Esercizi svolti sui numeri complessi
|
|
- Aloisio Piccolo
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = i z = 1 1 i. : z = 1 + i ;
2 Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio. Risolvere l equazione z = 1. Soluzione. L equazione può essere scritta nella forma z 1 = 0 z 1)z + z + 1) = 0 una soluzione è z 1 = 1, mentre le altre si ricavano dall equazione z + z + 1 = 0: a = 1 b = 1 = b a c = = c = 1 z = 1 + i = 1 + i z, = b ± a In definitiva le soluzioni sono: = 1 ± i 1 ր ց z = 1 i = 1 i. z 1 = 1 ; z = 1 + i ; z = 1 i.
3 Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio. Risolvere l equazione z 9 = 1. Soluzione. Si tratta di determinare le radici none di 1; abbiamo z k = 9 [ ) )] ) ) π + kπ π + kπ π + kπ π + kπ 1 cos + i sin = cos + i sin , con k = 0,..., 8.
4 Esercizio. Risolvere l equazione Francesco Daddi - ottobre 009 z = z. Soluzione. Consideriamo il modulo di entrambi i membri: dal momento che z = z), abbiamo: z = z ; z = z) z = z z = z otteniamo quindi z = 0 e z = 1. La prima ci dice che z = 0 ma questa soluzione poteva essere vista subito), mentre la seconda ci permette di scrivere: dal momento che z z = z, possiamo scrivere z = z z = z) z z = z) z z z = z) z z 5 = z z) z 5 = z ) z 5 = z z 5 = 1. Le soluzioni dell equazione iniziale sono, perciò, oltre a 0, le radici quinte dell unità: z k = 5 [ ) )] ) ) 0 + kπ 0 + kπ kπ kπ 1 cos + i sin = cos + i sin con k = 0,...,.,
5 Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 5. Risolvere l equazione z 7 + z 6 + z 5 + z + z + z + z + 1 = 0. Soluzione. Possiamo riscrivere l equazione nel modo seguente: z + 1)z + 1)z + 1) = 0 le soluzioni sono: z 1 = 1 ; z = i ; z = i ; z = + i ; z 5 = + i ; z 6 = i ; z 7 = i.
6 Esercizio 6. Risolvere l equazione Francesco Daddi - ottobre 009 z 6 + iz = 0. Soluzione. Scritta l equazione nella forma z 6 = i z, consideriamo il modulo di entrambi i membri: z 6 = i z z 6 = i z) z 6 = 1 z z 6 = z quindi z = 0 oppure z = 1. Nel primo caso abbiamo la soluzione z = 0, mentre nel secondo caso l equazione iniziale può essere riscritta nel modo seguente: ricordando che z = 1 abbiamo: z 6 = i z z 6 = i z) z 6 z = i z) z z 9 = i z z) z 9 = i z ) z 9 = i 1 z 9 = i si tratta allora di calcolare le radici none di i: z k = 9 [ ) )] π/ + kπ π/ + kπ i cos + i sin = 9 9 ) ) π/ + kπ π/ + kπ = cos + i sin con k = 0,...,
7 Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 7. Risolvere l equazione expz) = 1 i. Soluzione. Il numero complesso 1 i può essere scritto nella forma: ) i ; il modulo è ρ = e l argomento è θ = 5 π; le soluzioni sono perciò le seguenti: z = ln ) 5 + i π + kπ con k Z.
8 Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 8. Risolvere la disequazione z + i > z i. Soluzione. Riscriviamo la disequazione nel modo seguente: z i) > z i ; le soluzioni della disequazione sono i numeri complessi che hanno distanza da i maggiore della distanza da i: si tratta dei numeri z che, quindi, appartengono al semipiano superiore, ovvero quelli tali che Imz) > 0.
9 Lina Conti, Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 9. Risolvere l equazione expz)) + + i)expz)) + i ) expz) = 0. Soluzione. Ponendo w = exp z), abbiamo: w + + i)w + i )w = 0 si hanno le seguenti soluzioni: w 1 = 0 ; w = ; w = 1 i. La prima w = 0) porta a la seconda w = ) porta a expz) = 0 impossibile ; expz) = z = ln ) + i π + kπ) la terza w = 1 i) porta invece a expz) = 1 i z k = ln + i k + 1)π con k Z ; u k = ln + i z = ln 1 i + i π ) + k π k 1 ) π con k Z ;
10 Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 10. Risolvere l equazione z = z. Soluzione. Primo metodo) Poniamo z = x + iy e riscriviamo l equazione iniziale: x + iy) = x + iy) x y + ixy = x y + ixy x y + ixy = x y ixy ixy = ixy ixy = 0 xy = 0 l ultima equazione ci dice che x = 0 oppure y = 0: le soluzioni dell equazione iniziale sono, perciò, i numeri reali e i numeri immaginari puri. Secondo metodo) Possiamo scrivere l equazione iniziale nel modo seguente: z z = 0 z z) riconoscendo ora la differenza di due quadrati possiamo scrivere z z) z + z) = 0 quindi abbiamo z = z oppure z = z. Nel primo caso si ottengono i numeri reali, nel secondo caso tutti i numeri immaginari puri.
11 Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 11. Risolvere l equazione z + iz + z + iz = 0. Soluzione. Raccogliamo z : zz + iz + z + i) = 0 a questo punto raccogliamo z + i), ottenendo così zz + i)z + 1) = 0 zz i)z + i) = 0 le soluzioni, pertanto, sono le seguenti: z 1 = 0 ; z = i ; z = i.
12 Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1. Risolvere l equazione z i) = z + z). Soluzione. Portando tutto a sinistra abbiamo z i) z + z) = 0 quindi, sfruttando la formula per la differenza di due quadrati, ricaviamo z i + z + z ) z i z z ) = 0 z + i)z + z i) = 0 la soluzione z = i proviene da z + i = 0, mentre le soluzioni z k che provengono dall equazione di secondo grado z + z i = 0 sono z k = 1 ± 1 + i. Calcoliamo ora le radici quadrate w k del numero complesso 1 + i) : [ ) )] π/ + kπ π/ + kπ w k = cos + i sin con k = 0, 1 semplificando w k = [ ) )] cos 8 + k π + i sin 8 + k π con k = 0, 1 ; poiché risulta π + cos = 8) π ; sin = 8) le soluzioni z k si ottengono a partire da w k sommando 1: z 0 = 1 + ) + + i ; z 1 = 1 + ) + i. In definitiva, le soluzioni dell equazione di partenza sono le seguenti: z 0 ; z 1 ; z = i.
