APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

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1 APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

2 Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi Le frazioni algebriche Semplificazione di frazioni algebriche Il prodotto fra frazioni algebriche La divisione fra frazioni algebriche Addizioni e sottrazioni fra frazioni algebriche Le equazioni fratte Esercizi

3 Capitolo 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi Prima di entrare nel dettaglio delle frazioni algebriche, affrontiamo il minimo comune multiplo (mcm) e il Massimo Comun Divisore (MCD) fra polinomi. Tale argomento risulterà fondamentale quando tratteremo l addizione e sottrazione di frazioni algebriche. Abbiamo già incontrato il concetto di mcm e MCD sia parlando di numeri che di monomi. Anche per i polinomi il concetto non cambia e possiamo facilmente riadattare le definizioni date in precedenza, ricordando che un polinomio P è multiplo di un polinomio Q (e di conseguenza il polinomio Q è divisore del polinomio P ) se la divisione P : Q ha resto zero (per quanto riguarda la divisione fra polinomi vedi Appunti di Matematica, Il calcolo letterale, paragrafo 1.13). Definizione di mcm fra polinomi. Il mcm fra o più polinomi è, fra tutti i polinomi multipli dei polinomi assegnati, quello di grado minore. Definizione di MCD fra polinomi. Il MCD fra o più polinomi è, fra tutti i polinomi divisori dei polinomi assegnati, quello di grado maggiore. Per affrontare il metodo per determinare il mcm e MCD fra polinomi si consideri il seguente: Esempio Determinare mcm e MCD dei numeri 4 e 0. Scomponendo il numero 4 si ottiene: 4 = 3 3 e scomponendo il numero 0 si ottiene: 0 = 5. Per determinare il MCD dobbiamo prendere i fattori comuni ad entrambe le scomposizioni presi con l esponente minore: quindi, dato che l unico fattore presente in entrambe le scomposizioni è e che nella prima scomposizione ha esponente 3 e nella seconda ha esponente risulta che: MCD(4; 0) = = 4 Per determinare il mcm dobbiamo prendere i fattori presenti in almeno una scomposizione presi con l esponente maggiore: quindi, dato che i fattori presenti nella prima scomposizione sono e 3

4 Alessandro Bocconi 3 e nella seconda scomposizione sono e 5 e che nella prima scomposizione ha esponente 3 e nella seconda ha esponente risulta che: mcm(4; 0) = = 10 Vediamo adesso, tramite esempi, che il metodo per determinare MCD e mcm fra polinomi è concettualmente identico: Esempi Determinare MCD e mcm fra i polinomi: x + 4x + 4 e x + 7x Per primo dobbiamo scomporre entrambi i polinomi (per quanto riguarda la scomposizione di polinomi vedi Appunti di Matematica, Il calcolo letterale, paragrafo 1.15). x + 4x + 4 è il quadrato del binomio x + quindi: x + 4x + 4 = (x + ) mentre x + 7x + 10 si scompone tramite la tecnica del particolare trinomio di secondo grado, da cui: x + 7x + 10 = (x + )(x + 5) I fattori di questa scomposizione sono (x + ) per quanto riguarda il primo polinomio e (x + ) e (x + 5) per quanto riguarda il secondo. Come per i numeri, per determinare il MCD fra polinomi dobbiamo prendere i fattori comuni ad entrambe le scomposizioni presi con l esponente minore: quindi, dato che l unico fattore presente in entrambe le scomposizioni è (x + ) che nella prima scomposizione ha esponente e nella seconda ha esponente 1 risulta che: MCD(x + 4x + 4; x + 7x + 10) = (x + ) 1 = x + Per determinare il mcm dobbiamo prendere i fattori presenti in almeno una scomposizione presi con l esponente maggiore: quindi, dato che nella prima scomposizione l unico fattore presente è x + mentre nella seconda scomposizione sono x + e x + 5 e che (x + ) nella prima scomposizione ha esponente e nella seconda ha esponente 1 risulta che: mcm(x + 4x + 4; x + 7x + 10) = (x + ) (x + 5) Determinare MCD e mcm fra i polinomi: x 9 e x 4x + 3. Scomponiamo i polinomi: x 9 è la differenza di quadrati e quindi è il prodotto di una somma per una differenza: x 9 = (x + 3)(x 3) mentre x 4x + 3 si scompone tramite la tecnica del particolare trinomio di secondo grado, da cui: x 4x + 3 = (x 1)(x 3) I fattori di questa scomposizione sono (x + 3) e (x 3) per quanto riguarda il primo polinomio e (x 1) e (x 3) per quanto riguarda il secondo. L unico fattore presente in entrambe le scomposizioni è (x 3) che sia nella prima scomposizione che nella seconda ha esponente 1, quindi: MCD(x 9; x 3x + 4) = x 3

