1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche

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1 . Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche Per le definizioni e teoremi si fa riferimento ad uno qualsiasi dei libri M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi Matematica, I edizione settembre 996, ARACNE EDITRICE, via Raffaele Garofalo, 33 A/B 0073 Roma tel /, M.Bertsch - R.Dal Passo Elementi di A- nalisi Matematica, I edizione ottobre 00, ARACNE EDITRICE.. Determinare: dominio, immagine, monotonia e disegnare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni: f () = log 3 3, f () = arccos log 3 3, f 3 () = +.. Studiare la invertibilità delle seguenti funzioni nei rispettivi domini di definizione oppure, in subordine, in qualche sottoinsieme del dominio. Per f 3 trovare l inversa. f () = 3 +, f () = 3, f 3 () = + 3; 3.. Trovare per quali valori di sono vere le seguenti identità trigonometriche ) cos arctan =, sin arctan = ) arctan + arctan = π 3) arcsin + arccos = π, arccos = arcsin, arccos = arcsin, 4) arccos = arctan, arccos = arctan, 5) arctan = arc cot, arctan = arc cot π 6) arctan ± arctan y = arctan ±y ±y arctan ± arctan y = arctan arctan y = arctan ±y y π, 7) arctan + arctan = arctan 8) arcsin + arctan = π 4 y + π,, arctan + arctan = arctan + π, y, arctan ± 4.. Tracciare i grafici delle funzioni y = arccos(cos ), y = arcsin(sin ) e y = arctan(tan ) senza usare derivate 5.. Senza usare derivate dire se le funzioni y = tan arccos + e y = tan arcsin + sono invertibili. In caso affermativo trovare le inverse e tracciarne il grafico con l approssimazione massima possibile. Dimostrare che se una funzione è dispari ed è invertibile anche l inversa è dispari. 6..) Trovare le infinite funzioni inverse di: cos per [0, π], sin per [ π, π ], tan per [ π, π ], cot per [0, π, ] 7..) Sia data una funzione f: X Y dotata di inversa f. Si stabilisca se sono vere le seguenti affermazioni: f(a B) = f(a) f(b), f(a B) = f(a) f(b), (A e B sono sottoinsiemi di X), f (C D) = f (C) f (D), f (C D) = f (C) f (D), (C e D sono sottoinsiemi di Y ). Per le relazioni eventualmente non vere si dia un esempio concreto. 8..) Si trovi il dominio delle seguenti funzioni: ( ) ln 9..) Calcolare sin 9 + cos 9 0..) Si dimostri che la funzione + + è costante in un intervallo [a, b]. Si trovi l intervallo e il valore della costante. SOLUZIONI 5/dicembre/009; Esclusivamente per uso personale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazione

2 ...) Dom(f ) = R +, Im(f ) = R, f è monotona decrescente. Dom(f ) = [3 /3, 3 /3 ], Im(f ) = [0, π], f è monotona crescente. Dom(f 3 ) = { R, } Im(f 3 ) = { R 0 < }. f 3 è pari ed è monotona crescente per mentre è monotona decrescente per...) f è invertibile. f ed f 3 no. 3..) ) e ): sono vere per ogni R, 3): è vera se R, la seconda per 0, la terza per 0, 4): la prima è vera per 0 mentre la seconda per 0 5): la prima per > 0 e la seconda per < 0, 6): se arctan ± arctan y [ π, π ] vale la prima, se arctan ± arctan y [ π, π ] vale la seconda, se arctan ± arctan y [ π, π] vale la terza, 7): se < vale la prima, se > la seconda, 8) è vera per ogni < 4..) arccos cos y= A A (π,π) B (π,0) y=π O B A ( π, π ), B ( π, π ), C (π,0), D ( π,0) arcsin(sin ) A D O y= y=π C y= π B A ( π, π ), B ( π, π ), C (π,0), D ( 3π,0) y=+π O arctan tan y= A C y= π D B 5..) Cominciamo dalla prima