E naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n

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Elisabetta Franceschi
8 anni fa
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1 Supponiamo che un fabbricante stia introducendo un nuovo tipo di batteria per un automobile elettrica. La durata osservata x i delle i-esima batteria è la realizzazione (valore assunto) di una variabile aleatoria X i. Si può assumere che le X i abbiano la stessa distribuzione incognita. Per ottenere informazioni sulla distribuzione si costruiscono e mettono in funzione un certo numero n di batterie. La durata di ciascuna batteria fornisce l insieme di dati x 1, x 2,.., x n. La media campionaria della durata è x n = x x n n Le lettere maiuscole X i indicano la variabili aleatorie (prima dell esperimento), quelle minuscole x i ne indicano le realizzazione (il numero ottenuto dopo l esperimento).

Si può assumere che le X i abbiano la stessa distribuzione incognita.

2 E naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n c entra qualcosa con il valore atteso µ delle variabili X i? posso dire che legge ha, ossia come è distribuita? Alla prima domanda risponderà la Legge dei Grandi Numeri. Se n è molto grande, x n sarà molto prossima a µ (vedremo poi quanto prossima). Rispondere alla seconda domanda in generale non è semplice, ma se n è abbastanza grande con buona approssimazione è una realizzazione di una variabile normale per il Teorema del Limite Centrale (vedremo poi come determinarne i parametri).

Se n è molto grande, x n sarà molto prossima a µ (vedremo poi quanto prossima).

3 Siano X 1, X 2,..., X n,... variabili aleatorie indipendenti e tutte con la stessa distribuzione, con valore atteso E(X 1 ) =... = E(X n )= µ e stessa varianza var(x i )=σ 2, i = 1, 2..., n. Sia Y n = X X n, per la proprietà della media: E(Y n ) = E(X 1 ) + E(X 2 )... + E(X 2 )= nµ e per le proprietà della varianza Si ha inoltre che var(y n ) = var(x 1 ) + var(x 2 ) +..var(x n )= nσ 2 per cui X n = X X n n = Y n n E( X n ) = µ, var( X n ) = σ 2 /n

.. = E(X n )= µ e stessa varianza var(x i )=σ 2, i = 1, 2..., n. Sia Y n = X 1 +.

4 Esercizio. I risultati di un test sul livello di potassio nel sangue di un individuo variano sia a causa dell imprecisione dello strumento di misurazione, sia perchè il livello stesso varia nel tempo. Sappiamo che per un certo individuo le letture successive del livello di potassio oscillano intorno a un valore atteso µ con deviazione standard σ = 0.3. Quattro letture specifiche generano i dati 3.6, 3.9, 3.4, 3.5 La media campionaria per il livello medio di potassio per questa persona è = mentre la deviazione standard della media campionaria è σ n = = 0.15

perchè il livello stesso varia nel tempo.

5 LEGGE DEI GRANDI NUMERI Si vede che la variabile X n, che ha sempre valore atteso µ, ha varianza inversamente proporzionale ad n (ossia uguale a σ/n). Nel limite n (ossia per n molto grande) la varianza diventa nulla, questo significa che la media campionaria diventa una variabile certa con valore µ. Questo risultato è più correttamente descritto dal seguente teorema: Teorema. Si dimostra (ma non qui) che per n e per ogni a strettamente positivo: P ( X n µ > a ) 0 In altre parole la probabilità che X n sia diversa da µ diventa nulla quando n diventa molto grande. Con un certo abuso di termini e di notazione) possiamo dire che X n µ quando n.

Questo risultato è più correttamente descritto dal seguente teorema: Teorema.

6 ( ) Se n è grande ma non infinito si avrà : P X n µ > a 0. Cosa significa? L asserzione vale per ogni a strettamnte positivo. Per fissare le idee immaginiamo che sia molto piccolo, ad esempio a = µ a µ µ +a La probabilità che la media campionaria osservata x n cada fuori dall intervallo colorato in figura è trascurabile ( 0) se n è abbastanza grande. La probabilità che la media campionaria osservata x n cada dentro l intervallo colorato in figura è 1 se n è abbastanza grande.