5 Alessandro Bocconi 4 e mcm(x 9; x 3x + 4) = (x + 3)(x 3)(x 1) Determinare MCD e mcm fra i polinomi: x 5x e x 6x + 9. Scomponiamo i polinomi: x 5x possiamo mettere in evidenza x ottenendo: x 5x = x(x 5) mentre x 6x + 9 è il quadrato di un binomio: x 6x + 9 = (x 3) I fattori di questa scomposizione sono x e (x 5) per quanto riguarda il primo polinomio e (x 3) per quanto riguarda il secondo. Nessun fattore è presente in entrambe le scomposizioni e quindi il MCD è 1 (1 è sempre un divisore comune di tutto ): MCD(x 5x; x 6x + 9) = 1 per il mcm prendiamo invece tutti i fattori: mcm(x 5x; x 6x + 9) = x(x 5)(x 3) 1. Le frazioni algebriche Definizione di frazione algebrica. Si definisce frazione algebrica una frazione in cui il numeratore e il denominatore sono entrambi polinomi. Osservazione. Dal momento che un numero può essere considerato come un polinomio formato da un solo monomio avente parte letterale nulla, le frazioni numeriche che conosciamo possono essere considerate anch esse frazioni algebriche. Quando abbiamo studiato le frazioni numeriche, abbiamo escluso la possibilità che il denominatore potesse essere zero. Infatti ben sappiamo che non ha senso in matematica una frazione del tipo 3 0. Consideriamo adesso la seguente frazione algebrica: x + 4 x 5 Dal momento che una lettera può assumere qualunque valore ci chiediamo se, per qualche valore di x, il denominatore diventa zero. Osserviamo che se x fosse 5 la frazione diventerebbe: = 9 0

6 Alessandro Bocconi 5 Bisogna quindi evidenziare che x può assumere qualsiasi valore tranne 5, perché se x = 5 il denominatore diventerebbe 0 e, come già detto, non ha senso una frazione con denominatore 0. A tale scopo servono le condizioni di esistenza (abbreviazione C.E.): Definizione di Condizioni di esistenza. Le condizioni di esistenza di una frazione algebrica rappresentano l insieme dei valori che possono assumere le lettere affinché il denominatore non sia zero. Nell esempio di prima, dal momento che x può assumere qualunque valore diverso da 5 le condizioni di esistenza risultano: C.E. = {x R x 5} Osservazione. Nell esempio precedente abbiamo intuito che il denominatore si annullava per x = 5; in altri casi però non è altrettanto facile determinare quel valore o quei valori che rendono zero il denominatore. Il metodo migliore è quello di scrivere il denominatore uguale a zero e risolvere l equazione. Il valore, o i valori che risolvono l equazione sono quelli da eliminare dalle condizioni di esistenza. Chiariamo con i seguenti: Esempi Determinare le condizioni di esistenza della frazione algebrica 7x 3x+1 Come detto nell osservazione poniamo il denominatore uguale a zero: 3x + 1 = 0 e risolviamo l equazione: 3x + 1 = 0 3x = x = x = 4 pertanto risulta: C.E. = {x R x 4} Determinare le condizioni di esistenza della frazione algebrica x x Come detto nell osservazione poniamo il denominatore uguale a zero: 14 5x = 0 e risolviamo l equazione: 14 5x = 0 5x = 14 5x = x = 14 5 x = 14 5 pertanto risulta: C.E. = {x R x 14 5 } Determinare le condizioni di esistenza della frazione algebrica x+4 x 5x+6 Come detto nell osservazione poniamo il denominatore uguale a zero: x 5x + 6 = 0. Il problema rispetto agli esempi precedenti è che dobbiamo risolvere un equazione di secondo grado che non sappiamo (per ora) affrontare. Proviamo allora a scomporre il polinomio x 5x + 6 = 0 (vedremo in seguito il motivo): non possiamo scomporlo col raccoglimento totale, né parziale, né tramite i prodotti notevoli. Proviamo col particolare trinomio di secondo grado: bisogna trovare numeri p e q tali che: p + q = 5; p q = 6 tali numeri sono p = e q = 3, pertanto il trinomio x 5x + 6 = (x )(x 3) x 5x + 6 può essere scomposto come sostituendo a x x+4 5x + 6 la sua scomposizione, la frazione algebrica diventa (x )(x 3) Il problema rimane di capire per quali valori di x il denominatore si annulla. Ma noi sappiamo che

