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1 Anno Accademico 203/ 204 Corsi di Analisi Matematica I (Proff A Villani e F Faraci) Prova d Esame del giorno 6 febbraio 204 Prima prova scritta (compito A) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito Rispondere ai seguenti quesiti Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 20 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti 2 per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data Tempo disponibile: 90 minuti ) Il dominio della funzione reale di variabile reale f() = log ( arcsen ( 4 3 2)) è l insieme a) ] log 3 2, ] b) ] log 3 2, 2] c) ] log 3 2, + [ d) ]0, + [ 2) Sia E il seguente sottoinsieme di R: E = ([0, ] \ Q) 2n n+ } : n N Quale delle seguenti affermazioni riguardanti l insieme E è vera? a) E = 0, } e DE = [0, ] 2} b) E = E e DE = E 2} c) E = E [0, ] 2} e DE = [0, ] 2} d) E = E 2} e DE =]0, [ 2} 3) La derivata della funzione arctg ((2) ) è uguale a a) b) (2) +(2) 2 (log(2) + ) (2) +(2) 2 (log + log 2 + ) (2) c) ( +(2) log(2) + 2) 2 (2) d) 2 arctg ( (2) ) +(2) 2 } 4) Dati gli insiemi A = ( ) n n n + : n N a) A e B sono separati, ma non contigui b) A e B sono separati e contigui c) A e B non sono separati d) A e B non sono disgiunti log 5) Il limite lim 3 ( + 3 ) arctg 2 a) b) log 3 e c) 0 d) log e 3 è uguale a } e B = sen π : ]0, [ Q, è vero che: 2

2 6) La serie a) per ogni R [ n 2n+ n 2 ] converge b) solo se ], [ c) solo se [, [ d) solo se ] 2, 2] arctg (a) se < 0 7) Per ogni a R sia f a : R R la funzione definita nel modo seguente: f a () = a se 0 + log se > Quali delle seguenti affermazioni è falsa? a) esistono valori di a per i quali f a è derivabile in tutto R b) esistono valori di a per i quali f a è concava in R c) esistono infiniti valori di a per cui la funzione f a ha punti di massimo locale d) f a (0) = 0 a R 8) Quali delle seguenti affermazioni riguardanti la funzione reale di variabile reale f() = e è vera? a) la funzione f ha minimo assoluto b) f è derivabile in ogni punto del suo dominio c) il grafico di f ha un asintoto obliquo d) il punto 0 = 2 è di estremo relativo per f 9) L integrale indefinito 3 sen 5 d è uguale a a) 4 cos 5 + c 20 [ cos sen 5] 6 25 b) 2 5 sen 5 d c) 5 2 [ cos 5 3 sen 5] + 50 sen 5 d d) cos 5 3 sen sen 5 d 0) Sia a n } n N una successione di numeri reali La condizione La serie a 0 + (a + a 2 ) + (a 3 + a 4 + a 5 ) + (a 6 + a 7 + a 8 + a 9 ) + è convergente a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la serie a n sia convergente n=0 ) La derivata della funzione reale di variabile reale F () = 2 sen t2 dt è uguale a a) sen 4 sen 2 b) 2 sen 4 sen 2 c) 2 2t cos t 2 dt d) 2 sen 4 cos 2

3 Anno Accademico 203/ 204 Corsi di Analisi Matematica I (Proff A Villani e F Faraci) Prova d Esame del giorno 6 febbraio 204 Prima prova scritta (compito B) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito Rispondere ai seguenti quesiti Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 20 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti 2 per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data Tempo disponibile: 90 minuti ) Il dominio della funzione reale di variabile reale f() = log a) [ 0, log 3 2[ b) ], log 3 2 [ c) ] 0, 3 log 2[ d) [ 0, log 3 2 [ +2 arcsen(2 e 3 ) è l insieme 2) Sia E il seguente sottoinsieme di R: E = ([, 0] Q) 2 n : n N} Quale delle seguenti affermazioni riguardanti l insieme E è vera? a) E = e DE = E b) E =, } e DE = [, 0] c) E = E [, 0] e DE = [, 0] d) E = E e DE = [, 0] 3) La derivata della funzione arcsen ((2) ) è uguale a a) b) c) (2) 4 2 (2) (2) 2 (2) (2) (log(2) + ) (log + log 2 + ) log(2)+ 2 +(2) d) (2) (2) 2 2 arcsen ( (2) ) 4) Dati gli insiemi A = ( ) n ( 2) 2n+3 : n N a) A e B sono separati, ma non contigui b) A e B sono separati e contigui c) A e B non sono separati d) A e B non sono disgiunti } } e B = sen π : ]0, [ Q, è vero che: 2 ( + 5 ) 3 5) Il limite lim sen 2 π a) 3 b) 5 π c) 0 d) + è uguale a

4 6) La serie a) per ogni R [ ] n n+ n n! converge b) solo se [, [ c) solo se ], [ d) solo se = 0 arctg (a) se < 0 7) Per ogni a R sia f a : R R la funzione definita nel modo seguente: f a () = a se 0 + log se > Quali delle seguenti affermazioni è falsa? a) f a è convessa in ], ] per ogni a 0 b) f a è iniettiva per ogni a 0 c) esistono infiniti valori di a per cui l insieme immagine f a (R) è un intervallo d) esistono infiniti valori di a per cui la funzione f a ha minimo assoluto 8) Quali delle seguenti affermazioni riguardanti la funzione reale di variabile reale f() = e è vera? a) f non ha minimo assoluto b) f è derivabile in ogni punto del suo dominio c) f l insieme immagine di f è l intervallo [e, + [ d) f è iniettiva 9) L integrale indefinito 3 cos 4 d è uguale a [ a) 2 4 sen cos 4] cos 4 d b) 4 2 sen 4 + c c) 4 sen cos 4 8 cos 4 d [ d) 2 4 sen cos 4] 3 8 cos 4 d 0) Sia a n } n N una successione di numeri positivi La condizione La serie a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la serie a n sia convergente n=0 ) La derivata della funzione reale di variabile reale F () = 2 sen2 t 2 dt è uguale a a) 2 sen 2 (2 2 ) sen 2 2 b) 2 sen 2 2 c) 2 4t sen t2 cos t 2 dt d) 2 sen 2 (4 2 ) sen 2 2 n an è convergente n=0

