RDefinizione (Funzione) . y. . x CAPITOLO 2

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1 CAPITOLO 2 Funzioni reali di variabile reale Nel capitolo precedente è stata introdotta la nozione generale di funzione f : A B, con A e B insiemi arbitrari. Nel presente capitolo si analizzeranno più in dettaglio le funzioni reali di variabile reale considerate come caso particolare della nozione generale di funzione. RDefinizione (Funzione) Siano X e Y sottoinsiemi di R. Si dice funzione reale di variabile reale un applicazione f : X Y che associa ad ogni valore X uno ed un solo valore y Y. f.. y X Y Figura 2.1 Rapprentazione grafica della funzione f : X Y. La variabile X è detta indipendente mentre y = f () è detta variabile dipendente. Si ricorda che l insieme X è detto dominio di f e rappresenta il sottoinsieme di R per cui la legge f () ha significato. L immagine di X tramite f, indicata con f (X ), è invece rappresentata da tutti quei valori y Y che, attraverso l applicazione f, provengono da qualche X : f (X ) = {y Y y = f () X }, 38

2 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 39 ed è detta anche codominio della funzione. Il grafico G f dell applicazione f è invece quel sottoinsieme di R 2 costituito da tutte le coppie (, y) tali che y = f (), X : G f = {(, y) R 2 ( X ) (y = f ())}. "Osservazione Se si conviene di rappresentare gli elementi del grafico dell applicazione f come punti del piano cartesiano, il grafico stesso sarà rappresentabile, in generale, come una curva del piano. y y a b Figura 2.2 Un esempio di curva che è un grafico di una funzione (a) e di curva che non rappresenta il grafico di una funzione (b). "Osservazione Dall analisi del grafico di una funzione si può stabilire se essa risulta iniettiva e/o suriettiva. In effetti, se ogni retta parallela all asse delle ascisse (di equazione y = k, k R) interseca il grafico della funzione al più in un punto, la funzione risulterà iniettiva perchè ogni valore k proviene, al più, da un solo appartenente al dominio della funzione. Se invece ogni retta parallela all asse delle ascisse di equazione y = k, k Y interseca almeno in un punto il grafico della funzione essa sarà suriettiva siccome ogni y Y proverrà da qualche X.

3 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 40 f() f() y = k y = k a b Figura 2.3 Un esempio di funzione iniettiva (a) e di funzione non iniettiva (b). f() Y y=k X Figura 2.4 Un esempio di funzione non suriettiva.

4 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE Funzioni monotòne Sia data la funzione RDefinizione (Monotonia) Se per ogni 1, 2 X, con 1 < 2 risulta f : X Y. f ( 1 ) < f ( 2 ) si dice che la funzione f è monotòna crescente; se f ( 1 ) f ( 2 ) si dice che la funzione f è monotòna non decrescente (o monotòna crescente in senso largo); se f ( 1 ) > f ( 2 ) si dice che la funzione f è monotòna decrescente; se f ( 1 ) f ( 2 ) si dice che la funzione f è monotòna non crescente (o monotòna decrescente in senso largo). "Osservazione Le funzioni crescenti o decrescenti si dicono anche strettamente monotòne. Tali funzioni risultano essere sempre iniettive. f() f() a b Figura 2.5 Un esempio di funzione crescente (a) e di funzione non decrescente (b).

5 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 42 f() f() a b Figura 2.6 Un esempio di funzione decrescente (a) e di funzione non crescente (b). 2.2 Funzioni pari e dispari Sia data la funzione f : X Y e si supponga che il dominio X sia un insieme simmetrico rispetto l origine cioè se X allora risulta anche che il suo opposto X. RDefinizione (Funzioni pari e dispari) La funzione f () si dice pari se risulta mentre sarà detta dispari se risulta f ( ) = f (), X f ( ) = f (), X.

6 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 43 Figura 2.7 Un esempio di funzione pari (a) e dispari (b). " Osservazione Come si può osservare dalla figura 2.7, il grafico di una funzione pari risulta essere simmetrico rispetto l asse delle ordinate mentre quello di una funzione dispari risulta essere simmetrico rispetto l origine. EEsempio 2.1 Le funzioni 1. f () = sono pari visto che risulta, in tutti i casi, f ( ) = f (). EEsempio 2.2 Le funzioni 1. f () = f () = f () = sono dispari risultando, in ogni caso, f ( ) = f ().

7 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE Funzioni invertibili Sia data la funzione RDefinizione (Funzione invertibile) f : X Y. La funzione f si dice invertibile se (il simbolo! si legge esiste ed è unico ) y f (X )! X y = f (). Si dice che X è la controimmagine di y = f () f (X ) e si usa la notazione La funzione = f 1 (y). f 1 : f (X ) X si chiama funzione inversa di f. Il dominio della funzione inversa ha f (X ) come dominio e X come codominio o, in altre parole, f 1 (f (X )) = X. f y=f() f 1 Figura 2.8 Rappresentazione grafica della funzione f e della sua inversa f 1. "Osservazione Si ha:

8 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE Condizione necessaria e sufficiente per l invertibilità è l iniettività 2. La stretta monotonia è sufficiente per l invertibilità 3. La stretta monotonia non è necessaria per l invertibilità: si consideri ad esempio la funzione seguente f () = { se se < 0 è invertibile essendo iniettiva ma non è strettamente monotòna (è crescente se < 0 ed è decrescente se 0.) f() Figura 2.9 Un esempio di funzione invertibile non monotòna Grafico della funzione inversa Noto il grafico della funzione invertibile f, è possibile costruire immediatamente il grafico della funzione inversa f 1. Si osservi, infatti, che il grafico di y = f () è identico al grafico di = f 1 (y) se si rappresenta la variabile indipendente y sull asse delle ordinate e la variabile dipendente sull asse delle ascisse. Volendo rappresentare, come convenuto precedentemente, il grafico di una funzione utilizzando l asse delle ascisse per i valori della variabile indipendente e quello delle ordinate per la variabile dipendente, è sufficiente (si veda la figura 2.10) riflettere il grafico di y = f () simmetricamente rispetto la bisettrice del primo quadrante.