funzione. Dom(f) = R\{0}, Im(f) = R\{0}; la funzione è dispari, monotona decrescente ed ha un asintoto verticale per = 0. È invertibile su tutto il suo dominio e la sua inversa è data da y = Per la seconda funzione si ha Dom(f) = R e Im(f) = R. La funzione anche in questo caso è dispari e monotona crescente dunque invertibile con inversa data da y = 6..) Per la funzione cos, detta q n () la inversa nell intervallo [nπ, (n + )π], si ha q n () = 5/dicembre/009; Esclusivamente per uso personale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazione

3 nπ + arccos se n è pari mentre q n () = (n + )π arccos se n è dispari Per la funzione sin, detta q n () la inversa nell intervallo [ (n )π, (n+)π ], si ha q n () = nπ + arcsin se n è pari mentre q n () = nπ arcsin se n è dispari Per la funzione tan, detta q n () la inversa nell intervallo [ (n )π, (n+)π ], si ha q n () = nπ + arctan per ogni n Per la funzione arccot(), detta q n () la inversa nell intervallo [nπ, (n + )π], si ha q n () = nπ + arccot per ogni n 7..) Sono tutte vere tranne f(a B) = f(a) f(b). Infatti { è vera f(a B) f(a) f(b); 0 si prenda ad esempio la funzione f: [0, ] [0, ], f() = e si prenda < A = [0, ] e B = (, ]. A B = mentre f(a) f(b) = [0, ]. 8..) Dom(f) = (, + ) { (0, ): = e p q <, q dispari, p e q primi fra di loro}. La proprietà p e q primi fra di loro si indica con (p, q) = 9..) ) l intervallo è [, ] e il valore è. Si calcoli f () RISOLUZIONE DEGLI ESERCIZI..) f : Essendo in presenza di una radice quadrata, il radicando deve essere positivo o nullo e dunque 3 0. = 0 va scartato poiché non si può dividere per lo zero e quindi il dominio della funzione è dato dalle > 0. Ora di tutto R + bisogna vedere quali valori, facenti parte del dominio della funzione f, si possono tenere. f è il risultato della composizione di quattro funzioni g g g 3 g 4 dove g 4 : R + R+ ; g 3 : R + 3 R + (..) ; g : R + R + ; g : R + log 3 R. Come ben noto, affinché ciascuna composizione abbia senso, è necessario che Im(g j ) Dom(g j+ ) e ciò e facilmente verificabile. Dunque il dominio della funzione f è R + e la sua immagine è R. Per quel che riguarda la. monotonia si può dire che g g g 3 = h è la composizione di tre funzioni monotone crescenti mentre g 4 è monotona decrescente. Ora la composizione di h g 4 f è monotona decrescente. Sia infatti <. Ne segue che g 4 () > g 4 ( ) data la decrescenza di g 4. Essendo h crescente si ha h(g 4 ()) > h(g 4 ( ) da cui la decrescenza di h g 4. Va detto che la funzione k: R\{0} R\{0}; è diversa da g 4: R + R+ ; in quanto si è cambiato il suo dominio. Una funzione infatti è costituita da un dominio e dall azione di una applicazione sul dominio. Cambiare il dominio lasciando inalterata l applicazione cambia di fatto la funzione. Lo stesso discorso può ripetersi per g 3. f = g o f con g o : [, ] [0, π] e quindi, per quel che riguarda il dominio bisogna vedere quali sono tali che f ossia g g 3 g 4 [3, 3] g 3 g 4 [9, 9] [3 3, 3 3 ]. Dunque abbiamo Dom(f ) = [3 3, 3 3 ]. Im(f ) = [0, π] e la funzione è monotona decrescente in quanto l arccos è monotona decrescente. f 3 P Q : + 0 per e quindi Dom(f 3) = { > }. Poiché P < Q per ogni nel dominio, risulta che Im(f 3 ) [0, ). Facciamo vedere ora che qualsiasi numero reale y [0, ) fa parte dell immagine della funzione. Bisogna risolvere la equazione + = y ossia (..) Si può notare che come dominio di g4 sia stato preso R +. Qualora fosse stato preso tutto R\{0} avremmo avuto Img 4 g 3 =R\{0} sarebbe stato in contrasto con la esistenza della radice ossia della funzione g. 5/dicembre/009; Esclusivamente per uso personale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazione 3

