APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

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1 APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI Le disequazioni fratte Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Alessandro Bocconi

2 Indice 1 Le disequazioni non lineari Introduzione Un approfondimento di logica matematica Le disequazioni fratte Le disequazioni con un prodotto di fattori lineari Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Esercizi

3 Capitolo 1 Le disequazioni non lineari 1.1 Introduzione Conosciamo già le disequazioni di primo grado: il metodo per risolverle presenta molte analogie con la risoluzione delle equazioni di primo grado. Come prevedibile i metodi che affronteremo per risolvere disequazioni non lineari (cioè non di primo grado) saranno notevolmente diversi: ciò nonostante risulterà fondamentale conoscere le tecniche già usate per la risoluzione delle disequazioni di primo grado. Ricordiamo adesso la: Definizione di soluzione di una disequazione. La soluzione di una disequazione è l insieme dei valori che, sostituiti all incognita, rendono la disequazione una disuguaglianza vera. Consideriamo adesso i seguenti: Esempi Risolvere la disequazione 5x 2 < 0 Risolvere tale equazione significa porsi la seguente domanda: per quali valori di x, l espressione 5x 2 risulta minore di zero? Per rispondere a tale domanda si usano i metodi conosciuti: 5x 2 < 0 5x < x < 2 5 x < 2 5 quindi la risposta alla domanda precedente è: l espressione 5x 2 risulta minore di zero se x è minore di 2 5. La soluzione si indica: S = {x R x < 2 5 } Risolvere la disequazione 8 6x > 0 Risolvere tale equazione significa porsi la seguente domanda: per quali valori di x, l espressione 8 6x risulta maggiore di zero? Per rispondere a tale domanda si usano i metodi conosciuti: 8 6x > 0 6x > x < x < 4 3

4 Alessandro Bocconi 3 quindi la risposta alla domanda precedente è: l espressione 8 6x risulta maggiore di zero se x è minore di 4 3. La soluzione si indica: S = {x R x < 4 3 } 1.2 Un approfondimento di logica matematica Abbiamo incontrato nei capitoli precedenti sia l insieme delle condizioni di esistenza che l insieme delle soluzioni di un equazione. Ad esempio in una frazione algebrica può accadere di trovare le seguenti condizioni di esistenza: C.E. = {x R x 3; x 2} Oppure l insieme delle soluzioni di una equazione di secondo grado potrebbe essere: S = {x R x = 4; x = 7} Osserviamo quindi che abbiamo 2 condizioni nelle C.E. (la condizione che x sia diversa da 3 e la condizione che x sia diversa da 2); e due condizioni nell insieme S: la condizione che x sia uguale a 4 e la condizione che x sia uguale a 7. In entrambi i casi le due condizioni sono separate da un punto e virgola, ma fra i due casi c è una profonda differenza. Vediamolo con un esempio: Frase 1: Mario andrà in vacanza se i genitori gli daranno il permesso e se riesce a trovare i soldi. Frase 2: Roberta andrà in vacanza se le aggiusteranno la macchina o se trova un volo low cost. Le due frasi sono molto differenti: Mario andrà in vacanza se avrà il permesso dei genitori e se riuscirà a trovare i soldi. In pratica l andare in vacanza è legato al verificarsi di entrambe le condizioni, mentre a Roberta ne basta una: o le riparano la macchina o trova un volo low cost (se si verificano entrambe tanto meglio: sarà lei a scegliere fra la macchina e l aereo). Quando le due condizioni devono verificarsi contemporaneamente, devono essere legate fra loro dal simbolo che si legge come la nostra congiunzione e, mentre se è sufficiente che se ne verifichi una sola le condizioni devono essere legate fra loro dal simbolo che si legge o. Tornando all esempio delle condizioni di esistenza risulta che x deve essere diverso sia da 3 che da 2. Quindi le due condizioni devono essere entrambe verificate e si scrive: C.E. = {x R x 3 x 2} mentre per essere soluzione x deve essere uguale a 4 oppure uguale a 7. Quindi: S = {x R x = 4 x = 7} Più in generale possiamo affermare che nelle condizioni di esistenza bisogna scrivere il simbolo, mentre nell insieme delle soluzioni bisogna mettere il simbolo.

