Basi di matematica per il corso di micro

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Basi di matematica per il corso di micro"

Transcript

1 Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico ) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione tranumeri,taledaassociareaciascun numero un unico numero. Il valore assunto dalla è dunque dipendente dal valore assunto dalla. Scriviamo allora: f () ediciamoche èlavariabile indipendente e èlavariabile dipendente. Una funzione può essere descritta designando la regola di calcolo, per esempio: Si prenda un numero e lo si elevi al quadrato. In questo caso scriviamo: 2 Si prenda un numero e lo si moltiplichi per due. In questo caso scriviamo: Rappresentazione L andamento di una funzione viene rappresentato per mezzo di un grafico. Normalmente la variabile dipendente è rappresentata sull asse verticale mentre quella indipendente è rappresentata rappresentata su quello orizzontale. Per esempio nei due casi precedenti abbiamo: 1

2 2 2 Figura Proprietà delle funzioni Funzioni continue Una funzione continua è una funzione che può essere disegnata senza mai staccare la matita dal foglio. Una funzione continua non presenta salti. Funzione continua Funzione discontinua Figura 2 2

3 1.3.2 Funzioni monotone Una funzione monotona positiva è una funzione costantemente crescente. Una funzione monotona negativa è una funzione constantemente decrescente. Monotona positiva Non monotona Monotona negativa Non monotona Figura Funzioni inverse Nel caso di funzioni monotone, ad ogni valore di corrisponde un solo valore di (e viceversa). La regola di calcolo che, a partire da una certa funzione f (), cidiceilvaloredi per ogni valore di èchiamatafunzione inversa e viene scritta come: g (). Per esempio data la funzione: 2 la sua inversa sarà: 1 2 3

4 Nel caso di funzioni non monotone la funzione inversa non esiste perchè ad ogni valore di può corrispondere più di un valire di (e viceversa) Esempi di funzioni inverse Funzione Funzione inversa ± ± 1/ Equazioni e identità Una equazione è un uguaglianza tra una funzione e un numero. La soluzione di un equazione èdatadaunoopiùvaloridi (a seconda del grado dell equazione). Per esempio, la soluzione della funzione 2 8è 4. Un identità è una relazione fra le variabili valida per qualunque valore delle variabili. Per esempio: ( + ) (1+) 2+2 è il simbolo di identità. 1.5 Funzioni lineari Una funzione lineare è una funzione del tipo: a + b dove a e b sono costanti. 1.6 Saggi di variazione La notazione significa variazione di. Se varia da 1 a 2,scriviamo: 2 1 4

5 o, in modo equivalente, Se denota una piccola variazione viene comunemente chiamata variazione marginale. Il saggio di variazione (o rapporto incrementale) è il rapporto tra due variazioni. Se dipende da secondo la funzione f (), il saggio di variazione di rispetto a è rappresentato come: f ( + ) f () Il saggio di variazione è dunque la misura della variazione di al variare di. Nel caso di funzione lineare il saggio di variazione di rispetto a ècostante(cioènon dipende da ). Per esempio data la funzione: a + b, il saggio di variazione è dato da: a + b ( + ) a b b b Nel caso di funzione non lineare il saggio di variazione di rispetto a dipende da. Per esempio data la funzione: 2, il saggio di variazione è dato da: ( + ) In questo caso il saggio di variazione dipende da e dalla misura della variazione stessa. Se è molto piccolo, può essere approssimativamente considerato uguale a zero e può essere ignorato. 1.7 Inclinazione e intercetta Dal punto di vista della sua rappresentazione grafica, il saggio di variazione di una funzione corrisponde alla sua inclinazione. Nel caso di funzione lineare l inclinazione è costante. Per esempio data la funzione 2, la sua inclinazione è: 2( + ) Nel caso di funzione non lineare, l inclinazione varia punto per punto (al variare di ). Dunque l inclinazione in un certo punto viene misurata dall inclinazione della retta tangente la 5

6 funzione in quel punto. Per esempio data la funzione 2, la sua inclinazione è: ( + ) considerando infinitamente piccolo esso viene posto uguale a zero. L inclinazione della funzione in corrispondenza del punto 4è uguale a 8. Mentre l inclinazione della stessa funzione in corrispondenza del punto 6è uguale a Funzione lineare L inclinazione è sempre Funzione non lineare L inclinazione è 8 per 4 L inclinazione è 12 per 6 Figura 4 Se la funzione è monotona positiva, e avranno lo stesso segno (quando aumenta, anche aumenta), se invece è monotona negativa, e avranno segno opposto (quando aumenta, diminuisce e viceversa). Le intercette sono i punti di incontro del grafico della funzione con gli assi. L intercetta verticale è il punto di incontro con l asse verticale e corrisponde al punto in cui 0. L intercetta orizzontale è il punto di incontro con l asse orizzontale e corrisponde al punto in cui 0. 6