9 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 46 Figura 2.10 Il grafico di f 1 (linea tratteggiata) ottenuto a partire dal grafico di f (linea continua). 2.4 Funzioni elementari Con funzioni elementari si intende la classe delle funzioni più semplici attraverso le quali descrivere il legame tra la variabile indipendente e la variabile dipendente y. In quanto segue si accennerà anche al possibile uso di tali relazioni in ambito economico Funzione costante La funzione costante f () = k, k R è rappresentabile come una retta orizzontale parallela all asse delle ascisse del piano cartesiano f() y = k Figura 2.11 Grafico della funzione costante y = k.

10 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 47 Il dominio di tale funzione è l insieme dei numeri reali mentre l immagine è rappresentata dal solo punto {k}. Essa non è iniettiva (associa, in effetti, ad ogni R lo stesso valore y = k) e, quindi, non è invertibile. Vista come funzione da R a R non è nemmeno suriettiva in quanto esistono infiniti elementi (più precisamente R\{k}) che non sono immagine di alcun punto del dominio. "Osservazione La funzione costante non è crescente né decrescente. Essa può, tuttavia, essere considerata contemporaneamente crescente e decrescente in senso largo Funzione lineare affine La funzione f () = a + b a,b R, è detta funzione lineare affine. Tale funzione è rappresentabile sul piano cartesiano tramite una retta. Per tracciare tale retta è sufficiente consocere due punti del grafico (si ricordi che per due punti passa una ed una sola retta ). Ad esempio si possono considerare i punti di ascissa = 0 e = 1. Per = 0 si ottiene y = b mentre per = 1 si ottiene y = a + b. Risultano così individuati due punti del grafico di f : (0,b) e (1, a + b). f() a > 0 f() a < 0 b b Figura 2.12 Grafico della funzione lineare affine Dominio e codominio di f () coincidono con l insieme dei numeri reali R (si veda figura 2.12). La funzione è iniettiva (ogni retta parallela all asse delle ascisse incontra il grafico di f una sola volta) e suriettiva (ogni retta parallela all asse delle ascisse incontra il grafico di f almeno una volta) e, quindi, invertibile. Essa è crescente se a > 0 mentre è decrescente se a < 0. Il parametro a è noto come coefficiente angolare della retta e rappresenta la pendenza della retta stessa: a = tanθ, dove θ è l angolo che la retta forma con l asse delle ascisse: acuto se a > 0, ottuso se a < 0.

11 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 48 f() a=tan θ θ Figura 2.13 Il legame tra il coefficiente angolare a e la pendenza della retta a + b. "Osservazione Se il coefficiente angolare a = 0 la funzione affine degenera nella funzione costante f () = b. Se, invece, b = 0, la funzione affine f () = a è detta lineare Alcuni modelli (economici) affini Se per produrre un unità di un certo bene il costo sostenuto è pari a m (noto anche come costo marginale) per produrre unità di tale bene occorrerà impiegare la somma m. In presenza dei costi fissi (indipendenti cioè dalla quantità di bene prodotta e presenti anche se tale quantità è nulla 1 ) la funzione costo C () potrà essere espressa come C () = m + q, avendo indicato con q l ammontare dei costi fissi Se si indica con r il ricavo ottenuto dalla vendita di un unità di un certo bene (noto anche come ricavo marginale) la funzione R() = r rappresenterà il ricavo ottenuto dalla vendità della quantità del bene in questione 1 Si pensi ad esempio al costo dovuto all acquisto o al noleggio di una apparecchiatura.

12 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 49 Se i costi per la produzione e i ricavi ottenuti dalla vendita di un certo bene sono le funzioni affini descritte in precedenza, anche la funzione guadagno G = R C risulterà essere affine: G() = r (m + q) = (r m) q. La grandezza r m è nota come guadagno marginale La quantità D domandata di un certo bene può essere vista come funzione del prezzo p dell unità del bene stesso: D = D(p). Tale quantità è spesso descritta come funzione affine del prezzo p : D(p) = ap + b. La grandezza a rappresenta la variazione della domanda per variazione unitaria del prezzo: D(p + 1) D(p) = a(p + 1) + b (ap + b) = a. Siccome, in generale, si può supporre che all aumentare del prezzo di un bene dimuisca la relativa domanda, la domanda marginale a è rappresentata da un numero negativo. Il parametro b può invece essere interpretato come la quantità domandata del bene in questione quando questo venga offerto gratuitamente (cioè con p = 0): D(0) = a 0 + b = b La quantità O offerta di un certo bene può essere vista come funzione del prezzo p dell unità del bene stesso: O = O (p). Anch essa, spesso, è descritta come funzione affine del prezzo p : O (p) = cp + d. La grandezza c rappresenta la variazione dell offerta per variazione unitaria del prezzo: O (p + 1) O (p) = c(p + 1) + d (cp + d) = c. In generale, si può supporre che all aumentare del prezzo di un bene aumenti la relativa offerta: l offerta marginale c è rappresentata da un numero positivo. Il parametro d può invece essere interpretato come la quantità offerta del bene in questione quando questo abbia prezzo nullo : O (0) = c 0 + d = d. Il prezzo p del bene in corrispondenza del quale domanda e offerta coincidono (cioè quel prezzo tale che D(p ) = O (p )) si chiama prezzo di equilibrio domanda-offerta ed è determinabile come ascissa del punto di intersezione dei grafici delle funzioni domanda e offerta.

