La somma. Esempio: Il prodotto. Esempio:

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1 La somma L algoritmo della operazione di somma non cambia qualunque sia la base considerata. Naturalmente, le regole da imparare nel caso di una base b sono relative alle sole b 2 posssibili combinazioni delle cifre da 0 a b-1. Così le 100 regole della base 10 si riducono a 4 soltanto nella base 2: 0+0 = = = = 0 con riporto 1 E' nell'ultima regola che si vede la semplificazione portata dalla base 2: a parità di significato (valore) un numero scritto in base 2 è molto più lungo dell'equivalente scritto in base 10, ma le regole per poi eseguire la somma sono di gran lunga più semplici. Nel caso dell'elaboratore questo è essenziale; infatti, la velocità gli permette di non preoccuparsi eccessivamente della lunghezza dei numeri, mentre le regole relative alla somma delle coppie di cifre sono legate alla circuiteria elettronica che le deve eseguire, e un conto è complicare tale circuiteria per realizzare 100 regole e un altro è doverne realizzare solo 4. Per la somma di due numeri positivi di lunghezza K possono essere necessari K+1 bit. Se sono disponibili solo K cifre si genera un errore di overflow (o trabocco). A = =27 10 B = = = = Questa semplice verifica è lasciata come esercizio. Il prodotto Analogo all'operazione di somma è il prodotto. Anche in questo caso l'operazione si riduce a conoscere il prodotto di ciascuna coppia di cifre. Nel caso della base 2 tutto si riduce a ricordare l'esiguo numero di 2*2 regole, che sono: 0*0 = 0 0*1 = 0 1*0 = 0 1*1 = 1 In definitiva si hanno le regole seguenti: o o il prodotto per zero dà sempre come risultato zero; il prodotto per 1 dà sempre come risultato il numero stesso.

2 A = =11 10 B = = * = * = Il risultato della moltiplicazione tra i 2 numeri binari è stato calcolato in tal modo: 1011* 1101= La sottrazione Nella sottrazione, il ruolo del riporto è assunto dal "prendere in prestito" quando si debba sottrarre 1 da 0 e valgono le seguenti regole: 0-0 = = = = 1 con prestito di 1 Si suppone che si generi un numero positivo da tale sottrazione A = =12 10 B = = = = 9 10 Questa semplice verifica è lasciata come esercizio. La divisione La classica domanda "quante volte il dividendo sta in una certa parte del divisore", può solo avere due risposte: 0, cioè non ci sta, oppure 1, cioè ci sta, perché è più piccolo. A = =150 10

3 B = = : :12 10 Procedimento dell'operazione: si cerca la prima parte del dividendo che sia maggiore del divisore. Tale prima parte è nel nostro caso 10010, e dobbiamo scrivere 1 al quoziente, calcolando il resto come differenza Si ottiene 110. A questo punto "si abbassa" la cifra successiva del dividendo, cioè 1, ottenendo Il divisore 1100 "sta" nel 1101, ovviamente una volta e con resto 1. Il quoziente diviene 11 e abbassando la cifra successiva 1 si ha 11. Questa volta il divisore "non sta" in questa parte del dividendo e quindi si aggiunge uno 0 al quoziente, abbassando la cifra successiva. Questo è l'ultimo 0, che dà 110 nel dividendo. Di nuovo il 1100 non sta nel 110 e perciò si aggiunge un altro 0 al quoziente. Non essendoci più cifre da calare ciò significa che l'operazione è finita: qiundi il quoziente è =12 10, il resto è =6 10. Risultato :12 10 =12 10 con resto : = con resto Esercizi relativi alle operazioni Effettuare le seguenti operazioni tra numeri binari, ipotizzando di lavorare con un elaboratore con lunghezza di parola (word) pari a un byte (8 bit): Esercizio n Esercizio n Esercizio n 3 7 * 12 Esercizio n 4 23 / 7 Per poter risolvere le quattro operazioni è necessario fare alcune considerazioni: In primo luogo, convertiamo in binario i valori indicati, aggiungendo eventuali zeri in testa per ottenere stringhe di otto bit. Per farlo, sia a scopo di esercizio, sia per velocizzare i calcoli, convertiamo dapprima il valore decimale in esadecimale, convertendo successivamente quest'ultimo in binario. Avremo allora: 35 = = (perché 2 * 0010, e 3 * 0011) 22 = = (perché 1 * 0001, e 6 * 0110) 42 = 2A 16 = (perché 2 * 0010, e A * 1010)

4 31 = 1F 16 = (perché 1 * 0001, e F * 1111) 7 = 7 16 = (perché 0 * 0000, e 7 * 0111) 12 = 0C 16 = (perché 0 * 0000, e C * 1100) 23 = = (perché 1 * 0001, e 7 * 0111) Utilizzando adesso le regole esposte nella pagina relativa alle operazioni si possono calcolare i vari risultati. Soluzione n = Passo I:???????1 prestito: 0 Passo II:??????01 prestito: 0 Passo III:?????101 prestito: 1 Passo IV:???? 1101 prestito: 1 Passo V:??? prestito: 1 Passo VI:

5 ?? prestito: 0 Passo VII: prestito: 0 Risultato: = 0D 16 = Soluzione n = Svolgendo i calcoli, si trova: = Risultato: = = Soluzione n 3 7 * 12 = * Svolgendo i calcoli, si trova: * = Risultato: = = Soluzione n 4 23 / 7 = / Eseguendo i calcoli passo passo, si ha successivamente: Passo I: / 111 = 1 resto 0100 (infatti 11 / 7 dà 1 con resto 4)

6 Passo II: / 111 = 1 resto 0010 (infatti 9 / 7 dà 1 con resto 2) Risultato: 11 con resto di 2 (infatti 3 * = = 23).