Le derivate versione 4

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1 Le derivate versione 4 Roberto Boggiani 2 luglio 2003 Riciami di geometria analitica Dalla geometria analitica sulla retta sappiamo ce dati due punti del piano A(x, y ) e B(x 2, y 2 ) con x x 2 la retta passante per questi due punti a per equazione y y m(x x ) ed il valore di m ossia del coefficiente angolare della retta sarà dato da m y 2 y x 2 x Ad esempio se si vuole trovare l equazione della retta passante per i punti A(, 3) e B(2, 4) procediamo come segue: troviamo l equazione della retta passante per il punto A ce sarà data da y 3 m(x ) troviamo il valore del coefficiente angolare della retta passante per A e B ce sarà dato da l equazione della retta cercata sarà data da m y 3 (x ) ossia y x Il rapporto incrementale Consideriamo ora una funzione generica f(x) definita in un dominio D f punti qualsiasi di tale dominio dati da: qualsiasi. Consideriamo due il punto x 0 il punto x 0 + e calcoliamo il valore assunto dalla funzione f(x) in tali punti ottenendo: per il punto x 0 il valore f(x 0 ) per il punto x 0 + il valore f(x 0 + ) In tal modo abbiamo identificato due punti nel piano cartesiano:

2 2 Il rapporto incrementale f(x 0 + ) B[x 0+,f(x 0+)] f(x) f(x 0 ) A[x 0,f(x 0)] x 0 x x 0 + Figura : Rapporto incrementale il punto A[x 0, f(x 0 )] il punto B[x 0 +, f(x 0 + )] come evidenziato nella figura. quantità: Consideriamo i seguenti esempi: Il rapporto incrementale della funzione f(x) sarà allora dato dalla RI(x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ) data la funzione f(x) x 2 ed il punto x 0 il rapporto incrementale di tale funzione sarà dato da: RI() ( + ) data la funzione f(x) x 2 + x ed il punto x 0 il rapporto incrementale di tale funzione sarà dato da: RI() ( + )2 + ( + ) ( data la funzione f(x) 2x + ed il punto x 0 2 il rapporto incrementale di tale funzione sarà dato da: 2(2 + ) + 5 RI(2) In certi casi si preferisce non specificare il valore del punto x 0 rispetto al quale si calcola il rapporto incrementale ottenendo un questo caso la funzione rapporto incrementale ce risulterà così definita: RI(x) f(x + ) f(x) Il vantaggio di questo modo di procedere rispetto al precedente sta nel fatto ce una volta calcolata l espressione di RI(x)il rapporto incrementale potrà essere calcolato per ogni valore di x 0 tramite una semplice operazione di sostituzione. Si vedano i seguenti esempi: data la funzione f(x) x 2 la funzione rapporto incrementale sarà data da: e quindi si avrà ce: RI(x) (x + )2 x x + 2x derivate 2 rb

3 4 Calcolo della derivata di una funzione se x 0 allora RI() + 2 se x 0 2 allora RI(2) + 4 data la funzione f(x) x + 2 la funzione rapporto incrementale sarà data da: e quindi si avrà ce: RI(x) x x + 2 se x 0 allora RI() +3 3 se x 0 2 allora RI(2) Definizione di derivata Siamo ora in grado di dare la definizione di derivata: Definizione 3. (di derivata) Data una funzione f(x) definita in un insieme A R ed un punto x 0 A. Prende il nome di derivata della funzione f(x) nel punto x 0 il ite del rapporto incrementale per ce tende ad 0 se tale ite esiste ed è finito. La derivata della funzione f(x) calcolata nel punto x 0 verrà indicata con il simbolo f (x 0 ) ed in simboli si avrà allora ce: f f(x 0 + ) f(x 0 ) (x 0 ) RI(x 0 ) 0 0 se tale ite esiste ed è finito. Diamo ance la seguente definizione: Definizione 3.2 (di funzione derivabile) Data una funzione f(x) definita in un insieme A R ed un punto x 0 A. Tale funzione si dice derivabile nel punto x 0 A se esiste la derivata della funzione in x 0 ossia se esiste il valore di f (x 0 ). 4 Calcolo della derivata di una funzione Vogliamo in questo paragrafo vedere alcuni esempi di calcolo della derivata di una funzione in un punto ce calcoleremo utilizzando la definizione data nel paragrafo precedente. Si avranno allora i seguenti esempi: la derivata della funzione f(x) x 2 nel punto x 0 2 sarà data da: f (2) (2 + ) ( + 4) 4 0 la derivata della funzione f(x) x nel punto x 0 2 sarà data da: f (2) la derivata della funzione f(x) x nel punto x 0 2 sarà data da: f (2) (2 + ) 4 derivate 3 rb

