FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas

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1 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas

2 In questa dispensa ricordiamo la classificazione delle funzioni elementari e il dominio di esistenza delle stesse. Inoltre analizziamo il concetto di continuità di una funzione in un punto e classifichiamo i diversi punti di discontinuità. Della maggior parte degli esercizi presentiamo un grafico completo della funzione (anche se non ci occupiamo per il momento di studiare in dettaglio la funzione stessa) in modo da avere un riscontro grafico dell andamento della funzione nei punti di discontinuità. E bene precisare fin da ora che possedere e svolgere gli esercizi di questa dispensa non è condizione né necessaria né sufficiente per il superamento dell esame stesso. Questa dispensa non sostituisce il libro di testo adottato, ne sostituisce le esercitazioni svolte dal docente. Questa dispensa è solo di supporto a tutti coloro che vogliano approfondire la loro preparazione all esame con ulteriori esercizi oltre quelli del libro di testo suggerito dal docente. Ringrazio anticipatamente tutti coloro che vorranno segnalarmi eventuali errori e quanti vorranno comunicarmi suggerimenti per migliorare il lavoro. R.A. 8

3 RICHIAMI Le funzioni elementari Si dividono in due classi:. Funzioni algebriche Sono costituite da quelle funzioni dove il legame tra e y è di tipo algebrico. Possono essere cosi suddivise: a) Funzioni razionali intere b) Funzioni razionali fratte c) Funzioni irrazionali. Funzioni trascendenti Sono costituite da quelle funzioni dove il legame tra e y non è di tipo algebrico. Possono essere cosi suddivise: a) Funzioni goniometriche b) Funzioni esponenziali c) Funzioni logaritmiche Dominio o campo di esistenza Assegnata una funzione è necessario determinare l insieme dei valori della variabile indipendente che definisce la funzione. Ricordiamo il dominio delle funzioni elementari.. Funzioni algebriche a) Le funzioni razionali intere sono definite in tutto il campo reale b) Le funzioni razionali fratte sono definite per tutti quei valori che NON annullano il denominatore ( ) ( ) P f ( ) C.E. Q { / Q( ) } c) Il dominio delle funzionali irrazionali dipende dall indice della radice, distinguiamo quindi due casi. 8

4 Se l indice della radice è un numero pari il campo di esistenza è dato da tutti quei valori della che rendono il radicando maggiore o uguale a zero. f n ( ) con indice pari C.E. { / Q( ) } ( ) Q Se l indice è dispari, le funzioni irrazionali sono definite su tutto il campo reale. ( ) con indice dispari C.E. R n f ( ) Q.. Funzioni trascendenti a) Le funzioni goniometriche come seno e coseno sono definite in tutto l asse reale, mentre tangente e cotangente sono definite per tutti quei valori che non annullano il denominatore. Le funzioni inverse sono definite come segue: f f ( ) arcsin C.E. : { / } ( ) arccos C.E. : { / } f ( ) arctan C.E. : R f ( ) arc cot C.E. : R b) Le funzioni esponenziali sono definite in tutto l asse reale. c) La funzione logaritmica è definita per tutti i valori della che rendono l argomento (del logaritmo) strettamente positivo. f a ( ) log C.E., ( ) 85

5 CONTINUITA La nozione di continuità di una funzione in un punto (o in un intervallo) è strettamente legata alla definizione di ite. Ricordiamo infatti che una funzione è continua in un punto quando il ite della funzione in quel punto è uguale al valore che la funzione assume nel punto stesso, in formule: f ( ) f ( ) In modo equivalente possiamo anche scrivere: f ( ) f ( ) f ( ) Un funzione si dirà continua in un intervallo quando è continua in ciascun punto dell intervallo. Analizziamo la continuità delle funzioni elementari.. Funzioni algebriche a) Le funzioni razionali intere sono continue in tutto il domino di definizione (quindi su tutto l asse reale) b) Le funzioni razionali fratte sono continue per tutti quei valori che NON annullano il denominatore, cioè sono continue in tutto il loro campo di esistenza. c) Il dominio delle funzionali irrazionali sono continue in tutto il loro dominio di definizione, a prescindere dall indice.. Funzioni trascendenti a) Le funzioni goniometriche come seno e coseno sono continue in tutto l asse reale, mentre tangente e cotangente sono continue per tutti quei valori che non annullano il denominatore. Le funzioni inverse sono continue in tutto il loro dominio di esistenza. b) Le funzioni esponenziali sono continue in tutto il loro campo di esistenza, ovvero su tutto l asse reale. c) La funzione logaritmica è continua per tutti i valori della che rendono l argomento (del logaritmo) strettamente positivo. 86

