Teoria dei Fenomeni Aleatori 1

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1 Integrale Doppio Sia g( x,y ) una funzione continua nel piano ( x,y ) o D è un dominio sul piano ( x,y ) o P è una sua partizione che ricopre il dominio D: ( ) P D D... D... = 1,1 1,2 i,j, con Di,j = ΔxiΔ yj y Partizione P D D i,j Δy i Δx i x

2 o Se g( x,y ) è continua in ogni minimo in D i,j. o s( P) = ΔxΔy min g ( x,y) Integrale Doppio { } D i,j allora è dotata di massimo e i j Somma integrale inferiore D i j i,j { } i j Somma integrale superiore D i j i,j o S( P) = ΔxΔy max g ( x,y) o Se { } k P indicano differenti partizioni di D, allora: s( Pk) S( Pk) Δy 0 s( P ) e ( ) o Si dimostra che per Δxi 0 e i un unico elemento di separazione: s P I S P I ( k) ( k) ( ) = g x,y dxdy (integrale doppio) D Attenzione non sempre il limite esiste ed è finito k S P ammettono k

3 Calcolo dell Integrale Doppio (Formule di riduzione) Se D è del tipo: D= x,y tali che a x b, α x y β x ( ) ( ) ( ) { } y β(x) D α(x) allora: a b x ( x) b β g ( x,y) dxdy = g( x,y) dy dx D a α ( x)

4 Calcolo dell Integrale Doppio (Formule di riduzione) Se D è del tipo: ( ) α( ) β( ) { } D= x,y tali che y x y, c y d y d c α(y) D β(y) l integrale doppio diviene: ( y) d β g ( x,y) dxdy = g( x,y) dx dy D c α ( y) x

5 Calcolo dell Integrale Doppio cambio di coordinate Se D è delimitato da una curva generica (circonferenza, ellisse) conviene fare una cambio di variabili. y D x

6 Cambiamento di variabili in un integrale doppio o Per un integrale semplice il metodo di sostituzione permette di calcolare integrali complicati trasformandoli in integrali più semplici: x ( ) gu = g( u) ( ) ( ) gu u u [ ( )] '( ) f x dx= f g u g u du o Per gli integrali doppi vale una formula analoga. T f ( ) x, y dxdy dove T è un dominio in piano (x, y). 2 limitato e misurabile (dotato di Area) nel

7 Cambiamento di variabili in un integrale doppio Cambiamento di coordinate, mediante: x = y = ( ) ( ) g z,w h z,w o Caso particolare: trasformazione da coordinate cartesiane in polari: x = ρ cosφ y = ρ sinφ ( ) ( ρ φρ φ) f x,y = f cos, sin diviene una funzione di ρφ., o Ad ogni punto Q ( ρ, φ ) un punto P ( x,y) del piano ρφ, (con ρ 0) corrispondere del piano x,y.

8 Integrale doppio: Cambiamento di variabili (cartesiane polari) [ ρ α φ β] I a b, con 0 a< b e α < β α + 2π il punto corrispondente P( x,y ) nel piano x,y descrive un settore di corona circolare S (o di cerchio se a= 0) avente i raggi a, b ed angolo al centro β α. φ β α a I Q b ρ y S a P β α b x

9 Integrale doppio: Cambiamento di variabili (cartesiane polari) Dalla geometria è noto che: Area S = ( b 2 a 2 )( β α ) Si osservi che tale area si può anche esprimere come: 1 2 Area S = ρ dρdφ I 2 b β b β ρ ρ dρdφ dφ ρ dρ dφ I α a α 2 a = = = 1 ( 2 2 = b a )( β α) = Area S 2

10 Integrale doppio: Cambiamento di variabili (cartesiane polari) Se il punto Q ( ρ, φ ) descriva nel piano, nell intervallo I allora il punto corrispondente P ( x,y) ρφ un dominio U contenuto nel piano xy, descrive un dominio limitato T contenuto nel settore S (che corrisponde a I). Sotto queste ipotesi, si può dimostrare che se il dominio U nel piano ρφ, è misurabile (esiste U ρ dρdφ ), allora è pure misurabile il corrispondente dominio T nel piano x,y e si ha: Area T = ρ dρdφ In base a quanto finora visto possiamo annunciare, senza dimostrarlo, il seguente teorema: U

11 Integrale doppio: Cambiamento di variabili (cartesiane polari) Teorema: Sia U un dominio limitato e misurabile del piano ρφ, con 0 a< b e contenuto in un rettangolo I [ a ρ b, α φ β] α < β α + 2π, e sia T un dominio (limitato e misurabile) del piano x,y descritto dal punto ( x ρ cos φ, y ρ sinφ) ( ρ, φ ) U. Allora se f ( x,y ) è una funzione continua in T: = = al variare del punto ( ) ( ) f x, y dxdy = f ρ cos φρ, sinφ ρ dρdφ T U

12 Integrale doppio: Cambiamento di variabili (cartesiane polari) o In un integrale doppio il cambiamento di coordinate da cartesiane a polari consiste nel sostituire: 1) x e y con ρ cos φ e y = ρ sinφ 2) l elemento di superficie dxdy con ρ dρdφ 3) il dominio T del piano x,y con un qualsiasi dominio U del piano ρφ, che abbia come corrispondente T.