7 Alessandro Bocconi 6 una moltiplicazione ha risultato zero se e soltanto se uno dei fattori è zero. Pertanto per determinare il risultato dell equazione: (x )(x 3) = 0 si pongono entrambi i fattori (x ) e (x 3) uguali a zero. Quindi: x = 0 x = x 3 = 0 x = 3 pertanto risulta: C.E. = {x R x, x 3} Determinare le condizioni di esistenza della frazione algebrica +5x 4 x 9 Anche in questo caso il denominatore è di secondo grado. Lo scomponiamo ottenendo: x 9 = (x 3)(x + 3). Sostituendo a x +5x 9 la sua scomposizione, la frazione algebrica diventa 4 abbiamo visto in precedenza per determinare il risultato dell equazione: (x + 3)(x 3) = 0 si pongono entrambi i fattori (x + 3) e (x 3) uguali a zero. Quindi: x + 3 = 0 x = 3 x 3 = 0 x = 3 (x+3)(x 3). Come pertanto risulta: C.E. = {x R x 3, x 3} 1.3 Semplificazione di frazioni algebriche Se ci troviamo di fronte a una frazione del tipo 6 8, sappiamo che possiamo semplificarla, e, senza ricorrere a particolari tecniche scriviamo: = 3 4 In realtà è come se avessimo scomposto sia il numeratore che il denominatore ottenendo: 6 8 = 3 4 = 3 4 = 3 4 Per semplificare una frazione algebrica ci comportiamo nello stesso modo come evidenziato dai seguenti: Esempi Semplificare, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, la seguente frazione algebrica: x 16 x + 9x + 0

8 Alessandro Bocconi 7 inizialmente dobbiamo determinare le condizioni di esistenza e ci comportiamo quindi come nel precedente paragrafo: il denominatore è costituito da un trinomio di secondo grado che scomponiamo con la tecnica del particolare trinomio di secondo grado ottenendo: x + 9x + 0 = (x + 4)(x + 5) si pongono entrambi i fattori (x + 4) e (x + 5) uguali a zero. Quindi: x + 4 = 0 x = 4 x + 5 = 0 x = 5 pertanto risulta: C.E. = {x R x 4, x 5} A questo punto dobbiamo occuparci della semplificazione. Scomponiamo quindi anche il numeratore ottenendo: x 16 = (x 4)(x + 4) Sostituiamo adesso, nella frazione algebrica, ai polinomi originali le rispettive scomposizioni ottenendo: x 16 (x 4)(x + 4) x = + 9x + 0 (x + 4)(x + 5) Osserviamo che il numeratore e il denominatore hanno un fattore in comune, (x+4), che può quindi essere semplificato ottenendo: (x 4) (x + 4) (x + 4) (x + 5) = x 4 x + 5 che è la frazione semplificata. Semplificare, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, la seguente frazione algebrica: x + 9x + 14 x + 7x Determiniamo le condizioni di esistenza scomponendo il denominatore (tramite il raccoglimento a fattor comune) e ottenendo: x + 7x = x(x + 7) si pongono entrambi i fattori x e (x + 7) uguali a zero. Quindi: x = 0 x + 7 = 0 x = 7 pertanto risulta: C.E. = {x R x 0, x 7} Adesso scomponiamo anche il numeratore (mediante il particolare trinomio di secondo grado) ottenendo: x + 9x + 14 = (x + 7)(x + ) Sostituiamo adesso, nella frazione algebrica, ai polinomi originali le rispettive scomposizioni ottenendo: x + 9x + 14 (x + 7)(x + ) x = + 7x x(x + 7) Osserviamo che il numeratore e il denominatore hanno un fattore in comune, (x+7), che può quindi essere semplificato ottenendo: (x + 7) (x + ) = x + x (x + 7) x Semplificare, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, la seguente frazione algebrica: x 3 + 6x + 3x + 18 x + 1x + 36

