Durata della prova: 3h. 2 +y 4. tan y sin y lim = 1. (x 4 +y 2 )y 3

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1 Università degli Studi di Napoli Federico II Corso di Laurea in Matematica Analisi Matematica II (Gruppo ), A.A. 22/3 Prova scritta del 28 gennaio 23 Durata della prova: 3h. sercizio (8 punti). Si consideri la funzione f : R 2 R definita da (x 4 +y 2 )(tan(y) sin(y)) se (x, y) (, ), x f(x, y) = 2 +y 4 se (x, y) = (, ). Studiare la continuità e la differenziabilità di f. Soluzione. f è continua in R 2 \ (, )} in quanto rapporto di funzioni continue. La differenziabilità in R 2 \ (, )} segue da Teorema del Differenziale. Per studiare la continuità in (, ) si osservi che Considero la funzione g(x, y) = Siccome su R 2 \ y = } si ha tan y sin y lim = (x,y) (,) y 3 2. (x 4 +y 2 )y 3 x 2 +y 4 se (x, y) (, ), se (x, y) = (, ). tan y sin y f(x, y) = g(x, y), y 3 per verificare la continuità di f in (, ) basta studiare la continuità di g in (, ) e quella di f su y = }. La seconda è immediata. Per quanto riguarda la prima si ha: g(x, y) x 4 y 3 x 2 + y 4 + y 5 x 2 + y 4 x3 y xy 2 x 2 + y 4 + y 5 y 4 2 x3 y + y, da cui segue quanto affermato. La funzione non è differenziabile in (, ). Per prima cosa calcoliamo la derivata direzionale nella direzione del versore v = (v, v 2 ): f f(tv, tv 2 ) f(, ) (, ) = lim v t t = se v, se v 2 =.

2 Da questo segue che (a parte nelle direzioni degli assi) f(, ) v f (, ), v quindi la funzione non può essere differenziabile. sercizio 2 ( punti). Sia G = (x, y) R 2 : x 4 y 4 =, x }. Calcolare [ ] [ ] inf, sup. (x,y) G y 8x (x,y) G y 8x Determinare inoltre gli eventuali punti di minimo e massimo (assoluto). Soluzione. Per semplificare i calcoli studiamo il reciproco della funzione considerata. Sia quindi f(x, y) = y 8x, g(x, y) = x 4 y 4. Si osservi che G è il sottoinsieme dell unione dei grafici di h (x) = 4 x 4 e h 2 (x) = 4 x 4 nel I e IV quadrante (disegnare G). Si osservi inoltre che quindi lim f(x, h (x)) = lim f(x, h 2(x)) =, x + x + inf f(x, y) =. (x,y) G Per calcolare l estremo superiore di f che a questo punto deve essere un massimo cerchiamo gli estremi relativi di f su G con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Si deve avere f(x, y) = λ g(x, y), da cui 8 = λ4x 3, = λ4y 3. Da questa segue che y = x/8. Un estremo relativo dovrà quindi soddisfare y = 8 x, x 4 y 4 =, x, 2

3 da cui e Si ha quindi: x = y = 4, 5 ( 2 max f(x, y) = f 4, (x,y) G 5 [ ] min (x,y) G y 8x = Il minimo è assunto in ( 2 4 5, 4 5 ). ) 4 = [ ] 5 5, sup (x,y) G y 8x =. Soluzione 2. Un modo alternativo di affrontare l esercizio è quello effettuare lo studio di funzione delle funzioni di una variabile i (x) := f(x, h (x)), i 2 (x) := f(x, h 2 (x)), determinandone sup e inf (e i punti dove sono eventualmente assunti). sercizio 3 ( punti). Calcolare le coordinate del baricentro della regione racchiusa dalla curva di equazione (in coordinate polari) ρ = sin θ cos θ. Soluzione. Chiamiamo Ω la regione racchiusa dalla curva. Osserviamo che siccome ρ, si deve avere θ [, π/2]. Inoltre, siccome sin(π/2 θ) = cos θ e cos(π/2 θ) = sin θ la curva considerata è simmetrica rispetto alla retta y = x che deve quindi contenere il baricentro. È quindi sufficiente calcolare solo la prima componente del baricentro (essendo l altra uguale). Ricordiamo che la prima componente del baricentro è data da xdxdy Ω. Ω La formula di Gauss-Green ci da che Ω = ydx, xdxdy = Ω + Ω Ω 2 x2 dy. + In coordinate cartesiane la curva è parametrizzata da: x(t) = (sin t cos t) cos t = sin t cos 2 t y(t) = (sin t cos t) sin t = sin 2 t cos t. 3

4 L area della regione è quindi data da π/2 Ω = ydx = sin 2 t cos 2 t(cos 2 t 2 sin 2 t)dt = Ω + π/2 = sin2 (2t) 3 cos(2t) dt = 4 2 = 3 8 Abbiamo inoltre xdxdy = Ω in quanto = π/2 Ω + π/2 cos(2t) sin 2 (2t)dt x2 dy = 2 π/2 π/2 sin 2 (2t)dt = π 32. sin 2 t cos 4 t(2 sin cos 2 t 2 sin 3 t)dt = sin t[2 cos 6 t 3 2 cos8 t 2 cos4 t]dt = 2 5, sin 3 t cos 6 t = sin t( cos 2 t) cos 6 t, sin 5 t cos 4 = sin t( cos 2 t) 2 cos 4 t. Il baricentro è quindi il punto ( 64π 5, 64π 5 ). sercizio 4 (8 punti). Calcolare x 7 cos y + x + 2y + sin y x + 2 dxdy, dove è il sottoinsieme di R 2 delimitato dalle curve di equazione y = x2 +, y = x 2 + e dalle rette di equazione x =, x =. Suggerimento: osservare la simmetria della funzione integranda e dell insieme di integrazione. Soluzione. L insieme di integrazione è = (x, y) R 2 : x, x 2 + y x 2 + }. è simmetrico sia rispetto all asse x che rispetto all asse y. Scriviamo la funzione integranda come f + g dove f(x, y) = x 7 cos y + x, Siccome f( x, y) = f(x, y) si ha f(x, y)dxdy = x } 4 g(x, y) = 2y + sin y x + 2. x } f(x, y)dxdy.

5 Per vedere questo basta considerare il cambiamento di variabili T : x } x } dato da T (x, y) = ( x, y). Per la formula di cambiamento delle variabili: f(x, y)dxdy = f(t (x, y)) det DT (x, y) dxdy = x } T ( x }) = f( x, y)dxdy = f(x, y)dxdy x } x } Siccome g(x, y) = g(x, y) si ha (in modo analogo) g(x, y)dxdy = g(x, y)dxdy. y } y } Segue che il calcolo dell integrale proposto si riduce a quello dell integrale dxdy. Dalla formula di riduzione per integrali doppi si ha [ ] +x 2 dxdy = dy dx = +x 2 Una primitiva di + x 2 è data da (vedi sercizi 9) 2 x + x log(x + x 2 + ). L integrale proposto è quindi dato da dxdy = log( + 2). 2 + x 2 dx. 5