4 6 La funzione derivata 5 Significato geometrico della derivata La derivata di una funzione f(x) calcolata in un punto x 0 a un significato geometrico ben preciso. Se consideriamo due punti di coordinate A[x 0, f(x 0 )] B[x 0 +, f(x 0 + )] sappiamo da quanto detto ce la il rapporto incrementale RI(x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ) coincide con il coefficiente angolare della retta passante per i punti A e B ossia si avrà ce: m RI(x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ) Consideriamo ancora la figura, al tendere di a 0 il punto B si muove sulla curva f(x) avvicinandosi sempre di più al punto A e la retta passante per i punti A e B viene a coincidere con la retta tangente la funzione nel punto A. Ora se f(x) è derivabile in x 0 si avrà ce: e quindi si avrà ce: f (x 0 ) 0 RI(x 0 ) 0 f(x 0 + ) f(x 0 ) m f (x 0 ) Da questo fatto possiamo dire ce la derivata della funzione f(x) calcolata nel punto x 0 è uguale al coefficiente angolare della retta tangente la funzione stessa nel punto x 0 Da queste considerazioni di carattere geometrico è ance immediato calcolare l equazione di una retta tangente una funzione in un suo punto particolare. Il procedimento da seguire è illustrato nel seguente esempio. Calcolare l equazione della retta tangente la funzione f(x) x 3 nel punto di ascissa x 0 2. Il punto di tangenza sarà dato allora da: (x 0, f(x 0 )) (2, 8) e quindi l equazione della retta passante per questo punto sarà data da: y 8 m(x 2) Il valore di m si ottiene dunque calcolando la derivata della funzione f(x) x 3 nel punto x 0 2 e sarà data da: m f (2 + ) 3 8 (2) 2 0 da cui l equazione della retta tangente cercata sarà data da: 6 La funzione derivata y 8 2(x 2) Se non si specifica il valore del punto x 0 rispetto al quale si calcola la derivata della funzione f(x) otteniamo come risultato del ite non la derivata della funzione calcolata in un punto ma una funzione derivata la quale per ogni valore di x determina la derivata della funzione in quel punto particolare. Possiamo allora dare la seguente definizione: Definizione 6. (di funzione derivata) Data una funzione f(x) definita in un insieme A R. Prende il nome difunzione derivata della funzione f(x) il ite della funzione rapporto incrementale per ce tende ad 0 nei casi in cui tale ite esiste ed è finito. La funzione derivata della funzione f(x) verrà indicata con il simbolo f (x) ed in simboli si avrà allora ce: f f(x + ) f(x) (x) RI(x) 0 0 nei casi in cui tale ite esiste ed è finito. derivate 4 rb

5 8 Calcolo della funzione derivata 7 Dominio della funzione f(x) e della funzione derivata f (x) Dobbiamo a questo punto fare una importante precisazione. La funzione f(x) avrà un proprio dominio ce indiciamo con D f mentre la funzione derivata avrà un altro dominio ce indiciamo con D f. Si potranno allora verificare i seguenti casi: D f D f in questo caso la funzione f(x) è derivabile in tutti i punti in cui è definita D f D f in questo caso la funzione f(x) non è derivabile in tutti i punti in cui è definita in quanto in alcuni punti la funzione derivata non è definita D f D f in questo caso la funzione f(x) è derivabile in tutti i punti in cui è definita in quanto per i punti in cui non è definita il fatto ce esista la funzione derivata non a alcuna importanza Da questa osservazione emerge quindi il fatto ce una volta calcolata la funzione derivata sia necessario calcolarne ance il dominio e verificare i punti in cui essa non è derivabile. Questo fatto sarà di fondamentale importanza nella applicazione dei teoremi riguardanti le derivate. 8 Calcolo della funzione derivata Vogliamo ora dare alcuni esempi di come calcolare la funzione derivata di una funzione f(x). Si avranno i seguenti casi: data la funzione f(x) k avente come dominio D f R la funzione derivata sarà data da: f (x) f(x + ) f(x) 0 k k 0 0 la quale avrà come dominio D f R e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) data la funzione f(x) x avente come dominio D f R la funzione derivata sarà data da: f (x) 0 f(x + ) f(x) 0 x + x 0 la quale avrà come dominio D f R e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) data la funzione f(x) x 2 avente come dominio D f R la funzione derivata sarà data da: f (x) f(x + ) f(x) 0 (x + ) 2 x 2 0 x x x x 0 ( + 2x 0 ( + 2x) 2x 0 la quale avrà come dominio D f R e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) derivate 5 rb

6 9 Derivata della funzione potenza data la funzione f(x) log a x avente come dominio D f ]0; + [ con a > 0 e a la funzione derivata sarà data da: f (x) f(x + ) f(x) 0 log a (x + ) log a (x) 0 0 log a 0 x x 0 log a x t log a x + ( x log a + x ( + x ( + t ) ) x ) t x log a e la quale avrà come dominio D f R {0} e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) data la funzione f(x) ln x avente come dominio D f ]0; + [ la funzione derivata sarà data da: f (x) 0 f(x + ) f(x) x la quale avrà come dominio D f R {0} e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) data la funzione f(x) a x avente come dominio D f R con a > 0 e a la funzione derivata sarà data da: f (x) f(x + ) f(x) 0 a x+ a x 0 a x a 0 a x a a x ln a 0 la quale avrà come dominio D f R e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) data la funzione f(x) e x avente come dominio D f R la funzione derivata sarà data da: f (x) e x la quale avrà come dominio D f R e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) 9 Derivata della funzione potenza Data l importanza ce riveste nel calcolo delle derivate vogliamo trattare la derivazione della funzione potenza in modo più approfondito rispetto alle altre funzioni. Diamo prima di tutto la seguente: Definizione 9. (di funzione potenza) Prende il nome di funzione potenza la funzione [ R R f : x f(x) x α con α R derivate 6 rb