Per fissare le idee immaginiamo che sia molto piccolo, ad esempio a = 0.01.

7 MEDIA TEORICA MEDIA OSSERVATA La legge dei grandi numeri dice che il valore osservato x n = (x x n )/n della variabile aleatoria X n = (X X n )/n è con grande probabilità vicino a µ se n è grande. Quindi se non conosco µ, ne posso dare una stima con x n che è una realizzazione della statistica campionaria X n. Se n è grande, la probabilità che X n e µ siano molto diversi è quasi zero. Si noti che µ è la media teorica a priori di ciascuna osservazione (un parametro della distribuzione delle X i ) mentre x n = (x x n )/n è una media a posteriori delle osservazioni.

Quindi se non conosco µ, ne posso dare una stima con x n che è una realizzazione della statistica campionaria X n.

8 IL TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE Siano X 1, X 2,..., X n,... variabili aleatorie indipendenti e tutte con la stessa distribuzione, con valore atteso E(X 1 ) =... = E(X n )= µ e stessa varianza var(x i )=σ 2, i = 1, 2..., n. Sia Y n = X X n, abbiamo visto che: E(Y n )= nµ var(y n )= nσ 2 Teorema. Per le proprietà del valore atteso e della varianza, la variabile Z n = Y n nµ σ n ha media 0 e varianza 1. Inoltre si dimostra (ma non qui) che per n sufficientemente grande (nel limite n ) ha distribuzione normale.

9 In altre parole, nel limite n Z n = Y n nµ σ n N(0, 1) = Z Quindi per n grande (ma non infinito) la probabilità P( Z n < x) è circa uguale a P(Z < x) dove Z è una normale standard N(0, 1). Se vogliamo calcolare probabilità relative a Z n possiamo utilizzare quelle relative a N(0,1) come approssimazione. Tenendo presente che Y n /n = X n possiamo anche scrivere Z n = X n µ σ/ n N(0, 1) = Z Si ricordi ancora una volta che in questo contesto X n è la statistica campionaria di cui la x n è una realizzazione (risultato di una misurazione o esperimento). Anche Ȳ n e Z n sono statistiche campionarie.

Se vogliamo calcolare probabilità relative a Z n possiamo utilizzare quelle relative a N(0,1) come approssimazione.

10 DISTRIBUZIONE DELLE MEDIA CAMPIONARIA (VARIANZA NOTA) Anche la somma di n variabili identicamente distribuite è approssimativamente normale, infatti: Y n = σ n Z n + nµ σ n N(0, 1) + nµ = N(nµ, σ n) La media campionaria è anch essa approssimativamente normale: X n = Y n n σ n N(0, 1) + µ N(µ, σ/ n). Il valore atteso µ xn della media camionaria è uguale a µ mentre la varianza σ xn della media campionaria è uguale a σ/ n e quindi decresce come l inverso della radice quadrata della dimensione del campione. Come abbiamo visto con la legge dei grandi numeri, per un ipotetico campione infinito, la media campionaria coincide identicamente con µ.

Il valore atteso µ xn della media camionaria è uguale a µ mentre la varianza σ xn della media campionaria è uguale a σ/ n e quindi decresce come l inverso della

11 E IN PRATICA? Il Teorema del limite centrale lascia aperta la questione di quanto il campione debba essere numeroso affinchè l approssimazione sia valida. Se le variabili X i sono variabili gaussiane il problema non si pone perché qualsiasi combinazione lineare di variabili gaussiane è anch essa gaussiana. In tal caso, la distribuzione di X n è gaussiana per ogni n (quella di Z n è normale standard). Altrimenti si accetta la seguente regola pratica. Se la legge delle X 1,...,X n non è troppo asimmetrica, a livello empirico si è stabilito che n 30 va bene. Per convincerci dell asserzione consideriamo il caso in cui la distribuzione delle X i è esponenziale (non importa qui sapere la definizione). Confrontiamo i grafici delle densità delle somme standardizzate di queste variabili indipendenti per n = 5, n = 10 n = 20 e n = 50 con il grafico di una N(0, 1).