13 Lina Conti, Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1. Risolvere l equazione expz)) 5 i expz) ) z 8 i) = 0. Soluzione. Per la legge di annullamento del prodotto abbiamo due equazioni: expz)) 5 i expz) = 0 ; z 8 i = 0 ; l insieme delle soluzioni dell equazione di partenza si ottiene unendo le soluzioni delle singole equazioni. Per la prima equazione, ponendo w = expz), abbiamo w 5 i w = 0 ww 5 i) = 0 una soluzione è w 0 = 0 mentre le altre due soluzioni w 1, w sono le radici quadrate del numero complesso 5 i; esse si ottengono osservando che [ 5 i = 5 cos + i sin ) )] da cui ricaviamo w 1; = ± [ 5 cos + i sin ) )] π poiché cos = sin =, si ricava: ) ) w 1; = ± [ ] [ ] i = ± + i e quindi w 1 = + i per la prima soluzione w 0 = 0 si ha ; w = i ; w 0 = 0 expz) = 0 impossibile ; per le altre due cioè w 1 e w ), invece, abbiamo: w 1 = + i expz) = + i w = i expz) = i z = ln ) 5 + i + kπ z = ln ) 5 π 5 + i + k π con k Z, con k Z. Per quanto riguarda l equazione z 8 i = 0, si tratta di calcolare le radici terze di 8i infatti l equazione può essere scritta così: z = 8 i): z = i ; z = + i ; z = + i.
14 Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1. Risolvere l equazione z + ) = 7 i. Soluzione. Ponendo w = z +, l equazione può essere riscritta così: w = 7 i ; le soluzioni sono Poiché w 1 = i ; w = i ; w = z = 1 w ) = + 1 w, i. si hanno le seguenti soluzioni: z 1 = + i ; z = + i ; z = i.
15 Lina Conti, Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 15. Risolvere l equazione expz) + i expz) + i) = 9. Soluzione. Ponendo w = expz) + i abbiamo w w = 9 ; considerando il modulo di entrambi i membri si ha w w = 9 w = 9 w =. Sostituendo w = nell equazione w w = 9, otteniamo w = 9 w = ; ricordando che w = expz) + i, ricaviamo expz) + i = expz) = i ; dal momento che risulta dell equazione di partenza: i =, arg i) = π 6 z k = ln ) + i π ) 6 + kπ con k Z., otteniamo le soluzioni
16 Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 16. Risolvere l equazione z + iz + i = 0. Soluzione. Con la classica formula si trova risulta z 1; = i ± i ; [ ) )] 5 5 i = cos π + i sin π a questo punto le due radici quadrate r 1 e r di i) sono r 1 = 5 cos π 5 + i sin π [ ) )] 5 5 = cos 6 π + i sin 6 π = + i r = 5 cos π + π 5 + i sin π + π [ ) )] = cos 6 π + i sin 6 π = i sostituendo questi valori nelle due equazioni z 1; = i ± i si ricava: z 1 = i + r 1 = i + + i) = ; z = i + r = i + i) = i. In definitiva le due soluzioni sono z 1 = ; z = i.
17 Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 17. Risolvere l equazione z = i ). Soluzione. L equazione assegnata può essere scritta nel modo seguente: z i ) = 0 ; si tratta di una differenza di due cubi, per cui abbiamo z i )) z + i )z + i) = 0 ; dalla prima parentesi troviamo la prima scontata) soluzione z 0 = i, mentre dalla seconda parentesi troviamo z 1; = i ± i ; ora cerchiamo le radici quadrate di i) nella forma generica a + ib : a + ib) = i a b + i ab) = i { a b = 9 ab = 1 ) ) a b = a = 9 a = 9 b = 6 a a b = 6 a b = 6 a a osservando che deve necessariamente essere a 0 e ricordando che a e b sono reali, troviamo le due radici quadrate di i): a + 9 a 6 = 0 b = 6 a a = b = 6 = a = in definitiva, le radici quadrate del numero i) sono le seguenti: r 1 = + i ; r = r 1 ) = i. b = 6 = Le altre due soluzioni z 1 e z dell equazione iniziale, perciò, risultano essere: z 1 = i + + ) i) = i ; z = i + i) = ) i. ;
18 Francesco Daddi - 9 ottobre 009 Esercizio 18. Fattorizzare su R il polinomio px) = x x + 1. Soluzione. Passando dai complessi possiamo scrivere: da cui px) = px) = x x + 1 = x 1 ) + i x 1 ) + = x ) 1 ) i x 1 ) i = x )) 1 i x 1 + )) ) ) 1 quindi, tenendo conto del fatto che le radici quadrate dei numeri complessi i 1 e + i ) ) sono rispettivamente ± 1 i e ± + 1 i, possiamo scrivere px) = x ) + 1 ) i x + 1 ) i x 1 ) i x i raggruppando i binomi che coinvolgono le radici complesse coniugate abbiamo ) px) = x + 1 ) i x 1 ) i x + 1 i x + moltiplicando a coppie arriviamo finalmente alla fattorizzazione su R: px) = x x + 1 = x ) x + 1 x + ) x + 1. ) + 1 i
19 Francesco Daddi - 5 novembre 009 Esercizio 19. Risolvere il seguente sistema dove x, y R) : { x y + x + 5 = 0 xy + y = 0. Soluzione. I primi due termini della prima equazione ovvero x y ) e il primo termine della seconda equazione cioè xy) costituiscono, rispettivamente, la parte reale e la parte immaginaria di x + iy) ; dal momento che i termini di primo grado hanno lo stesso coefficiente, possiamo concludere che il sistema assegnato proviene dall equazione complessa z + z + 5 = 0. Possiamo ora risolvere l equazione scritta con la nota formula: z 1; = ± 5 = ± = ± i = ± i ; le soluzioni dell equazione complessa sono, pertanto z 1 = + i e z = i. Tornando al sistema di partenza, possiamo affermare che le soluzioni x e y si ottengono considerando, rispettivamente, la parte reale e la parte immaginaria delle soluzioni complesse z 1, z che abbiamo appena ricavato. In definitiva abbiamo: { x1 = y 1 = 1 { x = y = 1. Osservazione. E possibile rappresentare nel piano cartesiano le due equazioni che costituiscono il sistema di partenza: si tratta, rispettivamente, di un iperbole equilatera e di una coppia di rette ortogonali. Le due curve si intersecano nei punti A ; 1) e B ; 1).
