Convessità e derivabilità

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1 Convessità e derivabilità Definizione 1 (convessità per funzioni derivabili) Sia f : (a, b) R derivabile su (a, b). Diremo che f è convessa o concava su (a, b) se per ogni 0 (a,b) il grafico di f sta tutto dalla stessa parte rispetto alla retta tangente al grafico di f in ( 0,f( 0 )). Precisamente: 1. f convessa per ogni 0 (a,b) si ha f() f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) per ogni (a,b); 2. f concava per ogni 0 (a,b) si ha f() f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) per ogni (a,b). f() f( 0 ) f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) 0 Osservazione: Si potrebbe dare una definizione di convessità e concavità che non richiede la derivabilità della funzione e che è equivalente alla definizione data se la funzione è derivabile. Tuttavia, per semplicità e poiché questo è il caso che si presenta più frequentemente, abbiamo deciso di dare la definizione supponendo che la funzione sia derivabile. Operativamente, la definizione data non è facile da verificare. Dimostriamo allora la caratterizzazione seguente: Teorema 2 Sia f : (a,b) R derivabile su (a,b). Si ha: 1. f convessa su (a,b) f () è crescente su (a,b), 2. f concava su (a,b) f () è decrescente su (a,b). Dimostrazione: Dimostriamo solo (1), poiché (2) è totalmente analogo. Supponiamo dapprima che f sia convessa su (a,b) e mostriamo che allora f è crescente, cioè 1, 2 (a,b) con 1 < 2, si ha f ( 1 ) f ( 2 ). 1

2 Siano dunque 1, 2 (a,b), 1 < 2. Utilizziamo la definizione di convessità considerando dapprima la retta tangente al grafico di f in ( 2,f( 2 )) e poi in ( 1,f( 1 )): si ha: ma anche, scambiando il ruolo di 1 e 2 : f( 1 ) f( 2 ) + f ( 2 )( 1 2 ) f( 2 ) f( 1 ) + f ( 1 )( 2 1 ). y = f() f( 1 ) f( 2 ) f( 2 ) + f ( 2 )( 1 2 ) f( 1 ) + f ( 1 )( 2 1 ) 1 2 Sommando fra loro le due disuguaglianze, si ottiene: (f ( 2 ) f ( 1 ))( 1 2 ) da cui, poiché 1 2 < 0, si deduce che f ( 2 ) f ( 1 ). Inversamente, supponiamo f crescente e mostriamo che f è convessa. Per assurdo, supponiamo che non sia vero, cioè che esistano 1, 2 (a,b) tali che cioè f( 2 ) < f( 1 ) + f ( 1 )( 2 1 ) (1) f( 2 ) f( 1 ) < f ( 1 )( 2 1 ). f( 1 ) f( 1 ) + f ( 1 )( 2 1 ) f( 2 ) 1 2 2

3 Grazie al teorema di Lagrange applicato alla funzione f nell intervallo chiuso compreso tra 1 e 2, esiste un punto c tra 1 e 2 tale che f( 2 ) f( 1 ) = f (c)( 2 1 ), da cui si deduce: f (c)( 2 1 ) < f ( 1 )( 2 1 ). Poiché 1 2 per la (1), se 1 2 > 0, si deduce che e se 1 2 < 0, si deduce che 2 < c < 1 f (c) > f( 1 ) 1 < c < 2 f (c) < f( 1 ) ed entrambi i casi contraddicono il fatto che f è crescente. Come corollario, si ottiene il seguente Teorema 3 Sia f : (a,b) R derivabile 2 volte in (a,b). Si ha: 1. f convessa su (a,b) f () 0 su (a,b), 2. f concava su (a,b) f () 0 su (a,b). Dimostrazione: Basta utilizzare il teorema precedente ed applicare il test di monotonia alla funzione derivabile f. Esempi: 1) f() = e : R R è derivabile 2 volte (in effetti è derivabile infinite volte) e f () = e > 0 su R, da cui si deduce che f è convessa su R. 2) f() = 2 : R R è derivabile 2 volte (in effetti è derivabile infinite volte) e f () = 2 per ogni R, da cui si deduce che f è convessa su R. 3) f() = ln : R + R è derivabile 2 volte (in effetti è derivabile infinite volte) e f () = 1 2 < 0 per ogni R +, da cui si deduce che f è concava su R +. 4) f() = 4 3 : R R. Si ha f () = per ogni R e f () = per ogni 0 e in = 0 f non ammette derivata seconda. Poiché f () > 0 per ogni 0, si ha che f è convessa su ogni intervallo non contenente l origine; d altra parte, poiché f() 0 su R e la retta tangente al grafico di f nel punto (0,f(0)) è la retta y = 0, la funzione f è convessa su anche su ogni intervallo che contiene l origine, dunque è convessa su R. Descriviamo ora il comportamento di f nel caso in cui sia derivabile e cambi concavità in qualche punto del suo dominio. Definizione 4 Sia f : (a,b) R derivabile su (a,b). Diremo che c (a,b) è un punto di flesso se f cambia concavità in c, cioè se esiste un intorno sinistro di c in cui f è convessa (concava) e un intorno destro di c in cui f è concava (convessa). 3

4 f(c) y = f() c Osservazione: Poiché la curva cambia concavità nel punto di flesso, essa deve necessariamente attraversare la retta tangente in detto punto. Si parla anche di flesso a tangente verticale nel caso in cui la retta tangente esista ma sia verticale (e dunque la funzione non sia derivabile nel punto di flesso) e la funzione cambi di concavità in detto punto. Ammetteremo, senza dimostrazione, la seguente Proposizione 5 Se f ammette derivata seconda in = c punto di flesso, allora f (c) = 0. Osservazione: non vale il viceversa, cioè non è detto che se f (c) = 0 allora = c è un punto di flesso. Esempio: la funzione y() = 4 verifica y () = 12 2, dunque y (0) = 0 ma il punto = 0 è il punto di minimo assoluto e il grafico y() sta tutto dalla stessa parte rispetto alla retta tangente in (0,0) che è la retta y = 0. Osservazione: Non è detto che esista la derivata seconda in un punto di flesso. Esempio: Il punto = 0 è flesso per la funzione y = 5 3 sebbene la funzione non ammetta derivata seconda in = 0. Osservazione: Contrariamente a quanto vorrebbe l intuizione, la proprietà f cambia di concavità in c non è equivalente a f attraversa la retta tangente in c. Esempio: consideriamo la funzione { 3 ( 1 + sin 1 ) se 0 y() = 0 se = 0. Si ha che y() è continua e derivabile su R e che { 3 y 2 ( 1 + sin 1 ) cos 1 se 0 () = 0 se = 0, (per esercizio si verifichino queste due affermazioni) dunque la retta tangente al grafico di y() nel punto (0,0) è y = 0 ed inoltre y() > 0 in un intorno destro di = 0 e y() < 0 in un intorno sinistro di = 0, da cui si deduce che y attraversa la retta tangente in = 0. D altra parte, dal grafico di y si osserva che la funzione non cambia concavità in = 0 poiché nell intorno di = 0 compie infinite oscillazioni. 4

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