5 Anno Accademico 203/ 204 Corsi di Analisi Matematica I (Proff A Villani e F Faraci) Prova d Esame del giorno 6 febbraio 204 Prima prova scritta (compito C) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito Rispondere ai seguenti quesiti Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 20 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti 2 per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data Tempo disponibile: 90 minuti ) Il dominio della funzione reale di variabile reale f() = log arcsen ( 3 2 3) a) ], log [ b) [ 3, log 2 3 [ c) [ 3, log [ d) ] 3, 3 log 2 3 [ è l insieme 2) Sia E il seguente sottoinsieme di R: E = 2 n : n N} ( + n) n : n N + } Quale delle seguenti affermazioni riguardanti l insieme E è vera? a) E = e DE = E 0, e } b) E = E e DE = 0, e } c) E = 0, e } e DE = 0, e } d) E = E 0, e } e DE = 0, e } 3) La derivata della funzione + (2) è uguale a a) (2) 2 +(2) 2 b) +(2) c) (2) +4 2 (log(2) + ) ( log + log 2 + 2) (log(2) + ) (2) d) 2 +(2) 4) Dati gli insiemi A = ( ) n n n+ } : n N a) A e B sono separati, ma non contigui b) A e B sono separati e contigui c) A e B non sono separati d) A e B non sono disgiunti e B = tg π 2 : ] 2, [ Q }, è vero che: sen e 5) Il limite lim 0 π a) e b) e π c) 0 d) è uguale a

6 6) La serie a) per ogni R n!+ (n+2)! 3n converge b) solo se [, ] c) solo se [, [ d) solo se = 0 arctg (a) se < 0 7) Per ogni a R sia f a : R R la funzione definita nel modo seguente: f a () = a se 0 + log se > Quali delle seguenti affermazioni è falsa? a) la funzione f a è dotata di derivata seconda nell intervallo ], [ per ogni a R b) esiste un unico valore di a per cui f a è continua in R c) l insieme immagine f a (R) è un intervallo per ogni a R d) risulta inf f π a() = 2 se a > 0 R a se a 0 8) Quali delle seguenti affermazioni riguardanti la funzione reale di variabile reale f() = e è vera? a) f non è iniettiva b) il grafico di f ha un asintoto verticale c) f ha punti di massimo locale d) la retta di equazione y = e 2 9) L integrale indefinito 4 cos 2 d è uguale a a) 25 5 sen cos cos 2 d b) 3 2 [ sen cos 2] 3 2 cos 2 d c) 3 [ 2 sen 2 cos 2] cos 2 d d) 5 0 sen 2 + c è tangente al grafico della funzione f 0) Sia a n } n N + una successione di numeri positivi La condizione La serie a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la serie a n sia convergente ) La derivata della funzione reale di variabile reale F () = e sen t2 dt è uguale a a) (e ) sen 2 b) e sen 2 e sen 2 c) e 2t cos t 2 dt d) e sen e 2 sen 2 ( + 2 n) n an è convergente

7 Tutti i quesiti dei compiti D, E e F del 6 febbraio 204 si trovano in uno dei compiti A, B e C

8 Anno Accademico 203/ 204 Corsi di Analisi Matematica I (Proff A Villani e F Faraci) Prova d Esame del giorno 6 febbraio 204 Seconda prova scritta (compito A) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito Si possono consegnare al massimo due fogli a quadri in bella copia in entrambi devono essere apposti nome e cognome a stampatello e la firma del candidato Alla fine della prova il presente foglio deve essere riconsegnato debitamente compilato Rispondere ai seguenti quesiti Il requisito minimo per superare la prova, con la conferma del voto della prima prova scritta quale voto finale dell esame, è di rispondere in maniera corretta ad un quesito di tipo D e ad uno di tipo T Le ulteriori risposte corrette, se valutate positivamente, comportano un incremento del voto finale dell esame fino ad un massimo di tre punti Tempo disponibile: 90 minuti Quesiti di tipo D ( definizioni ) ) Data una funzione f : ], 0[ R, dire che il limite di f() per che tende a è uguale a vuol dire che (completare la definizione) 2) Sia E R Si dice che un punto c R è di accumulazione per l insieme E se (completare la definizione) 3) Sia f : [a, b] R una funzione limitata Si dice che f è integrabile secondo Riemann in [a, b] se (completare la definizione) Quesiti di tipo T ( teoremi ) p ) Dimostrare che per ogni a > ed ogni p > 0 si ha lim + a = 0 2) In R ogni successione limitata ha una sottosuccessione (completare l enunciato e svolgere la dimostrazione) 3) Enunciare e dimostrare il teorema di Lagrange Quesiti di tipo E ( esercizi ) ) Provare che la funzione 3 a) è uniformemente continua in ]0, 2[ b) non è uniformemente continua in [0, + [ 2) Calcolare l integrale indefinito (4 cos ) sen (5 sen 2 ) (cos + 3) d 3) Studiare la funzione reale di variabile reale e disegnarne il grafico f() = e

9 Anno Accademico 203/ 204 Corsi di Analisi Matematica I (Proff A Villani e F Faraci) Prova d Esame del giorno 2 febbraio 204 Prima prova scritta (compito A) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito Rispondere ai seguenti quesiti Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 20 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti 2 per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data Tempo disponibile: 90 minuti ) Il dominio della funzione reale di variabile reale f() = log ( arcsen ( 4 3 2)) è l insieme a) ]0, + [ b) ] log 3 2, + [ c) ] log 3 2, 2] d) ] log 3 2, ] 2) La frontiera E dell insieme E = ([0, ] \ Q) 2n n+ : n N } è l insieme a) 0,, 2} } b) 2n n+ : n N 2} c) E 2} d) [0, ] 2n n+ : n N } 2} 3) La derivata della funzione [arctg (2)] è uguale a a) [arctg (2)] [ log ( arctg (2)) + 2 (+4 2 ) arctg (2) b) [arctg (2)] [ arctg (2) log ( arctg (2)) ] c) [arctg (2)] 2 [ +4 2 ] d) [arctg (2)] arctg (2) log ( arctg (2)) } 4) L insieme A = sen π : [, 0[ Q 2 a) è limitato ed ha minimo e massimo b) è limitato, ha massimo ma non ha minimo c) è limitato superiormente, ma non inferiormente, ed ha massimo d) è limitato superiormente, ma non inferiormente, e non ha massimo log 5) Il limite lim 3 ( + π ) sen (sen 3 ) è uguale a a) π 3 b) 0 c) log 3 e d) + ]