13 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE Funzione quadratica La funzione f () = a 2 + b + c è detta funzione quadratica. Tale funzione è rappresentabile sul piano cartesiano tramite una parabola. Per tracciare il grafico di tale parabola è sufficiente conoscere il vertice, l intersezione con l asse delle ordinate e le eventuali intersezioni con l asse delle ascisse. Queste ultime sono determinate dalla soluzione dell equazione a 2 + b + c = 0, determinabili tramite la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado: 1,2 = b ± b 2 4ac. 2a Chiaramente tali intersezioni esistono se e solo se risulta 0, avendo posto = b 2 4ac. In caso contrario, infatti, l estrazione della radice quadrata non darebbe un numero reale. Il punto di intersezione della parabola con l asse delle ordinate risulta essere (0,c) mentre il vertice ha coordinate ( b 2a, 4a ). Se a > 0 la parabola avrà concavità rivolta verso l alto mentre se a < 0 la parabola risulterà concava verso il basso. f() f() c c b 2a b 2a 2 a b Figura 2.14 Il grafico della funzione quadratica per a > 0 (a) e a < 0 (b) nel caso in cui > 0. La funzione quadratica non è iniettiva: esistono rette parallele all asse delle ascisse che intersecano la parabola in due punti. Vista come funzione a valori in R essa non è suriettiva in quanto

14 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 51 f (R) = { [ 4a,+ ) se a > 0 (, 4a ] se a < 0 e, pertanto, esistono rette parallele all asse delle ascisse che non intersecano il grafico della funzione. Come si può osservare dal grafico della funzione quadratica, essa non è monotòna: ad esempio se a > 0 e > 0, essa risulta decrescente nell intervallo (, b b 2a ) mentre risulta crescente nell intervallo ( 2a,+ ). Nel caso particolare in cui b = c = 0, la funzione quadratica diviene f () = a 2. Essa è una parabola con vertice nel punto (0,0) e intersezione con l asse delle ordinate e delle ascisse coincidenti col punto (0,0). Essendo in tal caso l asse di simmetria coincidente con l asse delle ordinate, tale funzione risulta essere pari: a( ) 2 = a 2. f() f() a b Figura 2.15 Grafico della parabola a 2 con a > 0 (a) e a < 0 (b) Un modello economico quadratico Nel caso in cui il prezzo di vendita di un certo bene subisca sconti legati alla quantità di merce venduta si può porre tale prezzo p() di vendita dipendente dalla quantità venduta, cioè p() = p a a > 0.

15 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 52 Dalla vendita di unità del bene si avrà un ricavo R() pari a R() = (p a) = a 2 + p. Se per la funzione costo si assume un andamento affine, C () = m + q, il guadagno G() relativo alla vendita della quantità sarà G() = R() C () = a 2 + p m q = a 2 + (p m) q, il cui grafico è una parabola con la concavità rivolta verso il basso. L ascissa del vertice di tale parabola rappresenta la quantità da vendere per massimizzare il guadagno Funzioni n La funzione f () = n, con n N, si chiama potenza n esima di. Si considerino due casi distinti: potenza con esponente n > 2 e pari. In tal caso il grafico della funzione potenza è qualitativamente simile a quello di f () = 2. Pertanto si può concludere che tali funzioni non sono iniettive né suriettive (se considerate a valori in tutto R) e, di conseguenza, non sono invertibili. Sono decrescenti per < 0 e crescenti per > 0. Poiché se n è pari risulta tali funzioni sono pari. ( ) n = n,

16 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 53 f() Figura 2.16 Grafico della funzione n con n 2 e pari. Potenza con esponente n > 2 e dispari. Il grafico di tali funzioni è qualitativamente simile. Si può fare riferimento a quello di f () = 3, (si veda figura 2.17). Dall analisi del grafico di tali funzioni si può concludere che esse sono iniettive e suriettive e, pertanto, sono invertibili. Sono funzioni strettamente crescenti e visto che per n dispari risulta esse sono dispari. ( ) n = n, Figura 2.17 Grafico della funzione n con n 3 e dispari.

17 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE Funzioni inverse delle funzioni potenza Si è visto precedentemente che le funzioni potenza f () = n, n N con n 3 e dispari, risultano essere funzioni invertibili. Le corripondenti funzioni inverse sono le cosiddette radici n esime: = n y o, utilizzando la notazione standard per la variabile dipendente e quella indipendente, y = n. Il grafico di tali funzioni inverse si può ottenere, come visto in precedenza, riflettendo il grafico delle funzioni dirette rispetto la bisettrice del primo e terzo quadrante. f() Figura 2.18 Grafico della funzione n con n 3 e dispari (linea continua) e della sua inversa n (linea tratteggiata). Le funzioni f () = n, n N con n 2 e pari, come si è osservato precedentemente, non sono invertibili.