7 1.8 Valore assoluto e logaritmi Il valore assoluto di un numero è una funzione f () tale che: f () se 0 e f () se <0 è possibile cioè determinare il valore assoluto di un numero semplicemente eliminando il segno. Il valore assoluto di si scrive come:. Il simbolo. èdettomodulodi. Il logaritmo naturale di rappresenta una particolare funzione di che scriviamo ln o ln(). Il logaritmo gode delle seguenti proprietà: ln () ln()+ ln() ln 2 2ln() ln (e) 1 (dove e è la base dei logaritmi naturali e corrisponde a ). 2 Derivate 2.1 Derivata prima La derivata prima di una funzione è il limite del saggio di variazione di rispetto a al tendere della variazione di a zero (cioè per piccolissimo). La derivata della funzione f () può essere anche scritta f 0 (). Dunque abbiamo: f 0 () df () d lim f ( + ) f () 0 La derivata prima di una funzione è dunque un coefficiente di variazione puntuale o istantaneo e rappresenta dunque l inclinazione della funzione punto per punto. Nel caso di funzione lineare, essa sarà costante. Per 2+3 : df () d lim 2+3 ( + ) lim

8 Nel caso di funzione non lineare, essa varierà punto per punto. Per 2 : df () d lim ( + ) lim lim 0 lim ( +2) 2 0 Una funzione viene detta derivabile (o liscia) se: E continua Esiste ed è finito il limite per che tende a zero del rapporto /. In altri termini una funzione è derivabile se non presenta punti di discontinuità, angoli o spigoli. Due casi di funzioni non derivabili sono rappresentate in Figura Non continua e non derivabile per 1 Continua ma non derivabile per 2 Figura Differenza fra saggio di variazione e derivata Il saggio di variazione rappresenta la velocità media di variazione di una funzione. Rappresenta cioè come varia la funzione f () nell intervallo. f ( + ) f () 8

9 Graficamente abbiamo: 2 5 Δ Δ Figura 7 Il rapporto / rappresenta l inclinazione della retta (indicata dalla linea tratteggiata) che taglia la funzione nei punti ( 1, 1 ) e ( 2, 2 ). Tale inclinazione è costante nell intervallo. Invece l inclinazione della funzione f () varia in ciascun punto dell arco compreso fra i punti ( 1, 1 ) e ( 2, 2 ). L inclinazione della funzione punto per punto è data dalla derivata della funzione misurata nel punto. Essa ci dice come varia l inclinazione della funzione al variare infinitesimo di (per variazioni infinitamente piccole o tendenti a zero). Si ha quindi il coefficiente di variazione puntuale che rappresenta la velocità istantanea di variazione della funzione: Graficamente: lim 0 lim f ( + ) f () 0 0 9

10 Fugura 8 L inclinazione della funzione nel punto ( 1, 1 ) è data dalla inclinazione della retta tangente la funzione nel punto ( 1, 1 ) e, come si osserva è maggiore, dell inclinazione della funzione nel punto ( 2, 2 ) che è data dall inclinazione della retta tangente la funzione nel punto ( 2, 2 ). Se la derivata prima di una funzione è positiva la funzione è crescente,mentreseladerivata prima è negativa la funzione è decrescente. 10

11 2.3 Derivate fondamentali Le derivate di alcune funzioni elementari devono essere conosciute per risolvere alcuni esercizi di microeconomia che impareremo a svolgere in questo corso. Funzione Derivata prima c 0 0 f () 0 f 0 () 1 f () n n N 0 f 0 () n n 1 f () 2 0 f 0 () f () 3 0 f 0 () 3 2 f () ln() >0 0 f 0 () 1 f () a f () e f () f 0 () a ln (a) 0 f 0 () e ln (e) e 0 f 0 () f () f 0 () /2 0 f 0 () 1 2 1/ / Derivate di funzioni composte Supponiamo che la funzione f () sia esprimibile come il prodotto di due funzioni indicate rispettivamente da g () e h (). Quindi: La derivata di f () sarà data da: df () d f () g () h () dg () d h ()+g () dh () d Se invece la funzione f () è data dal rapporto fra due funzioni indicate rispettivamente da g () e h (), cioè, La derivata di f () sarà data da: df () d dg () d f () g () h () dh () h () g () d h () 2 11