7 0 Regole di derivazione Per il calcolo della derivata di tale funzione possiamo dimostrare ce essa si ottiene come f (x) f(x + ) f(x) 0 (x + ) α x α 0 αx α Vediamo alcuni esempi di applicazione della derivata della funzione potenza. Abbiamo: data la funzione f(x) x avente come dominio D f R la funzione derivata sarà data da: f (x) la quale avrà come dominio D f R e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) data la funzione f(x) x 2 avente come dominio D f R la funzione derivata sarà data da: f (x) 2x la quale avrà come dominio D f R e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) data la funzione f(x) x 3 avente come dominio D f R la funzione derivata sarà data da: f (x) 3x 2 la quale avrà come dominio D f R e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) data la funzione f(x) x x avente come dominio D f R {0} la funzione derivata sarà data da: f (x) x 2 x 2 la quale avrà come dominio D f R e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) data la funzione f(x) x x 2 avente come dominio D f [0; + [ la funzione derivata sarà data da: f (x) 2 x 2 2 x 2 2 x la quale avrà come dominio D f ]0; + [ e quindi non è derivabile in 0 0 Regole di derivazione Vogliamo in questo paragrafo esporre le regole di derivazione delle funzioni reali. Si anno i seguenti: Teorema 0. (derivazione della somma) Date due funzioni f(x) e g(x) derivabili in un insieme A R posto (x) f(x) + g(x) si avrà ce: (x) f (x) + g (x) Teorema 0.2 (derivazione della differenza) Date due funzioni f(x) e g(x) derivabili in un insieme A R posto (x) f(x) g(x) si avrà ce: (x) f (x) g (x) derivate 7 rb

8 Derivata della funzione composta Teorema 0.3 (derivazione del prodotto) Date due funzioni f(x) e g(x) derivabili in un insieme A R posto (x) f(x)g(x) si avrà ce: (x) f (x)g(x) + f(x)g (x) Teorema 0.4 (derivazione del prodotto) Date due funzioni f(x) e g(x) k con k R costante derivabili in un insieme A R posto (x) kf(x) si avrà ce: (x) kf (x) Teorema 0.5 (derivazione del quoziente) Date due funzioni f(x) e g(x) derivabili in un insieme A R e g(x) 0 per ogni x A posto (x) f(x) g(x) si avrà ce: (x) f (x)g(x) f(x)g (x) [g(x)] 2 Vediamo alcuni esempi di applicazione delle precedenti regole di derivazione. Si avrà: trovare la derivata della funzione in base a quanto detto di avrà ce essa è data da trovare la derivata della funzione in base a quanto detto di avrà ce essa è data da f(x) ln(x) x 2 f (x) x 2x f(x) 5 x f (x) 5 2 x trovare la derivata della funzione f(x) x2 x 2 + in base a quanto detto di avrà ce essa è data da f (x) 2x(x2 + ) 2x(x 2 ) (x 2 + ) 2 4x (x 2 + ) 2 Derivata della funzione composta Diamo il seguente: Teorema. (derivazione della funzione composta) Sia la funzione g(x) definita in un insieme A R e dotata di insieme immagine I g e la funzione f(x) definita in un sottoinsieme B R tale ce I g B. Se g(x) è derivabile nel punto x 0 A e se g(x) è derivabile nel punto f(x 0 ) B, allora ance la funzione composta (x) f g(x) è derivabile in x 0 e si avrà ce:. (x 0 ) f [g(x 0 )]g (x 0 ) Vediamo ora alcuni esempi di applicazione di questo teorema. Abbiamo ce: trovare la derivata della funzione in base a quanto detto di avrà ce essa è data da trovare la derivata della funzione in base a quanto detto di avrà ce essa è data da f(x) (2x 2 + 3x) 4 f (x) 4(2x 2 + 3x) 3 (4x + 3) f(x) x 2 5x f (x) 2 (2x 5) x 2 5x derivate 8 rb

9 3 Teoremi fondamentali del calcolo differenziale [x 0, f(x 0)] Derivabilità e continuità Figura 2: Teorema di Rolle Fino a questo punto non abbiamo detto nulla circa la continuità delle funzioni di cui stiamo studiando la derivabilità. Vale a tal proposito il seguente: Teorema 2. Se una funzione f(x) definita in un insieme A R è derivabile nel punto X 0 A allora in tale punto essa è ance continua. In base a questo teorema si avrà allora ce la derivabilità di una funzione ne implica ance la continuità. Parlare quindi di funzioni derivabili significa sottointendere ce tali funzioni sono ance continue nel loro dominio di definizione. 3 Teoremi fondamentali del calcolo differenziale I teoremi fondamentali del calcolo differenziale sono di fondamentale importanza per le applicazioni della teoria delle derivate alla ricerca dei massimi e dei minimi assoluti, noncè della crescenza e decrescenza di una funzione. Essi sono i seguenti: Teorema 3. (di Rolle) Data una funzione f(x) avente come dominio [a, b] R e tale ce: f(x) è continua in [a, b] f(x) è derivabile in ]a, b[ f(a) f(b) allora esiste almeno un punto x 0 interno ad [a, b] in cui f (x 0 ) 0 Il significato geometrico del teorema di Rolle si può facilmente evincere analizzando la figura 2. Notiamo infatti ce se le ipotesi del teorema di Rolle sono verificate esisterà sicuramente un punto di coordinate[x 0, f(x 0 )] il cui la tangente ad f(x) è parallela all asse delle ascisse. Teorema 3.2 (di Lagrange) Data una funzione f(x) avente come dominio [a, b] R e tale ce: f(x) è continua in [a, b] f(x) è derivabile in ]a, b[ allora esiste almeno un punto x 0 interno ad [a, b] in cui f (x 0 ) f(b) f(a) b a derivate 9 rb