10 6) Quali delle seguenti serie sono convergenti: () arcsen, (2) ( ) n n n n +, (3) ( ) π n+3, (4) e + a) (2), (3) e (4) b) (), (3) e (4) c) solo (3) d) (3) e (4) ( ) n n +? arctg ( a 2 ) se < 0 7) Per ogni a R sia f a : R R la funzione definita nel modo seguente: f a () = a se 0 + log se > Quali delle seguenti affermazioni è falsa? a) esistono infiniti valori di a per i quali il punto 0 = 0 è di massimo locale per f a b) esistono infiniti valori di a per cui f a è iniettiva c) la derivata f a(0) esiste solo se a = 0 d) la funzione f a ha minimo assoluto soltanto se a ], π 2 ] 0} 8) Quali delle seguenti affermazioni riguardanti la funzione reale di variabile reale f() = + è vera? a) la funzione f ha minimo assoluto b) f è derivabile in ogni punto del suo dominio c) il grafico di f ha un asintoto obliquo d) il punto 0 = non è di estremo locale per f 9) L integrale indefinito e 3 [ a) (t 2 3) 2 t 2 +t 3 ]t= dt e +3 [ ] z b) 3 z+ z+3 dz z=e [ c) 2t(t 2 3) 2 t 2 +t 3 ]t= dt e +3 [ ] d) dz 3 z+ z+3 z=e 3 e + e +3 d è uguale a 0) Sia a n } n N una successione di numeri reali positivi La condizione La serie a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la serie a n sia convergente n=0 ) L integrale definito 2 0 a) 4 8 log 4 log 5 b) 2 4 log 5 c) 4 log 6 5 d) d è uguale a n 2 a n è convergente n=0

11 Anno Accademico 203/ 204 Corsi di Analisi Matematica I (Proff A Villani e F Faraci) Prova d Esame del giorno 2 febbraio 204 Prima prova scritta (compito B) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito Rispondere ai seguenti quesiti Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 20 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti 2 per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data Tempo disponibile: 90 minuti ) Il dominio della funzione reale di variabile reale f() = log ( arcsen ( 2 e 3)) 2 + e 3 è l insieme a) ] 0, 3 log 2[ b) [ 0, log 3 2 [ c) [ 0, log 3 2[ d) ], log 3 2 [ 2) La frontiera E dell insieme E = ([, 0] Q) 2 n : n N} è l insieme a) [, 0] b), 0} 2 n : n N} c) [, 0] 2 n : n N} d) E 2 n : n N} 3) La derivata della funzione [ arcsen (2)] è uguale a a) [ arcsen (2)] [ log ( arcsen (2)) arcsen (2) b) [ arcsen (2)] [ log ( arcsen (2)) arcsen (2) c) [ arcsen (2)] [ arcsen (2) log ( arcsen (2)) d) [ arcsen (2)] } 4) L insieme A = sen π : [0, ] \ Q 2 a) è limitato, ha minimo ma non ha massimo b) è limitato ma non ha né minimo né massimo c) è limitato inferiormente, ma non superiormente, ed ha minimo d) è limitato inferiormente, ma non superiormente, e non ha minimo ( + 9 ) 3 5) Il limite lim sen 2 π a) 27 π 2 b) 3 c) 0 d) + è uguale a ] ] ]

12 6) Quali delle seguenti serie sono convergenti: () ( ) n cos n, (2) [ cos ] n cos n + a) (2), (3) e (4) b) (), (2) e (3) c) solo (3) d) (2) e (3), (3) ( 2 ) n+4 2, (4) π tg? n + arctg ( a 2 ) se < 0 7) Per ogni a R sia f a : R R la funzione definita nel modo seguente: f a () = a se 0 + log se > Quali delle seguenti affermazioni è falsa? a) il punto 0 = 0 è di massimo locale per f a se e soltanto se a 0 b) l insieme immagine f a (R) è un intervallo se e soltanto se a c) la derivata seconda f a (0) esiste per ogni a R d) esistono infiniti valori di a per cui la funzione f a ha minimo assoluto 8) Quali delle seguenti affermazioni riguardanti la funzione reale di variabile reale f() = + è vera? a) f non ha minimo assoluto b) f è derivabile in ogni punto del suo dominio c) f l insieme immagine di f è l intervallo [, + [ d) f non è iniettiva 9) L integrale indefinito e 2 [ ] z a) z 2 + z+3 dz z=e [ b) 2t(t 2 3) (t 2 3) 2 +t ]t= dt e +3 [ ] c) dz 2 z+ z+3 z=e [ 2 t d) 3 (t 2 3) 2 +t ]t= dt e +3 e 2 + e +3 d è uguale a 0) Sia a n } n N una successione di numeri reali positivi La condizione La serie a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la serie a n sia convergente n=0 ) L integrale definito 3 0 a) + 4 log 8 9 b) 3 4 log 8 c) 5 d) 5 4 log d è uguale a n=0 n 2 n 2 + a n è convergente

13 Anno Accademico 203/ 204 Corsi di Analisi Matematica I (Proff A Villani e F Faraci) Prova d Esame del giorno 2 febbraio 204 Prima prova scritta (compito C) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito Rispondere ai seguenti quesiti Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 20 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti 2 per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data Tempo disponibile: 90 minuti ) Il dominio della funzione reale di variabile reale f() = log ( arcsen ( 3 2 3)) è l insieme a) [ 3, log 2 3 [ b) ], log [ c) ] 3, 3 log 2 3 [ d) [ 3, log [ 2) La frontiera E dell insieme E = 2 n : n N} ( + n) n : n N + } è l insieme a) 0, e } b) 0,, 2, e } c) E 0, e } d) ]0, ] [2, e [ [ ] è uguale a 3) La derivata della funzione [ [ a) 2 + 2] log b) 2 +2 [ ] [ log( 2 + 2) + (+) 2 +2 c) [ ] 2 d) [ ] 2 ( + ) 4) L insieme A = ] [ ] 2 log(2 + 2) + (+) 2 +2 sen π 2 : [ } 3 2, [ Q a) è limitato ed ha minimo e massimo b) è limitato, ha minimo ma non ha massimo c) è limitato, ma non ha né minimo né massimo d) è limitato inferiormente ma non superiormente ( + π ) 4 5) Il limite lim sen 2 3 a) 0 b) 4 c) + d) π2 9 è uguale a ]