12 In generale, date due funzioni g () e z h (), chiamiamo f () funzione composta se esprimibile come: f () h [g ()] la derivata di f () si ottiene secondo la regola di derivazione delle funzioni composte che è la seguente: df () dh () dg () d d d Se per esempio g () 2 e h () 3+2, avremoche f () h [g ()] Per ottenere la derivata della funzione composta f () dobbiamo prima derivare h () rispetto a e poi moltiplicare il risultato ottenuto per la derivata di g () rispetto a. Abbiamo allora: dh () d d (3 + 2 ) d 2 e dg () d d2 d 2 Quindi: df () d dh () d dg () d Regole fondamentali di derivazione Funzione f () g ()+h () f () g () h () Derivata prima 0 f 0 () g 0 ()+h 0 () 0 f 0 () g 0 () h 0 () f () g () h () f () g () /h () 0 f 0 () g 0 () h ()+g () h 0 () 0 f 0 () g0 () h () g () h 0 () [h ()] 2 f () 1/h () 0 f 0 () h 0 () / [h ()] 2 con h () 6 0 f () h [g ()] 0 f 0 () h 0 [g ()] g 0 () 2.5 Derivate parziali Supponiamo ora che dipenda da due variabili indicate da 1 e 2. Scriviamo allora: f ( 1, 2 ) 12

13 La derivata parziale di f ( 1, 2 ) rispetto a 1 èladerivatadellafunzionerispettoa 1 ipotizzando che 2 è una costante. Cioè: f0 ( 1, 2 ) f ( 1, 2 ) f ( 1 + 1, 2 ) f ( 1, 2 ) lim mentre la derivata parziale di f ( 1, 2 ) rispetto a 2 è la derivata della funzione rispetto a 2 ipotizzando che 1 è una costante. Cioè: f0 ( 1, 2 ) f ( 1, 2 ) f ( 1, ) f ( 1, 2 ) lim La derivata parziale si indica con il simbolo. Le derivate parziali godono delle stesse proprietà delle derivate ordinarie. In particolare valgono le stesse regole delle funzioni composte anche se con una modifica. Supponiamo che 1 e 2 sono due variabili dipendenti da una terza variabile z. Definiamo la funzione g (z) come: g (z) f ( 1 (z), 2 (z)) Quindi al variare di z variano sia 1 (z) che 2 (z) e quindi la derivata parziale di g (z) rispetto a z sarà data dalla somma delle derivate parziali di 1 (z) e 2 (z) rispetto a z. In altri termini: dg (z) dz f ( 1 (z), 2 (z)) z f ( 1, 2 ) d 1 (z) 1 dz + f ( 1, 2 ) d 2 (z) 2 dz Alcuni esempi Funzione Der. parziale rispetto a 1 Der. parziale rispetto a 2 f ( 1, 2 ) f 0 1 ( 1, 2 )1 f 0 2 ( 1, 2 )1 f ( 1, 2 ) f 0 1 ( 1, 2 )2 1 f 0 2 ( 1, 2 )1 f ( 1, 2 ) f 0 1 ( 1, 2 )2 1 f 0 2 ( 1, 2 )2 f ( 1, 2 ) f 0 1 ( 1, 2 ) f 0 2 ( 1, 2 )2 f ( 1, 2 ) 1 2 f 0 1 ( 1, 2 ) 2 f 0 2 ( 1, 2 ) 1 f ( 1, 2 ) 1 f 0 1 ( 1, 2 ) 1 f ( 1, 2 ) 1 ( )

14 2.6 Derivate seconde La derivata seconda di una funzione è la derivata della derivata di quella funzione. Se f (), la derivata seconda rispetto a si scrive d2 f () d 2 o f 00 (). Per esempio sappiamo che se f () 2 allora f 0 () 2 le rispettive derivate seconde sono: d 2 f () d 2 f 00 () f 0 (2) 0 d 2 g () d 2 g 00 () g 0 (2) 2 La derivata seconda misura la curvatura della funzione. Come vediamo nel paragrafo successivo. se g () 2 allora g 0 () Concavità e convessità delle funzioni Ritorniamo a considerare una funzione in una sola variabile, f (). Una funzione si dice concava se il segmento che unisce due punti qualsiasi della funzione si trova sempre al di sotto della funzione stessa. Questo vuol dire che la pendenza della curva risulta via via minore per valori crescenti di. La condizione di concavità può essere anche scritta come: Graficamente abbiamo: 2 5 f ( 2 ) f ( 1 ) 2 1 ( 1 )+f ( 1 ) f () 1 3 Concava Figura 9 14

