Appunti sul corso di Complementi di Matematica- modulo Analisi Prof. B.Bacchelli

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1 Appunti sul corso di Complementi di Matematica- modulo Analisi Prof. B.Bacchelli 09- Integrale doppio: Riferimenti: R.Adams, Calcolo ifferenziale 2. Capitoli 5.1, 5.2, 5.4. Esercizi 5.3, 5.4 Integrale doppio (secondo Riemann), in un rettangolo, in un dominio chiuso e limitato, significato geometrico, proprietà, domini y-semplici, x- semplici, calcolo mediante iterazione di integrali definiti unidimensionali, cambiamento di variabili negli integrali doppi. Integrale doppio Sia R 2 un insieme chiuso e limitato del piano che chiamiamo dominio di integrazione. Vogliamo dare la definizione di integrale doppio (secondo Reimann) di una funzione f definita e limitata su : f(x, y)dxdy 1 caso ) Integrale doppio su un rettangolo. Iniziamo dal caso in cui il dominio di integrazione sia un rettangolo chiuso e limitato: = { (x, y) R 2 : a x b, c y d } = [a, b] [c, d] e sia P una partizione del rettangolo in rettangoli R ij = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ], i = 1,..., n, j = 1,...m dove x 0 = a < x 1 <... < x n = b, y 0 = c < y 1 <... < y n = d di area e diametro A ij = (x i x i 1 )(y j y j 1 ), diam(r ij ) = (x i x i 1 ) 2 + (y j y j 1 ) 2, e chiamiamo norma (o ampiezza) della partizione P il numero reale positivo P = max diam(r ij ), i=1,...,n j=1,...,m 1

2 Sia ora f : R una funzione definita e limitata su. Formiamo le somme di Riemann S(f, P ) = n i=1 m f(x i, yj ) A ij j=1 dove (x i, y j ) R ij è un punto scelto a caso in ciascun rettangolo della partizione. ef. iciamo che f è integrabile secondo Reimann su se esiste finito il limite I delle somme di Reimann S(f, P ) al tendere a zero della norma della partizione P, indipendentemente dalla scelta dei punti (x i, yj ), e definiamo tale limite il valore dell integrale doppio di f su : I = f(x, y)dxdy = lim S(f, P ) P 0 cioè, per ogni ε > 0 esiste un δ dipendente da ε tale che, per ogni partizione P che soddisfa P < δ, e comunque si scelgano i punti (x i, y j ) nei sottorettangoli della partizione, vale S(f, P ) I < ε. Oss. Il simbolo dxdy ha il significato di elemento d area, e può essere indicato anche come dydx o da. 2 caso) Integrale doppio su un dominio chiuso e limitato Sia f definita e limitata su un dominio chiuso e limitato del piano ( non necessariamente un rettangolo). Sia Q = [a, b] [c, d] un rettangolo contenente ( tale rettangolo esiste sempre perchè è limitato) e sia f : Q R l estensione di f uguale a zero all esterno di : f(x, y) = { f(x, y), se (x, y) 0 se (x, y) Q Allora, ef. iciamo che f è integrabile su se f è integrabile su Q e si definisce l integrale doppio di f su come il valore dell integrale doppio di f su Q : f(x, y)dxdy := f(x, y)dxdy Q 2

3 Interpretazione geometrica. Se f(x, y) 0 su tale integrale ha il significato geometrico di volume del solido che si trova verticalmente sopra e sotto la superficie z = f(x, y), (x, y). Se f(x, y) = 1, (x, y) allora è anche l area di. ef. iciamo che un insieme E R 2 è di misura nulla se E è un insieme contenuto nella unione finita di grafici di curve continue del piano. Esempi: Il grafico di una curva continua γ del piano; un segmento nel piano; l insieme vuoto, un punto. Proprietà dell integrale: Siano E,,T,S insieme limitati di R 2 e f sia definita e limitata nel dominio di integrazione indicato. Allora 1) Se E è un insieme di misura nulla l integrale è nullo: f(x, y)dxdy = 0. E 2) L integrale è additivo rispetto all unione di domini disgiunti : se T = S con { S} = E insieme di misura nulla, allora T f = f + S f. 3) L integrale è lineare: (f + g) = f + g ; αf(x, y)dxdy = α f(x, y)dxdy, α R. 4) L integrale è monotono: se f g f g. 5) Vale la disuguaglianza triangolare: f f. Teorema. Sia f definita e limitata su un dominio chiuso e limitato e sia E un insieme di misura nulla. Se f è continua in E allora f è integrabile in. 3