9 Alessandro Bocconi 8 Determiniamo le condizioni di esistenza scomponendo il denominatore (tramite prodotti notevoli) ottenendo: x + 1x + 36 = (x + 6) L unica possibilità che un numero elevato al quadrato sia zero è che sia zero il numero stesso, pertanto si pone (x + 6) uguale a zero: quindi risulta: x + 6 = 0 x = 6 C.E. = {x R x 6} Adesso scomponiamo anche il numeratore (mediante il raccoglimento parziale) ottenendo: x 3 + 6x + 3x + 18 = x (x + 6) + 3(x + 6) = (x + 6)(x + 3) Sostituiamo adesso, nella frazione algebrica, ai polinomi originali le rispettive scomposizioni ottenendo: x 3 + 6x + 3x + 18 x = (x + 6)(x + 3) + 1x + 36 (x + 6) Osserviamo che il numeratore e il denominatore hanno un fattore in comune, (x+6), che può quindi essere semplificato ottenendo: (x + 6) (x + 3) = x + 3 (x + 6) 1 x + 6 Possiamo quindi riassumere enunciando il: Metodo per la semplificazione di una frazione algebrica. Per semplificare una frazione algebrica, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, si scompone, se possibile, numeratore e denominatore: se in tali scomposizioni sono presenti dei fattori comuni, tali fattori possono essere semplificati. 1.4 Il prodotto fra frazioni algebriche Supponiamo di dover effettuare il seguente prodotto: Prima di moltiplicare fra loro i numeratori e fra loro i denominatori, conviene guardare se ci sono semplificazioni possibili (le cosiddette semplificazioni incrociate): = = = 1 Nel prodotto di frazioni algebriche ci comportiamo nello stesso modo, come emerge dai seguenti: Esempi Effettuare, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, il seguente prodotto fra frazioni algebriche: x + 3 x 4 x 8x + 16 x + 8x + 15

10 Alessandro Bocconi 9 Si osserva che i denominatori sono. Di conseguenza dovremo studiare per quali valori di x si annulla sia il primo denominatore che il secondo denominatore, ed eliminare tali valori dalle condizioni di esistenza. Il primo denominatore è di primo grado (e quindi non è ovviamente scomponibile) e si annulla se: x 4 = 0 x = 4 Il secondo denominatore è di secondo grado e va quindi scomposto (tramite il particolare trinomio di secondo grado): x + 8x + 15 = (x + 5)(x + 3) si pongono entrambi i fattori (x + 5) e (x + 3) uguali a zero. Quindi: x + 3 = 0 x = 3 x + 5 = 0 x = 5 pertanto risulta: C.E. = {x R x 4; x 3; x 5} scomponiamo adesso anche i numeratori: il primo è di primo grado e quindi non scomponibile, mentre il secondo va scomposto tramite i prodotti notevoli ottenendo: x 8x + 16 = (x 4) Sostituiamo adesso nel prodotto iniziale, ai polinomi le loro scomposizioni: x + 3 x 4 x 8x + 16 x + 8x + 15 = x + 3 x 4 (x 4) (x + 3)(x + 5) e osserviamo che possiamo effettuare delle semplificazioni incrociate: x + 3 x 4 (x 4) (x + 3) (x + 5) = x 4 x + 5 Effettuare, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, il seguente prodotto fra frazioni algebriche: x + x x 1 5x 5 x 1 Il primo denominatore è di primo grado e si annulla se: x 1 = 0 x = 1 Il secondo denominatore è di secondo grado e va quindi scomposto (tramite prodotti notevoli): x 1 = (x + 1)(x 1) si pongono entrambi i fattori (x + 1) e (x 1) uguali a zero. Quindi: pertanto risulta: x + 1 = 0 x = 1 x 1 = 0 x = 1 C.E. = {x R x 1; x 1} scomponiamo adesso anche i numeratori: il primo va scomposto col raccoglimento a fattor comune: x + x = x(x + 1) mentre nel secondo, anche se è di primo grado, conviene mettere in evidenza il fattore comune 5 ottenendo: 5x 5 = 5(x 1)

