Matematica B - a.a 2006/07 p. 1

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1 Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Definizione 1. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite, in forma normale, è del tipo a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x a mn x n = b m con a ij, b i R/C, i = 1,..., m e j = 1,..., n. Gli a ij si dicono coefficienti, i valori b i, termini noti e le x i sono le incognite. Se tutti i termini noti b i sono nulli il sistema è omogeneo. Definizione 2. soluzione di un sistema lineare è ogni n-pla ordinata (α 1, α 2,..., α n ) di numeri reali (o complessi) che sostituita in tutte le equazioni del sistema al posto delle incognite, x 1 α 1, x 2 α 2,..., x n α n, rende il primo membro uguale al secondo in tutte le equazioni.

2 Sistemi Lineari p. 2 Risolvere un sistema significa trovarne tutte le soluzioni o provare che non ce ne sono. Definizione 3. Due sistemi si dicono equivalenti quando hanno esattamente le stesse soluzioni. Esercizio 4. Dimostrare che avere le stesse soluzioni è una relazione di equivalenza tra i sistemi lineari. Nella risoluzione di un sistema si può cercare il rappresentante più facile da risolvere nella sua classe di equivalenza. Definizione 5. Un sistema che non ha soluzioni si dice incompatibile, o impossibile. Un sistema che ammette soluzioni si dice compatibile. Trattiamo l algoritmo della riduzione Gaussiana per la risoluzione dei sistemi lineari. Questo procedimento consiste nella trasformazione di un sistema in un sistema equivalente (che assumerà

3 Riduzione Gaussiana Matematica B - a.a 2006/07 p. 3 una struttura triangolare ) di immediata risoluzione. Indichiamo con R j la j-esima riga del sistema, cioè la j-esima equazione, e con C i la i-esima colonna e definiamo alcune operazioni, dette operazioni elementari, che consentono di trasformare un sistema in uno equivalente. OE1) Scambio tra righe: R i R j, riga i-esima e la riga j-esima sono scambiate di posto; OE2) Moltiplicazione per uno scalare: R i λ R i con λ 0, λ R/C, la riga i-esima viene moltiplicata per la costante λ; OE3) Combinazione lineare tra righe: R i R i + λ R j con λ 0, λ R/C e i j; la riga i-esima viene sostituita dalla somma della riga i-esima con la riga j-esima, moltiplicata per la costante λ.

4 Sistemi Lineari p. 4 Queste operazioni sono invertibili cioè: RE1) R i R j ; RE2) R i 1 λ R i, con λ 0, λ R/C ; RE3) R i R i λ R j, con λ 0, λ R/C e i j. stategia: usare le operazioni elementari per arrivare ad un sistema in forma a scala per righe; tattica: spazzare via colonna per colonna Passiamo all algoritmo di riduzione gaussiana, che descrive un metodo standard di trasformazione di un sistema lineare in uno equivalente, ma decisamente più semplice per il calcolo delle soluzioni. Tale algoritmo si ispira alla ben nota tecnica di sostituzione delle

5 Riduzione Gaussiana Matematica B - a.a 2006/07 p. 5 incognite per la risoluzione dei sistemi lineari. Per semplicità scriveremo i sistemi lineari indicando solo i coefficienti e la colonna dei termini noti. (P1) Individuare una riga, sia essa R i, in cui il coefficiente della x 1 sia non nullo. Operare R 1 R i. Se tutti i coefficienti della x 1 sono nulli, passare alla x 2 e così via fino a trovare la prima incognita con almeno un coefficiente non nullo. Portare tale coefficiente alla prima riga mediante opportuno scambio di righe. Tale coefficiente non nullo si chiama pivot della incognita corrispondente e tale incognita prende il nome di incognita pivotale. Quindi se la prima colonna non è tutta nulla si tratterà del pivot della x 1, altrimenti sarà il pivot della x 2, o della x 3...

6 Sistemi Lineari p. 6 Esempio 6. Partendo dal sistema sulla sinistra otteniamo: R 1 R La x 1 non ha pivot, ed il pivot della x 2 è in grassetto. Osserviamo come il passo (P1) contenga una possibilità di scelta nel caso vi siano più coefficienti non nulli per una incognita. Conviene, per comodità di calcolo nei passi successivi, scegliere come pivot il coefficiente più semplice, come stato fatto nell esempio. In tale esempio le altre possibilità di scelta nel passo (P1) sono: R 1 R 1 (ovvero lasciare inalterato il sistema) e R 1 R 3.

