Massimi e minimi vincolati

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1 Massimi e minimi vincolati In problemi di massimo e minimo vincolato viene richiesto di ricercare massimi e minimi di una funzione non definita su tutto R n, ma su un suo sottoinsieme proprio. Esempio: calcolare massimo e minimo della funzione f : A R : (x, y) x + 3y, con } A = (x, y) R : x 4 + y 9 1 Il dominio in questo caso è un ellisse con semiassi di lunghezza e 3. Dato che A è chiuso e limitato, e quindi compatto, e che f è continua, allora le ipotesi del Teorema di Weierstrass sono soddisfatte, pertanto il problema ha soluzione. I punti di massimo e minimo assoluti possono appartenere o all interno di A o alla frontiera di A. I punti di massimo e minimo possono appartenenti all interno di A vanno ricercati fra i punti che annullano il gradiente, e dato che f C 1 (A) le ipotesi del Teorema di Fermat sono rispettate. I restanti punti possono essere vincolati sulla frontiera di A. Il gradiente di f vale f(x, y) = (x, 3), e non si annulla mai, pertanto non ci sono punti critici nell interno di A. Resta ora da studiare cosa succede sulla frontiera di A, che coincide con l insieme } A = (x, y) R : x 4 + y 9 = 1 La frontiera di A può essere parametrizzata così come segue x = cos(θ) θ [0, π] y = 3 sin(θ) Quindi la funzione lungo la frontiera di A vale f (x(θ), y(θ)) = 4 cos (θ) + 3 sin(θ) In questo modo è stata ottenuta ua funzione di una variabile. I massimi e minimi si trovano azzerando la derivata prima e guardando cosa agli estremi dell intervallo in cui è definito θ, ovvero cosa succede per θ = 0 e θ = π. La derivata prima vale f ( cos(θ), 3 cos(θ)) = 8 cos(θ) sin(θ) + 9 cos(θ) La derivata si azzera solo se cos(θ) = 0, ovvero se θ = π θ = 3 π. Studiando il segno della derivata prima si vede che in θ = π, a cui corrisponde il punto (0, 3) c è un massimo, mentre in θ = 3 π, a cui corrisponde il punto (0, 3) c è un minimo. Inoltre, a θ = 0 θ = π corrisponde il punto (, 0). Calcoliamo ora i valori che la funzione assume in questi punti f(, 0) = 4 f(0, 3) = 9 f(0, 3) = 9 Il valore più grande è il massimo assoluto della f in A, il valore più piccolo è il minimo assoluto. Come detto la f è continua in A e ammette massimo e minimo assoluto, dato che il dominio 1

2 è connesso per archi, per il Teorema dei valori intermedi, l immagine di f è un intervallo, precisamente f(a) = [ 9, 9] ovvero la funzione assume tutti i valori compresi fra il minimo assoluto e il massimo assoluto, estremi compresi. Problemi di max/min vincolato Data una funzione f : A R, con A R n, se f è continua in A e A è compatto allora ha massimo e minimo assoluto in A per il Teorema di Weierstrass. In tal caso si devono trovare tutti i punti x A tali che e tutti i punti x A tali che f (x ) = max f A f (x ) = min f A Il Teorema di Fermat dà solo una parziale risposta a questo quesito. Se f è derivabile per prima cosa si trovano i punti critici appartenenti all interno di A, dopo si risolve un problema di massimo e minimo vincolato alla frontiera di A. Se A R ed è sufficientemente regolare, allora A è una curva. Se invece A R 3 ed è sufficientemente regolare, allora A è un superficie. Esempio: trovare la massima e la minima distanza dal origine dei punti dell insieme A = (x, y) R : x 4 + y 4 + 3xy } In generale, la distanza fra due punti (x, y) e (x 0, y 0 ) è (x x 0 ) + (y y 0 ). Ma dato che le coordinate dell origine sono nulle, la distanza cercata è x + y. Quindi è richiesto di trovare massimo e minimo della funzione f(x, y) = x + y (considerando la distanza al quadrato, i punti di massimo e minimo non cambiano) in A. Le ipotesi del Teorema di Weierstrass sono soddisfatte, pertanto la f ammette massimo e minimo assoluto in A. L interno di A è l insieme Å = (x, y) R : x 4 + y 4 + 3xy < } Il gradiente di f vale f(x, y) = (x, y), e si annulla solo in (0, 0) Å. Dato che f(x, y) = x + y 0 (x, y) R e che f(0, 0) = 0, si nota che (0, 0) è il punto di minimo assoluto. Per trovare il punto di massimo assoluto è necessario studiare la funzione sulla frontiera di A. A = (x, y) R : x 4 + y 4 + 3xy = 0 } Il vincolo A è in forma implicita e non se ne conosce una parametrizzazione, pertanto non è possibile procedere come nell esempio precedente. Massimo e minimo vincolati con vincolo in forma implicita Supponiamo di avere una funzione f : A R, A R, e supponiamo di conoscere una parametrizzazione regolare r : I A di A, dove I R è un intervallo. In questo caso, per studiare i massimi e minimi di f su A, si può considerare composizione h(t) = f((t)), dove h è una funzione I R. Se t è un punto di massimo o minimo di h interno a I deve risultare h (t ) = 0. Però, utilizzando la Chain rule, ci si accorge che d dt h(t) = d dt [f (r(t))] = f (r(t)), d dt r(t)