10 4 Ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluti di una funzione [x 0, f(x 0)] Figura 3: Teorema di Lagrange Il significato geometrico del teorema di Lagrange si può facilmente evincere analizzando la figura 3. Notiamo infatti ce se le ipotesi del teorema di Lagrange sono verificate esisterà sicuramente un punto di coordinate[x 0, f(x 0 )] il cui la tangente ad f(x) è parallela alla retta passante per i punti [a, f(a)] e [b, f(b)]. Teorema 3.3 (dei punti di massimo e minimo relativi) Data una funzione f(x) avente come dominio A R e tale ce: f(x) è continua in A f(x) è derivabile nei punti interni ad A se x 0 è un punto interno ad interno ad A di massimo o di minimo relativo allora f (x 0 ) 0 Vogliamo notare ce questo teorema non è invertibile ossia può accadere ce per un punto x 0 interno ad A sia f (x 0 ) 0 senza ce necessariamente x 0 sia un punto di minimo o di massimo relativo. L esempio classico ce viene fatto riguarda la funzione f(x) x 3 ce a per derivata f (x) 3x 2. Notiamo ce l equazione 3x 2 0a per soluzione x 0 0 ma tale punto non è di massimo o di minimo relativo in quanto in tale punto la funzione è crescente come si denota dal grafico della funzione f(x) x 3. Teorema 3.4 (dei punti di flesso) Data una funzione f(x) avente come dominio A R e tale ce: f(x) è continua in A f(x) è derivabile almeno due volte nei punti interni ad A se x 0 è un punto interno ad interno ad A di flesso allora f (x 0 ) 0 Vogliamo notare ce questo teorema non è invertibile ossia può accadere ce per un punto x 0 interno ad A sia f (x 0 ) 0 senza ce necessariamente x 0 sia un punto di flesso. 4 Ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluti di una funzione Un problema molto importante ce si pone nelle applicazioni è quello relativo alla ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluto di una funzione. Per affrontare in maniera adeguata la soluzione di questo problema sarà opportuno riciamare il seguente: Teorema 4. (di Weierstrass) Ogni funzione f(x) continua in intervallo ciuso e itato [a, b] ammette il massimo e il minimo assoluto. derivate 0 rb

11 4 Ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluti di una funzione Quindi se la funzione f(x) è: continua definita in un intervallo ciuso e itato [a, b[ f(x) ammette sia il minimo ce il massimo assoluto. Per la ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluti in un intervallo qualsiasi vae invece il seguente: Teorema 4.2 (della ricerca degli estremi assoluti) Data una funzione f(x) avente come dominio A R gli eventuali punti di massimo e di minimo sono da ricercarsi: negli estremi dell intervalloa nei punti interni ad A in cui f (x) 0 nei punti interni ad A in cui f(x) non è derivabile Ciò significa allora ce la ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluti di una funzione dovrà essere ricondotta ai seguenti punti: gli estremi dell intervallo di definizione della funzione stessa nei punti interni ad A in cui f (x) 0 i punti interni ad A in cui f(x) non è derivabile Detti x, x 2, x 3,,..., x n tali punti si avrà ce: il massimo assoluto sarà dato dal valore f(x i ) con i..n ce presenterà il valore più elevato, mentre il corrispondente valore di x i sarà detto punto di massimo assoluto il minimo assoluto sarà dato dal valore f(x i ) con i..n ce presenterà il valore più basso, mentre il corrispondente valore di x i sarà detto punto di minimo assoluto Vediamo ora alcuni esempi. Si avrà ce: Trovare il massimo e il minimo assoluto della funzione f(x) x 2 definita in D f : [ 3, 5]. Notiamo prima di tutto ce la funzione così definita soddisfa alle ipotesi del teorema di Weierstrass e quindi siamo certi dell esistenza del massimo e del minimo assoluto. I punti di massimo e di minimo assoluto sono allora da ricercarsi tra: gli estremi dell intervallo di definizione della funzione ossia tra i punti { 3, 5} nei punti interni a D f il cui la derivata prima si annulla ossia essendo f (x) 2x nei punti per cui 2x 0 ossia nel punto {0} nei punti interni a D f in cui la funzione non è derivabile. Nel nostro caso non esistono punti appartenenti a questa categoria. I punti di massimo e di minimo assoluto sono allora solamente i seguenti { 3, 0, 5} ed avendosi ce possiamo concludere ce f( 3) 9 f(0) 0 f(5) 25 il massimo vale 25 mentre il punto di massimo è 5 il minimo vale 0 mentre il punto di minimo è 0 Trovare il massimo e il minimo assoluto della funzione f(x) 3 x definita in D f : [ 8, 8]. Notiamo prima di tutto ce la funzione così definita soddisfa alle ipotesi del teorema di Weierstrass e quindi siamo certi dell esistenza del massimo e del minimo assoluto. I punti di massimo e di minimo assoluto sono allora da ricercarsi tra: derivate rb