7 Riduzione Gaussiana Matematica B - a.a 2006/07 p. 7 (P2) Usare il pivot della x 1 (o della x 2,... ) per annullare, mediante opportune combinazioni lineari di righe, tutti i coefficienti della x 1 (o della x 2,... ) che sono al di sotto del pivot. Esempio Continuando l esempio precedente otteniamo: R 3 R 3 3R 1 R 4 R 4 2R Osserviamo come il passo (P2) equivalga a ricavare la x 2 da R 1 e sostituirla in R 3 e R 4. (P3) Trascurare R 1 e applicare i passi (P1) e (P2) al sistema composto da R 2,..., R m. Ripetere la procedura trascurando R 1 e R 2 ed applicando i passi (P1) e (P2) al sistema composto

8 Sistemi Lineari p. 8 da R 3,..., R m, e così via fino a quando non vi sono più righe o incognite cui applicare i passi (P1) e (P2). Esempio. Proseguendo l esempio precedente otteniamo: R 4 R 4 +R 3 R 3 R 3 +R 2 R 4 R 4 R L algoritmo termina in quanto non vi sono più incognite cui applicare il passo (P1). Abbiamo quindi tre incognite pivotali, x 2, x 4 e x 5 ; i rispettivi pivot sono 1, 1 e 4.

9 Riduzione Gaussiana Matematica B - a.a 2006/07 p. 9 Al termine dell algoritmo si perviene ad un sistema lineare ridotto a scala per righe, ovvero un sistema lineare in cui il primo coefficiente non nullo di ogni riga è più a sinistra del primo coefficiente non nullo della riga successiva. Ovviamente, i primi coefficienti non nulli di ogni riga sono i pivot. Osserviamo che mediante l algoritmo di riduzione gaussiana abbiamo dimostrato il seguente Teorema 7. Ogni sistema lineare è equivalente ad un sistema lineare ridotto a scala per righe. Osserviamo inoltre che il sistema ridotto cui si perviene mediante l algoritmo di riduzione gaussiana non è unico, in quanto il passo (P1) permette di operare delle scelte sul pivot. Osservazione 8. Se indichiamo con p il numero delle incognite pivotali e q quello delle righe significative (cioè righe con valori non tutti nulli) abbiamo:

10 Sistemi Lineari p se q > p l ultima riga significativa risulterà del tipo 0 = b q con b q 0 e quindi il sistema risulterà non compatibile; 2. se p = q il sistema ha soluzioni. Possiamo trascurare le righe non significative e portare al secondo membro le incognite non pivotali. Supponiamo siano x 1,..., x p le incognite pivotali e x p+1,..., x n quelle non pivotali. A questo punto assegniamo valori arbitrari alle incognite non pivotali, siano essi x p+1 = α p+1,..., x n = α n. Otteniamo un sistema quadrato p p, ridotto con p incognite pivotali, del tipo a 11 x 1 + = b 1 a 22 x 2 = b 2 a = ii 0 i = 1,..., p a pp x p = b p Tale sistema ha ovviamente una soluzione come si vede risol-

11 Riduzione Gaussiana Matematica B - a.a 2006/07 p. 11 vendo a partire dall ultima riga. Sia (x 1,..., x p ) = (α 1,..., α p ) tale soluzione. Segue che il sistema di partenza ha la soluzione (x 1,..., x p, x p+1,..., x n ) = (α 1,..., α p, α p+1,..., α n ). Se n > p, cioè le incognite del sistema sono in numero maggiore di quelle pivotali, possiamo attribuire dei valori arbitrari alle n p incognite rimanenti e quindi il sistema avrà infinite soluzioni. Sottolineiamo questo fatto dicendo che il sistema ammette n p soluzioni. Si pone per convenzione che 0 valga 1. Infatti quando n = p il sistema ammette una soluzione. Possiamo riassumere quanto detto nella Proposizione 9. Se q > p allora il sistema non ammette soluzioni; se q = p allora il sistema ammette n p soluzioni.