15 L inclinazione della funzione in corrispondenza di 1 è maggiore dell inclinazione della funzione in corrispondenza di 2. Una funzione è concava nell intorno di un punto se la derivata seconda della funzione in quel punto è negativa (e dunque la sua derivata prima è decrescente). Una funzione si dice convessa se il segmento che unisce due punti qualsiasi della funzione si trova sempre al di sopra della funzione stessa. Questo vuol dire che la pendenza della curva risulta via via maggiore per valori crescenti di. La condizione di convessità può essere anche scritta come: Graficamente abbiamo: f ( 2 ) f ( 1 ) 2 1 ( 1 )+f ( 1 ) f () 2 1 Convessa 1 2 Figura 10 L inclinazione della funzione in corrispondenza di 1 è minore dell inclinazione della funzione in corrispondenza di 2. Una funzione è convessa nell intorno di un punto se la derivata seconda della funzione in quel punto è positiva (e dunque la sua derivata prima è crescente). 3 ttimizzazione Se f (), allora il punto di sarà detto massimo di f () se f ( ) f () per qualsiasi valore di. Se f () soddisfa alcune proprietà di derivabilità, le condizioni perchè ci sia un 15

16 massimo in sono: df ( ) d 0 condizione del primo ordine d 2 f ( ) d 2 0 condizione del secondo ordine La condizione del primo ordine stabilisce che la funzione è piatta nel punto.la condizione del secondo ordine stabilisce che la funzione è concava in un intorno del punto. Entrambe le proprietà devono valere perchè sia un massimo. Se f (), allora il punto di sarà detto minimo di f () se f ( ) f () per qualsiasi valore di. Se f () soddisfa alcune proprietà di derivabilità, le condizioni perchè ci sia un minimo in sono: df ( ) d 0 condizione del primo ordine d 2 f ( ) d 2 0 condizione del secondo ordine La condizione del primo ordine stabilisce sempre che la funzione è piatta nel punto. La condizione del secondo ordine stabilisce che la funzione è convessa in un intorno del punto. Entrambe le proprietà devono valere perchè sia un minimo. Graficamente: * * Massimo in * Minimo in * Figura 11 Se consideriamo una funzione in due variabili: f ( 1, 2 ) che soddisfa le condizioni di deriv- 16

17 abilità, le condizioni del primo ordine perchè ci sia un massimo o un minimo in sono: f ( 1, 2 ) 1 0 f ( 1, 2 ) 2 0 Esistono anche condizioni del secondo ordine ma per semplicità non verranno considerate. 4 ttimizzazione vincolata Spesso si cerca di individuare il massimo o il minimo di una funzione per qualche insieme ristretto di valori di. La notazione del problema di ottimo vincolato così ottenuto è allora: Ma 1, 2 f ( 1, 2 ) sotto il vincolo: g ( 1, 2 )c Questa formulazione significa che si cercano i valori di 1, 2 tali che f ( 1, 2 ) f ( 1, 2 ) per tutti i valori di 1 e 2 che soddisfano l equazione g ( 1, 2 )c. La funzione f ( 1, 2 ) viene della funzione obiettivo, mentre g ( 1, 2 )c èilvincolo. 17

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Corso di Scienza Economica (Economia Politica) prof. G. Di Bartolomeo Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Facoltà di Scienze della Comunicazione Università di Teramo Scelta

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore 13.1: Introduzione L analisi dei due capitoli precedenti ha fornito tutti i concetti necessari per affrontare l argomento di questo capitolo:

Dettagli

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello.

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. CURVE DI LIVELLO Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. Definizione. Si chiama insieme di livello k della funzione f

Dettagli

SOLUZIONI D = (-1,+ ).

SOLUZIONI D = (-1,+ ). SOLUZIONI. Data la funzione f() ( ) ln( ) a) trova il dominio di f b) indica quali sono gli intervalli in cui f() risulta positiva e quelli in cui risulta negativa c) determina le eventuali intersezioni

Dettagli

G3. Asintoti e continuità

G3. Asintoti e continuità G3 Asintoti e continuità Un asintoto è una retta a cui la funzione si avvicina sempre di più senza mai toccarla Non è la definizione formale, ma sicuramente serve per capire il concetto di asintoto Nei

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

NOME:... MATRICOLA:... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 2007/2008 Analisi Matematica 1, Esame scritto del 08.02.2008. x 1.

NOME:... MATRICOLA:... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 2007/2008 Analisi Matematica 1, Esame scritto del 08.02.2008. x 1. NOME:... MATRICOLA:.... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 007/008 Analisi Matematica, Esame scritto del 08.0.008 Indicare per quali R vale la seguente diseguaglianza : + >. Se y - - è il grafico

Dettagli

3. Quale affermazione è falsa?

3. Quale affermazione è falsa? 1. Quale affermazione è falsa? Se la funzione f) è continua e monotona crescente su R e se f) = 1 e f4) =, allora ha un unico zero nell intervallo, 4) f) non si annulla mai in R f ) > nell intervallo,

Dettagli

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3.