14 6) Quali delle seguenti serie sono convergenti: [ ( ) ] 3 n+2 () n 2, (2) ( ) n log n + 4 n a) (2), (3) e (4) b) (), (2) e (3) c) solo () d) () e (2), (3) ( log + ) n, (4) ( ) n n 2 n 2 +? arctg ( a 2 ) se < 0 7) Per ogni a R sia f a : R R la funzione definita nel modo seguente: f a () = a se 0 + log se > Quali delle seguenti affermazioni è falsa? a) il punto 0 = è di massimo locale per f a se e soltanto se a > b) l insieme immagine f a (R) è un intervallo se e soltanto se a > c) la derivata f a(0) esiste solo se a = 0 oppure a = d) la retta di equazione y 2 = e e è tangente al grafico di f a per ogni a R 8) Quali delle seguenti affermazioni riguardanti la funzione reale di variabile reale f() = + è vera? a) f è iniettiva b) il grafico di f non ha asintoti c) f non ha punti di estremo locale d) la retta di equazione 4(y ) = 3 è tangente al grafico della funzione f 9) L integrale indefinito e 3 [ ] z a) 3 z+ 3 dz z+3 z=e [ 3t b) 5 t 3 +t 3 ]t= dt 3 e +3 [ ] c) 3t 2 (t 3 3) 2 dt t 3 +t 3 t= 3 e +3 [ ] d) dz 3 z+ 3 z+3 z=e 3 e + 3 e +3 d è uguale a 0) Sia a n } n N una successione di numeri reali positivi La condizione La serie a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la serie a n sia convergente ) L integrale definito 3 0 a) 2 b) 3 5 log 8 c) 7 5 log(25 8) d) + 5 log d è uguale a a n n 2 è convergente

15 Tutti i quesiti dei compiti D, E e F del 2 febbraio 204 si trovano in uno dei compiti A, B e C

16 Anno Accademico 203/ 204 Corsi di Analisi Matematica I (Proff A Villani e F Faraci) Prova d Esame del giorno 2 febbraio 204 Seconda prova scritta (compito A) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito Si possono consegnare al massimo due fogli a quadri in bella copia in entrambi devono essere apposti nome e cognome a stampatello e la firma del candidato Alla fine della prova il presente foglio deve essere riconsegnato debitamente compilato Rispondere ai seguenti quesiti Il requisito minimo per superare la prova, con la conferma del voto della prima prova scritta quale voto finale dell esame, è di rispondere in maniera corretta ad un quesito di tipo D e ad uno di tipo T Le ulteriori risposte corrette, se valutate positivamente, comportano un incremento del voto finale dell esame fino ad un massimo di tre punti Tempo disponibile: 90 minuti Quesiti di tipo D ( definizioni ) ) Data una funzione f : ], 2[ R, dire che il limite di f() per che tende a è uguale a 5 vuol dire che (completare la definizione) 2) Sia E R Si dice che un punto c R è di frontiera per l insieme E se (completare la definizione) 3) Sia a n } n N una successione di numeri reali Si dice che la serie n=0 a n è convergente se (completare la definizione) sen ) Dimostrare che lim = 0 Quesiti di tipo T ( teoremi ) 2) Enunciare e dimostrare il teorema di esistenza degli zeri 3) Sia f : I R una funzione derivabile nell intervallo I Se f () > 0 I, allora la funzione f è (completare l enunciato e svolgere la dimostrazione) Quesiti di tipo E ( esercizi ) ) Provare che la funzione 2 a) è uniformemente continua in ]0, 2[ b) non è uniformemente continua in [0, + [ 2) Calcolare l integrale indefinito ( 2sen 2 + sen + 7 ) cos (0 cos 2 d ) (sen ) 3) Studiare la funzione reale di variabile reale e disegnarne il grafico f() = log

17 Anno Accademico 203/ 204 Corsi di Analisi Matematica I (Proff A Villani e F Faraci) Prova d Esame del giorno 2 febbraio 204 Seconda prova scritta (compito B) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito Si possono consegnare al massimo due fogli a quadri in bella copia in entrambi devono essere apposti nome e cognome a stampatello e la firma del candidato Alla fine della prova il presente foglio deve essere riconsegnato debitamente compilato Rispondere ai seguenti quesiti Il requisito minimo per superare la prova, con la conferma del voto della prima prova scritta quale voto finale dell esame, è di rispondere in maniera corretta ad un quesito di tipo D e ad uno di tipo T Le ulteriori risposte corrette, se valutate positivamente, comportano un incremento del voto finale dell esame fino ad un massimo di tre punti Tempo disponibile: 90 minuti Quesiti di tipo D ( definizioni ) ) Data una funzione f : ], 0[ R, dire che il limite di f() per che tende a è uguale a vuol dire che (completare la definizione) 2) Un insieme X R si dice limitato superiormente se Se l insieme X R è limitato superiormente, si chiama estremo superiore dell insieme X (completare le definizioni) 3) Sia f : I R (I intervallo di R) Si chiama primitiva di f (completare la definizione) Quesiti di tipo T ( teoremi ) log ) Dimostrare che per ogni a > ed ogni p > 0 si ha lim a + p = 0 2) Enunciare e dimostrare il criterio di convergenza di Cauchy per le successioni 3) Enunciare e dimostrare il teorema di Rolle Quesiti di tipo E ( esercizi ) ) Provare che la funzione 5 a) è uniformemente continua in [0, 2[ b) non è uniformemente continua in [0, + [ 2) Calcolare l integrale indefinito ( tg ) ( tg 2 + ) (tg ) 2 (tg + 2) d 3) Studiare la funzione reale di variabile reale e disegnarne il grafico f() = arctg

18 Anno Accademico 203/ 204 Corsi di Analisi Matematica I (Proff A Villani e F Faraci) Prova d Esame del giorno 2 febbraio 204 Seconda prova scritta (compito C) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito Si possono consegnare al massimo due fogli a quadri in bella copia in entrambi devono essere apposti nome e cognome a stampatello e la firma del candidato Alla fine della prova il presente foglio deve essere riconsegnato debitamente compilato Rispondere ai seguenti quesiti Il requisito minimo per superare la prova, con la conferma del voto della prima prova scritta quale voto finale dell esame, è di rispondere in maniera corretta ad un quesito di tipo D e ad uno di tipo T Le ulteriori risposte corrette, se valutate positivamente, comportano un incremento del voto finale dell esame fino ad un massimo di tre punti Tempo disponibile: 90 minuti Quesiti di tipo D ( definizioni ) ) Data una funzione f : ] 5, + [ R, dire che il limite di f() per che tende a + è uguale a vuol dire che (completare la definizione) 2) Un insieme X R si dice limitato inferiormente se Se l insieme X R è limitato inferiormente, si chiama estremo inferiore dell insieme X (completare le definizioni) 3) Sia f : I R (I intervallo di R) Si dice che f è derivabile in un punto 0 I se (completare la definizione) ) Dimostrare che lim + 4 = 0 Quesiti di tipo T ( teoremi ) 2) In R ogni insieme infinito e limitato ha almeno un punto (completare l enunciato e svolgere la dimostrazione) 3) Enunciare e dimostrare il teorema di Férmat sui punti di estremo locale Quesiti di tipo E ( esercizi ) ) Provare che la funzione 2 a) è uniformemente continua in ], 2[ b) non è uniformemente continua in ]0, ] 2) Calcolare l integrale indefinito ( sen 2 cos 2 ) cos (sen + ) 2 (sen 2) d 3) Studiare la funzione reale di variabile reale e disegnarne il grafico f() = arctg