12 Sistemi Lineari p. 12 Esempio 10. Nell Esempio 6 abbiamo q = p = 3 e n = 5. Le incognite non pivotali sono x 1, x 3. Abbiamo quindi 2 soluzioni, precisamente (a, 1 b, b, 3, 1 ), a, b R Per concludere l argomento relativo alla risoluzione dei sistemi lineari mediante l algoritmo di Gauss, vediamo l algoritmo di riduzione gaussiana totale. Dopo aver portato il sistema a forma ridotta, proseguiamo nel seguente modo: rendiamo uguale a 1 ogni pivot, mediante l operazione di prodotto per uno scalare partiamo dall ultima riga contenente un incognita pivotale e annulliamo tutti i coefficienti che stanno al di sopra di essa mediante opportune combinazioni lineari di righe.

13 Riduzione Gaussiana Matematica B - a.a 2006/07 p. 13 Esempio 11. Dato il sistema: x + y + z = 11 2x y + z = 5 3x + 2y + z = 24 (2) l algoritmo di eliminazione porta alla forma ridotta: /3 17/ Con la operazioni sulle righe: R 2 R 2 1R 3 3 e R 1 R 1 R 2 si ottiene: 1 0 2/3 16/

14 Sistemi Lineari p. 14 Per ultimo: R 1 R 1 2R 3 3; si arriva cosí a: Le soluzioni del sistema sono quindi: x = 4, y = 5, z = 2. Il sistema così ottenuto è di immediata soluzione. Osserviamo che è possibile dimostrare che il sistema totalmente ridotto è unico; esso costituisce un rappresentante privilegiato della classe dei sistemi equivalenti a quello dato. Prima di chiudere questo paragrafo riteniamo utile enunciare il seguente Teorema 12. Ogni sistema lineare è equivalente ad un sistema totalmente ridotto a scala per righe.

15 Sistemi Omogenei Matematica B - a.a 2006/07 p. 15 Ricordiamo che un sistema lineare si dice omogeneo se tutti i termini noti sono nulli. È evidente che un sistema omogeneo ammette sempre la soluzione banale (cioè la soluzione composta da tutti zero). Per l Osservazione 8 un sistema omogeneo può avere infinite soluzioni se il numero di incognite è maggiore del numero di variabili pivotali. Esempio 13. Dato il sistema: x 2y z = 0 x + y + 2z = 0 y + z = 0 Utilizzando la riduzione gaussiana si trova; R 2 R 2 R (3)

16 Sistemi Lineari p. 16 Le ultime due righe sono proporzionali; il sistema (3) é equivalente al sistema: { x 2y z = 0 (4) y + z = 0 Trattando z come variabile libera, si trovano le 1 soluzioni ( z, z, z) con z R, arbitrario, tutte proporzionali alla terna ( 1, 1, 1), nel senso che si ottengono tutte da tale terna moltiplicandone le componenti per il numero reale z. Definizione 14. Una matrice m n è una tabella rettangolare di mn numeri (reali o complessi) disposti su m righe e n colonne. Ciascun numero nella matrice è un elemento o una entrata della matrice. Le matrici sono di solito indicate con una lettera maiuscola A; in questo caso un generico elemento di A è indicato con la corrispondente lettera minuscola: a ij è il numero che si trova nella riga

17 Teorema di struttura Matematica B - a.a 2006/07 p. 17 i e colonna j della matrice A. Ad esempio ( ) 1 π/4 5 A = ha due righe e tre colonne e quindi è una matrice 2 3. Useremo la notazione matriciale per descrivere l insieme delle soluzioni dei sistemi lineari. Un insieme di soluzioni come {( z, 1 w, w, 3, ) } z, w R può essere descritto da un insieme di costanti, un insieme di multipli di z, un insieme di multipli di w nel seguente modo: ( ) ( ) ( ) z w interpretando w ( ) come ( 0 w w 0 0 ) (simile per z) e l addizione come addizione componente per componente.