20 Francesco Daddi - 15 novembre 009 Esercizio 0. Risolvere la seguente equazione: z = i z. Soluzione. Posto z = a + ib possiamo riscrivere l equazione nel modo seguente: a + b = i a + ib), da cui, portando tutto a sinistra, abbiamo a + b + a + i b 1) = 0 uguagliando a zero la parte reale e la parte immaginaria ci troviamo a risolvere il sistema seguente: { a + b + a = 0 b 1 = 0 osserviamo che, dalla prima equazione, risulta chiaramente a 0; dalla seconda equazione ricaviamo invece b = 1, per cui a + b = 1 ) 1 = a a = a b = 1 elevando al quadrato la prima equazione abbiamo a + 1 = 16 a a = 1 16 b = 1 b = 1 ricordando che a 0, si trova la soluzione 1 a = 0 b = 1 a = 1 0 b = 1 razionalizzando a, l equazione iniziale ammette come unica soluzione il numero complesso 15 z = i.
21 Francesco Daddi - 1 novembre 009 Esercizio 1. Risolvere la seguente equazione: z 1) z + 1) = z z 1). Soluzione. Ponendo z 1 = w abbiamo: svolgendo otteniamo w w + ) = w + 1 w w w + ) = ww + 1) w w + w = w + w w w w = w le soluzioni sono w w = w w w ) = 0 w = 0 ; w = ricordando che z 1 = w abbiamo le seguenti soluzioni: z 1 = 1 ; z 1 = per quanto riguarda le soluzioni tali che z 1 = possiamo dividere tutto per, ricavando così 1 z 1 = 1 z 1 = si tratta quindi dei numeri complessi che stanno sulla circonferenza di centro 1 +0 i e raggio R =.
22 Francesco Daddi - dicembre 009 Esercizio. Determinare i numeri complessi z tali che Soluzione. Moltiplichiamo tutto per z i, ottenendo così ponendo ora z = x + iy abbiamo z + 1 z i =. 1) z + 1 = z i x iy = x + iy i x + 1) + iy = x + iy 1) ; calcolando i moduli ed elevando tutto al quadrato si ha x + 1) + y = x + y 1) x + 1) + y = [ x + y 1) ] svolgendo i calcoli e semplificando otteniamo x + x y + 8 y = 0 x + y x 8 y + 1 = 0 i numeri complessi che risolvono l equazione 1) appartengono alla circonferenza di centro z C = 1 + i e raggio R =. Da un punto di vista geometrico si tratta del luogo dei punti tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissati in questo caso i punti sono z A = i e z B = 0 + i) è costante in questo caso la costante è ), noto come cerchio di Apollonio. Si osservi che z C appartiene alla retta passante per z A e z B.
23 Francesco Daddi - dicembre 009 Esercizio. Determinare i numeri complessi z tali che z 8 + z 8 = 0. 1) Soluzione. Primo metodo. z 8 + z ) = 0 z z +z z) = 0 z z + z ) = 0 una soluzione quindi è z = 0, mentre le altre soluzioni vanno cercate in z + z = 0. Ponendo z = a + ib abbiamo z +z = 0 a + ia b 6 a b i ab +b +a ia b 6 a b + ib a+b = 0 a 1 a b + b = 0 a 6 a b + b = 0 dividendo l ultima equazione per a 0 otteniamo a 6 a b + b = b a a + b a = 0 ; ponendo ora t = b a 0 ricaviamo 1 6 t + t = 0 ; risolvendo l equazione si ha t 1; = ± 8 ; con le formule dei radicali doppi otteniamo queste soluzioni: b a = ± + 8 = ± + 8 b a = ± 8 = ± = ± + 1) ; 8 = ± 1) ; le soluzioni dell equazione sono dunque i numeri complessi che appartengono alle quattro rette seguenti: b = + 1) a ; b = + 1) a ; b = 1) a ; b = 1) a.
24 Secondo metodo. Osserviamo che, se w è soluzione dell equazione, allora lo è anche z = kw con k R; infatti abbiamo: z 8 + z 8 = kw) 8 + kw 8 = k 8 w 8 + k 8 w 8 = k 8 w 8 + k 8 w 8 = k 8 w 8 + w 8) = k 8 0 = 0 quindi possiamo porre z = 1 e cercare le soluzioni sul cerchio unitario: z 8 + z 8 = 0 z = 0 z = 0 z 8 = 1 si tratta quindi di determinare le radici ottave di 1 e considerare poi tutti i multipli reali delle soluzioni ottenute. Si ritrovano così le quattro rette che abbiamo ottenuto con il primo metodo. Riportiamo qui di seguito, per completezza, le radici ottave di 1 = i = cos π + i sin π): z 0 = cos + i sin 8) 8) ) ) π π z 1 = cos + i sin 8 8 ) ) 5 π 5 π z = cos + i sin 8 8 ) ) 7 π 7 π z = cos + i sin 8 8 ) ) 9 π 9 π z = cos + i sin 8 8 ) ) 11 π 11 π z 5 = cos + i sin 8 8 ) ) 1 π 1 π z 6 = cos + i sin 8 8 ) ) 15 π 15 π z 7 = cos + i sin = + i + = + i + = + i + = + i + = i + = i + = i + = i si osservi che: z 0 e z appartengono alla retta b = 1) a; z 1 e z 5 appartengono alla retta b = + 1) a; z e z 6 appartengono alla retta b = + 1) a; z e z 7 appartengono alla retta b = 1) a.
25 Francesco Daddi - 7 dicembre 009 Esercizio. Determinare i numeri complessi z tali che z i = Imz i). Soluzione. Ponendo z = a + ib abbiamo a + ib i = Ima + ib i) a ) + ib ) = Im a + ib 1) ) quindi a ) + b ) = b 1 da cui, elevando al quadrato, otteniamo: a ) + b ) = b 1) ; svolgendo i calcoli troviamo a 6 a + 1 b = 0 b = 1 a a + 6 l insieme dei numeri complessi che risolvono l equazione iniziale è una parabola nel piano complesso. Analizziamo l equazione di partenza riscrivendola in questo modo: z i = Imz i) z + i) = Imz) Imi) z + i) = Imz) 1 i numeri z che risolvono l equazione sono tali che la loro distanza da + i) è uguale alla distanza dalla retta Imz) = 1 questa retta passa da 0+i ed è parallela all asse reale); il vertice della parabola è V = + i, il fuoco è F = + i e la direttrice è la retta Imz) = 1.