19 Anno Accademico 203/ 204 Corsi di Analisi Matematica I (Proff A Villani e F Faraci) Prova d Esame del giorno 7 marzo 204 Prima prova scritta (compito A) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito Rispondere ai seguenti quesiti Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 20 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti 2 per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data Tempo disponibile: 90 minuti ( ) ) Il dominio della funzione reale di variabile reale log log ( ) log ( ) è l insieme a) ] 4 3, + [ b) [ 4 3, + [ c) ], 7 2[ ] 2, + [ d) ] 2, + [ 2) Il derivato DE dell insieme E = ( ], 0] \ Z ) } 2n+( ) n n+ n+ : n N a) ], 0] b) ], 0], 3} c), 3} d) ], 0] 3} 3) La derivata della funzione arcsen 5 2 è uguale a a) 5 arcsen4 2 2 b) 5 2 arcsen4 2 c) cos 2 sen d) 5 2 arcsen4 2 4) Sia f : R R la funzione definita nel modo seguente: f() = Per quali c R esiste il limite lim c f()? a) e b), 0 e c) e d) solo 4 5) Il limite lim 2 4+sen 2 sen2 a) è uguale a 4 b) non esiste c) è uguale a + d) è uguale a 0 è l insieme arctg ( 2 4) se Q arctg 2 se R \ Q

20 6) Quali delle seguenti serie sono convergenti: () [ arcsen ] arcsen, (2) ( ) n n n n + n +, (3) ( ) π n+3 e +, (4) a) (2), (3) e (4) b) (), (3) e (4) c) solo (3) d) (3) e (4) ( ) n n +? arctg se < 0 7) Per ogni a R sia f a : R R la funzione definita nel modo seguente: f a () = a se 0 a + log se > Quali delle seguenti affermazioni è falsa? a) esistono infiniti valori di a per i quali il punto 0 = 0 è di massimo locale per f a b) esistono infiniti valori di a per cui f a è iniettiva c) la derivata f a(0) esiste solo se a = d) la funzione f a ha minimo assoluto soltanto se a ], π 2 ] 0} 8) Quali delle seguenti affermazioni riguardanti la funzione reale di variabile reale f() = (e ) è vera? a) f ha un asintoto orizzontale b) f ( ) = e c) il grafico di f ha un punto angoloso d) f è iniettiva 9) L integrale π 2 0 a) log 3 2 b) 3 log 2 c) 3 log 3 2 d) log cos 3 2+sen 3 d è uguale a 0) Sia f : R R La condizione La funzione 2 f() è derivabile nel punto 0 = 0 a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la funzione f sia derivabile in tale punto ) Quali tra le seguenti funzioni, definite in R, hanno primitive in R: e 2 e se > 0 () f () = 2 e se 0, (2) f 2() = se > 0 e se 0, a) (2), (3) e (4) b) (2) e (4) c) () e (4) d) solo (4) (3) f 3 () = se > 0 se 0, (4) f 4() = sen se 0 0 se = 0?

21 Anno Accademico 203/ 204 Corsi di Analisi Matematica I (Proff A Villani e F Faraci) Prova d Esame del giorno 7 marzo 204 Prima prova scritta (compito B) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito Rispondere ai seguenti quesiti Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 20 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti 2 per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data Tempo disponibile: 90 minuti ) Il dominio della funzione reale di variabile reale a) [ 4 9, + [ b) [ 4 9, [ 2 c) ] 3 2, [ 2 d) ], 4 ] 9] 3 2, [ 2 } 2) Il derivato DE dell insieme E = 2 n : n N} 2n+( ) n n+ n+ : n N a) 0,, 3} b) 3} c) 0} d) 0, 3} 3) La derivata della funzione arcsen 3 4 è uguale a a) cos 4 sen b) 6 arcsen2 4 4 c) 6 4 arcsen2 4 log ( ) ( ) log è l insieme è l insieme 3 d) arcsen2 4 4 e 2 se Q 4) Sia f : R R la funzione definita nel modo seguente: f() = e 3 2 se R \ Q Per quali c R esiste il limite lim f()? c a) e b) e c), e + d) solo 5) Il limite lim a) è uguale a 4 b) non esiste c) è uguale a d) è uguale a sen 4 2 sen 2

22 6) Quali delle seguenti serie sono convergenti: () ( ) n cos n, (2) [ cos ] n cos n + a) (2), (3) e (4) b) (), (2) e (3) c) solo (3) d) (2) e (3), (3) ( 2 ) n+4 2, (4) π tg n 3 +? arctg se < 0 7) Per ogni a R sia f a : R R la funzione definita nel modo seguente: f a () = a se 0 a + log se > Quali delle seguenti affermazioni è falsa? a) il punto 0 = è di minimo locale per f a se e soltanto se a 0 b) f a è limitata inferiormente per ogni a R c) la derivata f a(0) esiste solo se a = 0 oppure a = d) per ogni a R la retta di equazione y a = e e è tangente al grafico di f a 8) Quali delle seguenti affermazioni riguardanti la funzione reale di variabile reale f() = (e ) è vera? a) f ha un punto di minimo locale b) f () = 2 e c) f è derivabile in R d) f è convessa in R 9) L integrale π 2 0 a) 3 log 3 2 b) log c) 3 log 3 cos 3 2 sen 3 d) 3 (log 3 log 2) d è uguale a 0) Sia f : R R La condizione La funzione f() 2 + è derivabile nel punto 0 = 0 a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la funzione f sia derivabile in tale punto ) Quali tra le seguenti funzioni, definite in R, hanno primitive in R: e 2 e () f () = se > 0 e se 0, (2) f 2() = se > 0 e se 0, a) (), (2) e (3) b) () e (2) c) () e (4) d) solo () (3) f 3 () = se > 0 se 0, (4) f 4() = + sen se 0 0 se = 0?