18 Sistemi Lineari p. 18 Definizione 15. Un vettore colonna è una matrice con una sola colonna, mentre un vettore riga è una matrice con una sola riga. Gli elementi che compongono tali matrici si dicono componenti del vettore. Esempio 16. u = 1 2 è un vettore colonna, mentre v = ( ) è un vettore riga. 3 Definizione 17. Il vettore somma di u e v è u 1 v 1 u 1 + v 1 u + v =. +. =. u n + v n u n v n

19 Teorema di struttura Matematica B - a.a 2006/07 p. 19 Definizione 18. La moltiplicazione scalare di un numero reale r e di un vettore v è v 1 rv 1 r v = r. =. v n rv n La moltiplicazione scalare può essere scritta in qualsiasi ordine: r v oppure v r, o senza il : rv. Esempio = = =

20 Sistemi Lineari p. 20 Mettiamo adesso a punto l uso della notazione matriciale per descrivere la struttura delle soluzioni dei sistemi lineari. Esempio 20. Il sistema 2x + y w = 4 y + w + u = 4 x z + 2w = 0 (5) si riduce a R R 1+R 3 R 3 (1/2)R 2 +R

21 Teorema di struttura Matematica B - a.a 2006/07 p. 21 L insieme di soluzioni è {(w + (1/2)u, 4 w u, 3w + (1/2)u, w, u) w, u R}, che, scritto in forma vettoriale, è x y z w u = w 0 1 1/ u 1 1/2 0 w, u R 0 1 Notiamo che per ogni particolare scelta della coppia (u, w) si ottiene una soluzione di (5); ad esempio ponendo sia w e u entrambi

22 Sistemi Lineari p. 22 uguali a zero si trova x y z w u = Se associamo al sistema al (5) il sistema omogeneo ottenuto da esso ponendo i termini noti uguali a zero, 2x + y w = 0 y + w + u = 0 x z + 2w = 0 (6)

23 Teorema di struttura Matematica B - a.a 2006/07 p. 23 si trova che le soluzioni di (6) (verificarlo per esercizio) sono x y z w u = w 1 1/ u 1 1/2 0 w, u R 0 1 Osserviamo che le soluzioni di (5) si possono scrivere addizionando una particolare soluzione di (5) alle soluzioni di (6).

24 Sistemi Lineari p } {{ } soluzione particolare 1 1/2 1 + w u 1 1/ } {{ } soluzione generale del sistema omogeneo associato w, u R La situazione è generale; dimostreremo in seguito che la soluzione generale di un sistema non omogeneo si ottiene addizionando ad una sua particolare soluzione la soluzione generale del sistema omogeneo associato.

25 Matrici Matematica B - a.a 2006/07 p. 25 Abbiamo già dato a pagina 16 la definizione di matrice: siano dati m n numeri reali o complessi; chiamiamo matrice di tipo m n una tabella come la seguente: A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn nella quale gli mn numeri sono disposti su m righe ed n colonne. Indicheremo una matrice con la scrittura A = (a ij ), i = 1,.., m e j = 1,.., n. I numeri a ij che figurano nella matrice A si dicono elementi o entrate della matrice A. a ij è l elemento che si trova nella riga i-sima e nella colonna j-sima. L insieme delle matrici di tipo m n ad entrate reali (complesse) si

26 Matrici p. 26 indica con M m n (R) (M m n (C)). Quando m = n scriviamo M n (R) anziché M n n (R). Se m n la matrice è detta rettangolare, se invece, m = n la matrice è detta quadrata di ordine m = n. Definizione 21. Una matrice si dice nulla se tutti i suoi elementi sono nulli. Diremo che due matrici A e B sono dello stesso tipo se A, B M m n (R). Esempio 22. A = ( 1 0 ) e B = ( 3 2 ) ; le matrici A e B sono dello stesso tipo: A, B M 23 (R).