3 d dt r(t) è un vettore tangente alla curva, cioè a A. Dato che h (t ) = 0, allora f (r (t )), d dt r (t ) = 0 quindi nel punto r (t ) si nota che f (r (t )) e d dt r (t ) sono perpendicolari. Quindi in un punto P di massimo o minimo vincolato sulla frontiera di A il gradiente f (P ) è ortogonale alla frontiera stessa. Nel caso in cui A sia un insieme di livello, A = g = l}, l R, con g : R R, anche g è perpendicolare all insieme di livello g = l}. Ma allora in r (t ) = P gradiente di f e di g sono paralleli, f (P ) g (P ), ossia dovrà esistere λ R tale che f (P ) = λ g (P ) Fino ad adesso sono state considerate funzione f, g in due variabili, ma la questione vale anche per funzioni di n variabili. Teorema (moltiplicatori di Lagrange): siano f e g due funzioni tali che f, g C 1 (R n ). Supponiamo che 1. x sia un punto di massimo o minimo di f in g = l}. g (x ) O = x è un punto regolare di g = l} Allora λ R tale che f (x ) λ g (x ) = 0 I risultati di questo Teorema si applicano in questo modo. Si costruisce, per prima cosa, una funzione ausiliaria, detta lagrangiana, così definita La derivata parziale rispetto a λ vale L(x, λ) = f(x) λ (g(x) l) (x, λ) = (g(x) l) λ e si annulla sull insieme di livello g = l}. Le altre derivate paziali invece valgono (x, λ) = f (x) λ g (x) x i x i x i per i = 1,,..., n e si annullano quando i due gradienti sono paralleli. Infatti, chiedere x i (x, λ) = 0 per ogni i = 1,,..., n equivale a chiedere f λ g = O, dove con O si intende il vettore nullo. Chiedere L = O (cioè che tutte le derivate parziali rispetto alle componenti di x e la derivata parziale rispetto a λ siano nulle) significa f λ g = O condizione di parallelismo g = l equazione del vincolo Esempio: riprendiamo l esempio precedente, in cui si richiedeva di trovare massimo e minimo di f : A R : (x, y) x + y con A = (x, y) R : x 4 + y 4 + 3xy } g(x, y) = x 4 + y 4 + 3xy A = g = } 3