6 87 In conclusione possiamo dire che le funzioni elementari sono continue in tutto il loro insieme di definizione. Esercizi Determinare il campo di esistenza delle seguenti funzioni: log ) ( f soluzione Si tratta di una funzione logaritmica fratta. Il dominio si ottiene imponendo che: < < < quindi: ( ) ( ),,.E. C. log ) ( f Si tratta di una funzione logaritmica fratta. Il dominio si ottiene imponendo che:

7 < < < < < (si osservi che la condizione è già contenuta nelle precedenti) quindi: 5,.E. C. Osservazione La disequazione poteva anche essere risolta nel modo seguente: 5 ottiene : binomio si di quadrati e sviluppando i membri i quadrato ambo elevando al < < <. ( ) 5 log ) ( f Si tratta di una funzione logaritmica irrazionale (con indice pari). Il campo di esistenza si ottiene imponendo: 5 5 la seconda disequazione e contenuta nella prima quindi può essere omessa. Si ha: ( ) < 5 e 5 5 5

8 Risolvendo separatamente i due sistemi si trova: 5 5 ( ) < 5 il primo sistema non ammette soluzione, mentre il secondo ha per soluzione quindi: C.E., Classificazione dei punti di discontinuità Se una funzione non è continua in un punto si dice allora discontinua. I diversi punti di discontinuità che può assumere un funzione in un punto vengono classificati come segue:. Discontinuità di prima specie o a salto Una funzione presenta una discontinuità di prima specie o a salto quando il ite destro e il ite sinistro esistono finiti ma diversi tra di loro. f ( ) f ( ). Discontinuità di seconda specie Una funzione presenta una discontinuità di seconda specie quando almeno uno dei due ite (destro o sinistro) o non esiste oppure è infinito. Si possono presentare le seguenti situazioni: 89

9 f ( ) non esiste oppure f ( ) non esiste può anche capitare che non esistano entrambi. f ( ) oppure f ( ) può anche capitare che entrambi siano infiniti.. Discontinuità di terza specie o einabile Una funzione presenta una discontinuità di terzo specie quando i iti destro e sinistro esisto finiti uguali tra di loro ma diversi dal valore che la funzione assume in quel punto oppure la funzione non è definita in quel punto. In tal caso è possibile ridefinire la funzione attribuendole nel punto in cui non è definita il valore del ite, si dice allora che la funzione è stata prolungata con continuità. f ( ) oppure f ( ) f ( ) f ( ) finiti finiti ma f f ( ) ( ) non esiste Osservazione E opportuno osservare che certi testi suddividono la classificazione dei punti di discontinuità in quattro casi distinguendo tra la possibilità che il ite non esiste da quella in cui il ite della funzione è infinito. Noi utilizzeremo la classificazione classica. Esempi. Data la funzione f ( ) e determinare il campo di esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. La funzione è esponenziale fratta, il dominio è ( ) (, ) Calcoliamo ora il ite destro e sinistro nel punto.,. 9

10 e e La discontinuità è einabile in quanto il ite destro e sinistro esistono finiti ed uguali ma la funzione non è definita nel punto. Come è possibile einare la discontinuità? Basta ridefinire la funzione come segue: g ( ) f ( ) e per per E stato sufficiente assegnare alla funzione, nel punto di discontinuità, il valore del ite. La funzione ottenuta prolungando g f ( ) e nell origine è continua infatti: ( ) g( ) g( ). Data la funzione f ( ) arctan determinare il campo di esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. La funzione è goniometrica fratta, il dominio è ( ) (, ) Calcoliamo ora il ite destro e sinistro nel punto. arctan,. arctan La discontinuità è di prima specie in quanto il ite destro e sinistro esistono finiti ma diversi fra loro. Il salto si ottiene calcolando la differenza tra i due iti, il risultato è. Il seguente grafico mostra il comportamento della funzione nell intorno dell origine. 9