23 Anno Accademico 203/ 204 Corsi di Analisi Matematica I (Proff A Villani e F Faraci) Prova d Esame del giorno 7 marzo 204 Prima prova scritta (compito C) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito Rispondere ai seguenti quesiti Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 20 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti 2 per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data Tempo disponibile: 90 minuti ( ) ) Il dominio della funzione reale di variabile reale log log ( ) log ( ) è l insieme a) ] 4 9, 2[ b) ] 4 9, + [ c) ] 7 2, 4 9[ d) ] 7 2, 2[ 2) Il derivato DE dell insieme E = a) 2, 2} b) [0, ] c) [0, ] 2, 2} ( ) d) [0, ] Q 2, 2} ( ) } [0, ] \ Q ( ) n 2n n+ : n N è l insieme 3) La derivata della funzione arcsen 4 3 è uguale a a) 6 arcsen3 3 3 b) 6 arcsen3 3 3 c) cos 3 sen d) 22 arcsen ) Sia f : R R la funzione definita nel modo seguente: f() = Per quali c R esiste il limite lim c f()? a) e 2 b) 2 e + c), 2 e + d) solo 2 5) Il limite lim a) è uguale a 4 b) non esiste c) è uguale a 0 d) è uguale a sen 4 2 sen 2 e 3 se Q e 2 +2 se R \ Q

24 6) Quali delle seguenti serie sono convergenti: [ ( ) ] 3 n+2 () n 2, (2) ( ) n log n + 4 n a) (2), (3) e (4) b) (), (2) e (3) c) solo () d) () e (2), (3) ( 2 n 2 n+ ), (4) ( ) n n 2 n 2 +? arctg se < 0 7) Per ogni a R sia f a : R R la funzione definita nel modo seguente: f a () = a se 0 a + log se > Quali delle seguenti affermazioni è falsa? a) il punto 0 = 0 è di massimo locale per f a se e soltanto se a 0 b) l insieme immagine f a (R) è un intervallo per ogni a R c) la derivata seconda f a (0) esiste per ogni a R d) esistono infiniti valori di a per cui la funzione f a ha minimo assoluto 8) Quali delle seguenti affermazioni riguardanti la funzione reale di variabile reale f() = (e ) è vera? a) f (log 2) = + log 2 b) f è derivabile due volte nel punto 0 = 0 c) f ha punti di flesso d) f è limitata inferiormente 9) L integrale log 9 0 a) 40 b) 2 log 80 c) log 5 d) log 00 e 2 e 2 +9 d è uguale a 0) Sia f : R R La condizione La funzione f è derivabile nel punto 0 = 0 a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la funzione f() sia derivabile in tale punto ) Quali tra le seguenti funzioni, definite in R, hanno primitive in R: e 2 e se > 0 () f () = 2 e se 0, (2) f 2() = se > 0 e se 0, (3) f 3 () = a) (2), (3) e (4) b) () e (4) c) (3) e (4) d) solo (4) log 2 se > 0 se 0, (4) f 4() = sen se 0 0 se = 0?

25 Anno Accademico 203/ 204 Corsi di Analisi Matematica I (Proff A Villani e F Faraci) Prova d Esame del giorno 7 marzo 204 Seconda prova scritta (compito A) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito Si possono consegnare al massimo due fogli a quadri in bella copia in entrambi devono essere apposti nome e cognome a stampatello e la firma del candidato Alla fine della prova il presente foglio deve essere riconsegnato debitamente compilato Rispondere ai seguenti quesiti Il requisito minimo per superare la prova, con la conferma del voto della prima prova scritta quale voto finale dell esame, è di rispondere in maniera corretta ad un quesito di tipo D e ad uno di tipo T Le ulteriori risposte corrette, se valutate positivamente, comportano un incremento del voto finale dell esame fino ad un massimo di tre punti Tempo disponibile: 90 minuti Quesiti di tipo D ( definizioni ) ) Scrivere una definizione di spazio metrico 2) Data una funzione f : E R (E R), dire che un punto 0 E è un punto di minimo assoluto per f vuol dire che (completare la definizione) 3) Sia a n } n N una successione di numeri reali Si dice che la serie n=0 a n è assolutamente convergente se (completare la definizione) Quesiti di tipo T ( teoremi ) ) Dimostrare che una funzione f : I R derivabile in un punto 0 I è anche continua in 0 2) Enunciare e dimostrare il teorema fondamentale del calcolo integrale 3) Enunciare e dimostrare il criterio della condensazione per le serie a termini positivi Quesiti di tipo E ( esercizi ) ) Provare che la funzione 2 a) è uniformemente continua in ]0, 2[ b) non è uniformemente continua in [0, + [ 2) Trovare una primitiva della funzione f() = 3+2 cos a) nell intervallo [0, π[ b) nell intervallo [0, 2π[ 3) Trovare tutti i valori di R per i quali la serie [ ] 2 n+ n! + n n n è convergente

26 Anno Accademico 203/ 204 Corsi di Analisi Matematica I (Proff A Villani e F Faraci) Prova d Esame del giorno 7 marzo 204 Seconda prova scritta (compito B) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito Si possono consegnare al massimo due fogli a quadri in bella copia in entrambi devono essere apposti nome e cognome a stampatello e la firma del candidato Alla fine della prova il presente foglio deve essere riconsegnato debitamente compilato Rispondere ai seguenti quesiti Il requisito minimo per superare la prova, con la conferma del voto della prima prova scritta quale voto finale dell esame, è di rispondere in maniera corretta ad un quesito di tipo D e ad uno di tipo T Le ulteriori risposte corrette, se valutate positivamente, comportano un incremento del voto finale dell esame fino ad un massimo di tre punti Tempo disponibile: 90 minuti Quesiti di tipo D ( definizioni ) ) Scrivere una definizione di spazio metrico 2) Data una funzione f : E R (E R), dire che un punto 0 E è un punto di minimo locale per f vuol dire che (completare la definizione) 3) Sia a n } n N una successione di numeri reali Si dice che la successione a n } n N è una successione di Cauchy se (completare la definizione) Quesiti di tipo T ( teoremi ) ) Enunciare e dimostrare il teorema di unicità del limite di una successione 2) Provare che una funzione monotona f : [a, b] R è integrabile secondo Riemann 3) Enunciare e dimostrare il criterio della condensazione per le serie a termini positivi Quesiti di tipo E ( esercizi ) ) Provare che la funzione 5 a) è uniformemente continua in [0, 2[ b) non è uniformemente continua in [0, + [ 2) Trovare una primitiva della funzione f() = 3 2 cos a) nell intervallo [0, π[ b) nell intervallo [0, 2π[ 3) Trovare tutti i valori di R per i quali la serie [ ] n+ ( )n n + n è convergente

