IL CONCETTO DI FUNZIONE

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1 IL CONCETTO DI FUNZIONE Il concetto di funzione è forse il concetto più importante per la matematica: infatti la matematica e' cercare le cause, le implicazioni, le conseguenze e l'utilità di una funzione e' appunto di mostrare il legame che esiste fra cose diverse. Definizione Dati due insiemi X e Y, si chiama funzione f da X a Y e la si indica col simbolo f : X Y una corrispondenza che associa ad ogni elemento x X un unico elemento y = f(x) Y. Tale corrispondenza è indicata da y = f(x). L'insieme X è detto dominio della funzione f e gli elementi f(x) sono detti valori di f. L'insieme di tutti i valori di f è detto codominio di f. ESEMPIO Tale relazione soddisfa a due condizioni: Per ogni elemento di A esiste un solo elemento di B ad esso associato Tale elemento di B è unico Una relazione di questo si chiama Funzione. Il dominio di questa funzione è: D = Roma, Milano, Torino, Bari ; il codominio è: C = Lazio, Lombardia, Piemonte, Puglia DOCENTE ANNA RITA VALENTE 1/8

2 ESEMPI DI FUNZIONI Le seguenti figure rappresentano grafici di funzioni reali; OSSERVAZIONI: 1. il dominio D è la proiezione dei punti del grafico sull'asse delle x; 2. il codominio di f (indicato con f(d)), è la proiezione dei punti del grafico sull'asse delle y (il dominio e il codominio sono in grassetto nei disegni). ESEMPI DI NON FUNZIONI: OSSERVAZIONI Tali grafici, come potete osservare dalla figura, non sono funzioni perché a punti che hanno ascisse uguali corrispondono diverse ordinate e in tal caso allo stesso elemento del dominio corrisponderebbe più di una immagine. DOMINIO E CODOMINIO DI UNA FUNZIONE DOCENTE ANNA RITA VALENTE 2/8

3 DEFINIZIONE Il dominio di una funzione è uguale all'insieme dei valori che posso attribuire alla variabile indipendente x per trovare il corrispondente valore y. Graficamente: è uguale all insieme dei valori per i quali la funzione è calcolabile, si trova sull'asse x, ogni retta verticale passante per ciascun punto del dominio incontra il grafico esattamente in un punto. DEFINIZIONE Il codominio di una funzione è il sottoinsieme di R costituito da tutti gli elementi y corrispondenti dei punti x appartenenti al dominio della funzione. DOCENTE ANNA RITA VALENTE 3/8

4 CLASSIFICAZIONI DELLE FUNZIONI E' possibile classificare le funzioni considerando il tipo di operazioni matematiche che compaiono nella sua espressione analitica. Si distinguono: funzioni algebriche (in cui compaiono solo operazioni di tipo algebrico: addizione sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza); funzioni trascendenti (contenenti operazioni trascendenti: logaritmo, esponenziale o le funzioni goniometriche). Le funzioni algebriche possono essere: razionali intere [ in generale sono del tipo: (polinomi) es: ] razionali fratte [ sono del tipo con A(x) e B(x) polinomi nella variabile x; es. ] irrazionali intere e fratte [ contenenti radicali; es: ; y 1 ] x 3 Le funzioni trascendenti possono essere:» logaritmiche [ es: ]» esponenziali [ es: ]» goniometriche [ es: ] DOCENTE ANNA RITA VALENTE 4/8