4 Integrale doppio su domini regolari ef. si dice y semplice se esistono due funzioni φ 1, φ 2 definite e continue su [a, b], con φ 1 (x) φ 2 (x), x [a, b], tali che si possa descrivere nel seguente modo = { (x, y) R 2 : a x b, φ 1 (x) y φ 2 (x) } si dice x semplice se esistono due funzioni g 1, g 2 definite e continue su [c, d], con g 1 (y) g 2 (y), y [c, d], tali che si possa descrivere nel seguente modo = { (x, y) R 2 : c y d, g 1 (y) x g 2 (y) } si dice dominio regolare se è unione finita di domini x-semplici o y-semplici. Teorema. Sia f definita e continua su un dominio x-semplice o y- semplice. Allora l integrale doppio f esiste e si ottiene per integrazioni successive monodimensionali. Precisamente 1) se è y-semplice ( b ) φ2 (x) f(x, y)dxdy = f(x, y)dy dx 2) se è x-semplice =: f(x, y)dxdy = =: a b a d c d c dx φ 1(x) φ2 (x) φ 1(x) f(x, y)dy ( ) g2 (y) f(x, y)dx dy dy g 1(y) g2 (y) g 1(y) f(x, y)dx Esempio. y semplice : e quindi Il triangolo T di vertici (0, 0), (1, 1), (1, 1), è un dominio T = {(x, y) 0 x 1, x y x} T f(x, y)dxdy = 1 0 ( x ) f(x, y)dy dx x 4

5 N.B. T è unione di due domini x semplici : T = A B, con A = {(x, y) 1 y 0, y x 1}, B = {(x, y) 0 y 1, y x 1}, e f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy T A B Simmetrie Si possono a volte semplificare i calcoli se si presentano delle simmetrie del dominio rispetto ad uno o ad entrambi gli assi cartesiani e alle quali corrispondono simmetrie di tipo pari o dispari per la funzione da integrare. Per esempio (simmetria centrale) { (x, y) ( x, y) f(x, y)dxdy = 0 f(x, y) = f( x, y) e anche { (x, y) ( x, y) f(x, y) = f( x, y) Cambiamento di variabili nell integrale doppio f(x, y)dxdy = 2 f(x, y)dxdy {x 0} Siano S R 2, R 2 due insiemi del piano, e sia τ : S una trasformazione dai punti (u, v) S di un piano cartesiano uv, ai punti (x, y) del piano cartesiano xy, tale che τ(s) = : { x = x(u, v) τ(u, v) = y = y(u, v) Supponiamo che le funzioni scalari x = x(u, v), y = y(u, v) abbiano derivate parziali continue su S e che la matrice jacobiana della trasformazione ( ) x x x y J = u v y y u v sia non singolare in S, cioè il determinante jacobiano della trasformazione sia diverso da zero in S ( ) x y det J 0, (u, v) S. Tale condizione (essendo anche τ(s) = ) garantisce che la trasformazione τ sia biunivoca da S su. 5

