1 Serie di Taylor di una funzione

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1 Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e supponiamo che essa sia di classe C (I). Fissiamo un punto x 0 I. In tal caso si puó considerare per ogni n 0 la derivata n-ma della funzione in x 0, f (n) (x 0 ). Si puó dunque considerare la serie di potenze, di punto iniziale x 0, i cui coefficienti sono cioè la serie a n = f (n) (x 0 ), n 0, f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. Questa serie prende il nome di serie di Taylor di punto iniziale x 0 per la funzione f(x). Per quanto dimostrato sulle serie di potenze nel capitolo 6, si osserva che non solo la serie di Taylor di una funzione data f(x) è una serie di potenze, ma ogni serie di potenze è la serie di Taylor della sua somma. Pertanto se, per una funzione assegnata f(x) si conosce una serie di potenze, di punto iniziale x 0, che converge alla funzione data, nel suo intervallo di convergenza, allora la serie è la serie di Taylor, di punto iniziale x 0, per la funzione data. Esempi. Abbiamo provato nel capitolo 6 che. x = + xn, x (, ). 2. +x = + ( )n x n, x (, ). 3. +x 2 = + ( )n x 2n, x (, ). 4. ln( x) = + n= xn n, x [, ). ln( + x) = + n= ( )n xn n, x (, ]. 5. arctan x = + x2n+ ( )n 2n+, x [, ] 6. ( x) 2 = + n= n xn, x (, ). In ogni caso la serie a secondo membro è la serie di Taylor di punto iniziale 0 per la funzione a primo membro.

2 Analisi Matematica Convergenza di una serie di Taylor La serie di Taylor di una funzione è, almeno per il momento, una serie formale, per cui non sappiamo nulla riguardo alla convergenza. Se peró teniamo conto che si tratta di una serie di potenze, di punto iniziale x 0, si puó affermare che la serie di Taylor di una funzione f(x) converge sempre in x 0 ; ha un raggio di convergenza 0 R + ; (se R > 0) converge puntualmente e assolutamente in un intervallo (x 0 R, x 0 + R), simmetrico rispetto al punto iniziale (estremi compresi o no a seconda dei casi); (se R > 0) converge totalmente e uniformemente in ogni intervallo [x 0 K, x 0 + K] (x 0 R, x 0 + R). È peró intuitivamente naturale porsi la seguente domanda Domanda. La somma di una serie di Taylor è proprio la funzione f(x)? Osserviamo anzitutto che non ci si puó aspettare che la convergenza della serie alla funzione sia in tutto il campo di definizione della funzione stessa, in quanto questo insieme potrebbe non essere simmetrico rispetto a x 0. Quindi ci si chiede Domanda 2. Se f(x) è una funzione di classe C (x 0 δ, x 0 + δ), si puó affermare che il raggio di convergenza della sua serie di Taylor sia R = δ? la somma della serie sia f(x) in (x 0 δ, x 0 + δ)? Si puó verificare facilmente che la risposta a entrambe le domande è NO. Puó cioè capitare che sia la serie abbia raggio di convergenza R < δ (anche se la somma della serie è proprio f(x) in (x 0 R, x 0 + R)); il raggio della serie sia R = δ, ma sia S(x) f(x). Esempio. Sia f(x) = + x 2. La funzione è di classe C (R) e si verifica che { f (n) 0, se n = 2k +, (0) = ( ) k, se n = 2k. Pertanto la serie di Taylor di punto iniziale 0 è ( ) n x 2n.

