11. Le funzioni composte

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1 . Le funzioni composte Definizione Date le due funzioni f A B e g D C, dove f[ A] D, si dice funzione composta di f e g la funzione h A C che ad ogni elemento a Afa corrispondere l elemento g(()) f a Ce si scrive g f cioè f)() a = g(()) f a ) Notare che fare g f non è lo stesso che fare f ) Se il codominio di f non è un sottoinsieme del dominio di g, non è possibile calcolare g f. g Esempio 5 Date le funzioni si calcolino g f ed f g. f( ) = g() = Abbiamo f R R g R R f. L operazione si può eseguire dato che il codominio di f, Calcoliamo g dominio di g, anzi in questo caso coincide esattamente con esso R, è un sottoinsieme del f)() = g(()) f = = (dar in R ) Calcoliamo f g. Anche questa operazione si può eseguire dato che il codominio di g è un sottoinsieme del dominio di f ( R R), quindi ( f g)( ) = f(( g )) = ( ) = (da R in R ) Esempio 6 Siano date le due funzioni f e g di cui si sa che = f(4) = f(6) = f( ) = 7 g(6) = 5 g( ) = 4 g(7) = g() = Calcolare f)( ) ;( g f )( ) ;( g f)(4) ;( g f )() Risposta f)( ) = g(( f )) = g(7) = f )( ) = g( f ( )) = g(6) = 5 ( g f)(4) = ( g ((4)) f = ( g ()) = 7 ( g f )() = g ( f ()) = g (4) =

2 Esempio 7 Date le funzioni si calcolino g f ed f g. f R R f( ) = g R R g( ) = Calcoliamo g f. L operazione non si può eseguire dato che il codominio di f, R, non è un sottoinsieme del dominio di g, R. Pertanto non esisteg f. Se volessimo calcolarla dovremmo restringerci alla regione > 0, cioè f R [ ; ) f( ) = f)( ) = g(()) f = f( ) = (da[ ; ) a R ) Calcoliamo f g. Questa operazione si può eseguire in quanto il codominio di g è un sottoinsieme del dominio di f, anzi vi coincide, quindi ( f g)( ) = f(( g )) = ( ) = (da R a R ) Tomo A p.48 n. 8, p.49 n. 8(composte). Le funzioni pari e Definizione una funzione f A B si dice se f( ) = f( ), si dice pari se f( ) = f( ). Una funzione che non sia né pari né si dice che non ha parità definita = f( ) f( ) si dice se f(- ) = si dice pari se f( ) = ) Attenzione quindi a non dire che le funzioni si dividono in pari o. ) Le funzioni sono simmetriche rispetto all origine, cioè comunque preso un punto P appartenente al grafico di f( ), se ne può trovare un altro P, sempre appartenente al grafico, tale che l origine degli assi è il punto medio del segmento PP. 4

3 ) Le funzioni pari sono simmetriche rispetto all asse delle ordinate, cioè comunque preso un punto P appartenente al grafico di f( ), se ne può trovare un altro P, sempre appartenente al grafico, tale che la retta = 0 è asse del segmento PP. 4) Delle funzioni trigonometriche cos è pari, mentre sin ed tan sono. Fra le trigonometriche inverse hanno parità definita solo arcsin ed arctan e sono entrambe. 5) Per la parità delle funzioni vale un algebra simile a quella dei numeri relativi. Il prodotto di due funzioni pari è ancora una funzione pari, il prodotto di una funzione pari per una funzione è una funzione, ed il prodotto di due funzioni è una funzione pari. P P P P Esempio 8 Trovare la parità delle funzione sin Calcoliamo f( ) sin( ) sin sin f( ) = = = = avendo utilizzato il fatto che il seno è, cioè sin( ) = sin. Poiché f( ) = f( ), si tratta di una funzione pari. La risposta poteva essere data osservando anche che f( ) è il prodotto di due funzioni f( ) = sin Esempio 9 Trovare la parità delle funzione 4 4 cos Calcoliamo f( ) ( ) 4 ( ) f( ) = = = ( ) cos( ) cos avendo utilizzato la parità del coseno, cioè cos( ) = cos. Poiché f( ) =, si tratta di una funzione. La risposta poteva essere data osservando anche che f( ) è il prodotto di una funzione pari per una 5

4 4 4 f( ) = cos pari Esempio 0 Trovare la parità delle funzione 5 Calcoliamo f( ) f( ) = 5 ( ) = 5 Poiché il risultato ottenuto non è né uguale ad f( ) né uguale a, la funzione non ha parità definita. Esempio Trovare la parità delle funzione Calcoliamo f( ) 4sin 4sin( ) 4sin 4sin f( ) = = = = ( ) ( ) avendo utilizzato il fatto che il seno è, cioè sin( ) = sin. Poiché f( ) = f( ), si tratta di una funzione pari. La risposta poteva essere data osservando anche che f( ) è il prodotto di due funzioni f( ) = 4sin Esempio Trovare la parità delle funzione cossin Calcoliamo f( ) f( ) = cos( )sin( ) = cos ( sin ) = cossin = La funzione è pari, come si vede anche da f( ) = cos sin pari pari 6

5 Esempio Trovare la parità delle funzione 4 sin Calcoliamo f( ) 4 ( ) 4 ( ) f( ) = = = sin( ) sin è, infatti è il prodotto di una funzione pari per una 4 f( ) = pari sin Monotone, iniettive, suriettive, pari e Tomo A pp.- 7