Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica 3 Dott.

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1 Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica 3 Dott. Franco Obersnel Lezione 19: campi vettoriali e formule di Gauss-Green nel piano. Esercizio 1. Si determini una funzione ϕ :IR 2 \{, ) T } IR di classe C 1 tale che il campo vettoriale g :IR 2 \{, ) T } IR 2, definito da ϕx, ) gx, ) =, x sia conservativo su IR 2 \{, ) T }. Si noti che in questo esempio non è sufficiente mostrare che il campo è irrotazionale poiché il dominio non è semplicemente connesso. Affiché il campo sia conservativo deve esistere un potenziale V x, ) tale che V x, ) = ϕx, ) e V x, ) = x In particolare sarà V x, ) = x d = 1 2 log x cx), dove cx) è una funzione costante ripetto alla variabile. Dovrà poi essere e quindi ad esempio ponendo cx) = ) V x, ) ϕx, ) = = ϕx, ) x x Esercizio 2. Sia A = {x, ) T IR 2 : x >}. Si determini una funzione ϕ : A IR di classe C 1 tale che il campo vettoriale g : A IR 2, definito da ϕx, ) gx, ) = x, x sia conservativo su A. In questo caso il dominio è semplicemente connesso e quindi un campo è conservativo se e solo se è irrotazionale. Calcoliamo il rotore del campo: rotg) = x ϕx, ) x = x 2 2 ϕx, ) x ) 2. Imponendo rotg) = otteniamo ϕx, ) = x2 2 x ) 2 1

2 e quindi mediante integrazione in ϕx, ) = x cx) dove cx) è una funzione costante rispetto a. Una soluzione del problema è data dalla funzione ϕx, ) = x Esercizio 3. Si dica se il campo vettoriale x log 2 ) gx, ) = x 2 ammette potenziale. Interpretando g come una forza, si calcoli il lavoro da essa compiuto per portare una particella dal punto 1, 1) T al punto,ε) T lungo una curva congiungente i due punti. Si vuole poi calcolare il lavoro compiuto per portare una particella dal punto 1, 1) T all origine. Si noti però che l origine non appartiene al dominio della funzione. Cosa succede in questo caso? Il dominio del campo g non è connesso, ma è composto da due parti semplicemente connesse i due semipiani > e <). Studiamo il campo nel semipiano >. Uno studio simile può essere fatto anche sul semipiano <. Calcolando il rotore del campo si vede subito che g è irrotazionale essendo x log2 )= x 2 = 2x. Il campo è pertanto conservativo nel semipiano >. L integrale richiesto non dipende dunque dal cammino seguito per portare la particella dal punto 1, 1) T al punto,ε) T, ma solo dagli estremi. Si può ad esempio scegliere il cammino descritto dal segmento verticale,t) T con ε t 1 unito al segmento orizzontale t, 1) T con t 1. Si avrà pertanto 1 1 gds= dt +,t 2 ) T, 1, ) T dt =. ε Si può facilmente anche calcolare il potenziale del campo. Integrando la funzione x log 2 ) rispetto alla variabile x oppure la funzione x2 rispetto alla variabile si ottiene V x, ) =x2 log + C. Si osservi che V,ε) V 1, 1) =, come deve essere. Studiamo ora il medesimo problema dove al posto del punto,ε) T consideriamo il punto, ) T. Intuitivamente si potrebbe pensare che il lavoro sia ancora nullo, considerando il limite per ε del lavoro compiuto fino al punto,ε) T. Come prima, si può calcolare l integrale, questa volta in senso generalizzato, lungo il segmento verticale,t) T con <t 1 unito al segmento orizzontale t, 1) T con t 1. Evidentemente questo integrale vale. Consideriamo però ora la seguente curva che congiunge il punto 1, 1) T con l origine: :, 1] IR 2, t) =xt),t)) T = 2 t, e 1 1 t 2 ) T.