12 5 Ricerca degli intervalli di crescenza e decrescenza di una funzione gli estremi dell intervallo di definizione della funzione ossia tra i punti { 8, 8} nei punti interni a D f il cui la derivata prima si annulla ossia essendo f (x) 3 3 si vede x2 ce tale derivata non si annulla in alcun punto appartenente al dominio della funzione nei punti interni a D f in cui la funzione non è derivabile. Nel nostro caso si nota ce a tale categoria appartiene solamente il punto {0} I punti di massimo e di minimo assoluto sono allora solamente i seguenti ed avendosi ce possiamo concludere ce { 8, 0, 8} f( 8) 2 f(0) 0 f(8) 2 il massimo vale 2 mentre il punto di massimo è 8 il minimo vale 0 mentre il punto di minimo è 0 5 Ricerca degli intervalli di crescenza e decrescenza di una funzione Per la ricerca degli intervalli di crescenza e decrescenza di una funzione vale il seguente: Teorema 5. (della crescenza e decrescenza) Data una funzione f(x) avente come dominio A R se tale funzione è derivabile nei punti interni ad A si avrà allora ce: se per ogni punto x interno ad A f (x) > 0 allora f(x) è crescente in A se per ogni punto x interno ad A f (x) < 0 allora f(x) è descrescente in A Tale teorema ance se molto semplice nella sua formulazione può dar adito a problemi in sede di applicazione. Facciamo allora se seguenti osservazioni: per poter essere applicato devono essere soddisfatte tutte le sue ipotesi in particolare si fa notare la completa derivabilità della funzione nei punti interni ad A si noti ce se f(x) è crescente in A allora in ogni punto interno ad A si avrà ce f (x) 0 e quindi in teorema dato non potrà essere invertito si noti ce se f(x) è descrescente in A allora in ogni punto interno ad A si avrà ce f (x) 0 e quindi in teorema dato non potrà essere invertito nelle applicazioni non accade quasi mai di trovare una funzione totalmente crescente o decrescente nel suo dominio, quindi il teorema sarà applicato in sotto intervalli del dominio di f(x) Vediamo alcuni esempi relativi alla ricerca degli intervalli di crescenza e decrescenza di una funzione. Si avrà: data la funzione f(x) x(x+) 2 avente come dominio R la sua derivata è data da f 3x 2 +4x+. Si nota quindi ce ance la derivata a come dominio R, e quindi la funzione è continua e derivabile in tutto il suo dominio di esistenza. Per trovare gli intervalli di crescenza e decrescenza dobbiamo allora risolvere la disequazione: 3x 2 + 4x + > 0 da cui possiamo dedurre ce: la funzione è crescente negli intervalli ], [ ] 3, + [ la funzione è decrescente nell intervallo ] 3, [ data la funzione f(x) ln(x) avente come dominio R + la sua derivata è data da f x. Si nota quindi ce ance la derivata a come dominio R, e quindi la funzione è continua e derivabile in tutto il suo dominio di esistenza. Per trovare gli intervalli di crescenza e decrescenza dobbiamo allora risolvere la disequazione: x > 0 da cui possiamo dedurre ce la funzione è sempre crescente in tutto il suo dominio di esistenza derivate 2 rb

13 7 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativi: secondo metodo 6 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativi: primo metodo Per la ricerca dei punti di massimo e minimo relativi e dei flessi a tangente orizzontale vale il seguente: Teorema 6. Data una funzione f(x) avente come dominio A R se tale funzione è derivabile nei punti interni ad A ed x 0 è un punto interno ad A tale ce f (x 0 ) 0 si avrà allora ce: se f (x) < 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) > 0 in un intorno destro di x 0, allora x 0 è un punto di minimo relativo se f (x) > 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) < 0 in un intorno destro di x 0, allora x 0 è un punto di massimo relativo se f (x) < 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) < 0 in un intorno destro di x 0, allora x 0 è un punto di flesso discendente a tangente orizzontale se f (x) > 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) > 0 in un intorno destro di x 0, allora x 0 è un punto di flesso ascendente a tangente orizzontale Tale teorema ance se molto semplice nella sua formulazione può dar adito a problemi in sede di applicazione. Facciamo allora se seguenti osservazioni: per poter essere applicato devono essere soddisfatte tutte le sue ipotesi in particolare si fa notare la completa derivabilità della funzione nei punti interni ad A il teorema permette di trovare i punti di massimo e di minimo relativi interni ad A, si ricorda per inciso ce eventuali punti di massimo e di minimo relativi per una funzione si possono trovare ance agli estremi del dominio se la funzione è definita in un intervallo ciuso e itato di R si noti ce tale teorema è molto potente in quanto risulta valido ance se la funzione non è derivabile in x 0 basta solo ce in tale punto essa sia continua tale teorema da solo una condizione sufficiente per la ricerca dei punti dei massimi e di minimo relativi, posso infatti esistere dei punti ce non soddisfano tale teorema ma ce sono in ogni caso o punti di massimo o punti di minimo relativi per la funzione oggetto di studio Vediamo ora un esempio di applicazione di tale teorema. Se si devono trovare i punti di massimo e di minimo relativi della funzione f(x) x 3 2x 2 + x avente come dominio R dobbiamo prima di tutto calcolare la sua derivata prima data da f (x) 3x 2 4x + ce anc essa a come dominio R. La funzione è quindi continua e derivabile in tutto R. Risolviamo la disequazione: 3x 2 4x + > 0 ottenendo come soluzioni ], [ ], + [ 3 Ciò significa allora in base al teorema del presente paragrafo ce: il punto x 0 3 è un punto di massimo relativo il punto x 0 è un punto di minimo relativo 7 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativi: secondo metodo Per la ricerca dei punti di massimo e minimo relativi e dei flessi a tangente orizzontale possiamo utilizzare ance un altro metodo derivante dal seguente: Teorema 7. Data una funzione f(x) avente come dominio A R se tale funzione è derivabile almeno tre volte nei punti interni ad A ed x 0 è un punto interno ad A tale ce f (x 0 ) 0 si avrà allora ce: se f (x 0 ) 0 ed f (x 0 ) > 0 allora x 0 è un punto di minimo relativo se f (x 0 ) 0 ed f (x 0 ) < 0 allora x 0 è un punto di massimo relativo derivate 3 rb