3 Analisi Matematica 2 3 Sappiamo che questa serie ha raggio di convergenza R = e che la somma delle serie è f(x) per ogni x (, ), ma solo in questo intervallo, nonostante che la funzione sia di classe C (R). Esempio 2. Sia f(x) = {e x 2, x 0 0, x = 0. È immediato osservare che la funzione è continua in R e derivabile n volte in ogni x 0, essendo ( ) f (n) (x) = Q 3n e x x 2, se Q 3n (t) è un polinomio di grado 3n nella variabile t. Ne consegue che lim x 0 f (n) (x) = 0, n > 0. Ció assicura che la funzione ha derivata di ordine n, per ogni n > 0, anche in x 0 = 0 e che f (n) (0) = 0, n > 0. Pertanto f(x) è di classe C (R). Si puó scrivere quindi la serie di Taylor di punto iniziale 0 per la funzione ed è 0 xn. Questa serie, avendo nullo ogni coefficiente, converge su tutto R alla funzione g(x) identicamente nulla su R. Pertanto la serie converge su tutto R ma la somma non è la funzione f(x). Quindi ci si chiede Domanda 3. Se f(x) è una funzione di classe C (x 0 δ, x 0 + δ), quali condizioni sulla funzione f(x) assicurano che il raggio di convergenza della sua serie di Taylor sia R = δ? la somma della serie sia f(x) in (x 0 δ, x 0 + δ)? Diciamo che la funzione f(x) è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale x 0 se esiste un intervallo (x 0 δ, x 0 + δ) in cui la serie converge alla funzione. Teorema (Criterio di sviluppabilitá in serie di Taylor). Sia f(x) una funzione di classe C (x 0 δ, x 0 + δ). Se M > 0 tale che, per ogni n 0, f (n) (x) M δ n, x (x 0 δ, x 0 + δ), allora f(x) è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale x 0 in (x 0 δ, x 0 + δ) e R = δ. Omettiamo, almeno per il momento, la dimostrazione di questo teorema, che puó essere fatta solo dopo la sezione 5. Dal teorema segue facilmente il seguente corollario

4 Analisi Matematica 2 4 Corollario. (Criterio di sviluppabilitá in serie di Taylor). Sia f(x) una funzione di classe C (x 0 δ, x 0 + δ). Se M > 0 tale che, per ogni n 0, f (n) (x) M, x (x 0 δ, x 0 + δ), allora f(x) è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale x 0 in (x 0 δ, x 0 + δ) e R = δ. Dimostrazione. Osserviamo che, per ogni n > 0, δ n > 0, lim δ n = +. Allora esiste C > 0 tale che δ n C, per ogni n, cioè tale che C δ n, Da ció segue, per l ipotesi fatta, che, per ogni n 0, n. f (n) (x) M M C Dunque il teorema garantisce la tesi. δ n, x (x 0 δ, x 0 + δ). La condizione di sviluppabilitá espressa dal corollario ha il vantaggio di non dipendere da δ; peró è piú restrittiva di quella fornita dal teorema. È importante sapere che la serie di Taylor di punto iniziale x 0 converge a una funzione data, almeno in un intorno di x 0, perchè ció consente di approssimare la funzione, almeno vicino al punto iniziale, mediante le somme parziali della serie, che sono polinomi. Esempi.. Sia f(x) = e x. Fissiamo x 0 = 0. È banale osservare che, per ogni n > 0, si ha f (n) (x) = e x, e quindi f (n) (0) = 0, n 0. La serie di Taylor della funzione di punto iniziale 0 è allora xn. La serie ha raggio di convergenza R = + ; inoltre essa converge alla funzione, per ogni x reale. Infatti, fissato δ > 0, si ha f (n) (x) = e x e δ, x ( δ, δ) e quindi vale l ipotesi del corollario, se M = e δ.

5 Analisi Matematica Sia f(x) = sin x. Fissiamo x 0 = 0. Si ha e cosí via. Pertanto f(x) = sin x, f (x) = cos x, f (x) = sin x, f (x) = cos x, f(0) = 0, f (0) =, f (0) = 0, f (0) =, e cosí via. La serie di Taylor della funzione di punto iniziale 0 è allora ( ) n (2n + )! x2n+. La serie ha raggio di convergenza R = + ; inoltre essa converge alla funzione, per ogni x reale. Infatti, fissato δ > 0, si ha f (n) (x), x ( δ, δ) e quindi vale l ipotesi del corollario, se M =. 3. Sia f(x) = cos x. Fissiamo x 0 = 0. Si ha e cosí via. Pertanto f(x) = cos x, f (x) = sin x, f (x) = cos x, f (x) = sin x, f(0) =, f (0) = 0, f (0) =, f (0) = 0, e cosí via. La serie di Taylor della funzione di punto iniziale 0 è allora ( ) n (2n)! x2n. La serie ha raggio di convergenza R = + ; inoltre essa converge alla funzione, per ogni x reale. Infatti, fissato δ > 0, si ha f (n) (x), x ( δ, δ) e quindi vale l ipotesi del corollario, se M =.