4 ( y) = +y = +y y e quindi = ± scrivere f 3 = + ed osservare che + +y y. Per quel che riguarda la monotonia si può è monotona crescente per < 0 e decrescente per > 0. Dunque f 3 è monotona crescente per > 0 e decrescente per < 0 (fatto evidente dalla parità di f 3 )... f : È somma di due funzioni monotone crescenti e dunque è monotona crescente invertibile sul dominio che è tutto R. f : non vale lo stesso discorso per via del segno meno. Si può osservare che f () = f (0) e quindi la inversa non può esistere. Come conseguenza si ha che certamente la f non è monotona in quanto se lo fosse sarebbe invertibile ma abbiamo fatto appena vedere che non è possibile. Si badi bene che in casi analoghi, ossia la differenza di due funzioni monotone crescenti o decrescenti, può essere possibile stabilire la monotonia (non esiste però una regola generale ed ogni caso va trattato singolarmente). Ad esempio si consideri la seguente somma =. Come nel caso in questione si è in presenza della differenza di due funzioni monotone crescenti che però danno luogo ad una funzione crescente. f 3 : Riscriviamo f 3 () = ( + ) 4 e poniamo = t ottenendo f 3 ((t)) = f 3 (t) = t 4. È una funzione pari f 3 (t) = f 3 ( t) e quindi non può essere invertibile su tutto il suo dominio in quanto i punti t e t hanno la stessa ordinata. Quello che si può fare è invertire sui sottoinsiemi t 0 e t < 0. Si ottiene t = + y + 4 per t > 0 e t = y + 4 per t < ) cos arctan = sin arctan cos arctan = si ottiene osservando che tan arctan = cos arctan cos arctan =. Detto z =. cos arctan, l equazione diventa z = ossia z = ed essendo z sempre positivo (perché?) si ha z = cos arctan =. Ottenere sin arctan = è ora immediato. Basta fare = sin arctan sin arctan sin arctan > 0 per cui si ottiene il risultato. ) Si applica sin a sinistra ed a destra ottenendo + ossia sin arctan = + + Ora = + () = e dunque sin(arctan + arctan ) =. Essendo = sin π si ha arctan + arctan = π oppure arctan + arctan = π π ma per < 0 quella con la seconda è falsa essendo π π > π per < 0 mentre π π = π per > 0 3) La prima relazione è è definita per ed è equivalente a arccos + π = arcsin. Applicando sin ad ambedue i membri si ottiene = per ogni valore reale. La seconda relazione è definita ugualmente per ed applichiamo sin a sinistra ed a destra ottenendo sin(arccos ) =. La relazione fondamentale della trigonometria ci dice che sin(arccos ) = + cos(arccos ). Davanti alla radice vi è il segno più in quanto arccos [0, π] e quindi sin(arccos ) 0. Ciò vuol dire che delle due possibilità sin ξ = ± cos ξ va presa quella con il segno più. Dunque abbiamo = cos(arccos ) = ( ) = e quest ultima relazione è vera solo se 0. Se invece < 0 la stessa sequenza di passaggi conduce (ricordando che arcsin è una funzione dispari) a = che è vera per < 0. 4) Ambedue le relazioni sono definite per R. Per quanto riguarda la prima solo R + può eventualmente andar bene. Applicando il cos a sinistra ed a destra si ottiene = cos arctan = cos arctan sin arctan = (usando l esercizio )). Dunque la prima relazione è vera per ogni R +. Se < 0, arctan < 0 e quindi la relazione diventa 5/dicembre/009; Esclusivamente per uso personale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazione 4