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3. 7 LEZIONE 7 Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2 2 6x, x3 +2x 2 6x, 3x + x2 2, x3 +2x +3. Le derivate sono rispettivamente,

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e

Dettagli

Note di matematica per microeconomia

Note di matematica per microeconomia Note di matematica per microeconomia Luigi Balletta Funzioni di una variabile (richiami) Una funzione di variabile reale ha come insieme di partenza un sottoinsieme di R e come insieme di arrivo un sottoinsieme

Dettagli

Funzioni di più variabili

Funzioni di più variabili Funzioni di più variabili Introduzione Funzioni reali di più variabili reali Una unzione reale di due variabili è una unzione : D R dove il dominio D è un sottoinsieme di R. ESEMPI: - / ln. Considerazioni

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2015

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2015 SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 015 1. Indicando con i minuti di conversazione effettuati nel mese considerato, la spesa totale mensile in euro è espressa dalla funzione f()

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE STUDIO DI FUNZIONE Passaggi fondamentali Per effettuare uno studio di funzione completo, che non lascia quindi margine a una quasi sicuramente errata inventiva, sono necessari i seguenti 7 passaggi: 1.

Dettagli

Anno 4 Grafico di funzione

Anno 4 Grafico di funzione Anno 4 Grafico di funzione Introduzione In questa lezione impareremo a disegnare il grafico di una funzione reale. Per fare ciò è necessario studiare alcune caratteristiche salienti della funzione che

Dettagli

Vademecum studio funzione

Vademecum studio funzione Vademecum studio funzione Campo di Esistenza di una funzione o dominio: Studiare una funzione significa determinare gli elementi caratteristici che ci permettono di disegnarne il grafico, a partire dalla

Dettagli

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0 FUNZIONI CONVESSE Sia I un intervallo aperto di R (limitato o illimitato) e sia f(x) una funzione definita in I. Dato x 0 I, la retta r passante per il punto P 0 (x 0, f(x 0 )) di equazione y = f(x 0 )

Dettagli

Esercizi sullo studio completo di una funzione

Esercizi sullo studio completo di una funzione Esercizi sullo studio completo di una funzione. Disegnare il grafico delle funzioni date, utilizzando ogni informazione utile che si può ricavare dalla funzione e dalle sue derivate prima e seconda. a.

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

2. Leggi finanziarie di capitalizzazione

2. Leggi finanziarie di capitalizzazione 2. Leggi finanziarie di capitalizzazione Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t accumulato al tempo generico t da un capitale C: M(t = F(C, t C t M

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

1 Appunti a cura di prof.ssa MINA Maria Letizia integrati e pubblicati in data 12/10/10

1 Appunti a cura di prof.ssa MINA Maria Letizia integrati e pubblicati in data 12/10/10 FUNZIONE OMOGRAFICA ASINTOTO VERTICALE: ASINTOTO ORIZZONTALE: 1 abbiamo verificato che, applicando all iperbole equilatera base, la dilatazione verticale di coefficiente 7 e la traslazione di vettore di

Dettagli

Convessità e derivabilità

Convessità e derivabilità Convessità e derivabilità Definizione 1 (convessità per funzioni derivabili) Sia f : (a, b) R derivabile su (a, b). Diremo che f è convessa o concava su (a, b) se per ogni 0 (a,b) il grafico di f sta tutto

Dettagli

Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale

Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Roberto Boggiani Versione 4.0 9 dicembre 2003 1 Esempi che inducono al concetto di ite Per introdurre il concetto di ite consideriamo i seguenti

Dettagli

l insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere)

l insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere) Che cos è una funzione? Assegnati due insiemi X e Y si ha una funzione elemento di X uno e un solo elemento di Y. f : X Y se esiste una corrispondenza che associa ad ogni Osservazioni: l insieme X è detto

Dettagli

2 Argomenti introduttivi e generali

2 Argomenti introduttivi e generali 1 Note Oltre agli esercizi di questa lista si consiglia di svolgere quelli segnalati o assegnati sul registro e genericamente quelli presentati dal libro come esercizio o come esempio sugli argomenti svolti

Dettagli

Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esercitazione su massimi e minimi vincolati 9 dicembre 005 Esercizio 1. Considerare l insieme C = {(x,y) R : (x + y ) = x } e dire se è una curva

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Funzioni. Funzioni /2

Funzioni. Funzioni /2 Funzioni Una funzione f è una corrispondenza tra due insiemi A e B che a ciascun elemento di A associa un unico elemento di B. Si scrive: f : A B l'insieme A si chiama il dominio della funzione f, l'insieme

