaudi, vol. I, pag Antonio Greco Serie numeriche Pag. 4

5 SERIE GEOMETRICA Si chiama geometrica la serie in cui ciascun termine (tranne il primo) si ottiene dal termine precedente moltiplicandolo per un numero fisso detto ragione e indicato solitamente con la lettera q. L espressione generale della serie geometrica è a 0 q k (5) dove il primo termine a 0 può avere un qualunque valore fissato. In particolare, se a 0,q 0, i termini a k = a 0 q k sono diversi da zero e si constata che il rapporto tra due termini consecutivi vale a k+ a k = a 0q k+ a 0 q k = q. La scelta della lettera q è dovuta al fatto che essa è l iniziale della parola quoziente. SOMMA RIDOTTA DELLA SERIE GEOMETRICA Lo studio esauriente della serie geometrica è possibile grazie alla seguente espressione della somma ridotta, valida per q : n q k = qn+ q. (6) Per dimostrare la (6) basta moltiplicare ambo i membri per q. Svolgendo il prodotto n ( q) con la proprietà distributiva, si trova n n n ( q) q k = q k q k = q n+ come volevasi dimostrare. q k+ Il termine ragione deriva invece dal latino ratio, cioè rapporto. Antonio Greco Serie numeriche Pag. 5

6 CARATTERE DELLA SERIE GEOMETRICA Se il primo termine a 0 è nullo, lo sono nulli anche tutti gli altri termini. Applicando la definizione, si trova che la serie geometrica (5) converge e la sua somma è 0. Se, invece, a 0 0, applicando la definizione si trova che il carattere della serie geometrica (5) è lo stesso della serie q k. (7) Ci concentriamo quindi su quest ultima. Se q =, tutti i termini valgono e la serie diverge a +. Se, invece, q, possiamo usare la (6) ricordando che { 0, se q (,) lim n + qn = + se q > mentre il limite non esiste se q. Pertanto, se q (,), la serie (7) converge e si ha q k = q. (8) Se, invece q, la serie (7) diverge a +. Se, infine q, la serie (7) è indeterminata. ACHILLE E LA TARTARUGA Achille corre con velocità v A verso una tartaruga, posta ad una distanza d 0 da lui. La tartaruga fugge con una velocità v T. Essendo v T < v A, il rapporto q = v T /v A è minore di. Achille percorre la distanza d 0 impiegando il tempo t 0 = d 0 /v A. In tale lasso di tempo, la tartaruga percorre la distanza d = t 0 v T, e cioè d = d 0 q. Achille percorre la distanza d impiegando il tempo t = d /v A. In tale lasso di tempo, la tartaruga percorre la distanza d 2 = t v T, e cioè d 2 = d q = d 0 q 2. Achille percorre dunque una successione di distanze d k la cui espressione generale è d k = d 0 q k. La somma di tutte le distanze è + d 0 q k = d 0 q k = d 0 q. Il tempo necessario ad Achille per percorrere la distanza d k è t k = d k /v A = d 0 v A q k, quindi la somma di tutti i tempi è t k = d 0 v A q = d 0. v A v T Questo è, infatti, il tempo necessario ad Achille per raggiungere la tartaruga. Antonio Greco Serie numeriche Pag. 6

7 SERIE A TERMINI POSITIVI Le serie i cui termini sono tutti positivi, o almeno non negativi, non sono indeterminate. Esse possono essere convergenti o divergere a +. Infatti, se a n 0 per ogni n, dalla (3) si ricava S n+ S n, dunque la successione delle somme ridotte è monotona non decrescente. La proprietà più importante (se proprio dobbiamo sceglierne una) dell insieme dei numeri reali è la completezza: cioè tutte le successioni monotone ammettono limite (finito o infinito). Da ciò segue l asserto. ASSOLUTA CONVERGENZA Si dice che la serie () è assolutamente convergente se la serie a termini non negativi a k è convergente. Usando in modo opportuno la proprietà di completezza richiamata sopra, si dimostra che l assoluta convergenza è una condizione sufficiente affinché la serie () converga. Per verificare che l assoluta convergenza non è necessaria per la convergenza semplice basta esibire un controesempio (vedere a pagina 9). CRITERIO DEL CONFRONTO Se risulta 0 a k b k per ogni k, e se la serie è divergente, allora lo è anche la serie b k. Ne segue che se, invece, quest ultima serie converge, allora converge anche l altra. L enunciato discende dalla definizione di somma di una serie, usando il teorema del confronto per i limiti, e tenendo conto del fatto che le serie a termini non negativi non sono indeterminate. a k CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO Due serie i cui termini (positivi) a k e b k sono tali che il rapporto a k /b k ammette limite finito l > 0 hanno lo stesso carattere. Ciò segue dal criterio del confronto enunciato sopra. Infatti, per la definizione di limite, risulta l 2 b k < a k < 2lb k definitivamente, e le serie l 2 b k, 2lb k hanno lo stesso carattere della serie b k. Antonio Greco Serie numeriche Pag. 7