18 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 55 f() Figura 2.19 La funzione n, n N con n 2 e pari non è invertibile non essendo iniettiva. Si osservi comunque che se si considera la restrizione di tali funzioni al semiasse positivo cioè f : R + 0 R (con R + 0 si intende l intervallo [0,+ )) tali funzioni risultano monotòne crescenti quindi iniettive e invertibili. f() Figura 2.20 Restrizione della funzione n, con n 2 e pari, all intervallo [0,+ ). Essa risulta essere iniettiva e, quindi, invertibile. Le funzioni inverse sono le radici n esime di ordine pari: f 1 () = n.

19 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 56 f() Figura 2.21 Grafico della funzione n, con n 2 e pari (linea continua), e della sua inversa n (linea tratteggiata) Funzioni 1 n Se n N è un numero pari, la funzione f () = 1 n ha come dominio R\{0} e come immagine R +. Figura 2.22 Grafico della funzione f () = 1 n, con n N e pari. Dalla figura 2.22 si può osservare che tale funzione non è iniettiva, visto che ogni retta y = k con k > 0 interseca il suo grafico in due punti e, vista come funzione da R\{0} a R non è suriettiva, essendo la sua immagine f (R\{0}) = (0,+ ) Essa non è monotona (è crescente per < 0 e decrescente per > 0) e risulta essere una funzione pari.

20 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 57 Se, invece, n N è un numero dispari la funzione f () = 1 n è definita nel dominio R\{0} ed assume valori nell immagine R\{0}. Figura 2.23 Grafico della funzione f () = 1 n con n N dispari. Come si può osservare dalla figura 2.23, tale funzione è iniettiva, visto che ogni retta y = k interseca il suo grafico al più in un punto. Non è suriettiva se l insieme di arrivo è posto pari a R, visto che la retta y = 0 non interseca il suo grafico. E decrescente negli intervalli (,0) e (0,+ ) ma non è monotòna su tutto il suo dominio. E una funzione dispari visto che, per n N dispari risulta ( ) n = () n e, quindi, f ( ) = f () Funzione esponenziale La funzione f () = a, a > 0, è detta funzione esponenziale. Il parametro a è noto come base della potenza mentre si chiama esponente. Il dominio della funzione esponenziale è, tutto l insieme dei numeri reali R mentre l immagine è, se 2 a 1, pari a R +. 2 Se a = 1 la funzione esponenziale si riduce alla funzione costante f () = 1.

21 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 58 f() f() 1 1 a b Figura 2.24 Grafico della funzione esponenziale con a > 1 (a) e con 0 < a < 1 (b). Come si può osservare dalla figura 2.24, la funzione esponenziale è iniettiva: la generica retta y = k interseca il suo grafico al più una volta. Vista come funzione a valori in R non è suriettiva poiché le rette y = k, k 0 non inersecano il suo grafico. La funzione risulta essere crescente se a > 1 mentre è decrescente se 0 < a < Funzione logaritmica Come visto precedentemente, la funzione esponenenziale è, per a 1, iniettiva e, quindi, invertibile. La funzione inversa della funzione esponenziale y = a si chiama logaritmo in base a: = log a y. Esso rappresenta l esponente da assegnare alla base a per ottenere il valore y. Usando le notazioni solite per la variabile dipendente e quella indipendente si ha: y = log a. Il grafico del logaritmo si può ottenere immediatamente a partire da quello della funzione esponenziale ribaltando quest ultimo rispetto la bisettrice del primo e del terzo quadrante:

22 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 59 f() f() 1 1 a b Figura 2.25 Grafico della funzione f () = log a con a > 1 (a) e 0 < a < 1 (b). La funzione logaritmo risulta essere iniettiva e suriettiva visto che ogni retta y = k interseca il suo grafico in uno ed un solo punto. Risulta essere una funzione crescente se a > 1 mentre è decrescente se 0 < a < 1. Una particolare importanza, per motivi che saranno ovvi nel seguito, è rivestita dal cosiddetto logaritmo naturale, indicato con il simbolo f () = ln : esso è il logaritmo in base e, dove e = è noto come numero di Nepero. Il legame tra il logaritmo naturale e quello in base a (0,1) (1,+ ) è dato dalla seguente relazione log a = ln ln a. Si ricordano inoltre le principali proprietà della funzione logaritmo (si supporrà a > 0,b > 0 e, per comodità, saranno espresse usando la base naturale e): e ln a = a ln a + lnb = ln(ab) ln a lnb = ln( a b ) ln a b = b ln a lne = 1 ln1 = 0

23 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE Un modello economico esponenziale Si supponga di investire, al tempo t = 0 la somma C al tasso di interesse annuo pari a i. Se al tempo s > 0 si disinveste, si ritorna in possesso della somma inizialmente versata e dell interesse maturato tra t = 0 e s. Molto spesso il computo degli interessi è effettuato secondo la cosiddetta legge di capitalizzazione composta che prevede un reinvestimento continuo degli interessi via via maturati. In tal caso la somma della quale si ritorna in possesso all istante s vale C (s) = C (1 + i ) s : al variare di s, pertanto, la funzione C (s) è descritta da un esponenziale di base 1+i ed esponente s Funzioni goniometriche Le funzioni goniometriche sono le più semplici funzioni periodiche cioè funzioni che assumono valori uguali ad intervalli regolari. Più precisamente RDefinizione (Funzione periodica) La funzione f () si dice periodica se f ( + kt ) = f (), k Z. Il più piccolo T per cui la relazione precedente è soddisfatta si chiama periodo della funzione periodica. Per introdurre le funzioni goniometriche si può fare riferimento alla circonferenza goniometrica ovvero una circonferenza di centro O e raggio unitario.