27 Anno Accademico 203/ 204 Corsi di Analisi Matematica I (Proff A Villani e F Faraci) Prova d Esame del giorno aprile 204 Prima prova scritta (compito A) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito Rispondere ai seguenti quesiti Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 20 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti 2 per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data Tempo disponibile: 90 minuti ) Il dominio della funzione reale di variabile reale log a) [ 2, 3[ ], 8 3] b) ], 8 3] c) ] 2, 3[ ], 8 3[ d) [ 2, 8 3] è l insieme 2) Il derivato DE dell insieme E = ( ], 0] \ Z ) } 2n+( ) n n+2 n+ : n N è l insieme a) ], 0] b) ], 0], 3} c), 3} d) ], 0] 3} 3) La derivata della funzione arcsen 5 4 è uguale a a) 0 arcsen4 4 4 b) 5 arcsen4 4 4 c) cos 4 sen d) 0 arcsen4 4 4 ( 2 4 ) se Q 4) Sia f : R R la funzione definita nel modo seguente: f() = 22 se R \ Q Per quali c R esiste il limite lim f()? c a) e b), 0 e c) e d) solo 4 5) Il limite lim 2 4+cos 4 arcsen 2 a) è uguale a 4 b) è uguale a 0 c) è uguale a + d) non esiste

28 6) Quali delle seguenti serie sono convergenti: () n arcsen, (2) ( ) n arcsen n a) (2), (3) e (4) b) (), (3) e (4) c) solo (3) d) (3) e (4) n n +, (3) 5 n (n + )!, (4) ( ) n n + 3? arctg 3 se < 0 7) Per ogni a R sia f a : R R la funzione definita nel modo seguente: f a () = a se 0 a + log se > Quali delle seguenti affermazioni è falsa? a) esistono infiniti valori di a per i quali il punto 0 = 0 è di massimo locale per f a b) esistono infiniti valori di a per cui f a è iniettiva c) la derivata f a(0) esiste solo se a = 0 d) la funzione f a ha minimo assoluto se a ], π 2 ] 8) Quali delle seguenti affermazioni riguardanti la funzione reale di variabile reale f() = + e è vera? a) f ha un asintoto orizzontale b) f ( ) = e c) il grafico di f ha un punto angoloso d) f è iniettiva 9) L integrale indefinito e 4 sen 5e d è uguale a a) [ 5 y3 cos 5y 3 5 y 2 cos 5y dy ] y= e b) [ 5 y3 cos 5y y2 sen 5y 6 ] 25 y sen 5y dy c) [ y 4 sen 5y dy ] y= e d) [ 5 y3 cos 5y y2 sen 5y 3 25 y sen 5y dy ] y= e y= e 0) Sia f : R R La condizione La funzione 2 + f() è derivabile nel punto 0 = 0 a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la funzione f sia derivabile in tale punto ) Quali tra le seguenti funzioni, definite in R, hanno primitive in R: () f () = e se > se 0, (2) f se 0 2() = e se < 0, sen (3) f 3 () = se 0 sen 0 se = 0, (4) f 4() = se 0 se = 0 a) (2), (3) e (4) b) (2) e (3) c) (2) e (4) d) solo (3)?

29 Anno Accademico 203/ 204 Corsi di Analisi Matematica I (Proff A Villani e F Faraci) Prova d Esame del giorno aprile 204 Prima prova scritta (compito B) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito Rispondere ai seguenti quesiti Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 20 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti 2 per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data Tempo disponibile: 90 minuti ) Il dominio della funzione reale di variabile reale log a) [ 2, 3[ b) ] 6, 7 2] [ 2, 3[ c) ] 6, 2] d) ] 6, 7 2[ ] 2, 3[ è l insieme } 2) Il derivato DE dell insieme E = 2 n : n N} 2n+( ) n n+2 n+ : n N è l insieme a) 0,, 3} b) 3} c) 0} d) 0, 3} 3) La derivata della funzione arcsen 4 5 è uguale a a) cos 5 sen b) 0 arcsen3 5 5 c) 0 arcsen d) 202 arcsen se Q 4) Sia f : R R la funzione definita nel modo seguente: f() = ( 3) 3 2 se R \ Q Per quali c R esiste il limite lim f()? c a) e b), e + c) e d) solo 4 5) Il limite lim arcsen 4+cos a) è uguale a 0 b) non esiste c) è uguale a d) è uguale a 4

30 6) Quali delle seguenti serie sono convergenti: () ( ) n 2 n [, (2) cos ] cos, (3) n n + a) (2), (3) e (4) b) (), (2) e (3) c) solo (3) d) (2) e (3) ( 2 ) n+4 3, (4) 5 tg? n + arctg 3 se < 0 7) Per ogni a R sia f a : R R la funzione definita nel modo seguente: f a () = a se 0 a + log se > Quali delle seguenti affermazioni è falsa? a) il punto 0 = è di minimo locale per f a se e soltanto se a 0 b) f a è limitata inferiormente per ogni a R c) esistono valori di a per cui f a è derivabile in tutto R d) esistono infiniti valori di a per cui l equazione f a () = 0 ha due soluzioni 8) Quali delle seguenti affermazioni riguardanti la funzione reale di variabile reale f() = + e è vera? a) f non ha punti di estremo locale b) f () = + e c) f è derivabile in R d) f è convessa in R 9) L integrale indefinito 7 cos 4 2 d è uguale a a) [ 2 4 y3 sen 4y y2 cos 4y 3 ] 8 y cos 4y dy 8 sen 42 + c c) [ 2 y 3 sen 4y 3 4 y 2 sen 4y dy ] y= 2 d) [ 2 4 y3 sen 4y y2 cos 4y 3 ] 8 y cos 4y dy b) 7 7 y= 2 y= 2 0) Sia f : R R La condizione La funzione [f()] 3 è derivabile nel punto 0 = 0 a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la funzione f sia derivabile in tale punto ) Quali tra le seguenti funzioni, definite in R, hanno primitive in R: sen se > 0 () f () = 2 se 0, (2) f + sen 2() = se > 0 (3) f 3 () = a) (), (2) e (3) b) () e (3) c) (3) e (4) d) solo () sen 2 se 0 0 se = 0, (4) f 4() = 2 se 0, cos 2 se 0? 0 se = 0

31 Anno Accademico 203/ 204 Corsi di Analisi Matematica I (Proff A Villani e F Faraci) Prova d Esame del giorno aprile 204 Prima prova scritta (compito C) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito Rispondere ai seguenti quesiti Il punteggio viene attribuito nel modo seguente: punti 20 se vi sono almeno cinque risposte corrette punti 2 per ciascuna risposta esatta in aggiunta alle prime cinque punti - per ciascuna risposta errata punti 0 per ogni risposta non data Tempo disponibile: 90 minuti ) Il dominio della funzione reale di variabile reale log a) [, 2[ ] 3 2, 8] b) ], 2[ c) ], 8[ d) ], 2[ ] 3 2, 8[ 2) Il derivato DE dell insieme E = a) e, e} b) [0, ] c) [0, ] e, e} ( ) d) [0, ] Q e, e} ( ) [0, ] \ Q 3) La derivata della funzione arcsen 5 6 è uguale a a) 5 arcsen4 6 6 b) 52 arcsen c) cos 6 sen d) 30 arcsen log 2 (9 2 7 ) è l insieme ( ) + ( ) n n n : n N +} è l insieme ( ) 3 4) Sia f : R R la funzione definita nel modo seguente: f() = 2 se Q se R \ Q Per quali c R esiste il limite lim f()? c a), 2 e + b) 2 e + c) e 2 d) solo 2 4 5) Il limite lim 2 arcsen 4+cos a) è uguale a 0 b) non esiste c) è uguale a 4 5 d) è uguale a 5