5 Alessandro Bocconi Le disequazioni fratte Consideriamo adesso disequazioni in cui compare l incognita al denominatore. Cominciamo con studiare il segno (cioè la positività e negatività) di una frazione a b in cui a e b sono numeri interi (e quindi dotati di segno). Osserviamo che tale frazione, per avere senso, deve avere il denominatore, cioè b, diverso da zero. La frazione a b rappresenta il quoziente della divisione a : b e quindi sottostà alla regola dei segni della divisione (che è ovviamente uguale a quella della moltiplicazione). Quindi: se a e b sono entrambi maggiori di zero la frazione è positiva. se a > 0 e b < 0 la frazione è negativa. se a < 0 e b > 0 la frazione è negativa. se a e b sono entrambi minori di zero la frazione è positiva. Inoltre se a = 0 la frazione è uguale a zero. Queste considerazioni possono essere utilizzate per studiare il segno di una frazione algebrica, come si evidenzia nel seguente: Esempio Studiare il segno della seguente frazione algebrica: 2x 6 x 1 Inizialmente bisogna studiare le condizioni di esistenza, cioè capire per quali valori di x si annulla il denominatore: x 1 = 0 x = 1 quindi otteniamo: C.E. = {x R x 1} Chiediamoci per quali valori di x il numeratore è maggiore di zero, cioè risolviamo la disequazione: 2x 6 > 0 2 x 2 > x > 3 Quindi il numeratore è positivo se x > 3. Rappresentiamo questa situazione tramite il grafico di figura 1.1. Nella figura la retta orientata (quella con la freccia e i valori numerici) rappresenta i valori che può assumere x. La retta soprastante è continua in corrispondenza di quei valori di x che rendono il numeratore positivo ed è tratteggiata in corrispondenza di quei valori di x che rendono il numeratore negativo. Ripetiamo la stessa operazione per il denominatore chiedendoci per quali valori di x è maggiore di zero, cioè risolviamo la disequazione: x 1 > 0 x > 1 Quindi il denominatore è positivo se x > 1. Rappresentiamo questa situazione tramite il grafico di figura 1.2. A noi però interessa conoscere i valori di x per cui è positiva la frazione e non il numeratore e il denominatore singolarmente. Per arrivare a ciò uniamo i due grafici precedenti come in figura 1.3.

6 Alessandro Bocconi 5 Linea del numeratore Figura 1.1: La parte continua è in corrispondenza dei valori di x in cui il numeratore è positivo, la parte tratteggiata è in corrispondenza dei valori di x in cui il numeratore è negativo Linea del denominatore Figura 1.2: La parte continua è in corrispondenza dei valori di x in cui il denominatore è positivo, la parte tratteggiata è in corrispondenza dei valori di x in cui il denominatore è negativo Si osserva che per x < 1 entrambe le linee sono tratteggiate e quindi sia il numeratore che il denominatore sono negativi: dal momento che meno diviso meno uguale più la frazione è positiva per x < 1. Per 1 < x < 3 è continua la linea del denominatore e tratteggiata la linea del numeratore: dal momento che meno diviso più uguale meno la frazione è negativa per 1 < x < 3. Per x > 5 entrambe le linee sono continue e quindi sia il numeratore che il denominatore sono positivi: più diviso più uguale più la frazione è positiva. Inoltre, come abbiamo visto in precedenza, la frazione è uguale a zero quando il numeratore è uguale a zero. Quindi: 2x 6 = 0 2 x 2 = x = 3 Riassumendo: La frazione è positiva per x < 1. La frazione non è definita per x = 1. La frazione è negativa per 1 < x < 3. La frazione è zero per x = 3 La frazione è positiva per x > 3.

7 Alessandro Bocconi 6 Linea del denominatore Linea del numeratore Figura 1.3: Con il segno + viene indicato l insieme dei valori di x nel quale la frazione è positiva. Con il segno - viene indicato l insieme dei valori di x nel quale la frazione è negativa D N Figura 1.4: N sta per linea del numeratore e D sta per linea del denominatore Grazie allo studio del segno possiamo risolvere qualunque disequazione fratta, come emerge dai seguenti: Esempi Risolvere la disequazione 3x 15 2x+4 > 0. Studiamo le condizioni di esistenza chiedendoci per quali valori di x si annulla il denominatore: Pertanto le condizioni di esistenza risultano: Studiamo adesso il numeratore: e il denominatore: 2x + 4 = x = x = 2 C.E. = {x R x 2} 3x 15 > x = x > 5 2x + 4 > x > x > 2 Riportiamo adesso i risultati ottenuti sul grafico di figura 1.4.