3 Si ha x t) =1e t) = 2 1 t 3 e1 t 2. Dunque l integrale è 1 ) 2 t log e 1 1 t 2 t 2 + ) 2 1 e 1 1 t t 2 3 e1 t 2 dt = 1 2tdt=1. Intuitivamente, il motivo per cui l integrale non è nullo è che la curva t) si avvicina moltissimo all asse delle x, sul quale il campo è illimitato. La figura seguente mostra l andamento della curva in un intorno dell origine Il fatto che il campo sia conservativo nell aperto A = {x, ) T IR 2 : >} non garantisce affatto che lo sia anche sulla chiusura. Si osservi che, a differenza di quanto un occhiata superficiale possa suggerire, non si può estendere il potenziale V al punto, ) T. Non esiste il limite per x, ) T, ) T di V x, ). Infatti, la restrizione del potenziale sull asse delle è, e dunque tale limite, se esistesse, dovrebbe essere nullo. D altra parte, considerando la restrizione del potenziale alla curva si ottiene lim V t)) = lim t 1 2 1t ) x,) T,) T t 2 = 1. La figura seguente mostra l andamento del potenziale in un intorno dell origine; si noti che è illimitato in un intorno dell origine. Esercizio 4. Si stabilisca se il campo z + x cosx) + sinx) gx,, z) = x 2 cosx) x +2z è conservativo. 3

4 Si calcoli dove Γ è la curva Γ gx,, z) ds { Γ= x,, z) T IR 3 : x =, x z 1 2 ) T orientata in modo che il punto,, ) T 1 preceda il punto 2, 1 2 2, ) } 2 = 1 4 Calcoliamo il rotore del campo gx,, z). Posto g 1 x,, z) =z + x cosx) + sinx), g 2 x,, z) =x 2 cosx) eg 3 x,, z) =x +2z, siha g 1 x,, z) g 1 x,, z) z g 2 x,, z) z = g 2x,, z) = g 3x,, z) = g 3x,, z) =2x cosx) x 2 sinx); =1; =. Il rotore di g ha tutte e tre le componenti nulle. Pertanto il campo g è irrotazionale e quindi è conservativo perchè è definito su tutto IR 3. La curva Γ è un arco di cerchio che giace sulla sfera di centro,, 1 2 )T e raggio 1 2 e congiunge il punto,, ) T con il punto,, 1) T potremmo dire che Γ è un meridiano che congiunge il polo sud al polo nord) Poiché il campo è conservativo per calcolare l integrale richiesto si può scegliere un qualunque cammino che congiunga i punti,, ) T e,, 1) T. Il cammino più semplice e quello che percorre l asse delle z, cioè t) =,,t) T con t 1. L integrale richiesto diventa allora Γ gx,, z) ds = 1 t,, 2t) T,,, 1) T dt = 1 2tdt=1. Esercizio 5. Si calcoli l area del dominio regolare racchiuso dalla curva :[, 1] IR 2 definita da t) = tt 1) tt 1)2t 1) ). 4

5 Poniamo xt) =tt 1) e t) =tt 1)2t 1). Si ha { x =2t 1 =2t 1) 2 +2t 2 t). Applicando la formula di Green si ottiene facilmente l area A del dominio : A = xt) t) x t)t)) dt = t 2 t) 2 dt = 1 3. Esercizio 6. Sia una qualunque curva regolare semplice chiusa che contenga nella sua parte interna l origine, ) T del piano. Sia f :IR 2 \{, ) T } IR 2 il campo vettoriale fx, ) = ) T x 2 + 2, x x Si provi che fds=2π. Poichè l origine è contenuta nella parte interna della curva, esiste un circolo di centro l origine e di raggio opportuno ε> tutto contenuto all interno della curva. Useremo la formula di Gauss-Green per dimostrare che l integrale cercato è uguale all integrale della funzione calcolato lungo la curva Γt) =ε cos t, ε sin t) T con Γ : [, 2π] IR 2. Γ Per la formula di Gauss-Green si ha Xdx+ Yd+ Xdx+ Yd= Y x X ) dxd; Γ D 5

6 dove si è indicata con D la regione del piano compresa tra il sostegno della curva Γeilsostegno della curva. Si ottiene allora x dx + ) x x d Γ x dx + ) x 2 x d x 2 = D x ) 2 2 x 2 ) x ) 2 dxd =. Dunque è sufficiente calcolare l integrale lungo il circolo di raggio ε: ) Γ x dx + x 2π x d ε 2 sin 2 t + ε 2 cos 2 t = ε 2 sin 2 dt =2π. t + ε 2 cos 2 t 6