5 arccos = arctan = arctan( ) che conduce allo stesso risultato. 5) Le relazioni hanno senso per R\{0}. Per + si esclude la seconda in quanto arctan > 0. Applicando tan si ottiene =. Identico discorso vale per la seconda solo che bisogna ricordarsi della periodicità della tangente. 6) Chiaramente y. Se = sin(±y) y vale la ). Ovvia trigonometria dà tan( ± y) = cos(±y) = tan ±tan y tan tan y. Ora sia = + πk e y = y + πk y dove [ π, π ], y [ π, π ], k Z, k y Z; + y [ π, π]. Data la periodicità della tangente si ha tan( ± y) = tan( ± y ) = tan ±tan y tan tan y. Inoltre è possibile definire = arctan a e y = arctan b poiché (è essenziale) [ π, π ] e y [ π, π ]. Ora possono aversi tre possibilità. Se ± y [ π, π ] tan( ± y ) = tan( ± y + π) ± y + π = arctan( tan ±tan y tan tan y ) in quanto ± y + π [0, π ]. Sostituendo ora = arctan a e y = arctan b si ottiene arctan a ± arctan b + π = arctan( a±b ab ) Se ± y [ π, π a±b ] allora arctan a ± arctan b = arctan( ab ) mentre se ± y [ π, π] allora arctan a ± arctan b π = arctan( a±b ab ) 7) Si può applicare l esercizio precedente facendo le opportune corrispondenze fra i vari simboli. In questo caso si ha b = ed a =. Quindi si ha y = π 4 e dunque + y [ π 4, 3 4π]. Se + y [ π, 3 4 π] ossia [ π 4, π ] allora vuol dire che a > e quindi la seconda delle due relazioni è vera per a > (nell esercizio vi è ) ossia arctan + arctan = π + arctan. Se invece [ π, π 4 ] allora a < e quindi vale arctan + arctan = arctan. 8) Scrivendo la relazione come arcsin + π 4 = arctan ed applicando sin a sinistra ed a destra si ottiene il risultato dopo avere osservato che la quantità π arctan è definita per < ed appartiene a [ π, π ]. 4.. y = f() = arccos cos : Dom f = R; è chiaramente periodica di periodo π e continua essendo composizione di funzioni continue. Se 0 π la funzione vale in quanto si compongono una funzione e la sua inversa. Se invece π π allora si deve fare cos = cos(π ) dove stavolta 0 π π e dunque posso applicare di nuovo la funzione arccos. È chiaramente sbagliato pensare che il grafico della funzione sia y = (non è neppure periodica) in quanto la funzione arccos è quella funzione che inverte cos esclusivamente nell intervallo [0, π]. y = arctan tan è definita per ogni eccetto per = π + kπ ed inoltre è continua essendo composizione di due funzioni continue. Inoltre è periodica di periodo π Se π π y = e quindi il grafico è dato da una successione di segmenti tutti paralleli alla bisettrice del primo e terzo quadrante che intersecano l asse delle nei punti = kπ con k intero. 5.. Scriviamo la funzione come y = tan arccos +. = f f f 3 () = f o (chi sono le varie f i è ovvio). Prima di tutto troviamo il dominio. Si verifica che {ξ R : ξ = +, R} = (, ). La dimostrazione di questo fatto (semplice) è posposta. Poiché ξ (, ) si può applicare arccos ed osservare però che se = 0 allora il corrispondente valore di ξ vale π e la tangente non può essere ivi applicata. Quindi alla fine Dom(f o ) = R\{0}. Le seguenti osservazioni (dimostrate successivamente) consentono di restringersi a considerare f o R + ) f o è strettamente decrescente, ) f o è dispari, 3) l inversa (che esiste da )) è dispari pure essa Grazie ai punti ) 3) ci basta studiare la inversa per valori positivi di. 5/dicembre/009; Esclusivamente per uso personale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazione 5