In tal caso, la distribuzione di X n è gaussiana per ogni n (quella di Z n è normale standard). Altrimenti si accetta la seguente regola pratica. Se la legge delle X 1,.

12 In blu la N(0, 1), in azzurro la Z 5, in magenta la Z 10, in celeste la Z 20 e in violetto la Z 50.

13 Esercizio. Il livello di colesterolo nel sangue di una popolazione di lavoratori ha una media 202 e una deviazione standard 14. Viene selezionato un campione di 36 lavoratori, si approssimi la probabilità che la media campionaria dei loro livelli di colesterolo sia compresa tra 198 e 206. X 36 ha distribuzione approssimatemente normale con valore atteso µ = 202 e deviazione standard σ/ n = 14/ 36 = 7/3, quindi Z 36 = X /3 N(0, 1) = Z ( ) P(198 < X 36 < 206) = P < Z 36 < 7/3 7/3 P( < Z < 1.714) = φ(1.714) φ( 1.714) = dove φ è la solita funzione di distribuzione della normale standard.

206. X 36 ha distribuzione approssimatemente normale con valore atteso µ = 202 e deviazione standard σ/ n = 14/ 36 = 7/3, quindi Z 36 = X 36 202 7/3 N(0, 1)

14 RIASSUMENDO Per un campione di numerosità n estratto da una popolazione con distribuzione di media µ e varianza σ si ha che µ xn = µ per ogni n, σ xn = σ/ n per ogni n, X n è distribuita normalmente per ogni n se le X i sono gaussiane, Xn è distribuita quasi normalmente se n è grande (n > 30) anche se le X i non sono gaussiane. X n µ quando n (non realizzabile in pratica). Si noti che la media campionaria è approssima il parametro µ ma la sua precisione (σ xn = σ/ n) viene definita in base ad una varianza σ nota. Vedremo cosa fare quando la varianza è incognita.

grande (n > 30) anche se le X i non sono gaussiane. X n µ quando n (non realizzabile in pratica).

15 STIME PUNTUALI Definizione 1 Se la stima di un parametro della distribuzione delle X i è data da un singolo numero ottenuto dalle misurazioni relative a un campione, tale valore è detto stima puntuale del parametro. Esempio La media campionaria osservata x n è una stima del parametro µ della distribuzione delle variabili aleatorie X i. Il numero (stima) x n è una realizzazione dello stimatore X n. La statistica X n ha valore atteso µ, quindi, in questo caso, il valore atteso dello stimatore è uguale al parametro che si vuole stimare. Definizione 2 Uno stimatore con valore atteso uguale al parametro che si vuole stimare si dice corretto (o non distorto).

Esempio La media campionaria osservata x n è una stima del parametro µ della distribuzione delle variabili aleatorie X i.

16 La media campionaria X n = (X X n )/n è quindi uno stimatore corretto di µ. Definizione 3 Se due statistiche sono entrambe stimatori corretti di un parametro, la statistica con minore varianza è detta stimatore più efficiente. La stima ottenuta con la media campionaria è tanto più accurata tanto più il campione è numeroso. Infatti x n è un valore osservato di Xn la cui varianza è σ/n. Pertanto se si considerano due campioni di taglia m e n con m > n si avra che X m è più efficiente di X n nello stimare il parametro µ. In seguito potremo confrontare con l efficienza di altri stimatori corretti diversi dalla media campionaria.

La stima ottenuta con la media campionaria è tanto più accurata tanto più il campione è numeroso. Infatti x n è un valore osservato di Xn la cui varianza è σ/n.

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