8 Alessandro Bocconi 7 D N + -2/3-3/2 + Figura 1.5: Dal momento che la disequazione iniziale è col maggiore le soluzioni risltano quelle evidenziate dal segno +. Pertanto la soluzione è: S = {x R x < 2 x > 5} Osservazione importante. Il senso della disequazione non influisce sullo studio del segno. In altre parole noi avremmo posto numeratore e denominatore maggiori di zero anche se la disequazione fosse stata col minore. Il senso della disequazione entra in gioco dopo aver disegnato il grafico e serve per scegliere gli intervalli che costituiscono la soluzione: quelli col segno + se la disequazione ha il maggiore, quelli col segno se la disequazione ha il minore. Esempi Risolvere la disequazione 3x+2 4x 6 < 0. Studiamo le condizioni di esistenza chiedendoci per quali valori di x si annulla il denominatore: Pertanto le condizioni di esistenza risultano: 4x 6 = x = x = 3 2 C.E. = {x R x 3 2 } Studiamo adesso il numeratore (ponendolo maggiore di zero anche se la disequazione ha il segno di minore come indicato dall osservazione importante): e il denominatore: 3x + 2 > x = 2 3 x > 2 3 4x 6 > x > x > 3 2 Riportiamo adesso i risultati ottenuti sul grafico di figura 1.5. Dal momento che la disequazione iniziale è col minore le soluzioni risultano quelle evidenziate dal segno. Pertanto la soluzione è: S = {x R 2 3 < x < 3 2 }

9 Alessandro Bocconi 8 D N - 2/ Figura 1.6: Essendo positivo per x < 2 la linea continua del denominatore è a sinistra e la tratteggiata a destra Risolvere la disequazione 7x 2 8 4x < 0. Studiamo le condizioni di esistenza chiedendoci per quali valori di x si annulla il denominatore: Pertanto le condizioni di esistenza risultano: 8 4x = x = x = 2 C.E. = {x R x 2} Studiamo adesso il numeratore: 7x 2 > x = 2 7 x > 2 7 e il denominatore: 8 4x > x < x < 2 Riportiamo adesso i risultati ottenuti sul grafico di figura 1.6, osservando che il denominatore è maggiore di zero per x < 2. Quindi la linea continua è tracciata verso sinistra e la tratteggiata a destra. Dal momento che la disequazione iniziale è col minore le soluzioni risultano quelle evidenziate dal segno. Pertanto la soluzione è: S = {x R x < 2 7 x > 2} Risolvere la disequazione 7 x 5 < 0. Studiamo le condizioni di esistenza chiedendoci per quali valori di x si annulla il denominatore: x 5 = 0 x = 5 Pertanto le condizioni di esistenza risultano: C.E. = {x R x 5} Osserviamo adesso che il numeratore non contiene la x ma soltanto un numero: questo significa che, a differenza dei casi precedenti, il segno del numeratore non dipende da x ma è sempre positivo (perchè 7 è un numero positivo, fosse stato ad esempio 3 sarebbe stato sempre negativo). Questa

10 Alessandro Bocconi 9 D N Figura 1.7: Essendo il numeratore sempre positivo, in corrispondenza del numeratore abbiamo una linea sempre continua situazione si riporta nel grafico disegnando, in corrispondenza del numeratore, una linea sempre continua. Invece il denominatore dipende da x e quindi ci comportiamo come negli altri casi: x 5 > 0 x > 5 Riportiamo adesso i risultati ottenuti sul grafico di figura 1.7. Dal momento che la disequazione iniziale è col minore le soluzioni risultano quelle evidenziate dal segno. Pertanto la soluzione è: S = {x R x < 5} Regola per le disequazioni con o. Se una disequazione ha il o anche nella soluzione bisogna aggiungere il simbolo dell uguale accanto ai valori non esclusi dalla condizione di esistenza. Risolvere la disequazione 11 x 3x+4 0. Studiamo le condizioni di esistenza chiedendoci per quali valori di x si annulla il denominatore: Pertanto le condizioni di esistenza risultano: Studiamo adesso il numeratore: e il denominatore: 3x + 4 = x = 4 3 x = 4 3 C.E. = {x R x 4 3 } 11 x > 0 x > 11 x < 11 3x + 4 > x > 4 3 x > 4 3 Riportiamo adesso i risultati ottenuti sul grafico di figura 1.8.