11 Data la funzione f ( ) determinare il campo di ( ) esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. La funzione è irrazionale (con indice pari) fratta, il dominio si ottiene imponendo: ( ) C.E. (, ] [, ) (, ).. Calcoliamo ora il ite destro e sinistro nel punto ( ) ( ) La discontinuità è di seconda specie in quanto il ite destro e sinistro sono infiniti. Il seguente grafico mostra l andamento della funzione. Osservare il comportamento della funzione nel punto di ascissa. 9

12 Data la funzione f ( ) arctan determinare il campo di esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. La funzione è goniometrica fratta, il dominio è,,. Calcoliamo ora il ite destro e sinistro nel punto. arctan 6 5 arctan 6 La discontinuità è di prima specie in quanto il ite destro e sinistro esistono finiti ma diversi fra loro. Il salto si ottiene calcolando la differenza tra i due iti, il risultato è. 9

13 Il seguente grafico mostra il comportamento della funzione nell intorno del punto Data la funzione f ( ) determinare il campo di 5 6 esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. La funzione è razionale fratta, il dominio si ottiene imponendo: (,) (,) ( ) 5 6 C.E.,. Calcoliamo ora il ite destro e sinistro nei punti e Osservazione Spesso per calcolare il ite di funzioni fratta è conveniente scomporre in fattori il denominatore, questo permette di determinare più semplicemente il segno. 9

14 In entrambi i punti la discontinuità è di seconda specie in quanto il ite destro e sinistro sono infiniti. Il seguente grafico mostra l andamento della funzione. Osservare il comportamento della funzione nel punto di ascissa e nel punto di ascissa Data la funzione f ( ) sin determinare il campo di esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. La funzione è goniometrica fratta, il dominio è: (,) ( ) C.E.,. Calcoliamo ora il ite destro e sinistro nel punto. sin sin Osservazione 95

15 Per calcolare i iti abbiamo tenuto conto del fatto che il ite del prodotto tra una quantità infinitesima e una itata è uguale a zero. La discontinuità è einabile in quanto il ite destro e sinistro esistono finiti ed uguali ma la funzione non è definita in quel punto. Il seguente grafico mostra l andamento della funzione Poiché la discontinuità è di specie possiamo prolungare (la funzione) con continuità, ridefinendo la funzione come segue: g ( ) sin E stato sufficiente assegnare alla funzione, nel punto di discontinuità, il valore del ite. La funzione ottenuta prolungando f ( ) sin nell origine è continua infatti: g ( ) g( ) g( ). 7. Data la funzione f ( ) determinare il campo di esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. 96

16 La funzione è esponenziale irrazionale (con indice pari) fratta, il dominio si ottiene imponendo che: C.E. [,) (, ). Calcoliamo ora il ite destro e sinistro nel punto. La discontinuità è di specie in quanto almeno uno dei due iti è infinito. 8. Data la funzione f ( ) sin determinare il campo di esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. La funzione è goniometrica fratta, il dominio è: (,) ( ) C.E.,.. Calcoliamo ora il ite destro e sinistro nel punto. sin non esiste sin non esiste La discontinuità è di seconda specie in quanto il ite destro e sinistro esistono non esistono. Il seguente grafico mostra l andamento della funzione. 97

17 Data la funzione f ( ) cos determinare il campo di esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. La funzione è goniometrica fratta, il dominio è: (,) ( ) C.E.,.. Calcoliamo ora il ite destro e sinistro nel punto. cos non esiste cos non esiste La discontinuità è di seconda specie in quanto il ite destro e sinistro non esistono (infatti la funzione assegnata compie oscillazioni sempre più ampie in un intorno del punto di ascissa ). Il seguente grafico mostra l andamento della funzione (le zone nere evidenziano le infinite oscillazioni della funzione in prossimità del punto). 98

18 Data la funzione f ( ) 5 determinare il campo di esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. La funzione è razionale fratta, il dominio è ( ) (, ),. Si osservi che la funzione può anche essere scritta come segue: f ( ) 5 7 < Calcoliamo ora il ite destro e sinistro nel punto. 5 5 ( ) ( 7) 7 99

19 La discontinuità è di prima specie in quanto il ite destro e sinistro esistono finiti ma diversi fra loro. Il salto si ottiene calcolando la differenza tra i due iti, il risultato è. Il seguente grafico mostra il comportamento della funzione nell intorno dell origine Data la funzione f ( ) cos( ) sin determinare il campo di esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. La funzione è goniometrica fratta, il dominio è: (,) (,) ( ) C.E.,.. Calcoliamo ora il ite destro e sinistro nei punti e. cos ( ) sin non esiste

