Funzioni con dominio in R n

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1 0.1 Punti e vettori di R n Politecnico di Torino. Funzioni con dominio in R n Nota Bene: delle lezioni. Questo materiale non deve essere considerato come sostituto Molto spesso risulta che una quantita scalare f dipende di molte quantita 1, 2,, n, e.g. per produrre un oggetto una certa ditta spende una certa quantita di soldi f che dipendera di molti fattori 1, 2,, n i.e. costi degli ingredienti, mano d opera, energia,ecc. Normalmente f e definita in un dominio (cioe un sottoinsieme D R n ) simbolicamente f : D R n R. Lo spazio R n e la generalizzazione naturale di R 3 e di R 2. Invece di usare la notazione û, û y, û z per il sistema di riferimento si usa e1, e 2, e 3, e n e si parla della base canonica di R n. Dunque un vettore v si sprime come combinazione lineare v = v1 e1 + v 2 e2 + v 3 e3 + + v n en dove i numeri v i sono le componenti rispetto alla base canonica e 1,, e n. E abituale indicare il vettore v mediante una colonna 0.1 Punti e vettori di R n v 1 v 2.. v n Analogamente a R 2 e R 3 una n-upla (p 1, p 2,, p n ) contiene le coordinate di un punto P ottenuto spostandose dal punto prescelto come origene O = (0, 0,, 0) tramite il vettore OP = p 1 e1 + p 2 e2 + p 3 e3 + + p nen. Funzioni di R n 1 Geometria

2 0.1 Punti e vettori di R n Politecnico di Torino. La formula della retta parametrica pasante per P con vettore velocita v e uguale a quella di R 2 e R 3, cioe P + t v dove t e il parametro. In coordinate si ottiene: 1 = p 1 + tv 1 2 = p 2 + tv 2 (1). n = p n + tv n Il prodotto scalare tra due vettori v, w si calcola tramite la formula: v. w = v1 w v n w n Il modulo o norma di un vettore, cioe la lunghezza, v = v. v = n i=1 v2 i. Si puo anche calcolare l angolo 0 θ π tra v e w tramite cos(θ) = v. w v w Esempio 0.1. Il coseno dell angolo θ tra i vettori v = cos(θ) = = e w = ( 3) + ( 5) ( 5) ( 3) = e dunque usando arccos( 0.090) o cos 1 ( 0.090) risulta che l angolo (in radianti) e θ = 1, 6615, cioe ATTENZIONE : controllare che la calcolatrice sia impostata nel modo rad per i calcoli con le funzioni trigonometriche. Osservare che due vettori sono perpendicolari se il suo prodotto scalare e zero, cioe se l angolo e 90. L intorno sferico aperto B(P, r) se define usando la stessa formula che per R 3 e R 2, cioe B(P, r) = {Q R n : dist(q, P ) < r} Funzioni di R n 2 Geometria

3 0.2 Punti critici anche detti estremi o stazionari: il gradiente Politecnico di Torino. e la stessa cosa per l intorno sferico chiuso B(P, r) = {Q R n : dist(q, P ) r} La distanza tra il punto P e il punto Q e il modulo del vettore P Q, cioe dist(p, Q) = P Q Per ottenere la formula supponiamo che P = (p 1, p 2,, p n ) e Q = (q 1, q 2,, q n ). Allora OP + P Q = OQ = P Q = OQ OP = (q 1 p 1 ) e 1 +(q 2 p 2 ) e 2 + +(q n p n ) e n da dove dist(p, Q) = P Q = n (q i p i ) Punti critici anche detti estremi o stazionari: il gradiente Per decidere se un punto P = (p 1, p 2,, p n ) e candidato a essere un minimo o un massimo della funzione f si puo raggionare cosi : Se il valore f(p 1, p 2,, p n ) e un minimo allora la funzione F () = f(p 1 +, p 2,, p n ) ha un minimo in = 0 e dunque F (0) = 0. Dunque derivando f rispetto a 1, cioe pensando alle altre variabili come costanti, deve verificarsi F (0) = (p 1, p 2,, p n ) = 0 1 ma lo stesso raggionamento con le altre variabili ci procura il sistema 1 (p 1, p 2,, p n ) = 0 2 (p 1, p 2,, p n ) = 0 (2). n (p 1, p 2,, p n ) = 0 I punti P che sodisfano al sistema precedente si chiamano punti critici anche detti estremi o stazionari. Il gradiente f e il campo vettoriale, cioe un vettore che dipende del punto P di applicazione, f = e1 + e2 + e3 + + en n i=1 Funzioni di R n 3 Geometria