11 Alessandro Bocconi 10 D N - -4/ Figura 1.8: La disequazione col prevede che nella soluzione siano compresi gli estremi non esclusi dalle C.E. Dal momento che la disequazione iniziale è col maggiore uguale le soluzioni risultano quelle evidenziate dal segno + e bisogna includere anche gli estremi non esclusi dalle C.E. Pertanto la soluzione è: S = {x R 4 3 < x 11} Definizione di forma normale di una disequazione fratta. Una disequazione fratta è in forma normale se al primo termine della disequazione vi è un unica frazione e al secondo termine 0. Le disequazioni fratte viste in precedenza erano tutte in forma normale. Se una disequazione fratta non è in forma normale va portata in tale forma e poi risolta come abbiamo visto. Esempio Risolvere la seguente disequazione 2x+1 4x 4 > 2 Iniziamo dalle condizioni di esistenza: Pertanto le condizioni di esistenza risultano: 4x 4 = x = 4 4 x = 1 C.E. = {x R x 1} Si osserva che la disequazione non è in forma normale. Portiamola in tale forma ricordandoci le operazioni con le frazioni algebriche: 2x + 1 4x 4 > 2 2x + 1 2x + 1 2(4x 4) 2x + 1 8x > 0 > 0 > 0 6x + 9 4x 4 4x 4 4x 4 4x 4 > 0 A questo punto la disequazione è in forma normale e possiamo procedere come nei casi precedenti. Studiamo il numeratore: e il denominatore: 6x + 9 > x < x < 3 2 4x 4 > x > 4 4 x > 1

12 Alessandro Bocconi 11 D N /2 - Figura 1.9: Riportiamo adesso i risultati ottenuti sul grafico di figura 1.9. Dal momento che la disequazione iniziale è col maggiore le soluzioni risultano quelle evidenziate dal segno +. Pertanto la soluzione è: S = {x R 1 < x < 3 2 } 1.4 Le disequazioni con un prodotto di fattori lineari Quanto abbiamo appreso e utilizzato per le disequazioni fratte può essere utilizzato per risolvere disequazioni in cui compare il prodotto di due fattori lineari, come emerge dal seguente Esempio Risolvere la seguente disequazione: (2x + 7)(5x 10) < 0 A differenza delle disequazioni fratte non c è un denominatore e quindi le condizioni di esistenza sono verificate qualunque valore di x. Studiamo quando il primo fattore è maggiore di zero: e il secondo fattore: 2x + 7 > x > 7 2 x > 7 2 5x 10 > x > x > 2 Dal momento che la regola dei segni del prodotto è uguale alla regola dei segni del quoziente, costruiamo il grafico come abbiamo fatto per le disequazioni fratte (figura 1.10). Dal momento che la disequazione iniziale è col minore le soluzioni risultano quelle evidenziate dal segno. Pertanto la soluzione è: S = {x R 7 2 < x < 2} Risolvere la seguente disequazione: (x + 6)(3 5x) 0 Come in precedenza le condizioni di esistenza sono verificate qualunque valore di x. quando il primo fattore è maggiore di zero: Studiamo x + 6 > 0 x > 6