6 Analisi Matematica 2 6 Osservazione. Per le funzioni x, + x, + x 2, ln( x), ln( + x), arctan x, ( x) 2 si sa che ciascuna è la somma della propria serie di Taylor, nell intervallo di convergenza della serie. Come giá detto nella sezione, ció è conseguenza del fatto che ciascuna di queste funzioni è la somma di una serie di potenze nota, nell intervallo di convergenza dlla serie. Lo stesso si puó dire per ogni funzione che si sa essere la somma di una serie di potenze nel relativo intervallo di convergenza. 2 Sviluppi notevoli Elenchiamo alcune osservazioni utili per determinare la sviluppabilitá in serie di taylor di una funzione nota (con un punto inioziale fissato). Come giá detto, ogni funzione che si sa essere la somma di una serie di potenze nell intervallo di convergenza è sviluppabile nella serie di Taylor in tutto l intervallo di convergenza della serie. Se una funzione f(x) è sviluppabile in serie di Taylor e si sostituisce x con αx k, per α e k fissati, la funzione composta g(x) = f(αx k ) è sviluppabile nella serie di Taylor, che è ottenuta dalla serie di Taylor della funzione f(x) sostituendo x con αx k. L intervallo di convergenza si deduce con la stessa sostituzione. Se una funzione f(x) è sviluppabile in serie di Taylor e si considera una sua derivata e la sua primitiva che vale 0 nel punto iniziale, allora anche la derivata e la primitiva sono sviluppabili nella serie di Taylor, che si ottiene da quella di f(x) derivando e integrando termine a termine rispettivamente. Tenendo conto di queste considerazioni e degli esempi trattati in precedenza elenchiamo i principali sviluppi in serie di Taylor, specificando per quali x essi valgono.. e x = + x n, x R. 2. e ax = + an x n, x R. 3. e ax2 = + an x 2n, x R. 4. sin x = + ( )n (2n+)! x 2n+, x R. 5. sin x x = + ( )n (2n+)! x 2n, x R. In realtá la funzione a primo membro non è definita in 0, ma si puó prolungare per continuitá e la formula segue dalla formula 4, dividendo per x entrambi i membri. Si noti che dall uguaglianza segue, senza fare nessun conto, che la funzione a primo membro è C (R).

7 Analisi Matematica cos x = + ( )n (2n)! x 2n, x R. 7. x = + xn, x (, ). 8. +x = + ( )n x n, x (, ). 9. +x 2 = + ( )n x 2n, x (, ). 0. ln( x) = + xn+ n+, x [, ).. ln( + x) = + xn+ ( )n n+, x (, ]. 2. arctan x = + x2n+ ( )n 2n+, x [, ]. 3. ( x) 2 = + n= n xn, x (, ). 4. ( + x) α = + ( n ) α x n, x (, ), se ( ) { α(α ) (α n+) n = se n, α se n = 0. La serie a secondo membro si chiama serie binomiale. Come casi particolari, per α = /2 e α = /2 si hanno le due formule seguenti x = + ( /2 ) α x n, x (, ), 6. +x = + ( /2 ) α x n, x (, ), 3 Polinomi di Taylor di una funzione Sia f(x)una funzione sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale x 0 in (x 0 δ, x 0 + δ). Per definizione di serie, si ha f(x) = lim n T n (x), x (x 0 δ, x 0 + δ), se T n (x) è la somma parziale n-ma della serie, cioè T n (x) = n k=0 k! f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. Allora T n (x) è un polinomio nella variabile x x 0, di grado T n n, che chiamiamo polinomio di Taylor di punto iniziale x 0 e ordine n per la funzione data.