27 Matrici Matematica B - a.a 2006/07 p. 27 Definizione 23. Due matrici A e B dello stesso tipo sono uguali se a ij = b ij per ogni i, j. Definizione 24. Si dice matrice riga, o vettore riga, un matrice del tipo (1, m). Si dice matrice colonna, o vettore colonna, un matrice del tipo (m, 1). Definizione 25. Se A = (a ij ) M n (R) è una matrice (quadrata), gli elementi del tipo a ii costituiscono la diagonale principale. Definizione 26. Una matrice A M n (R) si dice simmetrica se a ij = a ji, per ogni i, j. Una matrice A M n (R) si dice antisimmetrica se a ij = a ji, per ogni i, j. Esempio 27. A = , B =

28 Matrici p. 28 La matrice A è simmetrica; la matrice B è antisimmetrica. Definizione 28. Una matrice quadrata A M n (R) tale che a ii = 1 e a ij = 0 se i j si dice matrice identica di ordine n e si indica con I n. Esempio 29. La seguente è la matrice identica di ordine tre I 3 = Definizione 30. Una matrice quadrata A tale che a ij = 0 se i j si dice diagonale; se A è diagonale e inoltre tutti gli a ii sono uguali tra loro la matrice si dice scalare. Definizione 31. Una matrice quadrata A si dice triangolare superiore se a ij = 0 per i > j, cioè gli eventuali elementi non nulli

29 Matrici Matematica B - a.a 2006/07 p. 29 stanno sulla diagonale o sopra. Se a ij = 0 per i j allora A si dice strettamente triangolare superiore. Analoga definizione per le matrici triangolari inferiori (strettamente triangolari inferiori). U = a 11 a a nn 0 a a 2n... L = a nn a a 21 a a n1 a n2... a nn La matrice U è triangolare superiore, mentre la matrice L è triangolare inferiore. Definizione 32. Data una matrice A M m n (R), la matrice n m che si ottiene scambiando le sue righe con le suo colonne si dice la

30 Matrici p. 30 sua trasposta e si indica con A T : A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n....., AT = a m1 a m2 a m n a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m a 1n a 2n a m n Attenzione: se A M m n (R) allora A T M n m (R). È immediato riconoscere che A = (A T )T e che una matrice quadrata A è simmetrica se e solo se A = A T. Definizione 33. Se A e B sono due matrici dello stesso tipo si definisce la loro somma, C = A + B, ponendo c ik = a ik + b ik.

31 Matrici Matematica B - a.a 2006/07 p. 31 Esempio 34. Date le matrici A = ( 1 0 ) B = ( 3 2 ) allora: con C = A + B C = ( 2 2 ) L operazione di addizione tra matrici dello stesso tipo gode delle proprietà associativa e commutativa, come è facile verificare. Definizione 35. Si definisce la matrice opposta di A e si indica con A, quella matrice che ha per elementi gli opposti di quelli della matrice data.

32 Matrici p. 32 Definiamo la differenza tra matrici: A B = A + ( B). L elemento neutro nell addizione tra matrici è la matrice nulla, cioè la matrice che ha tutte entrate uguali a zero. Esercizio 36. Mostrare che la somma di matrici triangolari (superiori o inferiori) è ancora triangolare; mostrare che la somma di due matrici simmetriche (antisimmetriche) è ancora simmetrica (antisimmetrica). Osservazione 37. A è antisimmetrica se e solo se A = A T. Esercizio 38. Si dimostri che la trasposta di una somma di matrici è uguale alla somma delle matrici trasposte; in formule: (A + B) T = A T + B T. Si dimostri che se A M n (R), allora A + A T è una matrice simmetrica, mentre A A T è una matrice antisimmetrica.

33 Matrici Matematica B - a.a 2006/07 p. 33 Definizione 39. Data una matrice A = (a ij ) ed un numero reale λ, la matrice (λa ij ), che si ottiene moltiplicando tutti gli elementi di A per il numero reale λ si indica con λ A (ovvero λa). λa è il prodotto dello scalare λ per la matrice A. ( ) Esempio 40. A = ; 2A = 1 3 π ( π Dati i numeri reali r ed s qualsiasi e le matrici A e B, dello stesso tipo, si dimostrano le relazioni: 1) r(sa) = (rs)a 2) (r + s)a = ra + sa 3) r(a + B) = ra + rb 4) 1A = A; 1A = A ).