24 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 61 sin P O cos A Figura 2.26 La circonferenza goniometrica e le funzioni goniometriche sin e cos. Si ricorda che, sulla circonferenza unitaria, misurando gli angoli in radianti, come si supporrà sempre nel seguito, la misura dell angolo coincide con quella dell arco AP 3 e che si conviene di considerare come verso di crescita di un angolo quello antiorario. Si ricorda anche che all angolo retto (90 ) corrisponde la misura π/2, all angolo piatto (180 ) corrisponde la misura π, all angolo di 270 corrisponde la misura 3π/2 e all angolo giro (360 ) corrisponde la misura 2π. Si consideri il punto P sulla circonferenza goniometrica (si osservi la figura 2.26), che individua l angolo compreso tra OP e l asse delle ascisse. L ascissa di tale punto è detta coseno dell angolo, ed indicata come cos mentre l ordinata è detta seno dell angolo ed indicata come sin. Una relazione tra le funzioni seno e coseno può essere ottenuta applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo di ipotenusa OP rappresentato nella figura Si ottiene: (cos ) 2 + (sin ) 2 = 1. I valori che le funzioni assumono in corrispondenza dei principali angoli sono riportati nella tabella seguente: 3 Più in generale se la circonferenza avesse raggio R risulterebbe AP = R.

25 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 62 cos sin π/2 0 1 π 1 0 3π/ π 1 0 Dalla definizione delle funzioni seno e coseno si evince che esse sono funzioni periodiche di periodo 2π : in effetti la misura dell angolo è equivalente a quella dell angolo + 2kπ, k Z e, pertanto, sono uguali seno e coseno dell angolo o dell angolo + 2kπ, k Z. I grafici delle funzioni seno e coseno possono essere pertanto riportati solo per [0, 2π]. sin cos π /2 π 3 π /2 2 π 0 π /2 π 3 π /2 2 π 1 1 Figura 2.27 Grafici delle funzioni seno e coseno Le funzioni seno e coseno non sono iniettive, hanno come codominio l intervallo [ 1,1] e non sono monotòne. Come visto in precedenza per la funzione quadratica, se si considera la restrizione di una funzione in un sottoinsieme del dominio in cui essa risulti iniettiva, è possibile introdurre la relativa funzione inversa. In particolare, per la funzione seno si conviene di considerare la sua restrizione all intervallo [ π 2, π 2 ] :si può introdurre a questo punto la sua funzione inversa, detta arcoseno e indicata come y = arcsin. Anche la funzione coseno risulta essere invertibile se considerata nell intervallo [0,π]. La sua funzione inversa, detta arcoseno, è indicata con arccos.

26 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 63 Figura 2.28 Grafico delle funzioni arcsin (a) e arccos (b). Tra le funzioni goniometriche elementari si annovera anche la funzione tangente. Essa può essere definita a partire dalle funzioni seno e coseno tramite tan = sin cos. tan P P sin O cos A A Figura 2.29 Rappresentazione di tan sulla circonferenza goniometrica e suo significato geometrico.

27 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 64 Dalla similitudine tra i triangoli (si veda figura 2.29) O A P e O AP tangente dell angolo rappresenta l ordinata del punto P. segue che la Figura 2.30 Grafico della funzione tan. Come si può osservare dalla figura 2.30, tale funzione non è definita per quei valori che annullano cos, cioè per = π 2 + kπ. La funzione tan non è iniettiva ed è suriettiva. Non è una funzione monotòna e risulta essere periodica di periodo π. Si osservi che tale funzione è comunque iniettiva e, quindi, invertibile per [ π 2, π 2 ]: la corrispondente funzione inversa si chiama arcotangente ed è indicata come arctan. Figura 2.31 Grafico della funzione arctan.

28 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE Funzioni deducibili dalle funzioni elementari Le funzioni elementari introdotte precedentemente possono essere considerate i mattoni con cui costruire funzioni più complesse, quali quelle necessarie per la descrizione dei fenomeni economici Funzione composta Si considerino le due funzioni e f : X Y g : Y Z. Sia X e y = f (). Siccome il punto y appartiene al dominio Y della funzione g, ha senso considerare il valore z = g (y) g (f ()). f g y Y z X Z Figura 2.32 Rappresentazione grafica di z = g (f ()). Risulta definita, quindi, un applicazione, sia essa h, che trasforma il punto X nel punto z Z : RDefinizione (Funzione composta) h : X Z. Siano f : X Y e g : Y Z due funzioni. L applicazione h : X Z che associa ad ogni X il valore g ( f ()) Z è detta applicazione composta ed indicata con il simbolo 4 g f. 4 Il simbolo g f si legge g composto f.

