Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

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1 Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esercitazione su massimi e minimi vincolati 9 dicembre 005 Esercizio 1. Considerare l insieme C = {(x,y) R : (x + y ) = x } e dire se è una curva implicita regolare, rappresentarlo come unione di due curve regolari e come unione di due grafici, scriverne l equazione in forma polare e disegnare nel piano sia C che l insieme A dato da A = {(x,y) R : (x + y ) x }. Soluzione. Una curva implicita {g(x,y) = 0} è detta regolare se in nessun punto della curva si ha g = 0. In questo caso g(x,y) = (x + y ) x, quindi il gradiente è dato da g(x,y) = (4x(x + y ) x, 4y(x + y )). Troviamo i punti in cui g = 0. Dall annullarsi della seconda componente deduciamo che o y = 0 oppure x + y = 0, il che implica x = y = 0. Quindi in entrambi i casi y = 0. Allora dalla prima componente si deve avere 4x 3 = x, quindi x = 0 oppure x = ± /. Ci sono quindi tre punti in cui il gradiente di g si annulla, ma nei punti (x,y) = (± /, 0) si ha g(x,y) = 1/4 1/ 0, mentre g(0, 0) = 0. Quindi la curva non è regolare e l unico punto singolare è (0, 0). Si può tuttavia rendere più facile l equazione che definisce C scrivendola come x + y = ±x e ottenendo C = C + C, C + = {(x,y) R : x + y = x}, C = {(x,y) R : x + y = x}. I due insiemi C + e C sono curve implicite regolari poiché le funzioni che li definiscono, rispettivamente g + (x,y) = x + y x e g (x,y) = x + y + x, 1

2 hanno ciascuna un unico punto in cui si annulla il gradiente, ovvero (1/, 0) e ( 1/, 0), che però non appartengono né a C + né a C. Lo stesso trucco di ridurre il grado può in questo caso essere usato per ottenere C = {(x,y) R : x + y = x }. Questo permette di ricavare facilmente la y come y = ± x x. L insieme C risulta quindi l unione di due grafici, quello della funzione x x per x [ 1, 1] e quello della funzione x x sullo stesso intervallo. Si ricorda che il Teorema del Dini permette sempre di esprimere ogni curva implicita come grafico rispetto ad una delle variabili intorno ad ogni punto in cui è regolare. In questo caso i grafici che abbiamo trovato sono soddisfacenti intorno ad ogni punto della curva che non sia ( 1, 0), (0, 0) o (1, 0). Per il primo e l ultimo punto è in realtà sufficiente esprimere il grafico trmite una funzione della y e non della x, ovvero esplicitare x invece che y (cosa che si vede dal fatto che nelle vicinanze di tali punti la curva è verticale). Si avrebbe infatti, risolvendo l equazione di secondo grado g(x,y) = 0 nell incognita x, per x > 0: x = 1 ± 1 4y, quindi la soluzione cercata intorno a (1, 0) è x = y, poichè così x = 1 per y = 0. Analogamente x = y in un intorno di ( 1, 0). Intorno al punto (0, 0) la curva C presenta invece due rami e non può essere espressa come grafico. Infatti il punto (0, 0) non è regolare e il Teoreme del Dini non ci assicura l esistenza di una parametrizzazione tipo grafico. Non è difficile scrivere l equazione di C in forma polare, ottenendo ρ 4 = ρ (cosθ), ovvero ρ = 0 oppure ρ = cos θ. Analogamente A risulta l insieme dei punti con ρ cos θ. Il disegno è pertanto quello in Figura 1. Esercizio. Calcolare massimo e minimo della funzione f(x,y) = x + y sull insieme A dell esercizio precedente.

3 y C C + ρ= cosθ θ x Figura 1: L insieme C e le sue parti. Soluzione. Innanzitutto notiamo che sia massimo che minimo esistono, perché A è chiuso (essendo definito tramite una disuguaglianza non stretta di funzioni continue) e limitato (poiché se un punto appartiene ad A allora la sua distanza dall origine ρ è maggiorata da 1) e la funzione f è continua. Cerchiamo ora di comporre una lista di candidati punti estremali considerando cosa mettere nella lista? 1. punti interni ad A dove f = 0;. eventuali punti di non differenziabilità di f; 3. punti sulla frontiera di A che siano punti singolari per tale curva; 4. punti regolari della frontiera di A per cui sono verificate le condizioni del moltiplicatore di Lagrange fra f e g; 5. ogni eventuale punto trovato nel corso dei conti atti a cercare punti delle precedenti quattro specie per il quale preferiamo inserirlo nella lista piuttosto che stare a scervellarci sul fatto che sia effettivamente da aggiungere o no! 3