20 cos ( ) sin non esiste cos ( ) sin cos ( ) sin Nei punti di ascissa e si ha una discontinuità è di seconda specie in quanto il ite destro e sinistro non esistono (infatti la funzione assegnata compie oscillazioni sempre più ampie in un intorno del punto di ascissa ) oppure sono infiniti come succede per il secondo punto. Il seguente grafico mostra l andamento della funzione (le zone nere evidenziano le infinite oscillazioni della funzione in prossimità del punto) Data la funzione f ( ) determinare il campo di ( 6) esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. La funzione è razionale fratta, il dominio si ottiene imponendo:

21 ( 6) scomponendo in fattori si ha : ( )( )( )( ) C.E. (, ) (, ) (,) (,) (,) (, ) Calcoliamo ora il ite destro e sinistro nei punti,,, e. ( 6) ( 6) In si ha una discontinuità di specie ( 6) ( 6) In si ha una discontinuità di specie, ( 6) ( 6) In si ha una discontinuità di specie, ( 6) ( 6) In si ha una discontinuità di specie, ( 6) ( 6) In si ha una discontinuità di specie. In tutti i punti la discontinuità è di seconda specie in quanto il ite destro e sinistro sono infiniti. Il seguente grafico mostra l andamento della funzione.

22 Data la funzione 6 arctan ) ( f determinare il campo di esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. La funzione è goniometrica fratta, il dominio è ( ) ( ) ( ),,,. Calcoliamo ora il ite destro e sinistro nei punti ±. 6 6 arctan 6 6 arctan 6 6 arctan

23 arctan 6 6 La discontinuità in entrambi i punti è di prima specie in quanto il ite destro e sinistro esistono finiti ma diversi fra loro. Il salto si ottiene calcolando la differenza tra i due iti, il risultato è, in entrambi i punti. Il grafico della funzione è il seguente: Data la funzione f ( ) determinare il campo di esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. La funzione è esponenziale irrazionale (con indice pari) fratta, il dominio si ottiene imponendo che: C.E. [, ) (, ). Calcoliamo ora il ite destro e sinistro nel punto. La discontinuità è di specie in quanto uno dei due iti è infinito.

24 9 5. Data la funzione f ( ) log determinare il campo di esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. La funzione è logaritmica fratta, il dominio si ottiene imponendo: 9 < - < < da cui segue che: (, ) (,) (,) ( ) C.E.,.. Calcoliamo ora il ite destro e sinistro nel punto. 9 log 9 log La discontinuità è di seconda specie in quanto il ite destro e sinistro esistono infiniti. Si osservi che nel punto è possibile calcolare solo il ite sinistro poiché la funzione non è definita a destra del punto, mentre nel punto è possibile calcolare solo un ite destro poiché la funzione non è definita a sinistra del punto. In particolare si ha: 9 log 9 log Il seguente grafico mostra l andamento della funzione: 5

25 cos 6. Data la funzione f ( ) determinare il campo di sin esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. La funzione è goniometrica fratta, il dominio si ottiene imponendo: 5 sin sin k e k 6 6 Calcoliamo il ite destro e sinistro in corrispondenza dei due punti: k 6 cos sin k 6 cos sin cos sin 5 k 6 cos sin 5 k 6 In entrambi i punti la funzione presenta discontinuità di specie. Il seguente grafico mostra il comportamento della funzione nell intervallo, : [ ] 6

26 Esercizi proposti Determinare il campo di esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità delle seguenti funzioni:. f ( ) 7. 5 f ( ) log 6. f ( ) arctan (. f ) cos( ) sin f ( ) ( ) f ( ) cos 7

27 7. f ( ) log 8. f ( ) e 9. f ( ) arccos Soluzioni. C.E. (,) (,) (, ), punti di discontinuità di specie. C.E. (, 5) (,) (, ) ( 5, ) discontinuità di specie. C.E.,, discontinuità di specie. C.E. (,) (,) (, ), discontinuità di specie 5. C.E. (-, ] [,) (, ) discontinuità di specie 6. C.E. (,) (, ) discontinuità di specie 7. C.E. -, la funzione è continua nel campo di esistenza 8. C.E. (,) (, ) discontinuità di specie 9. C.E. -, la funzione è continua nel dominio 8