34 Matrici p. 34 5) 0A = A0 = 0 e r0 = 0r = 0 6) (ra) T = r(a T ) Nella 5) distinguere lo scalare 0 dalla matrice nulla! Il prodotto tra una matrice riga A del tipo 1 p e una matrice colonna B del tipo p 1 è la matrice C del tipo 1 1 con p c 11 = a 11 b 11 + a 12 b a 1p b p1 = a 1k b k1. Esempio 41. Siano date le seguenti matrici: A = ( ) 1, B = 1. 2 ( ) Si ha C = AB = ( 1) = ( 5 ). k=1

35 Matrici Matematica B - a.a 2006/07 p. 35 Prendiamo ora in considerazione le matrici A M mp (R), B M pn (R). Il numero delle colonne di A è uguale al numero delle righe di B ed è quindi possibile considerare il prodotto di una generica riga di A con una generica colonna di B. Sfruttando ciò ò, viene definito il prodotto righe per colonne di A e B: il generico elemento c ik della matrice C prodotto sarà il prodotto della i-sima riga di A con la k-sima colonna di B: c ik = a i1 b 1k + a i2 b 2k + + a ip b pk = p a ij b jk j=1 con i = 1, 2,...m e k = 1, 2...n. La matrice C è quindi del tipo m n: C M m n (R).

36 Matrici p. 36 Esempio 42. Date le due matrici ( ) 1 0 A =, B = 1 1 ( ) 3 2 1, osserviamo che il numero delle colonne di A coincide con il numero delle righe di B. Il prodotto C = AB sarà del tipo 2 3 con: c 11 = 1 ( 3) = 3 c 12 = ( 4) = 2 c 13 = 1 ( 1) + 0 ( 5) = 1 c 21 = 1 ( 3) = 4 c 22 = ( 4) = 6 c 23 = 1 ( 1) + 1 ( 5) = 4.

37 Matrici Matematica B - a.a 2006/07 p. 37 ossia: C = ( 3 2 ) Osservazione 43. Una volta fatto il prodotto AB, ci si può chiedere se BA dà lo stesso risultato. Ma si osserva subito che le cose vanno male: in generale BA nemmeno esiste! Infatti il numero delle righe di B non è detto sia lo stesso delle colonne di A. Accade cosí nell esempio appena fatto: non possiamo moltiplicare una matrice 2 3 per una 2 2. Ma, anche qualora si possa invertire l ordine delle matrici, è sconfortante osservare che il prodotto non è lo stesso: certamente se A fosse 2 3 e B fosse 3 2 esiste AB, ma è 2 2, esiste BA ma è 3 3 e, avendo ordini diversi, non possono essere uguali. Ma di più ancora: quand anche AB e BA fossero dello stesso tipo (e allora non possono altro che essere quadrate sia A che B) in generale AB BA. Provare con esempi concreti.

38 Matrici p. 38 Qualora (caso raro) AB = BA allora le due matrici si dicono tra loro commutabili (o permutabili). Definizione 44. Una matrice A si dice idempotente se: A 2 = A. Il prodotto tra matrici gode di alcune proprietà: (verificare per esercizio) 1. proprietà associativa: (AB)C=A(BC) 2. proprietà distributiva a sinistra: A(B + C)=(AB) + (AC) 3. proprietà distributiva a destra: (B + C)A=(BA) + (CA) 4. se A è una matrice quadrata di qualsiasi ordine allora A0 = 0A = 0, dove 0 è la matrice nulla dello stesso ordine di A

39 Matrici Matematica B - a.a 2006/07 p AI = IA = A, dove I è la matrice identica dello stesso ordine di A Evidenziamo il fatto che Proposizione 45. (AB) T = B T A T Dimostrazione. L elemento nel posto (j, i) di (AB) T è l elemento nel posto (i, j) di AB, ossia la i-esima riga di A contro la j- esima colonna di B. Invece l elemento nel posto (j, i) del prodotto B T A T è la j-esima riga di B T contro la i-esima colonna di A T, cioè la j-esima colonna di B (scritta in riga) contro la i-esima riga di A (scritta come colonna). Le due somme sono uguali, essendo la somma dei prodotti delle componenti corrispondenti della riga di A e la colonna di B.