4 Per prima cosa si cercano gli eventuali punti singolari di A g(x, y) = (0, 0) 4x 3 + 3y = 0 4y 3 + 3x = 0 = 4x 3 y 3 + 3y 4 = 0 4x 3 y 3 + 3x 4 = 0 = y 4 x 4 = 0 4y 3 + 3x = 0 = y = x 4y 3 + 3x = 0 (y x)(y + x)(y = + x ) = 0 4y 3 + 3x = 0 y = x 4y 3 + 3x = 0 x + y = 0 4y 3 + 3x = 0 Risolvendo i tre sistemi si trovano queste soluzioni ( ) ( ) (0, 0),, Tutti questi punti critici di g non appartengono all insieme di livello g = }, infatti g(0, 0) = 0 ( ) g, = 9 8 ( ) g, = 9 8 Allora g = } è una curva regolare. Costruiamo la lagrangiana L(x, y, z) = f(x, y) λ [g(x, y) ] = x + y λ ( x 4 + y 4 + 3xy ) x (x, y, λ) = x λ(4x3 + 3y) λ (x, y, λ) = (x4 + y 3x ) Uguagliando le tre derivate parziali a zero si ottiene x λ(4x 3 + y) = 0 y λ(4y 3 + 3x) = 0 x 4 + y 4 + 3xy = 0 = y (x, y, λ) = y λ(4y3 + 3x) equazione implicita che definisce A Per risolvere il sistema si ricava λ da una delle prime due equazioni e si sotituisce nell altra. λ = x 4x 3 +3y y x 4x 3 +3y (4y3 + 3x) = 0 x 4 + y 4 + 3xy = 0 Raccogliendo a fattor comune, la seconda equazione diventa (x y)(x + y)(4xy 3) = 0 Risolvendo il sistema si trovano queste quattro soluzioni ( ) ( 1 1 P 1 =, P = 1, 1 ) P 3 = (, ) P 4 = (, ) 4

5 Per quanto analizzato precedentemente si ricorda che (0, 0) è un punto di minimo assoluto. Sostituendo i punto P 1, P, P 3, P 4 nella funzione f si trova ( ) ( 1 1 f, = f 1, 1 ) = 1 ( ) f, = f (, ) = 4 Pertanto il punto di minimo assoluto è (0, 0), i punti di massimo assoluto sono (, ) e (, ). Esempio: determinare il minimo assoluto di f : A R : (x, y) y con A = (x, y) R : y 3 x = 0}. Questa è la rappresentazione nel piano cartesiano dell insieme A. Figura 1: Insieme A Come si può notare l insieme A non è limitato, pertanto non è compatto. Per cercare il minimo assoluto si può procedere in due modi, con la parametrizzazione o con i moltiplicatori di Lagrange. Parametrizziamo la curva, così come segue x = t y = 3 t t R Restringendo la funzione all insieme A secondo questa parametrizzazione si ottiene f (t, 3 ) t = 3 t = h(t) Il grafico della funzione h è lo stesso di quello riportato in Figura 1, pertanto la funzione f raggiunge il minimo in (0, 0), e risulta min f = 0. Studiamo ora il minimo assoluto di f attraverso il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Dato che g(x, y) = y 3 x, e che l insieme di livello corrispondente a A è g = 0}, la lagrangiana è pari a L(x, y, λ) = y λ(y 3 x ) 5

6 x (x, y, λ) = λx = 0 y (x, y, λ) = 1 3λy = 0 λ (x, y, λ) = y3 x = 0 Ricavando λ dalla prima equazione si trova λ = 0, ma sostituendo tale valore nella seconda equazione si ottiene 1 = 0, impossibile. Questo accade perché la curva g non è regolare. Infatti, il gradiente di g vale g(x, y) = ( x, y) e si annulla in (0, 0), punto appartenente ad A. Schema risolutivo Nel seguito viene presentato uno schema per la risoluzione di problemi di max/min vincolato. 1. Accertarsi che le ipotesi del Teorema di Weierstrass siano soddisfatte. Trovare, se ci sono, i punti di A in cui f non è derivabile 3. Trovare i punti critici di f in Å 4. Trovare i punti singolari della frontiera 5. Trovare i punti critici vincolati o parametrizando porzioni di frontiera o utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange 6. Calcolare la f nei punti ottenuti nei passo e determinare i massimi e minimi Questo articolo è stato realizzato grazie alla supervisione di Luca Lussardi. 6