29 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 66 f g y X Y z g f Z Figura 2.33 Rappresentazione grafica della funzione composta g f. "Osservazione Date le funzioni f : X Y e g : Y Z non è detto che si possa costruire la funzione composta f g : potrebbe risultare, infatti, che, fissato un y Y il valore g (y) Z non appartenga al dominio X della funzione f, per cui non avrebbe senso considerare il valore f (g (y)). Se ciò accadesse per ogni y Y il dominio della funzione composta sarebbe l insieme vuoto. "Osservazione Date le funzioni f : X Y e g : Y Z, con Z X, ha senso considerare anche la funzione composta f g in quanto, fissato y Y, risulterà g (y) Z g (y) X. L operazione f (g (y)) è quindi ben definita. In generale, comunque, risulterà f g g f, come sarà chiaro dagli esempi che seguiranno. "Osservazione Quando si considera la funzione composta g f senza specificare i domini ed i codomini di f e g si supporrà di aver scelto il dominio di f in modo che la sua immagine sia contenuta nel dominio di g. A partire dalla nozione di funzione composta si possono costruire funzioni più complesse: si considerino, ad esempio, le funzioni f () = 3 : R R e g () = e : R R +. Si ha: e f g () = f (g ()) = [g ()] 3 = [e ] 3 = e 3 : R R + Si osservi che, in generale, g f f g. g f () = g (f ()) = e f () = e 3 : R R +.

30 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 67 EEsempio 2.3 Siano f () = 2 e g () = e. Per le funzioni composte f g e g f si ottiene: e f g () = f (g ()) = g () [g ()] 2 = e e 2 EEsempio 2.4 g f () = g (f ()) = e f () = e 2. Siano f () = + 1 e g () = ln. Per le funzioni composte f g e g f si ottiene: e f g () = f (g ()) = g () + 1 = ln + 1 EEsempio 2.5 g f () = g (f ()) = ln f () = ln + 1. Siano f () = e g () = ln( 1). Per le funzioni composte f g e g f si ottiene: e f g () = f (g ()) = g () = ln( 1) EEsempio 2.6 g f () = g (f ()) = ln(f () 1) = ln( 1). Siano f () = e e g () = ln( 2 + 1). Per le funzioni composte f g e g f si ottiene: e f g () = f (g ()) = e g () = e ln(2 +1) = EEsempio 2.7 g f () = g (f ()) = ln([f ()] 2 + 1) = ln(e 2 + 1). Siano f () = 2 e g () = Per le funzioni composte f g, g f e g g si ottiene:

31 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 68 e f g () = f (g ()) = [g ()] 2 = g f () = g (f ()) = g g () = g (g ()) = 1 ( + 1) 2, 1 f () + 1 = g () + 1 = = Funzioni definite a più leggi In molti casi non è possibile esplicitare tramite un unica forma analitica la dipendenza tra la variabile dipendente e quella indipendente per ogni punto del dominio. Tuttavia può accadere di poter suddividere il dominio in intervalli tali che in ciascuno di essi la legge che lega le variabili dipendente ed indipendente possa essere espressa tramite una forma analitica elementare (o derivante dalla composizione di funzioni elementari). EEsempio 2.8 Sia f : R R una funzione di tipo quadratico per valori di 0 e di tipo logaritmico per valori di > 0. Tale funzione può essere rappresentata come f () = { ln se > 0 2 se 0. (2.1) f() Figura 2.34 Grafico della funzione (2.1).

32 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 69 " Osservazione La funzione f () che definisce la distanza (euclidea) tra il punto della retta orientata di coordinata e l origine (di coordinata = 0) è nota come funzione modulo ed indicata con il simbolo. Essa risulta descrivibile come funzione definita a più leggi: = { se 0 se < 0. f() Figura 2.35 Grafico della funzione modulo Trasformazioni di funzioni note Si supponga assegnata la funzione f () e si supponga di conoscere il suo grafico. Dalla conoscenza di quest ultimo è possibile risalire al grafico della funzione g () ottenuta da f () tramite le trasformazioni 1. g () = f () + c, c R. In tal caso il grafico della funzione g si ottiene a partire da quello della funzione f traslando quest ultimo verticalmente verso l alto (se c > 0) o verso il basso (se c < 0).

33 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 70 a b Figura 2.36 Grafico della funzione f () (linea continua) e della funzione f ()+c con c > 0 (a) e c < 0 (b). 2. g () = f ( +c), c R. Il grafico della funzione g () può essere ottenuto da quello di f () traslando il grafico di quest ultima orizzontalmente verso sinistra (se c > 0) o verso destra (se c < 0). a b Figura 2.37 Grafico della funzione f () (linea continua) e della funzione f ( + c) (linea tratteggiata) nel caso c > 0 (a) e c < 0 (b). 3. g () = c f (), c R +. In tal caso il grafico di g () può essere ottenuto per dilatazione (se c > 1) o per contrazione (se c < 1) tenendo conto del fatto che i punti in cui si annulla f () sono tutti e soli i punti in cui si annulla g ().

34 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 71 Figura 2.38 Grafico della funzione f () (linea continua) e c f () (linea tratteggiata) nei casi c > 1 (a) e 0 < c < g () = f (). In tal caso il grafico della funzione g () si ottiene da quello di f () ruotando quest ultimo di 180 rispetto l asse delle ascisse. Figura 2.39 Grafico della funzione f () (linea continua) e della funzione f () (linea tratteggiata). 5. g () = f (). Il grafico di g () si può ottenere da quello di f () osservando che, in base alla definizione di funzione modulo, { f () se f () 0 g () = f () se f () < 0.