13 Alessandro Bocconi 12 2F 1F + -7/2-2 + Figura 1.10: 1F indica la linea del primo fattore e 2F la linea del secondo fattore 2F 1F /5 - Figura 1.11: 1F indica la linea del primo fattore e 2F la linea del secondo fattore e il secondo fattore: Costruiamo il grafico (1.11). 3 5x > x < 3 5 x < 3 5 Dal momento che la disequazione iniziale è col minore uguale le soluzioni risultano quelle evidenziate dal segno. Inoltre nella soluzione devono essere compresi gli estremi (ricordiamoci che le condizioni di esistenza sono soddisfatte da qualunque valore di x). Pertanto la soluzione è: S = {x R x 6 x 3 5 } Consideriamo adesso disequazioni formate dal prodotto di più di 2 fattori lineari e vedremo che il metodo di risoluzione è concettualmente identico a quello adottato fino ad adesso, come emerge dal seguente: Esempio Risolvere la seguente disequazione: (x + 4)(3 4x)(2x 12) 0 Come in precedenza le condizioni di esistenza sono verificate qualunque valore di x. quando il primo fattore è maggiore di zero: Studiamo x + 4 > 0 x > 4 e il secondo fattore: 3 4x > x < 3 4 x < 3 4

14 Alessandro Bocconi / Figura 1.12: Il grafico è formato da 3 linee perché 3 sono i fattori della disequazione e il terzo fattore: 2x 12 > x > x > 6 In questo caso il grafico sarà costituito da 3 linee essendo 3 i fattori della diseguazione (figura 1.12) e il segno del prodotto scaturirà dalla regola dei segni usata con tre fattori. Dal momento che la disequazione iniziale è col maggiore uguale le soluzioni risultano quelle evidenziate dal segno +. Inoltre nella soluzione devono essere compresi gli estremi (ricordiamoci che le condizioni di esistenza sono soddisfatte da qualunque valore di x). Pertanto la soluzione è: S = {x R x x 6} Quanto visto nell ultimo esempio può essere esteso anche alle disequazioni fratte, come emerge dal seguente: Esempio Risolvere la seguente disequazione 5 3x+8 < 2 x 2 Iniziamo dalle condizioni di esistenza tenendo conto che sono due i denominatori: Pertanto le condizioni di esistenza risultano: 3x + 8 = x = 8 3 x = 8 3 x 2 = 0 x = 2 C.E. = {x R x 2 x 8 3 } Si osserva che la disequazione non è in forma normale. Portiamola in tale forma ricordandoci le operazioni con le frazioni algebriche: 5 3x + 8 < 2 x 2 5 3x x 2 < 0 il minimo comune multiplo fra i 2 demominatori è (3x + 8)(x 2) e la disequazione diventa: 5 (x 2) 2(3x + 8) (3x + 8)(x 2) < 0 5x 10 6x 16 (3x + 8)(x 2) < 0 x 26 (3x + 8)(x 2) < 0

15 Alessandro Bocconi 14 2D 1D N / Figura 1.13: A questo punto la disequazione è in forma normale. Studiamo il numeratore: il primo fattore che compone il denominatore: x 26 > 0 x > 26 x < 26 3x + 8 > x > 8 3 x > 8 3 e il secondo fattore che compone il denominatore: x 2 > 0 x > 2 Riportiamo adesso i risultati ottenuti sul grafico di figura Dal momento che la disequazione iniziale è col minore le soluzioni risultano quelle evidenziate dal segno. Pertanto la soluzione è: S = {x R 26 < x < 8 3 x > 2} 1.5 Le disequazioni di secondo grado Nel paragrafo 2.6 delle dispense Equazioni di secondo grado degli Appunti di Matematica, abbiamo verificato come scomporre un trinomio di secondo grado tramite le soluzioni dell equazione di secondo grado associata: 1. se l equazione ax 2 +bx+c = 0 ha 2 soluzioni x 1 e x 2, allora vale la scomposizione: ax 2 +bx+c = a(x x 1 )(x x 2 ) 2. se l equazione ax 2 + bx + c = 0 ha una soluzione x 1 (o meglio 2 coincidenti), allora vale la scomposizione: ax 2 + bx + c = a(x x 1 ) 2 3. se l equazione ax 2 + bx + c = 0 non ha soluzioni non è scomponibile. Quanto appena detto è estremamente utile per risolvere disequazioni di secondo grado. Primo caso (2 soluzioni quindi > 0): studiare la disequazione ax 2 +bx+c > 0 (oppure ax 2 + bx + c < 0, oppure ax 2 + bx + c 0, oppure ax 2 + bx + c 0) equivale a studiare la disequazione a(x x 1 )(x x 2 ) > 0 (oppure a(x x 1 )(x x 2 ) < 0 etc... )