4 Cominciamo col cercare i punti in cui si annulla f: in questo caso si ha f(x,y) = (1, y), pertanto il gradiente non è mai nullo perchè la prima componente è una costante diversa da zero. Alla nostra lista di punti (attualmente vuota) quindi per ora non aggiungiamo nulla. Naturalmente non aggiungiamo nemmeno punti di non differenziabilità della f perchè la f è evidentemente differenziabile ovunque (è un polinomio). Abbiamo già studiato nell esercizio precedente i punti regolari e singolari di C. L unico punto singolare è (0, 0), che quindi sarà il primo punto della nostra lista. Consideriamo ora il sistema del moltiplicatore di Lagrange: 1 = λ(4x(x + y ) x), y = λ 4y(x + y ), (x + y ) = x. Dalla seconda euqazione si ricava facilmente che o y = 0 oppure = 4λ(x + y ). Nel primo caso è facile ricavare x dalla terza equazione. Si avrebbe infatti x 4 = x, quindi x = 0, ±1. Inseriamo tutti i tre punti (0, 0), (1, 0), ( 1, 0) nella nostra lista senza verificare se soddisfano il sistema per un opportuno λ, come viene suggerito dal quinto punto di cosa mettere nella lista?. Proseguiamo invece con il secondo caso, ovvero = 4λ(x + y ), sostituendo questo nella prima equazione, da cui si ricava 1 = x λx, cioè x = ((1 λ)) 1. Se si riscrive l ultima equazione estraendo le radici quadrate si trova però x + y = x, che può essere sostituito nella seconda, dove y è già stato semplificato. Si ottiene allora = 4λ x. Siccome x = 1/ (1 λ), sostituendo questo valore si trova per λ che deve valere λ = 1 λ, da cui λ = λ 1, che non ha soluzioni, oppure λ = 1 λ, da cui λ = 1/. Se λ = 1/ però si può calcolare x, e risulta x = 1. Per la y si può usare x +y = x che dà y = 0. L unico punto da aggiungere alla lista allora è (1, 0), che peraltro era già presente. Ora si calcola il valore di f nei punti della lista: f(0, 0) = 0, f(1, 0) = 1, f( 1, 0) = 1. Il minimo risulta pertanto 1 e il massimo 1, realizzati rispettivamente in ( 1, 0) e (1, 0). Esercizio 3. Calcolare massimo e minimo della funzione sempre sul solito insieme A. f(x,y) = (x + y) 4

5 Soluzione. Seguiamo lo stesso schema di prima. Per gli stessi motivi di prima minimi e massimi esistono. In questo caso si ha f(x,y) = ((x + y), (x + y)), pertanto se si cercano i punti dove f = 0 si trova un intera retta (la retta y = x). Tuttavia sulla retta la funzione assume sempre lo stesso valore f(x, x) = 0. Questo non deve stupire, succede sempre ogni volta che il gradiente si annulla su un intera curva. Il valore della funzione sui punti di una curva dove il gradiente si annulla è costante. Possiamo pertanto limitarci ad aggiungere alla lista uno solo dei punti della retta, per esempio (0, 0), ricordandoci però che, se la domanda è che punto realizza il minimo?, al posto di (0, 0) dovremo mettere tutto il segmento della retta y = x contenuto in A. Punti di non derivabilità non ce ne sono. Passiamo quindi al bordo, ma decidiamo di guardare separatamente i due pezzi C + e C della frontiera. Questo rende i conti più facili. In questo caso non ci sono punti singolari né sull una né sull altra curva. Proseguiamo col moltiplicatore di Lagrange. Questa volta, su C +, si dovrà avere (x + y) = λ(x 1), (x + y) = λ y, x + y = x. Uguagliando i secondi membri della prima e della seconda equazione si ottiene che o λ = 0 o x 1 = y. Nel primo caso verrebbe x + y = 0 e, dall ultima, sostituendo y = x, si avrebbe x = x, cioè x = 0 o x = 1/. Aggiungiamo pertanto all elenco i punti (0, 0) e (1/, 1/). Se invece vale x 1 = y si ha x = y + 1/ e si può ricavare y dall ultima equazione, ottenendo y + y + 1/4 + y = y + 1/, che dà y = 1/8. Quindi aggiungiamo alla lista i punti (1/ ± 1/ 8, ±1/ 8). Si dovrebbero rifare i calcoli in C, ma non li facciamo sia perchè sono analoghi, sia perchè f( x, y) = f(x,y) e ogni punto di C è l opposto di un punto di C +. Calcoliamo i valori di f nei punti trovati f(0, 0) = 0, f( 1, 1 ) = 0, f(1 ± 1, ± 1 ) = 3 4 ± 1. Il valore massimo è quindi 3/4+1/ ed è realizzato da (1/+1/ 8, 1/ 8) e dal suo opposto, mentre il minimo è 0, realizzato dai punti della retta y = x con x [ 1/, 1/]. 5