26 Francesco Daddi - 7 dicembre 009 Esercizio 5. Determinare i numeri complessi z tali che z 19 z + 97 z 5 z 16 = 0. Soluzione. Ponendo z = k 0) l equazione diventa k 19 k + 97 k 5 k 16 = 0 si trova che k = 1 è una radice del polinomio; dividendo il polinomio per k + 1) otteniamo: k 19 k + 97 k 5 k 16 = k + 1)k 0 k k 16) ; poiché k = è una radice del polinomio di terzo grado, abbiamo: k 19 k + 97 k 5 k 16 = k + 1)k )k 18 k + 81) ; poiché risulta k 18 k + 81 = k 9), l equazione di partenza può essere scritta in questo modo: z 9) z + 1) z ) = 0 le soluzioni sono, pertanto, i numeri complessi tali che: z = 9 z = si osservi che non esistono numeri complessi tali che z + 1 = 0).
27 Francesco Daddi - 9 dicembre 009 Esercizio 6. Determinare la condizione che deve essere rispettata dai due parametri reali k e h affinché l equazione z + k iz + h = 0. 1) abbia soluzioni con parte reale nulla. Soluzione. Calcolando il discriminante dell equazione di secondo grado abbiamo poiché le soluzioni dell equazione sono = k i) 1 h = k h z 1; = k i ± = k i ± k h per avere soluzioni con parte reale nulla è necessario che il numeratore abbia parte reale nulla il denominatore, infatti, è reale): Re k i ± ) k h = 0 dal momento che k i ha parte reale nulla, ciò deve verificarsi anche per k h e quindi la condizione richiesta è la seguente: k h 0 k + h 0. Osservazione. Se risulta k h = 0 k + h = 0 abbiamo due radici coincidenti e sono entrambe uguali a k i ). Analizziamo infine il caso k h > 0 k + h < 0 ; sotto questa condizione le due soluzioni z 1, z dell equazione di partenza hanno parte reale 0.
28 Lina Conti, Francesco Daddi - 9 dicembre 009 Esercizio 7. Determinare i numeri z tali che z = + i. Soluzione. Primo metodo. Osserviamo che il numero complesso modo seguente: 1 [ cos + i sin 6) 6)] + i può essere scritto nel quindi le due radici quadrate sono z 1; = ± [ 1 cos 1) [ + i sin = ± cos + i sin 1)] 1) 1)] dalla formula di bisezione del coseno presa con il segno + perché cos 1) > 0) ricaviamo: π ) 1 + cos 6 cos = cos = 1) ) π = + = = 1 + applicando la formula per i radicali doppi abbiamo + + = = + = + per cui risulta: cos = 1) 1 + = =. Per calcolare sin 1) basta applicare la formula fondamentale si sceglie il segno + perché sin 1) > 0): 1 π [ )] [ ] sin = 1 cos = = 1) 1 = con la formula per i radicali doppi abbiamo: + 1 = = = 1 ; da cui π 1 sin = 1) 8 1 ) 6 1 = 8 1 = ;
29 in definitiva le due soluzioni sono ) z 1; = ± + i. Secondo metodo. Cerchiamo le soluzioni nella forma z = x + iy ; risulta: z = + i x + iy) = + i x y + ixy = uguagliando parte reale e parte immaginaria arriviamo al seguente sistema: x y = xy = 1 ricavando y dalla seconda equazione e sostituendo nella prima abbiamo: ) 1 x = x y = 1 x la prima equazione può essere riscritta così: 16 x 8 x 1 = 0 + i ponendo t = x 0 possiamo scrivere le soluzioni dell equazione di secondo grado nell incognita t: t 1; = 8 8 ) ± 16 1) ± = poiché t 0, è accettabile solo la soluzione con il + infatti con il segno - il radicando sarebbe uguale a < 0). A questo punto possiamo trovare i due valori di x: x 1; = ± + = ± + con la formula per i radicali doppi si veda per questo il primo metodo) arriviamo a ) 6 + x 1; = ± ; i due valori di y si ottengono dalla relazione y = 1 x : y 1 = 1 ) = ; y = 1 6 ) = 6 +.
30 Francesco Daddi - 11 dicembre 009 Esercizio 8. Calcolare i ) 1005 Soluzione. Il numero tra parentesi può essere scritto in questo modo: ) ) ) i = cos 1 π + i sin 1 π per cui la potenza è uguale a poiché 5 ) i = [ ) )] cos 1 π + i sin 1 π = ) ) 7 = cos π 7 + i sin π = ) ) 5 5 = cos π + i sin π ; π = 586 π + π = 9 π + π abbiamo: ) ) 5 5 cos π + i sin π = = cos 9 π + π ) + i sin 9 π + π = cos + i sin = ) ) ) = = + i.
31 Francesco Daddi - 0 dicembre 009 Esercizio 9. Risolvere l equazione z 5 iz + z 8 iz 16 z i = 0 sapendo che z = i e z = i sono due soluzioni. Soluzione. Dal momento che conosciamo le soluzioni z = i e z = i, il polinomio di quinto grado è divisibile per il polinomio effettuando la divisione otteniamo: z + i)z i) = z iz + ; z 5 iz + z 8 iz 16 z i = z iz + ) z 8 i) per ottenere le rimanenti soluzioni dell equazione di partenza è sufficiente quindi determinare le soluzioni dell equazione z 8 i = 0 [ per far ciò basta determinare le radici terze di 8i = 8 cos + i sin : ) )] z 0 = 8 [ cos + 0 π ) + i sin + 0 π )] = [ ] + i = + i ; z 1 = [ 8 cos + 1 π ) + i sin + 1 π )] = z = 8 [ cos [ ] = + i = + i ; + π ) + i sin + π )] = = [0 i] = i. [ = cos + i sin = 6) 6)] [ cos [ cos ) 5 π + i sin 6 ) π + i sin )] 5 π = 6 )] π =
32 Lina Conti, Francesco Daddi - 5 gennaio 010 Esercizio 0. Risolvere l equazione expexp z) = i Soluzione. Ponendo w = exp z l equazione diventa da cui, essendo i = cos π + i sin π, ricaviamo: exp w = i ) w = ln1) + i + kπ ) w = i + kπ con k Z con k Z. Ora dobbiamo risolvere l equazione ) exp z = i + kπ con k Z il modulo del numero complesso a secondo membro è π ) i + kπ π = i + kπ π = + kπ = π 1 + k = π k + 1 ) mentre per l argomento dobbiamo fare attenzione: se il numero complesso i + kπ appartiene all asse immaginario positivo l argomento è π, mentre, se appartiene all asse immaginario negativo, l argomento è π : π se k 0 )) Arg i + kπ = quindi le soluzioni dell equazione iniziale sono: ) ) z = ln k i + hπ ) ) π z = ln k i + hπ semplificando otteniamo: ) ) z = ln k + 1) + i + hπ π ) ) π z = ln k 1) + i + hπ se k < 0 con k intero 0 e h Z ; con k intero < 0 e h Z con k intero 0 e h Z ; con k intero < 0 e h Z
33 Lina Conti, Francesco Daddi - marzo 010 Esercizio 1. Determinare i numeri z tali che z 5 + z 1 i ) 7 z i = 0. Soluzione. Possiamo fattorizzare il primo membro nel modo seguente: z z + 1 i ) 7 z + 1 i ) = 0 da cui z 7 ) z + 1 i ) = 0 dobbiamo quindi risolvere le due equazioni z 7 = 0 ; z + 1 i = 0. La prima equazione ha come soluzioni le radici terze di 7: z 1 = ; z = 1 ) + i ; z = 1 ) i ; per quanto riguarda la seconda equazione osserviamo che z = z + 1 i = 0 1 ) + i [ z = cos z = 1 + i ) π + i sin )] π l equazione z + 1 i = 0 è dunque risolta per z +k = π cos + kπ π + i sin + kπ con k = 0, 1) ovvero z = [ cos + i sin ) )] semplificando otteniamo: z = ) 1 + i ; z 5 = z = [ cos + i sin ) )] ; z 5 = ) 1 + i z = 6 + i ; z 5 = i 6.