6 Allora vale la formula del cambiamento di variabili nell integrale doppio: ( ) f(x, y)dxdy = f(x(u, v), y(u, v)) x y J dudv S dove lo jacobiano J ( x y ) indica il valore assoluto del determinante jacobiano. N.B. J ( x y ) dudv esprime l elemento d area dxdy del piano xy in termini dell elemento d area dudv del piano uv. Si può dimostrare che la formula vale anche se il determinante jacobiano si annulla in un insieme di misura nulla. Si può dimostrare che det J ( ) x y = ( ) 1 det J ( ) x y ( ) x=x(u,v) y=y(u,v) Il fattore ( J x y ) ha il ruolo del fattore g (t) che compare nella formula unidimensionale b a f(x)dx = d c f(g(t))g (t)dt dove a = g(c) e b = g(d), valida se g ha derivata continua e non nulla su [c, d]. Cambiamento di variabili particolari. Traslazione:τ(u, v) : R 2 R 2 τ(u, v) = Coordinate polari { x = x0 + u y = y 0 + v, ( ) x y J = 1 L equazione della circonferenza, di centro (0, 0) e raggio ρ è x 2 + y 2 = ρ 2 Posto τ(ρ, θ) = { x = x0 + ρ cos θ y = y 0 + ρ sin θ, ρ 0, θ [0, 2π), 6 ( ) x y J = ρ ρ θ

7 fissato ρ, al variare di θ in [0, 2π] il punto (x, y) varia su una circonferenza di centro (x 0, y 0 ) e raggio ρ. La matrice jacobiana della trasformazione è J ( [ ] ) x y cos θ ρ sin θ ρ θ = e sin θ ρ cos θ il determinante jacobiano vale ρ. Se τ(s) =, la formula diventa f(x, y)dxdy = f(x 0 + ρ cos θ, y 0 + ρ sin θ)) ρ dρdθ. Per esempio: S 1) Il dominio = {(x, y) y x}, usando la trasformazione in coordinate polari di centro (0, 0) è trasformato nel dominio S = {ρ 0, π4 θ 74 } π. 2) Il dominio = {(x, y) y 2x}, usando la trasformazione in coordinate polari di centro (0, 0) è trasformato in S = {(ρ, θ) ρ 0, arctan 2 θ arctan 2 + π}. Infatti è il semipiano delimitato dalla retta y = 2x e contenente il punto ( 1, 1); il vincolo y 2x diventa. ρ sin θ 2ρ cos θ, che si risolve considerando gli angoli θ per cui vale l uguaglianza sin θ = 2 cos θ, cioè θ = arctan 2 + kπ, k Z. 3) Il dominio = {(x, y) x 2 + (y 2) 2 4, x 0}, con le coordinate polari di centro (0, 2) { ( ) x = ρ cos θ, ρ 0, θ [0, 2π), x y y = 2 + ρ sin θ J = ρ ρ θ diventa. S = {(ρ, θ) 0 ρ 2, π θ π}. Coordinate ellitiche L equazione dell ellisse in forma normale, di centro (0, 0) e semiassi ρa, ρb (a > 0, b > 0) è x2 a 2 + y2 b 2 = ρ2 7

8 Posto τ(ρ, θ) = { x = x0 + aρ cos θ y = y 0 + bρ sin θ ( ), ρ 0, θ [0, 2π], x y J = a b ρ ρ θ fissato ρ, al variare di θ in [0, 2π] il punto (x, y) varia su una ellisse di centro (x 0, y 0 ) e semiassi aρ, bρ. La matrice jacobiana della trasformazione τ è J ( [ ) x y a cos θ aρ sin θ ρ θ = b sin θ bρ cos θ e il determinante jacobiano vale abρ. Se τ(s) =, la formula diventa f(x, y)dxdy = f(x 0 + aρ cos θ, y 0 + bρ sin θ)) ab ρ dρdθ S ] Esempio. Il dominio = {(x, y) y x}, usando la trasformazione in coordinate ellittiche di centro (0, 0) e semiassi ρa, ρb, è trasformato in S = {(ρ, θ) ρ 0, arctan a b θ arctan a } b + π. Infatti è il semipiano delimitato dalla retta y = x e contenente il punto ( 1, 1); il vincolo y x diventa. ρa sin θ ρb cos θ, che si risolve considerando gli angoli θ per cui vale l uguaglianza a sin θ = b cos θ, cioè θ = arctan a + kπ, k Z. b Esempi: vedi il file ESERCIZI integraz. 8