11 Alessandro Bocconi 10 Sostituiamo adesso nel prodotto iniziale, ai polinomi le loro scomposizioni: Effettuiamo le semplificazioni incrociate: x + x x 1 5x 5 x(x + 1) 5(x 1) x = 1 x 1 (x + 1)(x 1) x( x + 1) 5 (x 1) x 1 (x + 1) (x 1) = 5x x La divisione fra frazioni algebriche Sappiamo che la divisione fra due frazioni numeriche equivale alla moltiplicazione della prima (il dividendo) per il reciproco della seconda, come emerge dal seguente esempio: 10 3 : 15 7 = = 14 9 Anche nelle frazioni algebriche ci comportiamo così, ma bisogna porre particolare attenzione alle condizioni di esistenza, come possiamo capire dal seguente esempio: Esempio x+3 x : x+5 x 6 Ci sono denominatori sui quali studiare le condizioni di esistenza. Dal primo risulta che x deve essere diverso da, mentre dal secondo risulta che x deve essere diverso da 6. Se trasformiamo la divisione in una moltiplicazione fra la prima frazione algebrica e il reciproco della seconda (ricordiamo che il reciproco di una frazione si ottiene scambiando fra loro denominatore e numeratore) otteniamo: x + 3 x : x + 5 x 6 = x + 3 x x 6 x + 5 Osserviamo che abbiamo un nuovo denominatore, cioè x + 5, che, come tutti i denominatori deve essere diverso da zero. Quindi deve risultare che x diverso da 5. Riassumendo abbiamo le seguenti condizioni di esistenza: C.E. = {x R x ; x 6; x 5} L esempo ci suggerisce che, in una divisione fra frazioni algebriche, deve essere diverso da zero, oltre ai denominatori, anche il numeratore della seconda frazione algebrica. Esempi Effettuare, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, la seguente divisione fra frazioni algebriche: x + 4x + 4 x + x : x 4 x 9x + 0 Determiniamo le condizioni di esistenza analizzando, oltre i denominatori, anche il secondo numeratore, cominciando dal primo denominatore: x 4 = 0 x = 4

12 Alessandro Bocconi 11 Il secondo denominatore è di secondo grado e va quindi scomposto. Scomponiamolo col metodo del particolare trinomio di secondo grado: da cui x 9x + 0 = (x 4)(x 5) x 4 = 0 x = 4 x 5 = 0 x = 5 Anche il numeratore della seconda frazione è di secondo grado e va quindi scomposto. Scomponiamolo tramite raccoglimento a fattor comune: da cui x = 0 x + x = x(x + ) x + = 0 x = Riassumendo abbiamo le seguenti condizioni di esistenza: C.E. = {x R x 4; x 5; x 0; x } A questo punto possiamo eseguire la divisione trasformandola nell equivalente moltiplicazione: x + 4x + 4 x 4 : x + x x 9x + 0 = x + 4x + 4 x 9x + 0 x 4 x + x Per sostituire ai polinomi le relative scomposizioni, bisogna ancora scomporre il primo numeratore. Lo facciamo tramite il riconoscimento di prodotti notevoli: Possiamo adesso eseguire le semplificazioni: x + 4x + 4 = (x + ) x + 4x + 4 x 4 x 9x + 0 x + x = (x + ) x 4 (x 4) (x 5) x (x + ) = (x + )(x 5) x Effettuare, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, la seguente divisione fra frazioni algebriche: x 7 + 3x 6 + 8x + 1 x + 3 : x + 14 x + 7x Determiniamo le condizioni di esistenza analizzando, oltre i denominatori, anche il secondo numeratore, cominciando dal primo denominatore: x + 14 = 0 x = 14 x = 7 Il secondo denominatore è di secondo grado e va quindi scomposto. raccoglimento a fattor comune: x + 7x = x(x + 7) da cui x = 0 Dal numeratore della seconda frazione otteniamo: x + 7 = 0 x = 7 Scomponiamolo tramite x + 3 = 0 x = 3 x = 3 Riassumendo abbiamo le seguenti condizioni di esistenza: C.E. = {x R x 7; x 0; x 3 }