6 f 3 () è monotona crescente per 0 essendo f 3 () = + = + ed essendo + ; decrescente (quindi crescente con il segno - davanti). Essendo {y R y = f 3 () 0} = [0, ) (in altre parole l immagine di f 3 per 0 è l intervallo [0, )). f è decrescente ed inoltre ci interessa tutta e solo la parte compresa fra 0 e π. f f 3 è monotona decrescente ed anche in questo caso il grafico di f f 3 assume tutti i valori compresi fra il sup e l inf dell immagine ossia {y R y = f f 3 (), 0} = (0, π ]. Fra 0 e π f 3 è monotona crescente e quindi f o è monotona decrescente; Im(f 3 ) è l insieme R +. Dunque si può invertire la funzione e indichiamola con g: (0, + ) (0, + ). È da notare come l immagine di g non coincida esattamente con il dominio di f o e quindi g f o = f o g() vale solo per (0, + ). Usando la formula 3.. ), si arriva alla formula dell inversa data da y = Infatti da y = f f f 3 () si ottiene f (y) = arctan y = f f 3 () da cui deriva f f (y) = cos arctan y = = f 3() e da ultimo f o +y = f3 f f (y) = g(y) g(y). Si verifichi che tan arccos +y +g (y) = y. Veniamo ora alle dimostrazioni delle proprietà preannunciate prima. {ξ R ξ = + R} = (, ). Essendo + una funzione dispari ci basta mostrare che {ξ R ξ = + 0} = [0, ) ossia bisogna dimostrare che è possibile risolvere la equazione = a + a a per ogni a [0, ). Infatti la soluzione è = a che è accettabile essendo il radicando positivo. Il secondo punto da dimostrare è che f o è dispari. Infatti f 3 è chiaramente dispari. Dunque si ha f f 3 ( ) = f ( f 3 ()). Ora il grafico della funzione arccos ci dice che arccos() = π arccos( ) ossia arccos( ) = π arccos(). Dunque f (f ( f 3 ())) = f (π f (f 3 ())) = f ( f (f 3 ())) = f (f (f 3 ())) e quindi si ha (f f f 3 )( ) = (f f f 3 )(). Si verifichi l applicazione del fatto che f è periodica di periodo π e del fatto che è dispari. La terza ed ultima dimostrazione da dare è costituita dalla affermazione secondo cui se una funzione invertibile è dispari allora anche l inversa è dispari. Dunque supponiamo di avere una funzione f invertibile in un certo sottoinsieme del suo dominio e tale da verificare la proprietà f() = f( ). Sia g l inversa; (g f)() = (f g)() =. = (g f)( ) = (g ( f))()). Del resto = ( g f)() e quindi si ha (g ( f))()) = ( g f)() ossia il risultato. Per avere la inversa in (, 0) si può usare la disparità di f o. Infatti dalla disparità di f o si arriva alla disparità della sua inversa. Dunque si ha g( ) = g() e dunque per < 0 l inversa è y =. La notazione unificata consente di dire che l inversa della funzione +y in R + R è y =. Alternativamente si può dire che per < 0 f ( π, π) e quindi bisogna invertire tan con π < < π. Quando si applica f (y) si ottiene arctan y + π = f f 3 () e quando si inverte f si ha cos arctan y = < 0 per cui l inversa di f +y 3 dà. +y 6..) È ben noto che arccos : [, ] [0, π], per definizione, inverte la funzione cos solamente nell intervallo [0, π]. È però evidente che la stessa funzione cos è invertibile in ogni intervallo della forma [nπ, (n + )π] con n Z solo che la funzione inversa è diversa in ognuno di questi intervalli. Se ad esempio [π, π] e quindi n = indichiamo con q () la funzione inversa in questione che sappiamo esistere. Sappiamo inoltre che cos = cos(π ) =. p solo che π [0, π]. Ciò vuol dire che q (p) = = π arccos p e quindi q (p) = π arccos(p). Va notato che l uguaglianza q (p) = è conseguenza della definizione di q mentre la seconda uguaglianza deriva dal fatto che arccos(cos(π )) = per [π, π]. Se invece [π, 3π] e quindi n = sia q () la funzione inversa della funzione coseno. Abbiamo 5/dicembre/009; Esclusivamente per uso personale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazione 6