13 Integrale doppio: Cambiamento di variabili (cartesiane polari) La quantità ρ dρdφ è detta elemento d area in coordinate polari. o Se consideriamo: - due circonferenze di raggi ρ e ρ +Δ ρ - due semirette uscenti dall origine con anomalie φ e φ+ Δ φ si ottiene un settore di corona circolare che per Δ ρ e Δ φ molto piccoli (al limite che tendono a 0), può confondersi con un rettangolo di lati ρdφ e d ρ, quindi di area ρ dρdφ.

14 Integrale doppio: Cambiamento di variabili Se il cambio di coordinate è definito dalla trasformazione: x = y = ( ) ( ) g z,w h z,w (1) ipotizzando che: (i) le funzioni g (, ) ed h (, ) dominio B dello spazio z,w. sono continue e differenziabili in un

15 Integrale doppio: Cambiamento di variabili (ii) Il determinate della matrice Jacobiana (lo Jacobiano) associato alla trasformazione, definito come: ( ) h( z,w) g z,w z z J ( z,w) 0 nel dominio B g( z,w) h( z,w) w w quindi mentre un punto Q( z,w ) descrive il dominio B, un punto P( x,y ), ricavato dalla trasformazione (1), descrive un dominio A nello spazio x,y. (iii) Le equazioni (1) stabiliscono una corrispondenza biunivoca fra i punti dei due domini A e B.

16 Integrale doppio: Cambiamento di variabili o Sotto le ipotesi (i), (ii) e (iii) i valori ( z,w ), corrispondenti al punto P ( x,y) A, possono assumersi come coordinate di P e prendono il nome di coordinate curvilinee. Teorema: Nelle ipotesi (i), (ii) e (iii), comunque si prenda un dominio U B, la trasformazione (1) fa corrispondere in A un dominio T, mutando punti interni di U in punti interni di T e punti di frontiera di U in punti frontiera di T. Teorema: Nelle ipotesi (i), (ii) e (iii), se il predetto U è limitato e misurabile, allora anche il corrispondente dominio T è limitato e misurabile e si ha: mis T ( ) = U J z,w dzdw

17 Integrale doppio: Cambiamento di variabili Teorema: Nelle ipotesi (i), (ii) e (iii), considerati due domini corrispondenti U, T limitati e misurabili, per ogni funzione f ( x,y ) continua in T risulta: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) f x, y dxdy = f g z,w,h z,w J z,w dzdw T U L elemento di misura nelle coordinate curvilinee è: J ( z,w) dzdw o Analogia con gli integrali semplici x g u - A = ( ) corrisponde lo Jacobiano '( ) g u. - L elemento di lunghezza dx si trasforma in g' ( u) du, senza il valore assoluto. Gli integrali semplici introducono un orientamento per l integrazione (concetto di integrale definito) cosa che non vale per gli integrali doppi.

18 Integrale doppio: Cambiamento di variabili [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) f x, y dxdy = f g z,w,h z,w J z,w dzdw T U Si giustifica intuitivamente nel seguente modo. x = g( z,w) y = h( z,w) y w w + dw z + dz P 1 T z P 2 y P x x

19 Integrale doppio: Cambiamento di variabili T è l elemento d area infinitesimo racchiuso tra le linee infinitamente vicine (z,z+ dz) e w,w+ dw y w w + dw z + dz P 1 T z P 2 y P x x T ha un area che può valutarsi nel doppio dell area del triangolo di vertici ( PPP 1 2).

20 Integrale doppio: Cambiamento di variabili I vertici del triangolo ( PPP 1 2) hanno coordinate g h P( x,y ) P1 x dz,y dz + + z z g h P2 x dw,y dw + + w w. y w w + dw z + dz P 1 T z P 2 y P x x

21 Integrale doppio: Cambiamento di variabili Per una nota formula di geometria analitica: x y 1 x y 1 g h g h 1 x + dz y + dz 1 dz dz 0 Area T = 2 z z = z z = 2 g h g h x + dw y + dw 1 dw dw 0 w w w w g h z z = dzdw = J ( z,w ) dzdw g h w w

22 Integrale doppio: Cambiamento di variabili Per la trasformazione da coordinate cartesiane a polari, si è visto che l elemento d area è pari a ρ dρdφ, infatti: cosφ sinφ 2 2 J ( ρ, φ) = = ρcos φ+ ρsin φ = ρ ρsinφ ρcosφ e quindi l elemento d area è ρ dρdφ.