13 Alessandro Bocconi 1 A questo punto possiamo eseguire la divisione trasformandola nell equivalente moltiplicazione: x 7 + 3x 6 + 8x + 1 x + 14 : x + 3 x + 7x = x7 + 3x 6 + 8x + 1 x + 7x x + 14 x + 3 Per sostituire ai polinomi le relative scomposizioni, bisogna ancora scomporre il primo numeratore. Lo facciamo tramite il raccoglimento parziale: x 7 + 3x 6 + 8x + 1 = x 6 (x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x 6 + 4) Inoltre nel primo denominatore conviene mettere in evidenza un ottenendo: x + 14 = (x + 7) Possiamo adesso eseguire l operazione effettuando le dovute semplificazioni: x 7 + 3x 6 + 8x + 1 x + 14 x + 7x x + 3 = (x + 3) (x 6 + 4) x (x + 7) (x + 7) x + 3 = x(x6 + 4) 1.6 Addizioni e sottrazioni fra frazioni algebriche Ancora una volta partiamo da un esempio fra due frazioni numeriche: Il primo passo è quello di trovare il minimo comune multiplo fra i denominatori. Per questo scomponiamo entrambi i denominatori: 8 = 3 ; 6 = 3. Ricordiamo che il minimo comune multiplo si ottiene prendendo tutti i fattori delle scomposizioni (comuni e non comuni) con l esponente maggiore. Quindi il m.c.m. cercato è 3 3 che è il denominatore della frazione somma. Effettuiamo la divisione fra il m.c.m. appena trovato e il primo denominatore che è 3 : 3 3 : 3 = 3 moltiplichiamo il primo numeratore (7) per 3 e otteniamo 1. Ripetiamo il procedimento col secondo denominatore: 3 : 3 = moltiplichiamo il secondo numeratore (5) per e otteniamo 0. La somma risulta quindi: = 41 4 Il procedimento è identico per tutte le frazioni algebriche, come emerge dai seguenti: Esempi Effettuare, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, la seguente somma fra frazioni algebriche: x + 8x x x + 10x + 5 Per le condizioni di esistenza scomponiamo entrambi i denominatori: x + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)

14 Alessandro Bocconi 13 da cui: x + 3 = 0 x = 3 x + 5 = 0 x = 5 da cui: x + 10x + 5 = (x + 5) x + 5 = 0 x = 5 Riassumendo abbiamo le seguenti condizioni di esistenza: C.E. = {x R x 3; x 5} Per effettuare la somma devo effettuare il minimo comune multiplo fra i denominatori che abbiamo già scomposto. Risulta che: m.c.m.=(x + 3)(x + 5) Dividiamo, sotto forma di frazione, il m.c.m. per il primo denominatore: (x + 3) (x + 5) (x + 3) (x + 5) = x + 5 quindi il primo numeratore va moltiplicato per x + 5 Dividiamo, sempre sotto forma di frazione, il m.c.m. per il secondo denominatore: (x + 3) (x + 5) (x + 5) = x + 3 quindi il secondo numeratore va moltiplicato per x + 3 Ricapitolando otteniamo: x + 8x x (x + 5) + x(x + 3) x = + 10x + 5 (x + 3)(x + 5) Al denominatore ci sono solo prodotti e conviene lasciarlo sotto questa forma. Al numeratore c è una somma e quindi dobbiamo effettuare i calcoli: che completa l addizione. (x + 5) + x(x + 3) (x + 3)(x + 5) = x x + 3x (x + 3)(x + 5) = x + 5x + 10 (x + 3)(x + 5) Effettuare, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, la seguente sottrazione fra frazioni algebriche: x 3 x + 4 x + 6x + 8 Per le condizioni di esistenza scomponiamo il secondo denominatore (il primo è di primo grado): x + 6x + 8 = (x + )(x + 4) da cui: Dal primo denominatore si ottiene: x + = 0 x = x + 4 = 0 x = 4 x + 4 = 0 x = 4