34 Lina Conti, Francesco Daddi - marzo 010 Esercizio. Determinare i numeri z tali che exp z i ) exp z + z exp z i ) ) exp z = 0. Soluzione. Raccogliendo exp z i ) exp z ) l equazione diventa exp z i ) ) exp z 1 + z ) = 0 dobbiamo quindi risolvere le due equazioni seguenti: exp z i ) exp z = 0 ; 1 + z = 0 la seconda equazione è impossibile il modulo di un numero complesso è un numero reale 0), mentre per quanto riguarda la prima equazione si ha exp z exp z i )) = 0 si hanno quindi due equazioni: exp z = 0 impossibile exp z i ) = 0 exp z = 1 i poiché abbiamo 1 i = 1 i ) ) 5 π z k = ln) + i + kπ = cos 5 π + i sin 5 π ) con k Z.
35 Lina Conti, Francesco Daddi - marzo 010 Esercizio. Determinare i numeri z tali che expz) exp z) + expz) exp z) + expz) = 0. Soluzione. Mettiamo in evidenza expz): expz) [ exp z) + exp z) + 1 ] = 0 poiché expz) non si annulla mai l equazione iniziale è equivalente a exp z) + exp z) + 1 = 0 a questo punto si osserva che l equazione può essere scritta così: [exp z) + 1] = 0 non resta quindi che risolvere l equazione exp z) + 1 = 0 : exp z) = 1 dal momento che 1 = 1 cosπ) + i sinπ)), risulta: z = ln1) + iπ + kπ) con k Z z = iπ + kπ) z = 1 iπ + kπ) in definitiva le soluzioni dell equazione iniziale sono le seguenti: z k = π i1 + k) con k Z.
36 Lina Conti, Francesco Daddi - marzo 010 Esercizio. Determinare i numeri z, w tali che { exp z exp w = 1 + i exp z + exp w = 1 i. Soluzione. Si tratta di un sistema simmetrico la cui equazione risolvente è t i) t i) = 0 trovando le soluzioni dell ultima equazione scritta abbiamo t 1; = 1 i ± 1 + i) i) quindi t 1; = 1 i ± 1 ր ց ora non resta che risolvere i sistemi { expz) = i expw) = 1 i t 1 = 1 i + 1 t = 1 i 1 ; = i = i = i { expz) = 1 i expw) = i = 1 i. Il primo sistema ha le seguenti soluzioni: ) π z = i + kπ w = ln ) 5 π + i + hπ con k, h Z mentre per il secondo sistema risulta: z = ln + i ) 5 π + bπ ) con b, c Z π w = i + cπ
37 Lina Conti, Francesco Daddi - marzo 010 Esercizio 5. Determinare i numeri z tali che z z + z 8 z i 8 i = 0. Soluzione. Mettiamo in evidenza z nei primi due termini e 8 i negli ultimi due: raccogliamo ora z + 1) z z + 1) 8 i z + 1) = 0 z + 1)z 8 i) = 0 le soluzioni si ottengono quindi dalle due equazioni seguenti: z + 1 = 0 ; z 8 i = 0. La prima equazione è impossibile in quanto il modulo di un numero complesso è un numero reale 0. Per quanto riguarda invece la seconda equazione si tratta di calcolare le radici terze di 8i: π z k = 8 cos + kπ abbiamo allora le seguenti soluzioni: π z 0 = cos + 0 π + i sin π + i sin π + kπ + 0 π con k = 0, 1, = ) + 1 i = + i π z 1 = cos + 1 π π z = cos π + i sin + π + 1 π π + i sin = + π ) + 1 i = + i = i) = i.
38 Esercizio 6. Risolvere l equazione Lina Conti, Francesco Daddi - 9 marzo 010 expexp z) = + 1 i Soluzione. Ponendo w = exp z l equazione diventa exp w = + 1 i da cui, essendo + 1 i = cos π 6 + i sin π 6, ricaviamo: ) w = ln1) + i 6 + kπ con k Z ) w = i 6 + kπ Ora dobbiamo risolvere l equazione ) exp z = i 6 + kπ con k Z. con k Z il modulo del numero complesso a secondo membro è π ) i 6 + kπ π = i 6 + kπ π = 6 + kπ = π k = π 1 k ) mentre per l argomento dobbiamo fare attenzione: se il numero complesso i 6 + kπ appartiene all asse immaginario positivo l argomento è π negativo, l argomento è π : )) Arg i 6 + kπ = quindi le soluzioni dell equazione iniziale sono: ) ) z = ln 6 1 k i + hπ ) z = ln 6 1 k i π ) + hπ semplificando otteniamo: ) ) z = ln 6 1 k + 1) + i + hπ, mentre, se appartiene all asse immaginario π π ) z = ln 6 1 k 1) + i π ) + hπ se k 0 se k < 0 con k intero 0 e h Z ; con k intero < 0 e h Z con k intero 0 e h Z ; con k intero < 0 e h Z
39 Lina Conti, Francesco Daddi - 9 marzo 010 Esercizio 7. Risolvere l equazione exp8 z) + i) exp z) i = 0 Soluzione. Possiamo riscrivere l equazione così: exp z) ) + i) exp z) i = 0 ponendo w = exp z) si tratta di risolvere l equazione le soluzioni si calcolano con la formula classica w 1; = i) ± i) 1 i) 1 w + i)w i = 0 = i ± 1 i + 8 i = i ± + i a questo punto dobbiamo determinare le radici quadrate del numero + i; dobbiamo determinare i numeri complessi x + i y tali che x + i y) = + i: ) { x y = x = x x = 0 x xy = y = y = x x risolvendo l equazione biquadratica otteniamo x 1 = da cui y 1 = 1) e x = da cui y = 1). Si osservi che x, y R, quindi le soluzioni complesse del sistema precedente devono essere scartate. Le soluzioni w 1;, pertanto, sono: a questo punto dobbiamo risolvere le equazioni w 1 = i ; w = exp z) = i ; exp z) = la prima ha come soluzioni ) z = ln1) + i + kπ z = i 8 + kπ ) con k Z mentre la seconda z = ln) + i π + kπ) z = ln) + i + kπ ) con k Z.