32 6) Quali delle seguenti serie sono convergenti: [ ( ) ] 3 n+2 () n, (2) ( ) n log n2 + 4 n 2, (3) ( 2 ) n ( ) n+, (4) 2 ( ) n n 2 n 2 +? a) (2), (3) e (4) b) (2) e (3) c) solo (2) d) () e (3) arctg 3 se < 0 7) Per ogni a R sia f a : R R la funzione definita nel modo seguente: f a () = a se 0 a + log se > Quali delle seguenti affermazioni è falsa? a) il punto 0 = 0 è di massimo locale per f a se e soltanto se a 0 b) l insieme immagine f a (R) è un intervallo per ogni a R c) la derivata seconda f a (0) esiste per ogni a R d) per ogni y R esistono valori di a per cui l equazione f a () = y ha soluzioni 8) Quali delle seguenti affermazioni riguardanti la funzione reale di variabile reale f() = + e è vera? a) esiste c R per cui l equazione f() = c ha tre soluzioni distinte b) f è derivabile due volte nel punto 0 = 0 c) f ha punti di flesso d) f è limitata inferiormente 9) L integrale indefinito 7 sen 3 2 d è uguale a [ a) cos 32] + c b) [ 6 y3 cos 3y + ( 3 y 2 sen 3y + 2y sen 3y dy )] y= 2 c) [ 6 y3 cos 3y + 2 y 2 cos 3y dy ] y= 2 d) [ 6 y3 cos 3y y 2 cos 3y dy ] y= 2 0) Sia f : R R La condizione La funzione 3 f() è derivabile nel punto 0 = 0 a) è necessaria e sufficiente b) è necessaria ma non sufficiente c) è sufficiente ma non necessaria d) non è né necessaria né sufficiente affinché la funzione f sia derivabile in tale punto ) Quali tra le seguenti funzioni, definite in R, hanno primitive in R: e sen () f () = se > 0 cos 2 se 0, (2) f e cos 2() = se > 0 sen 2 se 0, 2 + log se > 0 (3) f 3 () = sen se 0, (4) f 2 log se > 0 4() =? sen se 0 a) (2), (3) e (4) b) () e (4) c) (3) e (4) d) solo (4)

33 Anno Accademico 203/ 204 Corsi di Analisi Matematica I (Proff A Villani e F Faraci) Prova d Esame del giorno aprile 204 Seconda prova scritta (compito A) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito Si possono consegnare al massimo due fogli a quadri in bella copia in entrambi devono essere apposti nome e cognome a stampatello e la firma del candidato Alla fine della prova il presente foglio deve essere riconsegnato debitamente compilato Rispondere ai seguenti quesiti Il requisito minimo per superare la prova, con la conferma del voto della prima prova scritta quale voto finale dell esame, è di rispondere in maniera corretta ad un quesito di tipo D e ad uno di tipo T Le ulteriori risposte corrette, se valutate positivamente, comportano un incremento del voto finale dell esame fino ad un massimo di tre punti Tempo disponibile: 90 minuti Quesiti di tipo D ( definizioni ) ) Scrivere una definizione di spazio metrico 2) Data una funzione f : E R (E R), dire che un punto 0 E è un punto di minimo assoluto per f vuol dire che (completare la definizione) 3) Sia E R Si dice che un punto c R è di accumulazione per l insieme E se (completare la definizione) Quesiti di tipo T ( teoremi ) ) Enunciare e dimostrare il teorema sul limite di una successione crescente 2) Mostrare un esempio di funzione f : [a, b] R limitata e non integrabile secondo Riemann 3) Enunciare e dimostrare il criterio della condensazione per le serie a termini positivi Quesiti di tipo E ( esercizi ) ) Provare che la funzione 2 a) è uniformemente continua in ], [ b) non è uniformemente continua in ], 0] 2) Trovare una primitiva della funzione f() = 3+2 cos a) nell intervallo [0, π[ b) nell intervallo [0, 2π[ 3) Trovare tutti i valori di R per i quali la serie [ ] 2 n+ n! + n n+ n + è convergente

34 Anno Accademico 203/ 204 Corsi di Analisi Matematica I (Proff A Villani e F Faraci) Prova d Esame del giorno aprile 204 Seconda prova scritta (compito B) Non sono consentiti formulari, appunti, libri e calcolatori non è consentito comunicare con i colleghi ogni mezzo di comunicazione elettronico deve essere tenuto dall aula prima di avere consegnato definitivamente il compito Si possono consegnare al massimo due fogli a quadri in bella copia in entrambi devono essere apposti nome e cognome a stampatello e la firma del candidato Alla fine della prova il presente foglio deve essere riconsegnato debitamente compilato Rispondere ai seguenti quesiti Il requisito minimo per superare la prova, con la conferma del voto della prima prova scritta quale voto finale dell esame, è di rispondere in maniera corretta ad un quesito di tipo D e ad uno di tipo T Le ulteriori risposte corrette, se valutate positivamente, comportano un incremento del voto finale dell esame fino ad un massimo di tre punti Tempo disponibile: 90 minuti Quesiti di tipo D ( definizioni ) ) Scrivere una definizione di spazio metrico 2) Sia a n } n N una successione di numeri reali Si dice che la serie n=0 a n è convergente se (completare la definizione) 3) Sia E R Si dice che un punto c R è di frontiera per l insieme E se (completare la definizione) Quesiti di tipo T ( teoremi ) ) Enunciare e dimostrare il teorema sul limite di una successione decrescente 2) Enunciare e dimostrare il teorema di derivazione di una funzione composta 3) Enunciare e dimostrare il criterio della condensazione per le serie a termini positivi Quesiti di tipo E ( esercizi ) ) Provare che la funzione a) è uniformemente continua in ] 2, [ b) non è uniformemente continua in ] 2, 0[ 2) Trovare una primitiva della funzione f() = 3 2 cos a) nell intervallo [0, π[ b) nell intervallo [0, 2π[ 3) Trovare tutti i valori di R per i quali la serie [ ] n n ( )n n è convergente