6 Esercizio 4. Considerare l insieme E = {(x,y) R : x + 9y 1} e trovare massimo e minimo su E della funzione f(x,y) = x + (y 1). Soluzione. Cominciamo col notare che massimo eminimo esistono. Poi calcoliamo il gradiente di f e troviamo f(x,y) = (x, (y 1)), f(x,y) = 0 solo per (x,y) = (0, 1). Il punto (0, 1) però non appartiene al dominio E, come si può verificare sostituendo nella disequazione. Quindi nessun punto interno può essere massimo o minimo. Questa volta invece di usare il moltiplicatore di Lagrange useremo un altro metodo per trattare il bordo. Sfrutteremo il fatto di poter facilmente parametrizzare il bordo di E tramite la curva parametrica γ data da γ(t) = (cost, (sin t)/3), per t [0, π]. Per cercare minimi e massimi sulla frontiera è quindi sufficiente cercarli relativamente alla funzione di una variabile f(cos t, sin t 3 ) = (sin t) (cost) + sin t anche qui è chiaro che il minimo e il massimo esistono, essendo una funzione continua sull intervallo chiuso e limitato [0, π]. Si possono trovare i punti critici ponendo uguale a zero la derivata. Si noti che per funzioni periodiche di periodo π, se minimi e massimi vengono cercati sull intervallo [0, π], non è necessario considerare anche gli estremi dell intervallo ma solo i punti in cui si annulla la derivata. In questo caso si dovrebbe avere cos t sin t + sin t cost 9 cos t 3 = 0, da cui o cost = 0 oppure sin t + (sint)/9 /3 = 0, ovvero sint = 3/8. I punti che possono relizzare il minimo o il massimo sono quindi quelli corrispondenti ai valori di t per cui sono realizzati questi valori del seno o del coseno, ovvero (0, 1/3) e (0, 1/3) (in cui cost = 0) e ( 55/8, 1/8) e ( 55/8, 1/8) (in cui sint = 3/8). Calcoliamo i valori di f: f(0, 1 3 ) = 4 9, f(0, 1 3 ) = , f( 8, 1 8 ) = f( 8, 1 8 ) = Il minimo è pertanto realizzato da (0, 1/3) e vale 4/9, mentre il massimo vale 136/64 = 17/8 ed è realizzato da ( 55/8, 1/8) e ( 55/8, 1/8). Esercizi segreti 6

7 L esercizio seguente è stato svolto contro le regole d ingaggio, che prevedevano per l esercitazione del 9 dicembre solo massimi e minimi vincolati. Si tratta pertanto di un esercizio da tenere segreto. Esercizio 5. Calcolare l equazione del piano tangente al grafico e lo sviluppo di Taylor al terz ordine della funzione di due variabili f(x,y) = log(cos(x + y) + y) in (0, 0). Soluzione. Cominciamo dal calcolare le derivate parziali di f: f x (x,y) = sin(x + y) x cos(x + y) + y, f y (x,y) = sin(x + y) + 1 cos(x + y) + y. Pertanto f(0, 0) = (0, 1), isultato ottenuto sostituendo x = 0 e y = 0 nella formula delle derivate parziali. Il primo pezzo dello sviluppo si Taylor di f sarà pertanto f(x,y) = f(0, 0) + f(0, 0) (x,y) = 0 + (0, 1) (x,y) = y, dove f rappresenta l approssimante lineare di f in (0, 0). Se z = f(x,y) è l equazione della superficie rappresentata dal grafico di f, l equazione z = f(x,y), ch è lineare, rappresenta il piano tangente al grafico di f. L equazione cercata in questo caso è pertanto z = y. Passiamo ora allo sviluppo di Taylor richiesto, sul quale sappiamo che inizierà con il temrine y. Per svolgere lo sviluppo, cominciamo dal coseno. Vale cos t = 1 t / + O(t 4 ), dove O(t 4 ), poiché a t dovremo sostituire x + y, risulta anche O 4 (x,y). Pertanto l argomento del logaritmo risulta 1 (x +y) /+y +R, dove R è un resto che sarà ininfluente per lo sviluppo cercato. Ora usiamo log(1+z) = z z /+z 3 /3+O(z 4 ). Qui a z dobbiamo sostituire (x 4 + y + x y)/ + y + R. Pertanto il termine O(z 4 ) sarà poi un O 4 (x,y). Risulta quindi, svolgendo le potenze di z e ignorando i termini di ordine superiore a 4, f(x,y) = y x y+y y +y3 + y3 3 +O 4(x,y) = y y + 4y3 3 x y+o 4 (x,y). 7