16 Alessandro Bocconi 15 2F 1F + x1 - x2 + Figura 1.14: Stiamo affrontando il caso generale, quindi al posto dei numeri compaiono x 1 e x 2 2F 1F + x1 + Figura 1.15: Abbiamo un unica soluzione e quindi sulla retta orientata c è solo x 1 Supponiamo che il coefficiente a sia maggiore di zero e quindi ininfluente nella determinazione del segno. Nel paragrafo precedente abbiamo studiato esempi in cui la disequazione era composta dal prodotto di fattori di primo grado e l abbiamo risolta studiando singolarmente il segno dei singoli fattori. In questo caso abbiamo per il primo fattore: e per il secondo: riportiamo i dati nel grafico di figura x x 1 > 0 x > x 1 x x 2 > 0 x > x 2 A seconda del senso della disequazione (>, oppure <, oppure... ) sceglieremo l intervallo o gli intervalli che compongono la soluzione. Secondo caso (due soluzioni coincidente quindi = 0): studiare la disequazione ax 2 + bx + c > 0 (oppure ax 2 + bx + c < 0, oppure ax 2 + bx + c 0, oppure ax 2 + bx + c 0) equivale a studiare la disequazione a(x x 1 ) 2 > 0 (oppure a(x x 1 ) 2 < 0 etc... ) Supponiamo sempre a > 0 e quindi ininfluente nella determinazione del segno. Rimane quindi (x x 1 ) 2 che possiamo scrivere (x x 1 )(x x 1 ) ottenendo il grafico di figura Si osserva che nella retta non compare il segno. Quindi se la disequazione ha il senso di minore non ha soluzioni, mentre sa ha il maggiore comprende entrambi gli intervalli. Se poi il senso della disequazione comprende anche l uguale anche x 1 viene compreso nelle soluzioni. Terzo caso (nessuna soluzione quindi < 0): il trinomio ax 2 +bx+c non è scomponibile. Supponiamo a > 0 e aiutiamoci con lo studio della parabola:

17 Alessandro Bocconi 16 + Figura 1.16: Sulla retta orientata non c è nessun valore e quindi un unico + se il trinomio ha il delta negativo significa che la parabola y = ax 2 +bx+c non ha intersezioni con l asse delle x e, dal momento che abbiamo supposto a > 0, la concavità è rivolta verso l alto e di conseguenza la parabola sta sempre sopra l asse delle ascisse qualunque sia il valore di x. Questo significa che ax 2 +bx+c è sempre positivo e quindi sulla retta del grafico avremo un unico + (figura 1.16). Essendoci solo un + se la disequazione ha il senso minore (o minore uguale) non ha soluzioni (e si scrive S = ) mentre se ha il maggiore (o maggiore uguale) è verificata qualunque valore di x e si scrive S = {x R} Possiamo adesso enunciare il seguente: Metodo di risoluzione di disequazioni di secondo grado. Si porta in forma normale, se a < 0 si cambiano tutti i segni e il senso della disequazione per avere a > 0. Si risolve l equazione di secondo grado associata In base al numero di soluzioni si disegna il grafico corrispondente. Si determina la soluzione in base al senso della disequazione. Applichiamo quanto visto nei seguenti: Esempi Risolvere la disequazione x 2 7x La disequazione è già in forma normale e a > 0. Passiamo quindi a risolvere l equazione di secondo grado associata calcolandoci il discriminante (il delta): = b 2 4ac = ( 7) = = 9 Il discriminante è positivo (siamo quindi nel primo caso) e l equazione ha 2 soluzioni che si determinano tramite la formula risolutiva: x = b ± 2a = 7 ± = 7 ± 3 2 x = = 2, x = peranto x 1 = 2 e x 2 = 5, dobbiamo quindi riportare sul grafico x > 2 e x > 5 (figura 1.17) Dal momento che la disequazione ha il senso nella soluzione troviamo gli intervalli denotati col segno + compresi gli estremi: S = {x R x 2 x 5} = 5