14 9 Osservazione sulla ricerca dei massimi e dei minimi relativi se f (x 0 ) f (x 0 ) 0 ed f (x 0 ) < 0 allora x 0 è un punto di flesso discendente a tangente orizzontale se f (x 0 ) f (x 0 ) 0 ed f (x 0 ) > 0 allora x 0 è un punto di flesso ascendente a tangente orizzontale Vediamo ora un esempio di applicazione di tale teorema riprendendo l esempio relativo fatto nel precedente paragrafo. Se si devono trovare i punti di massimo e di minimo relativi della funzione f(x) x 3 2x 2 + x avente come dominio R dobbiamo prima di tutto calcolare la sua derivata prima data da f (x) 3x 2 4x + ce anc essa a come dominio R. La funzione è quindi continua e derivabile in tutto R. Risolviamo l equazione: 3x 2 4x + 0 ottenendo come soluzioni { } 3, Calcoliamo allora la derivata seconda della f(x) data da f (x) 6x 4 Essendo allora f ( 3) 2 il punto x0 3 è un punto di massimo relativo f () 2il punto x 0 è un punto di minimo relativo 8 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativi: metodo generale Esiste ance un metodo generale per la ricerca dei massimi e dei minimi relativi dato dal seguente: Teorema 8. (del metodo generale) Data una funzione f(x) avente come dominio A R. Se f(x) è derivabile quante volte serve nei punti interni ad A e se in un punto x 0 interno ad A accade ce: allora si avrà ce: f (x 0 ) f (x 0 )... f n (x 0 ) f n (x 0 ) 0 se n è pari ed f n (x 0 ) < 0 allora x 0 è un punto di massimo relativo se n è pari ed f n (x 0 ) > 0 allora x 0 è un punto di minimo relativo se n è dispari ed f n (x 0 ) < 0 allora x 0 è un punto di flesso discendente a tangente orizzontale se n è dispari ed f n (x 0 ) > 0 allora x 0 è un punto di flesso ascendente a tangente orizzontale 9 Osservazione sulla ricerca dei massimi e dei minimi relativi Data una funzione f(x) avente come dominio A R con i metodi esposti nei paragrafi precedenti possiamo trovare i punti di massimo e di minimo relativo solamente se f(x) è derivabile in tutti i punti interni ad A. Potrebbe però accadere il caso in cui i punti di massimo e di minimo relativo si trovano ance negli estremi del dominio A della funzione f(x). Si consideri ad esempio la funzione f(x) x + avente come D f : [3, 5] e il cui grafico è riportato nella figura 4 la quale presenta il minimo relativo nel punto x 0 3 e il punto di massimo relativo nel punto x 0 5. Da quanto detto sarà quindi necessario ricordare ce i punti di massimo e di minimo relativi di una funzione f(x) definita in un insieme A R potranno trovarsi: negli estremi dell intervallo A nei punti interni ad A in cui f (x) 0 item nei punti interni ad A in cui la funzione non è derivabile Precisiamo in ogni caso senza entrare in dettagli ce nei casi in cui la funzione non è derivabile in qualce punto interno ad A in tali punti potremmo trovare: punti angolosi: se la derivata destra e quella sinistra calcolata in tali punti esistono ma sono diverse tra di loro punti di cuspidi: se il ite della derivata prima destra e sinistra per x ce tende al punto di non derivabilità tendono ambedue a ma non segno diverso flessi a tangente verticale: se il ite della derivata prima per x ce tende al punto di non derivabilità tende o a + o a. derivate 4 rb

15 20 Ricerca degli intervalli di concavità e di convessità di una funzione Figura 4: Massimi e minimi relativi agli estremi del dominio 20 Ricerca degli intervalli di concavità e di convessità di una funzione Per la ricerca degli intervalli di concavità e di convessità di una funzione vale il seguente: Teorema 20. (della concavità e convessità) Data una funzione f(x) avente come dominio A R se tale funzione è derivabile almeno due volte nei punti interni ad A si avrà allora ce: se per ogni punto x interno ad A f (x) > 0 allora f(x) è convessa in A se per ogni punto x interno ad A f (x) < 0 allora f(x) è concava in A Tale teorema ance se molto semplice nella sua formulazione può dar adito a problemi in sede di applicazione. Facciamo allora se seguenti osservazioni: per poter essere applicato devono essere soddisfatte tutte le sue ipotesi in particolare si fa notare la completa derivabilità fino alla derivata seconda della funzione nei punti interni ad A si noti ce se f(x) è convessa in A allora in ogni punto interno ad A si avrà ce f (x) 0 e quindi in teorema dato non potrà essere invertito si noti ce se f(x) è concava in A allora in ogni punto interno ad A si avrà ce f (x) 0 e quindi in teorema dato non potrà essere invertito nelle applicazioni non accade quasi mai di trovare una funzione totalmente concava o convessa nel suo dominio, quindi il teorema sarà applicato in sotto intervalli del dominio di f(x) Vediamo alcuni esempi relativi alla ricerca degli intervalli di concavità e convessità di una funzione. Si avrà: data la funzione f(x) x(x + ) 2 avente come dominio R la sua derivata prima è data da f 3x 2 + 4x +. La sua derivata seconda è invece data da f 6x + 4 Si nota quindi ce ance la derivata seconda a come dominio R, e quindi la funzione è continua e derivabile in tutto il suo dominio di esistenza. Per trovare gli intervalli di concavità e di convessità dobbiamo allora risolvere la disequazione: 6x + 4 > 0 da cui possiamo dedurre ce: la funzione volge la concavità verso l alto nell intervallo ] 2 3, + [ la funzione volge la concavità verso il basso nell intervallo ] infty, 2 3 [ derivate 5 rb