40 Matrici p. 40 Grazie alla proprietà associativa del prodotto matriciale, resta ben definita la potenza n-sima di una matrice A, per n > 2, come A n = A } A {{ A}. n volte Definizione 46. Una matrice A, di ordine n, si dice nilpotente se A n = 0. Osservazione 47. Il prodotto delle due matrici ( ) ( ) A =, B = è la matrice nulla (verificarlo); tuttavia nessuna delle due è la matrice nulla. Questo esempio basta a dimostrare che per il prodotto di matrici non vale la legge di annullamento, valida per i numeri

41 Matrici Matematica B - a.a 2006/07 p. 41 reali (complessi): (ab = 0) (a = 0 b = 0). Quindi nemmeno la legge di cancellazione: dalla relazione AB = AC non si può dedurre B = C, nemmeno se A non è la matrice nulla. Ad esempio date le tre matrici: A = , B = Calcolando i prodotti si ottiene: AB = AC = ma, evidentemente, B C , C =

42 Matrici p. 42 Definizione 48. Una matrice quadrata A M n (R) si dice invertibile se esiste un altra matrice B M n (R) tale che AB = BA = I n. Proposizione 49. Se A e B sono matrici quadrate invertibili allora AB è invertibile e (AB) 1 = B 1 A 1. Dimostrazione. Sfruttando la proprietà associativa del prodotto tra matrici: (AB)(B 1 A 1 ) = ABB 1 A 1 = AA 1 = I. Analogamente per (B 1 A 1 )(AB). Osserviamo che una matrice invertibile NON può avere righe (nè colonne) tutte nulle: dimostrarlo per esercizio. (Suggerimento: per assurdo).

43 Matrici Matematica B - a.a 2006/07 p. 43 Si è visto come l algoritmo di riduzione gaussiana ci consenta di arrivare alla forma ridotta (totalmente) di una matrice A attraverso operazioni elementari sulle righe. Vediamo ora come questo effetto si possa raggiungere tramite la moltiplicazione della matrice A per opportune speciali matrici quadrate. Definizione 50. Le matrici elementari sono 1. matrice di scambio E ij : è la matrice che si ottiene dalla matrice identica I mediante lo scambio delle righe R i R j ; 2. matrice di moltiplicazione per scalare E i (λ), λ 0: è la matrice che si ottiene da I mediante R i λr i, 3. matrice di combinazione lineare E ij (λ), i j: è la matrice che si ottiene da I mediante R i R i + λr j. Data la matrice A di tipo m n:

44 Matrici p se E ij è di tipo m m, essa agisce nel seguente modo: E ij A = matrice ottenuta da A mediante R i R j ; mentre se E ij è di tipo n m agisce nel seguente modo: AE ij = matrice ottenuta da A mediante C i C j ; 2. E i (λ) agisce nel seguente modo: se è di tipo m m allora E i (λ)a = matrice che si ottiene da A mediante R i λr i, se è di tipo n n allora AE i (λ) = matrice che si ottiene da A mediante C i λc i ; 3. E ij (λ) agisce nel seguente modo: se è di tipo m m allora E ij (λ)a = matrice che si ottiene da A mediante R i R i + λr j, se è di tipo n n allora AE ij (λ) = matrice che si ottiene da A mediante C j C j + λc i. Pre-moltiplicare A per una matrice elementare ha l effetto di una trasformazione elementare sulle righe di A, post-moltiplicare

45 Matrici Matematica B - a.a 2006/07 p. 45 ha effetto sulle colonne di A. Verificare questi fatti su esempi. Inoltre l azione di una matrice elementare è analoga alla corrispondente operazione elementare. Non sorprende, quindi, che le matrici elementari siano tutte invertibili; le loro inverse sono: 1. E 1 ij = E ij, 2. (E i (λ)) 1 = E i ( 1 λ), 3. (E ij (λ)) 1 = E ij ( λ). La verifica è immediata. La riduzione gaussiana dei sistemi lineari ha un analogo nel caso delle matrici. Indicheremo la generica matrice elementare con E. Definizione 51. Due matrici A e B dello stesso tipo si dicono equivalenti (per righe) se esistono matrici elementari E 1, E 2,...E k

46 Matrici p. 46 tali che: E k E k 1 E k 2 E 2 E 1 A = B. Osservazione 52. Essere equivalenti per righe è una relazione di equivalenza tra matrici dello stesso tipo: provarlo. Definizione 53. Una matrice A si dice ridotta a scala (per righe) se il primo coefficiente non nullo di ogni riga è su una colonna più a sinsitra del primo coefficiente non nullo della riga successiva. Una matrice si dice totalmente ridotta a scala (per righe) se è ridotta a scala (per righe) e se il primo coefficiente non nullo di ogni riga è 1 e se le colonne contenenti tali coefficienti hanno tutti gli altri coefficienti uguali a 0.