40 Lina Conti, Francesco Daddi - 19 marzo 010 Esercizio 8. Risolvere l equazione z + z + 1 = 0 Soluzione. Posto z = x + i y abbiamo: x + i y) + x i y + 1 = 0 svolgendo i calcoli abbiamo x y + ixy + x i y + 1 = 0 separiamo la parte reale dalla parte immaginaria: x y + x i xy y) = 0 arriviamo dunque al seguente sistema: { x y + x + 1 = 0 xy y = 0 { x y + x + 1 = 0 y x 1) = 0 basta risolvere i seguenti due sistemi: { x y + x + 1 = 0 y = 0 ; { x y + x + 1 = 0 x 1 = 0 il primo sistema è impossibile l equazione x + x + 1 = 0, infatti, non ammette soluzioni reali), mentre il secondo sistema ha per soluzione x y + x + 1 = 0 x = 1 1 x = 1 ) y = 0 le soluzioni dell equazione iniziale, pertanto, sono le seguenti: 7 y = 0 x = 1 z 1 = 1 + i 7 ; z = 1 i 7.
NUMERI COMPLESSI. Esercizi svolti., e) i 34, f) i 7. 10 i
NUMERI COMPLESSI Esercizi svolti 1. Calcolare le seguenti potenze di i: a) i, b) i, c) i 4, d) 1 i, e) i 4, f) i 7. Semplificare le seguenti espressioni: a) ( i) i(1 ( 1 i), b) ( + i)( i) 5 + 1 ) 10 i,
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
Dettagli( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali
Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza
DettagliConsideriamo due polinomi
Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al
DettagliCONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE
CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).
DettagliDOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.
FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di
DettagliEsercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di
Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva
DettagliProposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014
Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI
APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................
Dettaglila funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali.
1 y 4 CAMPO DI ESISTENZA. Poiché data è una irrazionale con indice di radice pari, il cui radicando è un polinomio, essa risulta definita solo per i valori della per i quali il radicando è positivo, ovvero
DettagliFUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE
FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA (Classe 7) Corso di Matematica per l Economia (Prof. F. Eugeni) TEST DI INGRESSO Teramo, ottobre 00 SEZIONE
Dettaglie l insieme delle soluzioni, dopo le analoghe riduzioni del caso n = 2, si scrive come
Numeri complessi 9 Da questi esempi si può osservare che, facendo le successive potene di un numero complesso, i punti corrispondenti girano attorno all origine. Se inoltre > allora i punti si allontanano
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6
EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)
DettagliAnalisi Complessa. Prova intermedia del 7 novembre 2002 - Soluzioni. (z 11 1) 11 1 = 0.
Analisi Complessa Prova intermedia del 7 novembre 2002 - Soluzioni Esercizio. Si consideri l equazione z 0. Quante soluzioni distinte esistono in C? Quante di esse sono contenute all interno del disco
DettagliLe equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.
Le equazioni Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Definizione e caratteristiche Chiamiamo equazione l uguaglianza tra due espressioni algebriche,
Dettagli11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni
2 PARAGRAFI TRATTATI 1)La funzione esponenziale 2) grafici della funzione esponenziale 3) proprietá delle potenze 4) i logaritmi 5) grafici della funzione logaritmica 6) principali proprietá dei logaritmi
Dettagli4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI
119 4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI Indice degli Argomenti: TEMA N. 1 : INSIEMI NUMERICI E CALCOLO
DettagliNumeri Complessi R 2. P = (x P,y P ) x P. z = (x,y) y P (0,0)
Numeri Complessi Un numero complesso z può essere definito come una coppia ordinata (x,y) di numeri reali x e y. L insieme dei numeri complessi è denotato con C e può essere identificato con il piano cartesiano
DettagliRETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE
RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,
DettagliEsempi di funzione. Scheda Tre
Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.
Dettaglia) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1
LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE Soluzioni di quesiti e problemi estratti dal Corso Base Blu di Matematica volume 5 Q[] Sono date le due funzioni: ) = e g() = - se - se = - Determina il campo di esistenza
DettagliElementi di topologia della retta
Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme
DettagliAnno 4 Grafico di funzione
Anno 4 Grafico di funzione Introduzione In questa lezione impareremo a disegnare il grafico di una funzione reale. Per fare ciò è necessario studiare alcune caratteristiche salienti della funzione che
DettagliIniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:
Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione
DettagliLiceo linguistico Trento Classi quarte vecchio ordinamento Studio di funzioni (prima parte) Visita il sito: www.raimondovaleri.it
Liceo linguistico Trento Classi quarte vecchio ordinamento Studio di funzioni (prima parte) Visita il sito: www.raimondovaleri.it Esempio 1 y= f (x)= x 1 x 2 9 a Dominio: D= R { 3,3} Il denominatore deve
DettagliFUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI
ANALISI MATEMATICA I - A.A. 0/0 FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ESERCIZIO. Data la funzione f () = determinare l insieme f (( +)). Svolgimento. Poiché f (( +)) = { dom f : f () ( +)} = { dom f : f () > } si
Dettagli0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = log a (x) si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y
INTRODUZIONE Osserviamo, in primo luogo, che le funzioni logaritmiche sono della forma y = log a () con a costante positiva diversa da (il caso a = è banale per cui non sarà oggetto del nostro studio).
DettagliFASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette:
FASCI DI RETTE DEFINIZIONE: Si chiama fascio di rette parallele o fascio improprio [erroneamente data la somiglianza effettiva con un fascio!] un insieme di rette che hanno tutte lo stesso coefficiente
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. FOGLIO DI ESERCIZI 4 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2010/11 Esercizio 4.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i
DettagliSEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue:
CAMPO DI ESISTENZA. Poiché la funzione data è una razionale fratta, essa risulta definita su tutto l asse reale tranne che nei punti in cui il denominatore della frazione si annulla, cioè: C.E. { R: 0}
DettagliLEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3.