4 0.3 Regola della catena Politecnico di Torino. Il sistema (2) equivale al annulamento del gradiente, cioe Teorema 0.2. Il punto P e un punto critico della f se e solo se f(p ) = 0. Esempio 0.3. Il gradiente di f(, y) = ( 1) 2 + 3y 2 e f = 2( 1) e 1 + 6y e 2 dunque i punti critici sono le soluzioni del sistema { 2( 1) = 0 6y = 0 cioe f ha soltanto un punto critico (1, 0). 0.3 Regola della catena A volte una quantita f dipende delle quantita q 1,, q m e queste dipendono delle 1,, n. Ad esempio, f = q 1 + 2q 2 + q3 4 e q 1 = 1 3, q 2 = 2 + 1, q 3 = log( 1 ). In una situazione del genere e utile, per il calcolo delle derivate parziali, la cosidetta regola della catena: = q 1 + q 2 + q 3 1 q 1 1 q 2 1 q 3 1 = 1 q q 2 + 4q 3 q = q = (log( 1 )) Ecco la formula generale = m j=1 q j q j 0.4 Derivata direzionale Nel punto P la funzione f ha il valore f(p ). Come trovare una direzione v in cui spostarsi da P tale che il valore di f aumenta?. Un modo di rispondere e usando la Funzioni di R n 4 Geometria

5 0.5 Topologia Politecnico di Torino. retta paramentrica P + t v. Infatti, evaluando f(p + t v ) otteniamo una funzione di una variabile t. Dunque cerchiamo v di modo che df(p + t v ) > 0 Per calcolare df(p +t v ) il sistema (1), cioe usiamo la regola della catena. Infatti, f dipende da t tramite df(p + t v ) = 1 1 t t + + n n t = v 1 + v v n 1 2 n = f. v Dunque una direzione v e di crescita se f. v > 0. e dunque data dal prodotto scalare tra il gradi- La derivata direzionale df(p +t v ) ente della f e il vettore v. Dalla formula f. v = f v cos(θ) segue che la direzione di massima crescita si ottiene quando θ = 0, cioe nella direzione e verso del gradiente. Osservare che il valore della f pare non cambiare in una direzione perpendicolare al gradiente. Le derivate direzionali rispetto a i vettori della base canonica e i parziali. Infatti, f. e i = sono le derivate 0.5 Topologia In realta l idea per elencare i punti critici P funziona se e possibilive evaluare f nel punto (p 1 +, p 2,, p n ), cioe si uno si puo spostare da P senza uscire del dominio D della f. In parole povere, questo e possibile se il punto P appartiene al interno del Funzioni di R n 5 Geometria

6 0.6 Limite e continuita Politecnico di Torino. insieme D. L interno del insieme D si simboliza con D. Allora P D se e soltanto se esiste un intorno sferico aperto B(P, r) di raggio r > 0 contenuto in D. Quindi la ricerca di punti massimi e minimi di f si divede in due tappe: prima tappa: usando il criterio del gradiente si elencano i punti critici all interno D. seconda tappa: si studia f su tutti gli altri punti che non sono all interno D\ D usando ad esempio il metodo dei moltiplicatori di Lagrange 1. Un insieme D se dice aperto se tutti i suoi punti sono interiori, cioe D = D. La chiusura di un insieme G e l insieme denotato G di tutti i punti di R n a distanza zero di D. Un insieme F se chiama chiuso se F = F. A volte si trova come definizione di insieme chiuso un insieme il cui complementare R n \ F e aperto. ATTENZIONE: non e vero che se un insieme non e aperto allora e chiuso. Ad esempio, D = {(, y) : 0 < 1, y > 0} non e ne aperto ne chiuso. Molto spesso un insieme aperto e definito usando soltanto desiguaglienze strette >, <. Invece le definizioni dei chiusi si fanno usando desiguglianze debole,. 0.6 Limite e continuita Il limite di f quando il punto X tende al punto P e il numero L, simbolicamente lim f(x) = L, X P se per qualsiasi ɛ > 0 esiste un δ > 0 tale che X P B(P, δ) = f(x) L < ɛ Notare che non e importante che f sia definita in P ma se f e definita in P e inoltre L = f(p ) allora la f si dice continua in P. La funzione f : D R si dice continua se e continua in tutti i punti di D. Il limite si comporta bene con rispetto al prodotto e la somma e anche con un rapporto g f sempre che il limite di f sia non nullo. Questo permete accorgersi della continuita di molte funzioni senza dovere trovare il numero δ che dipende del ɛ come nel caso di funzioni di una varibile. Cioe, se due funzioni f, g sono continue allora la somma f + g e il prodotto f.g sono funzioni continue. 1 Che si insegna nel corso di Analisi II Funzioni di R n 6 Geometria

7 0.6 Limite e continuita Politecnico di Torino. Esempio 0.4. Tutte le funzioni i sono continue. Allora un polinomio in 1, 2,, n e una funzione continua. Ecco un esempio dove il limite non esiste lim (,y) (0,0) 2 + y 2. Infatti se il limite esistese dovrebbe essere zero poiche la retta = 0 passa per (0, 0). Ma anche la retta y = 0 passa per zero dunque = 1 se > 0. Dunque il limite non esiste. In realta il rapporto = cos(θ) e il coseno del angolo θ tra il vettore 2 +y2 (, y) e il vettore e 1. Dunque e chiaro che questo angolo non va a un limite quando il punto tende all origene (0, 0). Invece il limite esiste ed e nullo. Infatti, lim (,y) (0,0).y 2 + y 2.y = cos(θ)y y 2 + y2 dunque.y tende a zero, di modo controlato da y, quando (, y) tende a (0, 0). 2 +y2 Funzioni di R n 7 Geometria