8 CRITERIO DEL RAPPORTO Consideriamo una serie i cui addendi a k siano tutti positivi. Condizione sufficiente affinché la serie converga è che il limite lim k + a k+ a k (9) esista e sia minore di. Condizione sufficiente affinché la serie diverga a + è che il limite (9) esista e sia maggiore di (anche + ). CRITERIO DELLA RADICE Consideriamo una serie i cui addendi a k siano tutti non negativi. Condizione sufficiente affinché la serie converga è che il limite lim k + k ak (0) esista e sia minore di. Condizione sufficiente affinché la serie diverga a + è che il limite (0) esista e sia maggiore di (anche + ). COME DIMOSTRARE I CRITERI DEL RAPPORTO E DELLA RADI- CE Si noti che, se la serie considerata è una serie geometrica, e cioè se a k = a 0 q k, allora i limiti (9) e (0) valgono entrambi q. Se, invece, la serie considerata non è geometrica, la si confronta con la serie geometrica la cui ragione q è il limite (9) o (0). Se, infine, tale limite è +, la condizione necessaria per la convergenza non è soddisfatta, e la conclusione segue immediatamente. SERIE ESPONENZIALE Una delle serie più importanti è la serie di Maclaurin della funzione esponenziale e x, e cioè x k k!. () Per ogni x R fissato, essa è una serie numerica il cui termine generale a k è dato da a k = xk k! pertanto il rapporto fra due termini consecutivi è a k+ a k = xk+ (k +)! k! x = x k k +. Poiché il limite (9) è nullo, la serie () converge qualunque sia x R. Usando la formula di Taylor con il resto di Lagrange, si può dimostrare che per ogni x R. x k k! = e x UN LIMITE NOTEVOLE Avendo dimostrato che la serie () converge per ogni x R, e ricordando che la condizione (4) è necessaria per la convergenza, concludiamo che lim k + x k k! qualunque sia x R. = 0 Antonio Greco Serie numeriche Pag. 8

9 SERIE A TERMINI DI SEGNO AL- TERNO Se i termini a k sono tutti non negativi, la serie ( ) k a k (2) si dice serie a termini di segno alterno. CRITERIO DI LEIBNIZ Condizione sufficiente affinché la serie (2) sia convergente è che i termini a k costituiscano una successione monotona che tende a 0. Lo si dimostra usando la completezza dell insieme dei numeri reali. Esempio: applicando il criterio di Leibniz, si trova che la serie k= ( ) k k è convergente. La stessa serie non è assolutamente convergente perché la serie armonica non converge. Applicando la formula di Taylor con il resto di Lagrange alla funzione logaritmica, si può dimostrare che k= ( ) k k = log2. Antonio Greco Serie numeriche Pag. 9

10 FUNZIONE ZETA DI RIEMANN La funzione ζ(x) = k= k x si può definire anche per valori complessi della x, ed è legata ad una famosa congettura. In questa sede ci limitiamo a discutere il caso x R. Osserviamo, innanzitutto, che la serie diverge a + per x perché in tal caso si ha k x k e la serie armonica è divergente. Se, invece, x >, si può dimostrare che la serie converge. Si ha, infatti, k x t x per ogni t (k, k). Integrando ambo i membri in dt su tale intervallo si trova k x k k dt t x da cui, sommando su k, si ricava PERCHÉ I CRITERI DEL RAP- PORTO E DELLA RADICE NON SI APPLICANO SE I LIMITI (9) E (0) VALGONO? Non si applicano perché sussistono dei controesempi. Infatti la serie armonica è divergente, mentre la serie k= k 2 è convergente (vedere a lato). In entrambi i casi, i limiti (9) e (0) valgono. Dunque il fatto che tali limiti valgano non dice nulla sulla convergenza della serie. k=2 + k x dt t x. L integrale al secondo membro si calcola immediatamente, e vale + dt t x = t x x ] + = x, dunque la serie è convergente, come volevasi dimostrare. Antonio Greco Serie numeriche Pag. 0