8 Analisi Matematica 2 8 Pertanto, dire che f(x) è sviluppabile nella sua serie di Taylor di punto iniziale x 0 in (x 0 δ, x 0 +δ) equivale a dire che, in (x 0 δ, x 0 + δ), la funzione è limite per n + dell n-mo polinomio di Taylor (di punto iniziale x 0 ), cioè che puó essere approssimata in tale intervallo mediante un polinomio di Taylor, con un approssimazione tanto migliore quanto piú grande è n. Piú in generale, se f(x) è una funzione di classe C (I) e se x 0 è un punto fissato di I, si puó considerare, per ogni n, il polinomio di Taylor di punto iniziale x 0 e ordine n per la funzione data, con l obiettivo di trovare n (il piú piccolo possibile) in modo tale che il polinomio approssimi la funzione, in un intervallo fissato (x 0 δ, x 0 + δ), o in un punto fissato, con un errore al di sotto di una soglia accettabile. È banale osservare che, piú piccolo è δ o piú vicino a x 0 è il punto fissato, migliore sará l approssimazione, a paritá di n. Infatti, risulta dal momento che lim f(x) T n (x) 0, x x 0 lim f(x) = lim T n (x) = f(x 0 ). x x 0 x x 0 Quindi se, data una funzione f(x) di classe C (I), se ne considerano polinomi di Taylor di punto iniziale x 0, con x 0 fissato in I, un fatto fondamentale è valutare, per n fissato e in un intervallo fissato (x 0 δ, x 0 + δ), o in un punto fissato, l errore n-mo (o resto n-mo) E n (x) = f(x) T n (x). Se siamo in grado di fare, ció saremo in grado di affrontare (e risolvere) i due di approssimazione seguenti:. trovare n (il piú piccolo possibile) in modo tale che il polinomio T n (x) approssimi la funzione, in un intervallo fissato (x 0 δ, x 0 + δ), o in un punto fissato, con un errore (in modulo) al di sotto di una soglia accettabile; 2. trovare δ (il piú grande possibile) in modo tale che il polinomio T n (x) di ordine fissato n approssimi la funzione in (x 0 δ, x 0 + δ), con un errore (in modulo) al di sotto di una soglia accettabile. Per valutare E n (x) sará necessario avere una formula che lo esprima in modo esplicito, o almeno un metodo per maggiorarlo. Prima di affrontare il problema della valutazione dell errore, vediamo quale è il significato dei polinomi di Taylor; cioè rispondiamo alla domanda perché, se vogliamo approssimare una funzione, vicino a un punto x 0, mediante un polinomio (di grado n) nella variabile x x 0, scegliamo proprio il polinomio di Taylor di punto iniziale x 0 e ordine n?

9 Analisi Matematica 2 9 La risposta alla domanda è la seguente: perché il polinomio di Taylor di punto iniziale x 0 e ordine n è, tra tutti i polinomi di grado n nella variabile x x 0, quello che meglio approssima la funzione vicino a x 0. Ma cosa significa l espressione migliore approssimazione? Ci sono due modi possibili di dare un senso all espressione migliore approssimazione.. Il polinomio P (x) di grado n che meglio approssima la funzione f(x) vicino a x 0 è quello che ha un contatto di ordine n con la funzione f(x) in x 0., nel senso che P (k) (x 0 ) = f (k) (x 0 ), k = 0,, n. 2. Il polinomio P (x) di grado n che meglio approssima la funzione f(x) vicino a x 0 è quello che differisce dalla funzione vicino a x 0 per un infinitesimo di ordine superiore a (x x 0 ) n, cioè quello tale che f(x) P (x) = o((x x 0 ) n ) per x x 0 nel senso che lim f(x) P (x) (x x 0 ) n = 0. In effetti si prova che i due criteri precedenti sono equivalenti e caratterizzano entrambi proprio il polinomio di Taylor della funzione di punto iniziale x 0 e ordine n. È quanto afferma il seguente teorema. Teorema. Sia f(x) una funzione f(x) di classe C (I) e sia x 0 I. Sono fatti equivalenti:. P (x) è il polinomio nella variabile x x 0 di grado n che ha un contatto di ordine n con la funzione in x 0 ; 2. P (x) è il polinomio nella variabile x x 0 di grado n tale che f(x) P (x) = o((x x 0 ) n ) per x x 0 ; 3. P (x) è il polinomio di Taylor di punto iniziale x 0 e ordine n per f(x). Dimostrazione. Proviamo che () (2) e che () (3). () (2). Supponiamo che P (k) (x 0 ) = f (k) (x 0 ), per ogni k = 0,, n. f(x) P (x) Proviamo che lim x xo (x x 0 ) = 0. n Per calcolare il limite si usa il teorema di de l Hospital n volte successivamente e si ottiene che lim f(x) P (x) (x x 0 ) n = lim = lim f (x) P (x) n (x x 0 ) n = f (n ) (x) P (n ) (x) (x x 0 ) = lim f (n) (x) P (n) (x) = 0.