7 LEZIONE 7 Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2 2 6x, x3 +2x 2 6x, 3x + x2 2, x3 +2x +3. Le derivate sono rispettivamente,
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie
DettagliVERIFICA DI MATEMATICA. CLASSI TERZE (3AS, 3BS, 3CS, 3DS, 3ES) 2 settembre 2013 COGNOME E NOME.. CLASSE.
VERIFIC DI MTEMTIC CLSSI TERZE (S, BS, CS, DS, ES) settembre COGNOME E NOME.. CLSSE. Esercizio In un piano cartesiano ortogonale determinare: a) l equazione della parabola con asse parallelo all asse,
DettagliMatematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esercitazione su massimi e minimi vincolati 9 dicembre 005 Esercizio 1. Considerare l insieme C = {(x,y) R : (x + y ) = x } e dire se è una curva
Dettagli0. Piano cartesiano 1
0. Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato di due assi (che per ragioni pratiche possiamo scegliere ortogonali). Il punto in comune ai due assi è detto origine, e funziona da origine
DettagliTeoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26
Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo
DettagliESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai
DettagliAnalisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06
Analisi Mat. - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 3-3-6 Sia p il polinomio di quarto grado definito da pz = z 4. Sia S il settore circolare formato dai numeri complessi che hanno modulo minore o
DettagliMassimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili
Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente
DettagliSTUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE
STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE Quando si studia una funzione! " #$%&' (funzione reale di variabile reale) è fondamentale conoscere il segno, in altre parole sapere per quali valori di &( #$%&'$è positiva,
DettagliPercorsi di matematica per il ripasso e il recupero
Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Sistemi di primo grado
DettagliIGiochidiArchimede-SoluzioniBiennio 22 novembre 2006
PROGETTO OLIMPII I MTEMTI U.M.I. UNIONE MTEMTI ITLIN SUOL NORMLE SUPERIORE IGiochidirchimede-Soluzioniiennio novembre 006 Griglia delle risposte corrette Problema Risposta corretta E 4 5 6 7 8 9 E 0 Problema
DettagliESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali. www.vincenzoscudero.it novembre 2009
ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali v.scudero www.vincenzoscudero.it novembre 009 1 1 Funzioni algebriche fratte 1.1 Esercizio svolto y = x 1 x 11x + 10 (generalizzazione)
DettagliG6. Studio di funzione
G6 Studio di funzione G6 Come tracciare il grafico di una funzione data Nei capitoli precedenti si sono svolti tutti gli argomenti necessari per tracciare il grafico di una funzione In questo capitolo
DettagliEsponenziali elogaritmi
Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.
DettagliEQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere
DettagliIl simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale
Radicali 1. Radice n-esima Terminologia Il simbolo è detto radicale. Il numero è detto radicando. Il numero è detto indice del radicale. Il numero è detto coefficiente del radicale. Definizione Sia un
DettagliPer studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R
Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.
DettagliRipasso delle matematiche elementari: esercizi svolti
Ripasso delle matematiche elementari: esercizi svolti I Equazioni e disequazioni algebriche 3 Esercizi su equazioni e polinomi di secondo grado.............. 3 Esercizi sulle equazioni di grado superiore
DettagliNumeri complessi. x 2 = 1.
1 Numeri complessi Nel corso dello studio della matematica si assiste ad una progressiva estensione del concetto di numero. Dall insieme degli interi naturali N si passa a quello degli interi relativi
DettagliDERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia
DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti
DettagliRette e piani con le matrici e i determinanti
CAPITOLO Rette e piani con le matrici e i determinanti Esercizio.. Stabilire se i punti A(, ), B(, ) e C(, ) sono allineati. Esercizio.. Stabilire se i punti A(,,), B(,,), C(,, ) e D(4,,0) sono complanari.
DettagliSOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.
SOMMARIO CAPITOLO : I RADICALI. I radicali pag.. I radicali aritmetici pag.. Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.. Potenza di un radicale aritmetico pag.. Trasporto di un fattore esterno
DettagliFormule trigonometriche
Formule trigonometriche C. Enrico F. Bonaldi 1 Formule trigonometriche In trigonometria esistono delle formule fondamentali che permettono di calcolare le funzioni goniometriche della somma di due angoli
DettagliDefinisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:
Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato
DettagliL espressione torna invece sempre vera (quindi la soluzione originale) se cambiamo contemporaneamente il verso: 1 < 0.
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Le uguaglianze fra espressioni numeriche si chiamano equazioni. Cercare le soluzioni dell equazione vuol dire cercare quelle combinazioni delle lettere che vi compaiono che la
DettagliELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.
ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper
DettagliMetodi risolutivi per le disequazioni algebriche
Metodi risolutivi per le disequazioni algebriche v.scudero Una disequazioni algebrica si presenta in una delle quattro forme seguenti: () P( () P( (3) P( () P( essendo P( un polinomio in. Noi studieremo
DettagliEquazioni alle differenze finite (cenni).
AL 011. Equazioni alle differenze finite (cenni). Sia a n } n IN una successione di numeri reali. (Qui usiamo la convenzione IN = 0, 1,,...}). Diremo che è una successione ricorsiva o definita per ricorrenza
DettagliMATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.
MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un
DettagliFunzioni. Parte prima. Daniele Serra
Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1
DettagliVademecum studio funzione
Vademecum studio funzione Campo di Esistenza di una funzione o dominio: Studiare una funzione significa determinare gli elementi caratteristici che ci permettono di disegnarne il grafico, a partire dalla
Dettaglib) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:
Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare
DettagliIndice generale. Modulo 1 Algebra 2
Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi
Dettagli1. PRIME PROPRIETÀ 2
RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,
DettagliEQUAZIONI E DISEQUAZIONI LOGARITMICHE Esercizi risolti Classi quarte
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI LOGARITMICHE Esercizi risolti Classi quarte La presente dispensa riporta la risoluzione di alcuni esercizi inerenti equazioni e disequazioni logaritmiche. N.B. In questa dispensa,
DettagliStudio di funzioni ( )
Studio di funzioni Effettuare uno studio qualitativo e tracciare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni. Si studi in particolare anche la concavità delle funzioni e si indichino esplicitamente
DettagliEquazione della Circonferenza - Grafico di una Circonferenza - Intersezione tra Circonferenza e Retta
Equazione della Circonferenza - Grafico di una Circonferenza - Intersezione tra Circonferenza e Retta Francesco Zumbo www.francescozumbo.it http://it.geocities.com/zumbof/ Questi appunti vogliono essere
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y + y 2 =. y + x tan y = 2. Risolvere il problema di Cauchy y() = 1 2 π. 3. Risolvere il problema
DettagliB9. Equazioni di grado superiore al secondo
B9. Equazioni di grado superiore al secondo Le equazioni di terzo grado hanno una, due o tre soluzioni, risolvibili algebricamente con formule molto più complesse di quelle dell equazione di secondo grado.