18 Alessandro Bocconi Figura 1.17: Questo grafico deriva dal grafico di figura 1.14 sostituendo 2 ad x 1 e 5 a x Figura 1.18: Questo grafico deriva da quello di figura 1.15 sostituendo 3 ad x 1 Risolvere la disequazione x 2 + 7x 9 2x 2 + x La disequazione non è in forma normale: portiamola quindi in tale forma x 2 + 7x 9 2x 2 + x x 2 2x 2 + 7x x 9 0 x 2 + 6x 9 0 il coefficiente a è minore di zero cambiamo quindi tutti i segni e il senso della disequazione per farlo diventare positivo: x 2 + 6x 9 0 x 2 6x che diventa la disequazione da risolvere. Risolviamo l equazione di secondo grado associata calcolandoci il discriminante (il delta): = b 2 4ac = ( 6) = = 0 Il discriminante è zero (siamo quindi nel secondo caso) e l equazione ha una soluzione (2 coincidenti): x = b ± 2a = 6 ± peranto x 1 = 3 e otteniamo il grafico (figura 1.18) = 6 2 x = 3 Dal momento che la disequazione ha il senso dobbiamo cercare gli intervalli denotati col segno che non ci sono. Però, dato che il senso della disequazione comprende anche l uguale, gli estremi fanno parte della soluzione (in questo caso l unico estremo presente è 3). Quindi: S = {x R x = 3}

19 Alessandro Bocconi /2 + Figura 1.19: Osserviamo che se la disequazione fosse stata col senso minore (anziché minore uguale) 3 non avrebbe fatto parte della soluzione che sarebbe pertanto risultata l insieme vuoto. Risolvere la disequazione 2x 2 + 3x 5 < 0 La disequazione è in forma normale ma il coefficiente a è minore di zero cambiamo quindi tutti i segni e il senso della disequazione per farlo diventare positivo: che diventa la disequazione da risolvere. 2x 2 + 3x 5 < 0 2x 2 3x + 5 > 0 Risolviamo l equazione di secondo grado associata calcolandoci il discriminante (il delta): = b 2 4ac = ( 3) = 9 40 = 31 Il discriminante è negativo (siamo quindi nel terzo caso) e l equazione non ha soluzioni. Il grafico risulta quindi quello visto in figura 1.16 Dal momento che la disequazione ha il senso maggiore dobbiamo cercare gli intervalli denotati col segno +, ma in questo caso tutta la retta costituisce un unico intervallo denotato col segno +. Quindi: S = {x R} Osserviamo che se la disequazione fosse stata col senso minore la soluzione sarebbe stata l insieme vuoto. Risolvere la disequazione 4x x + 9 > 0 La disequazione è in forma normale e il coefficiente a è maggiore di zero. Risolviamo l equazione di secondo grado associata calcolandoci il discriminante (il delta): = b 2 4ac = (12) = = 0 Il discriminante è zero (siamo quindi nel secondo caso) e l equazione ha una soluzione (2 coincidenti): x = b ± 2a = 12 ± = x = 3 2 peranto x 1 = 3 2 e otteniamo il grafico (figura 1.19) Dal momento che la disequazione ha il senso maggiore dobbiamo cercare gli intervalli denotati col segno +. Quindi: S = {x R x < 3 2 x > 3 2 }

20 Alessandro Bocconi 19 Osserviamo che nella soluzione ci sono sia i valori minori di 3 2 che quelli maggiori. In altre parole ci sono tutti i valori eccetto 3 2. In questo caso si preferisce scrivere la soluzione: S = {x R x 3 2 } Quanto abbiamo visto per le disequazioni di secondo grado può essere utilizzato anche per le disequazioni fratte in cui il numeratore o il denominatore o entrambi sono di secondo grado, come accade nei seguenti Esempi Risolvere la seguente disequazione: 2x 9 x 2 8x+15 0 È una disequazione fratta quindi dobbiamo studiare le condizioni di esistenza ponendo il denominatore uguale a zero: x 2 8x + 15 = 0 è un equazione di secondo grado che risolviamo calcolandoci il discriminante (delta): = b 2 4ac = ( 8) = = 4 Il discriminante è positivo e l equazione ha 2 soluzioni che si determinano tramite la formula risolutiva: x = b ± 2a = 8 ± = 8 ± 2 2 x = = 3, x = = 5 pertanto le condizioni di esistenza risultano: Studiamo ora il segno del numeratore: E il segno del denominatore: C.E. = {x R x 3 x 5} 2x 9 > x > 9 2 x > 9 2 x 2 8x + 15 > 0 Per risolverla bisogna determinare le soluzioni dell equazione associata. Ma le soluzioni già le conosciamo per aver studiato le condizioni di esistenza e sono x 1 = 3 e x 2 = 5. Quindi nel grafico bisogna riportare, per il denominatore, x > 3 e x > 5 come evidenziato nel grafico di figura Dal momento che la disequazione ha il senso minore uguale prendiamo gli intervalli denotati col segno e comprendiamo gli estremi tranne quelli esclusi dalle condizioni di esistenza. Quindi: S = {x R x < x < 5} Risolvere la seguente disequazione: 25x2 +10x+1 x 2 x 6 > 0 È una disequazione fratta quindi dobbiamo studiare le condizioni di esistenza ponendo il denominatore uguale a zero: x 2 x 6 = 0 è un equazione di secondo grado che risolviamo calcolandoci il discriminante (delta): = b 2 4ac = ( 1) ( 6) = = 25