7 cos = cos( π) = p e π [0, π]. Quindi q (p) = = π + arccos(p). Se [3π, 4π] e quindi n = 3 sia q 3 () la funzione inversa della funzione coseno. Abbiamo cos = cos(4π ) = p e 4π [0, π]. Quindi q 3 (p) = = 4π arccos(p). Proseguendo in questo modo otteniamo che se n è pari la funzione inversa è data da q n () = nπ arccos mentre se n è dispari si ha q n () = (n + )π + arccos Per quanto riguarda la funzione sin si divide l asse reale in intervalli del tipo [ π + nπ,, π (n )π + nπ] = [, (n+)π ] ed indichiamo con q n () l inversa in ciascuno di tali sottointervalli (chiaramente q 0 () = arcsin ). Se [ π, 3 π] allora n = ed inoltre sin = sin(π ) dove stavolta π [ π, π ] per cui q (p) = = π arcsin(p). Se n = e [ 3 π,, 5 π] allora sin = sin( π + ) = p e quindi q (p) = π + arcsin(p). Alla fine il risultato è quello dato ossia se n è dispari q n () = nπ arcsin mentre se n è pari q n () = nπ + arcsin. Per quanto riguarda la funzione tan si divide l asse reale così come per il seno ed il risultato è che per ogni n q n () = nπ + arctan Nel caso della funzione arccot() si divide l asse come per la funzione coseno e q n () = nπ + arccot() per ogni n. 7..) Cominciamo da f(a B) = f(a) f(b). Dobbiamo far vedere che f(a B) f(a) f(b) e che f(a B) f(a) f(b). : f(a B). = {y Y y = f() A B} e quindi la sta in A oppure in B od in tutti e due se la loro intersezione è non nulla. Se A allora f() f(a) e quindi f() f(a) f(b), Se B allora f() f(b) ed analogamente f() f(a) f(b). Se A B e A B allora A (oppure B) e quindi f() f(a). : Sia y f(a) f(b) ossia y {y Y y = f() A} {y Y y = f() B}. Essendo appartenente tanto ad A che a B ne segue che appartiene alla loro intersezione e quindi A B da cui il risultato. Vediamo ora f(a B) f(a) f(b). f(a B) = {y Y y = f() A B} e quindi A da cui f() f(a). Del resto B ugualmente per cui f() f(b) e quindi f() deve stare anche in f(a) f(b). Ora dimostriamo che f (C D) = f (C) f (D). Dobbiamo far vedere che f (C D) f (C) f (D) e che f (C D) f (C) f (D). : f (C D) = { X f() C D} e quindi f() C f() D. Di conseguenza f (C) f (D) ossia f (C) f (D). : f (C) f (D) = { X f() C} X f() D}; ciascuno dei due insiemi { X f() C} e { X f() D} è sottoinsieme di { X f() C D} per cui f (C) f (D) f (C D) Da ultimo è rimasto f (C D) = f (C) f (D). Dobbiamo far vedere che f (C D) f (C) f (D) e che f (C D) f (C) f (D). : f (C D) = { X f() C D} e quindi f (C D) f (C) e f (C D) f (D) e quindi della loro intersezione da cui la tesi : f (C) f (D) = { X f() C} { X f() D} e quindi f() C D da cui la tesi. 8..) Una funzione del tipo (P ()) ln(q()) è certamente definita quando P () > 0 e Q() > 0. Dunque si deve avere: > 0 a causa del logaritmo, > 0 ossia < >. L intersezione dei due insiemi dà >. = va scartato poiché darebbe 0 0. D altro canto se ln = p q con q dispari e (p, q) = allora la base può essere negativa. Da ciò segue il risultato. 5/dicembre/009; Esclusivamente per uso personale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazione 7