5 COME SI CALCOLA IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE Il dominio di una funzione si calcola in base al tipo di funzione che abbiamo. FUNZIONE RAZIONALE INTERA DEF: il dominio delle funzioni razionali intere è tutto l insieme dei numeri reali. x R OSSERVAZIONE: Ricordando che in matematica non e' ammessa la divisione per zero avremo che il denominatore non potrà mai diventare uguale a zero altrimenti la frazione non avrebbe nessun significato; ne segue che potrò attribuire ad x tutti i valori meno quelli che annullano il denominatore! Quindi: FUNZIONE RAZIONALE FRATTA DEF: il dominio delle funzioni razionali fratte è tutto l insieme dei numeri reali tranne i valori che annullano il denominatore ovvero tale che il denominatore sia diverso da zero. x R / deno min atore Nel caso dell esempio: D= x R / x 2 0 x R/x 2 0 GRAFICAMENTE: La funzione si potrà trovare in tutto il piano cartesiano tranne che sulla retta x=2, non la può attraversare, né toccare!!!! DOCENTE ANNA RITA VALENTE 5/8

6 DISPARI FUNZIONE IRRAZIONALE INTERA PARI OSSERVAZIONE: noi sappiamo che la radice quadrata (e quindi con indice PARI) di un numero negativo non esiste! Ciò vuol dire che tale radice esiste solo se il radicando è positivo. Quando l indice della radice invece è dispari il problema non si pone. Quindi: DEF: il dominio delle funzioni irrazionali intere DISPARI è tutto l insieme dei numeri reali. x R DEF: il dominio delle funzioni irrazionali intere PARI è tutto l insieme dei numeri reali tale che il radicando (ossia tutto ciò che è sotto la radice) sia maggiore o uguale a zero. x R / radicando ESEMPIO y x 2 4 funzione irrazionale intera PARI 2 x R / x 4 0 risolviamo la disequazione di 2 grado intera con il metodo conosciuto La soluzione finale del dominio è: x R / x 2 x 2 GRAFICAMENTE 0 LA FUNZIONE SI TROVERA SOLO NELLE PARTI DI GRAFICO COLORATE COMPRESE LE RETTE X=-2 E X=2!!! (NON SI TROVERA MAI ALL INTERNO DELLA FASCIA COMPRESA TRA X=-2 E X=2). DOCENTE ANNA RITA VALENTE 6/8

7 DISPARI FUNZIONE IRRAZIONALE FRATTA PARI Abbiamo già visto che la radice con indice dispari si può sempre estrarre, sia che il radicando sia positivo che negativo. Ma, dal momento che il radicando è una funzione razionale fratta, devo porre la condizione che non si annulli il denominatore. Quindi: DEF: il dominio delle funzioni irrazionali fratte DISPARI è tutto l insieme dei numeri reali tranne i valori che annullano il denominatore ovvero tale che il denominatore sia diverso da zero. x R / deno min atore 0 1 ESEMPIO y 3 funzione irrazionale fratta dispari x 2 0 = x R / x 2 0 x R/x 2 D = x R / deno min atore GRAFICAMENTE DEF: il dominio delle funzioni irrazionali fratte PARI è tutto l insieme dei numeri reali tale che il radicando (ossia tutto ciò che è sotto la radice) sia maggiore o uguale a zero. x R / radicando 0 ATTENZIONE: IL RADICANDO QUESTA VOLTA E FORMATO DA UNA FRAZIONE QUINDI HA UN NUMERATORE E UN DENOMINATORE DI CONSEGUENZA DEVO RISOLVERE UNA DISEQUAZIONE FRATTA!!! DOCENTE ANNA RITA VALENTE 7/8

8 x 4 ESEMPIO y 4 funzione irrazionale fratta PARI x 2 x 4 x R / radicando 0 = x R / 0 risolviamo la disequazione x 2 fratta con il metodo conosciuto La soluzione del dominio è: x R / x 2 x 4 GRAFICAMENTE LA FUNZIONE SI TROVERA SOLO NELLE PARTI DI GRAFICO COLORATE PUO TOCCARE LA RETTA X=4 MA NON POTRA NE TOCCARE NE PASSARE LA RETTA X=-2 perché ESSENDO TRATTEGGIATA E ESCLUSA DAL DOMINIO!!! (NON SI TROVERA MAI ALL INTERNO DELLA FASCIA COMPRESA TRA X=-2 E X=4). DOCENTE ANNA RITA VALENTE 8/8