16 23 Ricerca dei punti di flesso a tangente obliqua: metodo generale data la funzione f(x) ln(x) avente come dominio R + la sua derivata prima è data da f x. La sua derivata seconda è invece data da f x Si nota quindi ce ance la derivata seconda a 2 come dominio R, e quindi la funzione è continua e derivabile in tutto il suo dominio di esistenza. Per trovare gli intervalli di concavità e di convessità dobbiamo allora risolvere la disequazione: x 2 > 0 da cui possiamo dedurre ce la funzione volge sempre la concavità verso il basso in tutto il suo dominio di esistenza 2 Ricerca dei punti di flesso a tangente obliqua: primo metodo Per la ricerca dei punti di flesso a tangente obliqua vale il seguente: Teorema 2. (della ricerca dei punti di flesso a tangente obliqua) Data una funzione f(x) avente come dominio A R se tale funzione è derivabile almeno due volte nei punti interni ad A ed x 0 è un punto interno ad A tale ce f (x 0 ) 0 ed f (x 0 ) 0 si avrà allora ce: se f (x) < 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) > 0 in un intorno destro di x 0, allora x 0 è un punto di flesso ascendente a tangente obliqua se f (x) > 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) < 0 in un intorno destro di x 0, allora x 0 è un punto di flesso discendente a tangente obliqua se f (x) < 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) < 0 in un intorno destro di x 0, allora in x 0 la funzione è concava se f (x) > 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) > 0 in un intorno destro di x 0, allora in x 0 la funzione è convessa 22 Ricerca dei punti di flesso a tangente obliqua: secondo metodo Per la ricerca dei punti di flesso a tangente obliqua possiamo utilizzare ance un altro metodo derivante dal seguente: Teorema 22. (della ricerca dei punti di flesso obliqui) Data una funzione f(x) avente come dominio A R se tale funzione è derivabile almeno tre volte nei punti interni ad A ed x 0 è un punto interno ad A tale ce f (x 0 ) 0 e f (x 0 ) 0 si avrà allora ce: se f (x 0 ) > 0 allora x 0 è un punto di flesso ascendente a tangente obliqua se f (x 0 ) < 0 allora x 0 è un punto di flesso discendente a tangente obliqua se f (x 0 ) 0 f (x 0 ) < 0 allora in x 0 la funzione è concava se f (x 0 ) 0 f (x 0 ) > 0 allora in x 0 la funzione è convessa 23 Ricerca dei punti di flesso a tangente obliqua: metodo generale Esiste ance un metodo generale per la ricerca dei punti di flesso a tangente orizzontale dato dal seguente: Teorema 23. (del metodo generale) Data una funzione f(x) avente come dominio A R. Se f(x) è derivabile quante volte serve nei punti interni ad A e se in un punto x 0 interno ad A accade ce: allora si avrà ce: f (x 0 ) f (x 0 )... f n (x 0 ) 0 ed f n (x 0 ) 0 se n è pari ed f n (x 0 ) < 0 allora in x 0 la funzione è concava derivate 6 rb

17 24 Formula di Taylor se n è pari ed f n (x 0 ) > 0 allora in x 0 la funzione è convessa se n è dispari ed f n (x 0 ) < 0 allora x 0 è un punto di flesso discendente a tangente obliqua se n è dispari ed f n (x 0 ) > 0 allora x 0 è un punto di flesso ascendente a tangente obliqua 24 Formula di Taylor Considerato il polinomio P (x) + 2x + 3x 2 e scelto un punto x 0 ci ciediamo in ce modo sia possibile rappresentare P (x) mediante delle potenze del binomio (x x 0 ). In altre parole vogliamo trovare tre numeri reali A, B, C tali ce P (x) possa essere scritto nel seguente modo: P (x) A + B(x x 0 ) + C(x x 0 ) 2 Per trovare tali numeri reali possiamo procedere per diverse strade. Quella ce vogliamo qui percorrere consiste nel notare ce: P (x) A + B(x x 0 ) + C(x x 0 ) 2 da cui A P (x 0 ) P (x) B + C(x x 0 ) da cui B P (x 0 ) P (x) 2C da cui C 2 P (x 0 ) da cui sarà immediato scrivere ce: P (x) P (x 0 ) + P (x 0 )(x x 0 ) + 2 P (x 0 )(x x 0 ) 2 Se il polinomio fosse di grado n con analogo procedimento saremmo in grado di scrivere ce P (x) P (x 0 ) + P (x 0 )(x x 0 ) + 2 P (x 0 )(x x 0 ) 2 + 3! P (x 0 )(x x 0 ) n! P n (x 0 )(x x 0 ) n Per rendersene conto si provi ad applicare il procedimento appena descritto al polinomio nel punto x 0 si ottiene lo sviluppo: P (x) + 3x + 4x 3 P (x) 8 + 5(x ) (x )2 + 24(x )3 3! E spontaneo allora ciedersi ce cosa si otterrebbe se si seguisse un procedimento analogo partendo, anzicè da un polinomio P (X), da una funzione f(x), supposta naturalmente derivabile quante volte si vuole. In altri termini, se, assegnata una funzione f(x) e scelto un punto x 0 costruiamo i polinomi in (x x 0 ) dati da f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + 2 f (x 0 )(x x 0 ) 2 f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + 2 f (x 0 )(x x 0 ) 2 + 3! f (x 0 )(x x 0 ) 3 ce legami intercorrono tra questi polinomi e la f(x). Prima di rispondere a questa domanda dobbiamo enunciare il seguente Teorema 24. Sia g(x) una funzione derivabile (n + ) volte in un intervallo aperto I e sia x 0 I, se g(x 0 ) 0 g (x 0 ) 0... g n (x 0 ) 0 derivate 7 rb