Dettagli

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento

Dettagli

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine

Dettagli

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1

Dettagli

Le derivate versione 4

Le derivate versione 4 Le derivate versione 4 Roberto Boggiani 2 luglio 2003 Riciami di geometria analitica Dalla geometria analitica sulla retta sappiamo ce dati due punti del piano A(x, y ) e B(x 2, y 2 ) con x x 2 la retta

Dettagli

Indice. 1 La disoccupazione ---------------------------------------------------------------------------------------- 3. 2 di 6

Indice. 1 La disoccupazione ---------------------------------------------------------------------------------------- 3. 2 di 6 INEGNAMENO DI EONOMIA OLIIA LEZIONE VIII IL EORE DELL OUAZIONE ROF. ALDO VAOLA Economia olitica Indice 1 La disoccupazione ----------------------------------------------------------------------------------------

Dettagli

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto:

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto: PROBLEMA 1. Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando

Dettagli

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE A. A. 2014-2015 L. Doretti 1 Il concetto di derivata di una funzione è uno dei più importanti e fecondi di tutta la matematica sia per

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e

Dettagli

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m =

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m = Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo Se f() è asintotica a m+q allora abbiamo f() m q = o(1), da cui (dividendo per ) m = f() q + 1 f() o(1) = + o(1), mentre q = f() m = o(1). Dunque si ha

Dettagli

Docente: Anna Valeria Germinario. Università di Bari. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 1 / 22

Docente: Anna Valeria Germinario. Università di Bari. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 1 / 22 Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale e approssimazioni, formula di Taylor Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari

Dettagli

1. Distribuzioni campionarie

1. Distribuzioni campionarie Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie

Dettagli

3 GRAFICI DI FUNZIONI

3 GRAFICI DI FUNZIONI 3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y

Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : ' = y y' = Consideriamo il punto P(,5) se eseguiamo tra trasformazione

Dettagli

La Minimizzazione dei costi

La Minimizzazione dei costi La Minimizzazione dei costi Il nostro obiettivo è lo studio del comportamento di un impresa che massimizza il profitto sia in mercati concorrenziali che non concorrenziali. Ora vedremo la fase della minimizzazione

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA (Classe 7) Corso di Matematica per l Economia (Prof. F. Eugeni) TEST DI INGRESSO Teramo, ottobre 00 SEZIONE

Dettagli

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2. FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di

Dettagli

Studio di funzioni ( )

Studio di funzioni ( ) Studio di funzioni Effettuare uno studio qualitativo e tracciare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni. Si studi in particolare anche la concavità delle funzioni e si indichino esplicitamente

Dettagli

FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ANALISI MATEMATICA I - A.A. 0/0 FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ESERCIZIO. Data la funzione f () = determinare l insieme f (( +)). Svolgimento. Poiché f (( +)) = { dom f : f () ( +)} = { dom f : f () > } si

Dettagli

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari Anno 5 4 Funzioni reali elementari 1 Introduzione In questa lezione studieremo alcune funzioni molto comuni, dette per questo funzioni elementari. Al termine di questa lezione sarai in grado di definire

Dettagli

SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue:

SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue: CAMPO DI ESISTENZA. Poiché la funzione data è una razionale fratta, essa risulta definita su tutto l asse reale tranne che nei punti in cui il denominatore della frazione si annulla, cioè: C.E. { R: 0}

Dettagli

Economia Applicata ai sistemi produttivi. 06.05.05 Lezione II Maria Luisa Venuta 1

Economia Applicata ai sistemi produttivi. 06.05.05 Lezione II Maria Luisa Venuta 1 Economia Applicata ai sistemi produttivi 06.05.05 Lezione II Maria Luisa Venuta 1 Schema della lezione di oggi Argomento della lezione: il comportamento del consumatore. Gli economisti assumono che il

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

Funzioni continue. ) della funzione calcolata in x 0, ovvero:

Funzioni continue. ) della funzione calcolata in x 0, ovvero: Funzioni continue Dal punto di vista intuitivo dire che una funzione è continua in un intervallo è come dire che nel disegnare il suo grafico non stacchiamo mai la penna dal foglio. Scriviamo adesso la

Dettagli

Scelte in condizioni di rischio e incertezza

Scelte in condizioni di rischio e incertezza CAPITOLO 5 Scelte in condizioni di rischio e incertezza Esercizio 5.1. Tizio ha risparmiato nel corso dell anno 500 euro; può investirli in obbligazioni che rendono, in modo certo, il 10% oppure in azioni

Dettagli

Elementi di topologia della retta

Elementi di topologia della retta Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme

Dettagli

G6. Studio di funzione

G6. Studio di funzione G6 Studio di funzione G6 Come tracciare il grafico di una funzione data Nei capitoli precedenti si sono svolti tutti gli argomenti necessari per tracciare il grafico di una funzione In questo capitolo

Dettagli

PROVA N 1. 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(x) PROVA N 2. è monotona in R?