Dettagli15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
15 febbraio 010 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 009-010 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti
FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti 1 Discutendo graficamente la disequazione x > 3+x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi Rappresentare nel piano x, y) l insieme
DettagliLogica Numerica Approfondimento 1. Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore. Il concetto di multiplo e di divisore. Il Minimo Comune Multiplo
Logica Numerica Approfondimento E. Barbuto Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore Il concetto di multiplo e di divisore Considerato un numero intero n, se esso viene moltiplicato per un numero
DettagliSoluzione di equazioni quadratiche
Soluzione di equazioni quadratiche Soluzione sulla Retta Algebrica Inseriamo sulla Retta Algebrica le seguenti espressioni polinomiali x e x 3 e cerchiamo di individuare i valori di x per i quali i punti
DettagliLE FUNZIONI MATEMATICHE
ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante
DettagliGEOMETRIA DELLE MASSE
1 DISPENSA N 2 GEOMETRIA DELLE MASSE Si prende in considerazione un sistema piano, ossia giacente nel pian x-y. Un insieme di masse posizionato nel piano X-Y, rappresentato da punti individuati dalle loro
DettagliTeoria delle code. Sistemi stazionari: M/M/1 M/M/1/K M/M/S
Teoria delle code Sistemi stazionari: M/M/1 M/M/1/K M/M/S Fabio Giammarinaro 04/03/2008 Sommario INTRODUZIONE... 3 Formule generali di e... 3 Leggi di Little... 3 Cosa cerchiamo... 3 Legame tra N e le
DettagliMatteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci. Fasci. N.B.: Questo argomento si trova sull eserciziario. Fasci di rette nel piano
Fasci N.B.: Questo argomento si trova sull eserciziario Fasci di rette nel piano 1 Fasci di piani nello spazio 2 Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci Date due rette r ed r di equazione: : 0 :
DettagliI Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti
Y T T I Numeri Complessi Operazioni di somma e prodotto su Consideriamo, insieme delle coppie ordinate di numeri reali, per cui si ha!"# $&% '( e )("+* Introduciamo in tale insieme una operazione di somma,/0"#123045"#
Dettagli1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche
. Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche Per le definizioni e teoremi si fa riferimento ad uno qualsiasi dei libri M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi
DettagliCoordinate Cartesiane nel Piano
Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso
DettagliFUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas
FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas.8.6.. - -.5.5 -. In questa dispensa ricordiamo la classificazione delle funzioni elementari e il dominio di esistenza delle stesse. Inoltre
DettagliA.1 Definizione e rappresentazione di un numero complesso
441 APPENDICE A4 NUMERI COMPLESSI A.1 Definizione e rappresentazione di un numero complesso Si riepilogano i concetti e le operazioni elementari relativi ai numeri complessi. Sia z un numero complesso;
DettagliMATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).
MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica
DettagliEsercizi su dominio limiti continuità - prof. B.Bacchelli. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.1, 3.2.
Esercizi su dominio iti continuità - prof. B.Bacchelli Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3., 3.2. - Esercizi 3., 3.2. ESERCIZI * Determinare e disegnare il dominio delle seguenti
Dettagli2 Argomenti introduttivi e generali
1 Note Oltre agli esercizi di questa lista si consiglia di svolgere quelli segnalati o assegnati sul registro e genericamente quelli presentati dal libro come esercizio o come esempio sugli argomenti svolti
DettagliESTRAZIONE DI RADICE
ESTRAZIONE DI RADICE La radice è l operazione inversa dell elevamento a potenza. L esponente della potenza è l indice della radice che può essere: quadrata (); cubica (); quarta (4); ecc. La base della
DettagliProf. Silvio Reato Valcavasia Ricerche. Il piano cartesiano
Il piano cartesiano Per la rappresentazione di grafici su di un piano si utilizza un sistema di riferimento cartesiano. Su questo piano si rappresentano due rette orientate (con delle frecce all estremità
DettagliTransitori del primo ordine
Università di Ferrara Corso di Elettrotecnica Transitori del primo ordine Si consideri il circuito in figura, composto da un generatore ideale di tensione, una resistenza ed una capacità. I tre bipoli
DettagliB. Vogliamo determinare l equazione della retta
Risoluzione quesiti ordinamento Quesito N.1 Indicata con α la misura dell angolo CAB, si ha che: 1 Area ( ABC ) = AC AB sinα = 3 sinα π 3 sinα = 3 sinα = 1 α = Il triangolo è quindi retto in A. La misura
DettagliCorrispondenze e funzioni
Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei
DettagliParte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli
Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici
DettagliApplicazioni lineari
Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari Definizione. Se V e W sono spazi vettoriali, una applicazione lineare è una funzione f: V W tale che, per ogni v, w V e per ogni a, b R si abbia f(av
DettagliGuardiamo ora però la cosa da un altro punto di vista analizzando il seguente grafico a forma di torta. La torta in 5 parti
L EQUIVALENZA FRA I NUMERI RAZIONALI (cioè le frazioni), I NUMERI DECIMALI (quelli spesso con la virgola) ED I NUMERI PERCENTUALI (quelli col simbolo %). Ora vedremo che ogni frazione (sia propria, che
DettagliESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2015/2016. 1. Esercizi: lezione 24/11/2015
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2015/2016 1. Esercizi: lezione 24/11/2015 Valutazioni di operazioni finanziarie Esercizio 1. Un operazione finanziaria
DettagliIl valore assoluto. F. Battelli Università Politecnica delle Marche, Ancona. Pesaro, Precorso di Analisi 1, 22-28 Settembre 2005 p.
Il valore assoluto F Battelli Università Politecnica delle Marche Ancona Pesaro Precorso di Analisi 1 22-28 Settembre 2005 p1/23 Il valore assoluto Si definisce il valore assoluto di un numero reale l
Dettagli6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni:
FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI 1. Esercizi Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni, specificando se si tratta di un insieme aperto o chiuso: 1) f(x, ) = log(x x ) ) f(x, ) = x + 3) f(x,
Dettagli