35 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 72 Figura 2.40 Grafico della funzione f () (linea continua) e della funzione f () (linea tratteggiata). 6. g () = f ( ). In questo caso il grafico della funzione g () può essere ottenuto osservando che, essendo =, la funzione g () è pari risultando g ( ) = f ( ) = f ( ) = g (). E sufficiente pertanto graficare la funzione g () per > 0 ruotando poi tale porzione di grafico rispetto l asse delle ordinate. Si osservi che se > 0 risulta g () = f ( ) = f (). f() f() a b Figura 2.41 Grafico della funzione f () (a) e della funzione f ( ). 7. Date le due funzioni f () e g () si può costruire il grafico della funzione H() = ma{f (), g ()} e quello della funzione h() = min{f (), g ()}. Si osservi che il dominio di H() e di h() è dato dall intersezione dei domini delle funzioni f () e g ().

36 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 73 f() f() a b Figura 2.42 Nel grafico (a) si rappresentano le funzioni f () (linea continua) e g () (linea tratteggiata). Nel grafico (b) si rappresentano le funzioni ma{f (), g ()} (linea continua) e min{ f (), g ()} (linea tratteggiata). 2.5 Calcolo del dominio di una funzione In molti casi è assegnata la dipendenza funzionale tra la variabile indipendente e quella dipendente y tramite la legge y = f () senza che il dominio dell applicazione f sia assegnato come dato del problema. In questi casi è quindi necessario calcolare il dominio dell applicazione f. Salvo menzione esplicita con dominio si intenderà il più grande dei sottoinsiemi di R in cui la funzione è definita. Per le funzioni incontrate in precedenza si ha: la funzione n con n N è definita su tutto R la funzione n con n dispari è definita su tutto R la funzione n con n pari è definita solo per 0 la funzione 1 n,n N + non è definita per = 0 la funzione log a è definita solo per > 0.

37 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 74 Più in generale la funzione f () in esame potrebbe essere composta da più funzioni elementari. In tal caso il dominio di f () si ottiene come intersezione dei domini di tali funzioni elementari (in effetti in questo modo si selezionerà l insieme più ampio in cui tutte le leggi elementari che compongono f () hanno senso). E possibile classificare le funzioni reali di variabile reale in base alla natura della legge che lega la variabile dipendente a quella indipendente. Si possono distinguere in tal modo funzioni algebriche, in cui compaiono solo operazioni algebriche quali somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione e potenza funzioni trascendenti, in cui compaiono operazioni trascendenti: esponenziali, logaritmiche o goniometriche Le funzioni algebriche si possono distinguere a loro volta in funzioni razionali intere (polinomi) funzioni razionali fratte (rapporto tra polinomi) funzioni irrazionali (contenenti radicali di funzioni razionali della variabile indipendente ) mentre quelle trascendenti si possono distinguere in esponenziali (contenenti la variabile indipendente come esponente) logaritmiche (contenenti la variabile indipendente come argomento del logaritmo) goniometriche (contenenti la variabile indipendente come argomento di una delle funzioni goniometriche) pure (contenenti la variabile indipendente sia come base che come esponente ) Si ha: 1) Il dominio di una funzione algebrica razionale intera f () = P(), dove P() è un polinomio, è l insieme dei numeri reali R EEsempio 2.9 La funzione f () = , come tutti i polinomi, ammette come dominio l insieme dei numeri reali R.

38 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 75 2) Il dominio di una funzione algebrica razionale fratta f () = P() Q(), dove P() e Q() sono due polinomi, si ottiene escludendo da R gli eventuali valori che annullano 5 il polinomio Q(), cioè EEsempio 2.10 R\{ R Q() = 0}. Si determini il dominio della funzione f () = Soluzione Siccome un denominatore deve essere diverso da zero, il dominio di f () sarà dato dalla soluzione della equazione : il dominio di f () è, pertanto, R\{ 5} (, 5) ( 5, + ). EEsempio 2.11 Si determini il dominio della funzione f () = Soluzione Il denominatore 2 + si annulla per ( = 0) ( = 1). Il dominio di f () sarà quindi dato da R\{ 1,0} (, 1) ( 1,0) (0,+ ). 3) Il dominio di una funzione algebrica irrazionale f () = n g () è: se n è dispari coincide con il dominio di g () se n è pari è dato da { R g () 0} 5 Tali valori sono noti come radici del polinomio.

39 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 76 EEsempio 2.12 Si determini il dominio della funzione f () = Soluzione In questo caso occorre imporre due condizioni di esistenza: la condizione che garantisce la non negatività del radicando, e la condizione che garantisce che il denominatore non si annulli. Come notato in precedenza, il dominio della funzione f () si ottiene intersecando gli insiemi soluzione delle due condizioni di esistenza o, in altre parole, esso si ottiene come soluzione del sistema { La prima disequazione si risolve studiando il segno, riportato in figura 2.43, di Figura 2.43 Segno di 3 1, 2 + e (La linea continua convenzionalmente rappresenta il segno + + mentre quella tratteggiata il segno.) Tenendo conto che deve essere diverso da 1 e da 0, si ottiene il dominio di f () : ( 1,0) [1,+ ). EEsempio 2.13 Si calcoli il dominio di f () =

40 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 77 Soluzione L unica condizione di regolarità da imporre è quella di avere il denominatore Siccome tale denominatore si annulla solo per = 1, il dominio di f () è R\{ 1} (, 1) ( 1,+ ). 4) Il dominio di una funzione trascendente esponenziale è dato dal dominio di g (). EEsempio 2.14 Si determini il dominio della funzione f () = a g (), f () = e 1 1. Soluzione Il dominio di f () è determinato dalle condizioni 1 0, che garantisce che il radicando sia non negativo e 1 0 che garantisce il non annullarsi del denominatore. Il sistema che determina il dominio è, pertanto, equivalente alla disequazione { , 1 > 0 > 1 : il dominio di f () è, perciò, l intervallo (1,+ ). 5) Il dominio di una funzione trascendente logaritmica è dato da { R g () > 0} EEsempio 2.15 f () = log a g () Si calcoli il dominio della funzione f () = ln 1 3.