15 Alessandro Bocconi 14 Riassumendo abbiamo le seguenti condizioni di esistenza: C.E. = {x R x ; x 4} Per effettuare la somma devo effettuare il minimo comune multiplo fra i denominatori. Risulta che: m.c.m.=(x + )(x + 4) Dividiamo, sotto forma di frazione, il m.c.m. per il primo denominatore: (x + 4) (x + ) (x + 4) = x + quindi il primo numeratore va moltiplicato per x + Dividiamo, sempre sotto forma di frazione, il m.c.m. per il secondo denominatore: (x + 4) (x + ) (x + 4) (x + ) = 1 quindi il secondo numeratore va moltiplicato per 1 (cioè rimane lo stesso). Ricapitolando otteniamo: x 3 x + 4 (x 3)(x + ) x = + 6x + 8 (x + )(x + 4) Come in precedenza al denominatore ci sono solo prodotti e lo lasciamo sotto questa forma, mentre al numeratore c è una sottrazione e dobbiamo quindi effettuare i calcoli: che completa l addizione. (x 3)(x + ) (x + )(x + 4) = x + x 3x 6 (x + )(x + 4) = x x 8 (x + )(x + 4) 1.7 Le equazioni fratte Strettamente collegato all argomento delle frazioni algebriche è quello delle equazioni fratte (o frazionarie). Un equazione si dice fratta se l incognita x compare al denominatore. Esempio 5 x 3 = 1 è un equazione fratta Dal momento che nelle equazioni fratte compare l incognita al denominatore, bisogna determinare qualcosa di molto simile alle condizioni di esistenza. Questo qualcosa lo chiamiamo dominio che è definito come segue: Definizione di dominio di un equazione fratta. Il dominio di un equazione fratta è l insieme delle soluzioni accettabili.

16 Alessandro Bocconi 15 La differenza con le condizioni di esistenza è abbastanza sottile, ma va comunque tenuta in considerazione: le condizioni di esistenza rappresentano l insieme dei valori che possono assumere le lettere affinché l espressione abbia senso, mentre il dominio di un equazione fratta è l insieme delle soluzioni accettabili (cioè si risolve l equazione, si confronta la soluzione col dominio e si vede se tale soluzione è accettabile). In ogni caso il dominio si determina nello stesso modo delle condizioni di esistenza. Ricordiamo che risolvere un equazione significa determinare quel valore (o quei valori) che, sostituito all incognita rende l equazione una uguaglianza vera. Per risolvere un equazione fratta si procede nel modo seguente: Metodo per la risoluzione di un equazione fratta 1. si determina il dominio. si individua il minimo comune multiplo fra tutti i denominatori. 3. si portano entrambi i termini dell equazione a comun denominatore 4. si eliminano i denominatori 5. si risolve l equazione intera 6. si verifica se la soluzione appartiene al dominio: se sì possiamo accettarla, altrimenti l equazione non ha soluzione Esempi Risolvere l equazione: 5 x 3 = 1 1) Dominio: abbiamo un unico denominatore, pertanto il dominio si determina ponendo: x 3 = 0 x = 3 pertanto D = {x R x 3} ) Abbiamo un unico denominatore, quindi il minimo comune multiplo fra i denominatori coincide con l unico denominatore cioè x 3. 3) Portiamo tutti i termini a comun denominatore x 3: 5 x 3 = x 3 x 3 4) Eliminiamo i denominatori: 5 x 3 = x 3 x 3 5) Risolviamo l equazione intera: 5 = x 3: 5 = x 3 x = 3 5 x = 8 6) Confrontiamo la soluzione trovata con il dominio: dal momento che le soluzioni accettabili sono tutte quelle diverse da 3, la soluzione x = 8 è accettabile e quindi possiamo scrivere: S = {x R x = 8} Risolvere l equazione: 1 x 8x+1 3 x 6 = 0 1) Dominio: per determinare il dominio dobbiamo scomporre il primo denominatore. Usando la tecnica della somma e prodotto, otteniamo:

17 Alessandro Bocconi 16 x 8x + 1 = (x )(x 6) Pertanto i valori che annullano il denominatore sono x = e x = 6. Anche il secondo denominatore si annulla per x = 6, quindi il dominio risulta: D = {x R x, x 6} ) Il minimo comune multiplo è (x )(x 6). 3) Portiamo tutti i termini a comun denominatore (x )(x 6): 1 (x )(x 6) 3(x ) (x )(x 6) = 0 4) Eliminiamo i denominatori: 1 (x )(x 6) 3(x ) (x )(x 6) = 0 5) Risolviamo l equazione intera: 1 3(x ) = 0: 1 3(x ) = 0 1 3x + 6 = 0 3x = 18 x = 6 6) Confrontiamo la soluzione trovata con il dominio: dal momento che le soluzioni accettabili devono essere diverse da e da 6, la soluzione x = 6 non è accettabile e quindi l equazione non ha soluzioni. Quindi: S = 1.8 Esercizi Paragrafo 1.1 Determina il m.c.m. fra i seguenti polinomi: 1. x 5; x 10x + 5. x 3; x 7x x 3 + 3x + 10x + 6; x + 4. x 9; x + 3x + Paragrafo 1. Determina le condizioni di esistenza delle seguenti frazioni algebriche 5. 5x 1 x+ ; x 4 x x ; +x 5+8x 7. x 1 x 9 ; x 3 10x 5x 8. 3 x 10x+16 ; x+7 x 9. 5x+1 x ; x x x+1

18 Alessandro Bocconi x 1 x 11x ; +x x 5x+6 Paragrafo 1.3 Semplifica le seguenti frazioni algebriche dopo aver determinato le condizioni di esistenza 11. x +11x+30 x +1x+36 ; x+1 x +6x+5 1. x 4x x 6x+8 ; x 3x 10 x+ 13. x 1 x +x ; x 3 x +4x 14. x +11x+30 x +1x+36 ; 8x 4x 3 +16x 15. 4x 5 +3x 4 +8x+6 4x+3 ; x 4x+3 x x x 9 +x 8 1x 4 3x+1 ; x +5x+4 x +4x 17. x 4 +3x 3 +6x x 3 ; x 4 x +4x x 5 4x 0x+5 ; 9x +6x+1 9x 1 Paragrafo 1.4 e Paragrafo 1.5 Esegui le seguenti operazioni fra frazioni algebriche dopo aver determinato le condizioni di esistenza 19. x +11x+30 x 0. x x+8 x 64 x +3x ; 1. x 5 x 9 x 4 x +6x ; x +14x x x+1 x 1 x+7 x 3 x +x 35 ; x +14x+48 x 36 x 6 x+8 4x x 4x+4 x 4x+8. x +x 15 x+10 x 0x x+5 ; x+10 x +x 15 x+5 x 0x 4x 1 3. x 16 x 4x 16x 8x+1 ; x+ x+3 x+4 x+5 4. x +9x+18 x 4 : x +6x x 16 ; x x x+1 : x 3x x 1 5. x +9x x 1 : x +10x+9 5 ; x x 4x+4 : 10 x 6. x +x 30 x 4 : x 5x x 4x ; x+1 x x : 4x 1 x Paragrafo 1.6 Esegui le seguenti operazioni fra frazioni algebriche dopo aver determinato le condizioni di esistenza x 9x+6 + x x 9 ; 8. 3 x 1 + x+5 x x+1 ; 9. x+1 x 1 + x+ x ; 4 x 100 x x+5 + x+4 x +7x+10 x x 5x+6 + x 6x+8 3x x +1x x+ x x +5x ; x+1 4x 8x +1x

19 Alessandro Bocconi x +8x+15 + x+4 x+3 ; 3 x x+ 3. 6x 6x 3 +1x 1 x+1 ; x + 8 x 33. 5x+1 x +9x x+7 ; 1 x + x x+1 Esegui le seguenti espressioni fra frazioni algebriche dopo aver determinato le condizioni di esistenza x+ 34. x 1 + x +4x x 1 x+1 x+4 x 35. +x+1 x x 5 5x x +4x+3 + x+1 x+3 x+ 36. x 7x+1 x +14 x 9 : x +8 x x x + x +4x+4 x 3 : x 4 x 3 Paragrafo 1.7 Risolvi le seguenti equazioni fratte x 4 = 1 S = {x R x = 1} 39. x+4 = 1 3 S = {x R x = } x 9x+0 = 1 x 5 S = = 0 x+1 S = {x R x = 1 } 4. 4 x 1 8 4x 1 = 0 S = 43. x = 0 S = {x R x = 0} x x x +4x+4 = 5 x+ S = {x R x = 7 5 } 45. 5x x x 4 = 0 S = x+7 = S = {x R x = 1} x +7x+10 = 4 x+ S = {x R x = 1} x 9 + x 3 = 0 S = 49. x+3 = 4 5x S = {x R x = }