PROVA N 1. 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(x) PROVA N 2. è monotona in R? PROVA N 1 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(). Studiare la funzione f()= 8+ 7 9 (Sono esclusi i flessi) 3. Data la funzione f()= 1 6 3 - +5-6

Dettagli

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza

Dettagli

Anno 3. Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza

Anno 3. Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza Anno 3 Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza 1 Introduzione In questa lezione parleremo delle funzioni. Ne daremo una definizione e impareremo a studiarne il dominio in relazione alle diverse

Dettagli

21. Studio del grafico di una funzione: esercizi

21. Studio del grafico di una funzione: esercizi 1. Studio del grafico di una funzione: esercizi Esercizio 1.6. Studiare ciascuna delle seguenti funzioni in base allo schema di pagina 194, eseguendo anche il computo della derivata seconda e lo studio

Dettagli

Studio di una funzione ad una variabile

Studio di una funzione ad una variabile Studio di una funzione ad una variabile Lo studio di una funzione ad una variabile ha come scopo ultimo quello di pervenire a un grafico della funzione assegnata. Questo grafico non dovrà essere preciso

Dettagli

Capitolo 5. Funzioni. Grafici.

Capitolo 5. Funzioni. Grafici. Capitolo 5 Funzioni. Grafici. Definizione: Una funzione f di una variabile reale,, è una corrispondenza che associa ad ogni numero reale appartenente ad un insieme D f R un unico numero reale, y R, denotato

Dettagli

Psicometria (8 CFU) Corso di Laurea triennale STANDARDIZZAZIONE

Psicometria (8 CFU) Corso di Laurea triennale STANDARDIZZAZIONE Psicometria (8 CFU) Corso di Laurea triennale Un punteggio all interno di una distribuzione è in realtà privo di significato se preso da solo. Sapere che un soggetto ha ottenuto un punteggio x=52 in una

Dettagli

Capitolo V. I mercati dei beni e i mercati finanziari: il modello IS-LM

Capitolo V. I mercati dei beni e i mercati finanziari: il modello IS-LM Capitolo V. I mercati dei beni e i mercati finanziari: il modello IS-LM 2 OBIETTIVO: Il modello IS-LM Fornire uno schema concettuale per analizzare la determinazione congiunta della produzione e del tasso

Dettagli

FUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x)

FUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x) 1 FUNZIONE Dati gli insiemi A e B, si definisce funzione da A in B una relazione o legge o corrispondenza che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. Si scrive: A B f: A B f() (si legge:

Dettagli

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale

Dettagli

Quale delle funzioni elencate ha il grafico in figura? 1) f(x)=x 3-2 2) f(x)= x 3-2x 2 -(x-2) 3) f(x)= x 3-2x 2 + x-2 4) f(x)= x 4 -x 2-2

Quale delle funzioni elencate ha il grafico in figura? 1) f(x)=x 3-2 2) f(x)= x 3-2x 2 -(x-2) 3) f(x)= x 3-2x 2 + x-2 4) f(x)= x 4 -x 2-2 Quale delle funzioni elencate ha il grafico in figura? 1) f(x)=x 3-2 2) f(x)= x 3-2x 2 -(x-2) 3) f(x)= x 3-2x 2 + x-2 4) f(x)= x 4 -x 2-2 SOLUZIONE: Si esclude subito la funzione 2) perché per x=0 vale

Dettagli

Corrispondenze e funzioni

Corrispondenze e funzioni Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei

Dettagli

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag. SOMMARIO CAPITOLO : I RADICALI. I radicali pag.. I radicali aritmetici pag.. Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.. Potenza di un radicale aritmetico pag.. Trasporto di un fattore esterno

Dettagli

Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 12 Cfu - A.A. 2010/2011 1

Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 12 Cfu - A.A. 2010/2011 1 Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 1 Cfu - A.A. 010/011 1 Esercitazione 1: 4/09/010 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: log a) f() = 5 ( 1). b) g() = log 3 (3 6) log 13.

Dettagli

Anno 3. Classificazione delle funzioni

Anno 3. Classificazione delle funzioni nno 3 Classificazione delle funzioni 1 Introduzione In questa lezione affronteremo lo studio delle principali proprietà delle funzioni, imparando a classificarle e a compiere alcune operazioni su esse.