18 25 Teorema de L Hospital allora per ogni x I risulta ce g(x) dove ξ ]x, x 0 [ dipende da x, da x 0 e da n. (n + )! g(n+) (ξ)(x x 0 ) n+ Da tale teorema sarà possibile procedere alla risposta della domanda ce ci siamo appena fatta, risposta ce è data dal seguente: Teorema 24.2 (della formula di Taylor) Se la funzione f(x) è derivabile m volte nell intervallo I, allora x, x 0 I risulta: f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + 2! f (x 0 )(x x 0 ) in cui ξ è un opportuno punto compreso tra x ed x 0. (m )! f (m ) (x 0 )(x x 0 ) m + m! f (m) (ξ)(x x 0 ) m L espressione: R m m! f m (ξ)(x x 0 ) m si ciama resto m-esimo della formula di Taylor. Si noti ce se il punto iniziale è x 0 0 la formula di taylor diviene: f(x) f(0) + f (0)x + 2! f (0)x (m )! f (m ) (0)x m + m! f (m) (ξ)x m ce si usa ciamare formula di Mac-Laurin La formula di Taylor per la funzione f(x) e x è data da: e x e x0 + e x0 (x x 0 ) + 2 ex0 (x x 0 ) mentre la corrispondente formula di Mac-Laurin sarà data da: e x + x + 2 x Teorema de L Hospital (m )! ex0 (x x 0 ) m + m! eξ (x x 0 ) m (m )! xm + m! eξ (x) m In certi casi di indeterminazione visti nel calcolo dei iti possiamo applicare per il calcolo degli stessi un teorema molto importante detto teorema de l Hospital. Tale teorema afferma ce: Teorema 25. (de l Hospital) Se f(x) e g(x) sono due funzioni continue in [a, b] e derivabili in ]a, b[, escluso al più il punto x 0 ]a, b[, con g (x) 0 x ]a, b[ x x 0 f(x 0 ) 0 e g(x 0 ) 0 oppure f(x 0 ) e g(x 0 ) e se esite finito il: allora esiste ance: e risulta ce: f (x) x x 0 g (x) f(x) x x 0 g(x) f (x) x x 0 g (x) f(x) x x 0 g(x) derivate 8 rb

19 25 Teorema de L Hospital Bisogna stare molto attenti nella applicazione di questo teorema in quanto tutte le sue ipotesi devono essere verificate prima di poterlo applicare (e sono molte). Vediamo un esempio di applicazione. Sia da calcolare il seguente: e x 0 x 0 x 0 si verifica facilmente ce tutte le ipotesi sono verificate e quindi calcoliamo: e x x 0 quindi esistendo il ite del rapporto delle derivate, tale ite sarà uguale a quello cercato. derivate 9 rb

20 Elenco delle figure Elenco delle figure Elenco delle figure Rapporto incrementale Teorema di Rolle Teorema di Lagrange Massimi e minimi relativi agli estremi del dominio derivate 20 rb

21 Indice Indice Indice Riciami di geometria analitica 2 Il rapporto incrementale 3 Definizione di derivata 3 4 Calcolo della derivata di una funzione 3 5 Significato geometrico della derivata 4 6 La funzione derivata 4 7 Dominio della funzione f(x) e della funzione derivata f (x) 5 8 Calcolo della funzione derivata 5 9 Derivata della funzione potenza 6 0 Regole di derivazione 7 Derivata della funzione composta 8 2 Derivabilità e continuità 9 3 Teoremi fondamentali del calcolo differenziale 9 4 Ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluti di una funzione 0 5 Ricerca degli intervalli di crescenza e decrescenza di una funzione 2 6 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativi: primo metodo 3 7 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativi: secondo metodo 3 8 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativi: metodo generale 4 9 Osservazione sulla ricerca dei massimi e dei minimi relativi 4 20 Ricerca degli intervalli di concavità e di convessità di una funzione 5 2 Ricerca dei punti di flesso a tangente obliqua: primo metodo 6 22 Ricerca dei punti di flesso a tangente obliqua: secondo metodo 6 23 Ricerca dei punti di flesso a tangente obliqua: metodo generale 6 24 Formula di Taylor 7 25 Teorema de L Hospital 8 Elenco delle figure 9 derivate 2 rb