21 Alessandro Bocconi 20 N /2-5 + Figura 1.20: Una linea per il numeratore e due per il denominatore Il discriminante è positivo e l equazione ha 2 soluzioni che si determinano tramite la formula risolutiva: x = b ± 2a = 1 ± = 1 ± 5 2 x = = 2, x = = 3 pertanto le condizioni di esistenza risultano: Studiamo ora il segno del numeratore: C.E. = {x R x 2 x 3} 25x 2 10x + 1 > 0 è una disequazione di secondo grado, determiniamo allora le soluzioni dell equazione di secondo grado associata, partendo dal determinare il discriminante (delta): = b 2 4ac = ( 10) = = 0 Il discriminante è zero e quindi l equazione ha una soluzione (2 soluzioni coincidenti): x = b ± 2a = 10 ± = x = 1 5 Nel grafico finale riporteremo due volte x > 1 5. Passiamo al segno del denominatore: x 2 x 6 > 0 Per risolverla bisogna determinare le soluzioni dell equazione associata. Ma le soluzioni già le conosciamo per aver studiato le condizioni di esistenza e sono x 1 = 2 e x 2 = 3. Quindi nel grafico bisogna riportare, per il denominatore, x > 2 e x > 3 come evidenziato nel grafico di figura Dal momento che la disequazione ha il senso maggiore prendiamo gli intervalli denotati col segno +. Quindi: S = {x R x < 2 x > 3}

22 Alessandro Bocconi 21 D D N N /5-3 + Figura 1.21: Due linee per il numeratore e due per il denominatore 1.6 I sistemi di disequazioni Abbiamo già affrontato i sistemi di primo e secondo grado di equazioni. Se i sistemi erano composti da due equazioni (come tutti quelli che abbiamo visto), erano presenti due incognite, generalmente indicate con x e y, e la soluzione del sistema era costituita da una o più coppie di valori che soddisfacevano entrambe le equazioni. Nel sistema di disequazioni compare un unica incognita, ed abbiamo la seguente: Definizione di soluzione di un sistema di disequazioni. La soluzione di un sistema di disequazioni è costituita dalle parti comuni delle soluzioni di tutte le disequazioni che compongono un sistema. Chiariamo tramite un Esempio Un allenatore di calcio seleziona all interno di una scuola i ragazzi di altezza compresa fra un metro e cinquanta e un metro e settanta. Un allenatore di basket, all interno della stessa scuola seleziona ragazzi più alti di uno e sessanta. Chi viene selezionato da entrambi gli allenatori? La soluzione dell allenatore di calcio è: mentre quella dell allenatore di basket è 1, 50 < altezza < 1, 70 altezza > 1, 60 i ragazzi selezionati da entrambi gli allenatori rappresentano la parte comune delle due soluzioni e cioè: 1, 60 < altezza < 1, 70 quindi vengono selezionati per il calcio e per il basket i ragazzi di altezza compresa fra 1 e 60 e 1 e 70. Il metodo per risolvere un sistema di disequazioni è quindi quello di risolvere singolarmente ciascuna disequazione e poi cercare le parti comuni delle soluzioni.