41 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 78 Soluzione Le condizioni di regolarità da imporre in questo caso sono: 1 3 > 0, che garantisce la positività dell argomento del logaritmo, e 3 0, che garantisce che il denominatore non si annulli. Il sistema da risolvere è, quindi, { 1 3 > La seconda equazione ammette la soluzione immediata 0 mentre per la soluzione della seconda è sufficiente studiare il segno di 1, come riportato nella 3 figura Figura 2.44 Segno di 1, 3 e 1 3. Per il dominio di f () si ottiene, quindi, (,0) (1,+ ) 6) Il dominio della funzione trascendente pura f () = (g ()) h() è dato dall intersezione dei domini di g e di h privata dei valori di tali che g () 0.

42 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 79 EEsempio 2.16 Si calcoli il dominio della funzione f () = 3 1 Soluzione Le condizioni che determinano il dominio di f () sono: che garantisce la positività della base e > 0, 3 1 0, che garantisce la non negatività del radicando. Il sistema da risolvere è, pertanto, { > La prima relazione ammette la soluzione > 0 mentre la seconda equazione ammette la soluzione 1. L intersezione tra questi due insiemi, data da [1,+ ), rappresenta il dominio della funzione f (). Per funzioni più generali di quelle analizzate sopra si può concludere che f () + g () e f ()g () ammettono come dominio l intersezione tra i domini di f e di g f () g () ammette come dominio l intersezione dei domini di f e di g privata dei punti che annullano il denominatore g Applicazioni economiche EEsempio 2.17 Un gestore di telefonia fissa propone alla propria clientela la scelta tra le tariffe seguenti: A) costo bimestrale fisso di euro e costo variabile pari a euro 0.15 per ogni chiamata effettuata, urbana o interurbana B) costo bimestrale fisso di euro e nessun costo per chiamate urbane e interurbane In entrambe le tariffe sono escluse le chiamate verso i telefoni cellulari che in entrambi i casi hanno, però, lo stesso costo. Si vuole determinare la tariffa più conveniente.

43 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 80 Soluzione La scelta della tariffa più conveniente dipende dal numero di chiamate urbane o interurbane che il cliente effettua ogni bimestre. Detto n il numero di tali chiamate si sosterrebbe, nel caso della tariffa A un costo bimestrale pari c A (n) = n 0.15 mentre nel caso della tariffa B tale costo sarebbe c B (n) = Il cui grafico dei costi per le due tariffe al variare del numero di telefonate è riportato nella figura c(n) ca(n) cb(n) 56 n Figura 2.45 Grafico dei costi della tariffa A e della tariffa B. Come si può vedere dalla figura 2.44, la tariffa A risulta essere più conveniente se il numero di telefonate per bimestre è minore di 56 mentre se tale numero è maggiore di 56 la tariffa più conveniente risulta essere la B. In generale, quindi, la tariffa più conveniente è data da min{c A (n),c B (n)}.

44 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 81 Esercizi 2.1) Sia la quantità prodotta e venduta di un certo bene e siano date la funzione costo, e la funzione ricavo, C () = , R() = Si determini la quantità 0 che occorre produrre e vendere per non avere perdite e la quantità da produrre e vendere per massimizzare il guadagno. [Risposta: 0 (4,26), = 15.] 2.2) Una ditta produce merce che è venduta al prezzo di euro 10 al K g. Per la produzione sostiene costi fissi pari a euro 80 e costi variabili pari a ν() = , avendo indicato con i K g prodotti. Si determini la quantità 0 che la ditta deve produrre per non lavorare in perdita e il valore che essa deve produrre per conseguire il guadagno massimo. [Risposta: 0 (41.74,958.26), = 500.] 2.3) Le funzioni seguenti rappresentano le alternative di costo proposte per una tariffa telefonica al variare del numero di minuti di conversazione: T 1 () = 2, T 2 () = , T 3 () = Si dica, al variare di, quale è la tariffa più conveniente. [Risposta: T 1 per 0 < < 6, T 2 per 6 < < 16, T 3 per > 16.] 2.4) Un ditta di trasporti propone due tariffe diverse per il trasporto di una tonnellata di merce: T 1 che prevede euro 150 di costo fisso e euro per ogni K m percorso T 2 che prevede euro 300 di costo fisso diminuito di f () = per ogni K m percorso, dove indica il numero di K m percorsi.

45 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 82 In relazione ai K m percorsi si dica quale tariffa è più conveniente per la ditta di trasporti. [Risposta: T 1 se 0 < < 100, T 2 se > 100.] 2.5) Siano D() = e O () = le quantità domandate e offerte di un certo bene, al variare del suo prezzo. Si determini il prezzo di equilibrio del bene considerato.