Dettagli

2 + (σ2 - ρσ 1 ) 2 > 0 [da -1 ρ 1] b = (σ 2. 2 - ρσ1 σ 2 ) = (σ 1

2 + (σ2 - ρσ 1 ) 2 > 0 [da -1 ρ 1] b = (σ 2. 2 - ρσ1 σ 2 ) = (σ 1 1 PORTAFOGLIO Portafoglio Markowitz (2 titoli) (rischiosi) due titoli rendimento/varianza ( μ 1, σ 1 ), ( μ 2, σ 2 ) Si suppone μ 1 > μ 2, σ 1 > σ 2 portafoglio con pesi w 1, w 2 w 1 = w, w 2 = 1- w 1

Dettagli

GEOMETRIA DELLE MASSE

GEOMETRIA DELLE MASSE 1 DISPENSA N 2 GEOMETRIA DELLE MASSE Si prende in considerazione un sistema piano, ossia giacente nel pian x-y. Un insieme di masse posizionato nel piano X-Y, rappresentato da punti individuati dalle loro

Dettagli

7 - Esercitazione sulle derivate

7 - Esercitazione sulle derivate 7 - Esercitazione sulle derivate Luigi Starace gennaio 0 Indice Dimostrare il teorema 5.5.3.a................................................b............................................... Dimostrazioni.a

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

DUE PROPOSTE ANALISI MATEMATICA. Lorenzo Orio

DUE PROPOSTE ANALISI MATEMATICA. Lorenzo Orio DUE PROPOSTE DI ANALISI MATEMATICA Lorenzo Orio Introduzione Il lavoro propone argomenti di analisi matematica trattati in maniera tale da privilegiare l intuizione e con accorgimenti nuovi. Il tratta

Dettagli

Scelta intertemporale: Consumo vs. risparmio

Scelta intertemporale: Consumo vs. risparmio Scelta intertemporale: Consumo vs. risparmio Fino a questo punto abbiamo considerato solo modelli statici, cioè modelli che non hanno una dimensione temporale. In realtà i consumatori devono scegliere

Dettagli

Ottimizazione vincolata

Ottimizazione vincolata Ottimizazione vincolata Ricordiamo alcuni risultati provati nella scheda sulla Teoria di Dini per una funzione F : R N+M R M di classe C 1 con (x 0, y 0 ) F 1 (a), a = (a 1,, a M ), punto in cui vale l

Dettagli

Studio di una funzione. Schema esemplificativo

Studio di una funzione. Schema esemplificativo Studio di una funzione Schema esemplificativo Generalità Studiare una funzione significa determinarne le proprietà ovvero Il dominio. Il segno. Gli intervalli in cui cresce o decresce. Minimi e massimi

Dettagli

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0. Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,

Dettagli

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................

Dettagli

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Solitamente si fa riferimento ad intorni simmetrici =, + + Definizione: dato

Dettagli

x ( 3) + Inoltre (essendo il grado del numeratore maggiore del grado del denominatore, d ancora dallo studio del segno),

x ( 3) + Inoltre (essendo il grado del numeratore maggiore del grado del denominatore, d ancora dallo studio del segno), 6 - Grafici di funzioni Soluzioni Esercizio. Studiare il grafico della funzione f(x) = x x + 3. ) La funzione è definita per x 3. ) La funzione non è né pari, né dispari, né periodica. 3) La funzione è

Dettagli

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere

Dettagli

0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = log a (x) si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y

0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = log a (x) si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y INTRODUZIONE Osserviamo, in primo luogo, che le funzioni logaritmiche sono della forma y = log a () con a costante positiva diversa da (il caso a = è banale per cui non sarà oggetto del nostro studio).

Dettagli

0. Piano cartesiano 1

0. Piano cartesiano 1 0. Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato di due assi (che per ragioni pratiche possiamo scegliere ortogonali). Il punto in comune ai due assi è detto origine, e funziona da origine

Dettagli

Esercizi di Matematica. Funzioni e loro proprietà

Esercizi di Matematica. Funzioni e loro proprietà www.pappalardovincenzo.3.it Esercizi di Matematica Funzioni e loro proprietà www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO ESERCIZIO www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

MATEMATICA GENERALE - (A-D) Prova d esame del 7 febbraio 2012 - FILA A

MATEMATICA GENERALE - (A-D) Prova d esame del 7 febbraio 2012 - FILA A MATEMATICA GENERALE - (A-D) Prova d esame del 7 febbraio 2012 - FILA A Nome e cognome Matricola I Parte OBBLIGATORIA (quesiti preliminari: 1 punto ciascuno). Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

Lezione 5. Argomenti. Premessa Vincolo di bilancio La scelta ottima del consumatore

Lezione 5. Argomenti. Premessa Vincolo di bilancio La scelta ottima del consumatore Lezione 5 Argomenti Premessa Vincolo di bilancio La scelta ottima del consumatore 5.1 PREESSA Nonostante le preferenze portino a desiderare quantità crescenti di beni, nella realtà gli individui non sono

Dettagli