47 Matrici Matematica B - a.a 2006/07 p. 47 Esempio 54. A = , B = La matrice A è ridotta a scala (per righe), la matrice B è totalmente ridotta a scala (per righe). Si domostra il Teorema 55. Ogni matrice è equivalente (per righe) ad una matrice ridotta (per righe) ed anche ad una matrice totalmente ridotta (per righe). Come per i sistemi lineari, la riduzione per righe di una matrice non è unica (mentre lo è quella totale per righe).

48 Matrici p. 48 Definizione 56. Si chiama rango di una matrice A il numero di righe non nulle di una matrice ridotta a scala per righe equivalente ad A. Questa definizione presuppone che matrici equivalenti (per righe) abbiano tutte lo stesso rango, ovvero che il rango di una matrice non cambi tramite moltiplicazione per una matrice elementare (il rango, quindi, attiene alla classe di equivalenza delle matrici equivalenti per righe): torneremo sull argomento. Il rango di A M m n (R) viene detto anche caratteristica di A e si indica con ρ(a). Evidentemente 0 ρ(a) min{m, n}. Le matrici elementari e l algoritmo di riduzione gaussiana danno una caratterizzazione delle matrici invertibili: Teorema 57. Data A quadrata di ordine n, sono equivalenti

49 Matrici Matematica B - a.a 2006/07 p A è invertibile 2. riducendo totalmente (per righe) A si ottiene I n 3. A è prodotto di matrici elementari Dimostrazione : osserviamo che riducendo A otteniamo una matrice che non può avere righe nulle. Infatti se B è una matrice ridotta equivalente ad A, abbiamo E k E 1 A = B; quindi B è invertibile in quanto prodotto tra matrici invertibili e quindi non può avere righe nulle. Abbiamo perciò n pivot, necessariamente tutti sulla diagonale. É chiaro che riducendo totalmente A otteniamo la matrice identica I : riducendo A totalmente otteniamo E k E 1 A = I, quindi A = E1 1 E 1 h ; la tesi viene ricordando che l inversa di una matrice elementare è ancora una matrice elementare.

50 Matrici p : questo poiché le matrici elementari sono invertibili e il prodotto di matrici invertibili è invertibile. Data una matrice quadrata A M n (R), associamo ad essa un numero reale, che si dirà il suo determinante e si indicherà con det A (a volte anche con A ). La definizione procede in modo ricorsivo a partire dalla dimensione 1: per una matrice 1 1 A = (a) si definisce det A = a. Ora la parte ricorsiva della definizione: se A = (a ij ) è matrice quadrata di ordine n+1, allora, indicando con A ij il determinante della matrice che si ottiene togliendo la i-esima riga e la j-esima colonna moltiplicato per ( 1) i+j, il determinante di A è det(a) = a 11 A 11 + a 12 A a 1n A 1n

51 Determinante Matematica B - a.a 2006/07 p. 51 Il numero A ij si chiama il complemento algebrico oppure il cofattore di (ij) o di (a ij ). La tabella seguente mostra il segno dei cofattori: Il segno ( 1) i+j ci procura una scacchiera di +1 e 1. Tale scacchiera inizia e finisce sempre con +. Perché non sono indicate la fine della prima riga e della prima colonna? Dalla definizione si ha subito che [ ] a11 a det 12 = a a 21 a 11 A 11 +a 12 A 12 = a 11 a 22 +a 12 ( a 21 ) = a 11 a 22 a 12 a

52 Matrici p. 52 Questa formula, se non già nota, è da memorizzare. Da notare il segno davanti al termine a 12 a 21 che proviene dalla scacchiera di + e. Altra formula da memorizzare è il caso 3 3. Sia a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Allora, per quanto già visto per il caso 2 2, si ha che det A = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 = a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 12 (a 21 a 33 a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 a 22 a 31 ) Si verifica immediatamente che 1. det I = 1,