10 Analisi Matematica 2 0 Viceversa, se lim x xo ogni k = 0,, n. f(x) P (x) (x x 0 ) n = 0, proviamo per assurdo che P (k) (x 0 ) = f (k) (x 0 ), per A questo scopo supponiamo che esista un k per cui P (k) (x 0 ) f (k) (x 0 ); se k 0 è il piú piccolo di tali k, risulterebbe lim f(x) P (x) (x x 0 ) k 0 = lim = lim f (x) P (x) k 0 (x x 0 ) k 0 = f (k0 ) (x) P (k0 ) (x) k 0! (x x 0 ) = lim f (k0) (x) P (k0) (x) k 0! 0 e ció è assurdo per l ipotesi fatta. () (3). Se P (x) è il polinomio di Taylor di punto iniziale x 0 e ordine n per f(x), allora P (x) ha un contatto di ordine n con la funzione in x 0. Infatti un conto diretto mostra che P (k) (x 0 ) = f (k) (x 0 ), k = 0,, n. D altra parte se P (x) = n k=0 a k (x x 0 ) k è un polinomio nella variabile x x 0 di grado n e ha un contatto di ordine n con la funzione f(x) in x 0, allora per ogni k = 0,, n, k! a k = P (k) (x 0 ) = f (k) (x 0 ) e quindi P (x) è il polinomio di Taylor di punto iniziale x 0 e ordine n per f(x). Il teorema precedente fornisce una descrizione dell errore o resto n-mo E n (x). In effetti il teorema stabilisce che E n (x) = o((x x 0 ) n ) (x x 0 ), cioè f(x) = T n (x) + o((x x 0 ) n ) (x x 0 ). Questa formula è detta formula di Peano per l errore E n (x). Essa non fornisce una misura quantitativa dell errore, peró assicura che vicino a x 0 si puó sostituire la funzione con il polinomio, se si possono trascurare gli infinitesimi di ordine maggiore di n. La formula di Peano puó ad esempio essere utile nel calcolo di limiti di forme indeterminate Formula di Lagrange per l errore n-mo. Sia f(x) una funzione f(x) di classe C (I) e sia x 0 I. Se consideriamo il suo polinomio di Taylor di punto iniziale x 0 e ordine n, e vogliamo dare una valutazione quantitativa dell errore E n (x) in un intervallo (x 0 δ, x 0 + δ), è utile il seguente teorema, che fornisce una formula esplicita per l errore. Teorema. (Formula di Lagrange per il resto n-mo). Sia f(x) una funzione f(x) di classe C (I) e sia x 0 I. Per n 0, si consideri il polinomio di Taylor T n (x) di punto iniziale x 0 e sia E n (x) = f(x) T n (x). Allora

11 Analisi Matematica 2 per ogni x in un intervallo (x 0 δ, x 0 + δ), esiste c compreso tra x 0 e x tale che E n (x) = (n + )! f (n+) (c) (x x 0 ) n+. Dimostrazione. Diamo la dimostrazione per n =. Supponiamo x > x 0 e applichiamo il teorema di Cauchy nell intervallo [x 0, x] alle funzioni r(x) = E (x) = f(x) T (x), g(x) = (x x 0 ) 2. Osservando che r(x 0 ) = g(x 0 ) = 0, il teorema afferma che esiste x [x 0, x], tale che r(x) g(x) = r(x) r(x 0) g(x) g(x 0 ) = r (x ) g (x ). Applichiamo ancora una volta il teorema di Cauchy nell intervallo [x 0, x ] alle funzioni r (x) = f (x) T (x), g (x) = 2 (x x 0 ). Osservando che r (x 0 ) = g (x 0 ) = 0, il teorema afferma che esiste c [x 0, x ], tale che r (x ) g (x ) = r (x ) r (x 0 ) g (x ) g (x 0 ) = r (c) g (c). Poiché r (x) = f (x) T (x) = f (x) e g (x) = 2, si conclude che cioè che che è la formula richiesta. E (x) (x x 0 ) 2 = f (c) 2 E (x) = f (c) 2 (x x 0 ) 2, 5 Appendice. Possiamo ora dare la dimostrazione del Teorema di Sezione.2. Fissiamo x in (x 0 δ, x 0 + δ) e n > 0. La differenza f(x) T n (x) si puó esprimere mediante la formula di Lagrange per il resto n-mo, cioè f(x) T n (x) = (n + )! f (n+) (c n ) (x x 0 ) n+, per un opportuno c n compreso tra x 0 e x. Se facciamo l ipotesi che f (n) (x) M δ n, si ha allora f(x) T n (x) = (n + )! f (n+) (c) x x 0 n+ (n + )! M (n + )! δ n+ x x 0 n+ = M ( ) x x0 n+. δ Se osserviamo che x x 0 δ <, sará ( ) x x0 n+ 0 δ cioè f(x) T n (x) 0.