Processo di rendering
|
|
- Antonio Longo
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Processo di rendering
2 Trasformazioni di vista Trasformazioni di vista Il processo di visione in tre dimensioni Le trasformazioni di proiezione 2
3 Rendering nello spazio 2D Il processo di rendering (visualizzazione) nello spazio 2D è costituito da definizione di una window nello spazio dell applicazione grafica Definizione di una viewport nello spazio delle coordinate del dispositivo di output applicazione di una trasformazione window-to-viewport dopo aver effettuato il clipping (rimozione) delle primitive (o parte di esse) esterne alla window 3
4 Il mondo in tre dimensioni Il processo di formazione delle immagini generate da computer viene assimilato al processo di formazione di una immagine da parte di un sistema ottico ad esempio una macchina fotografica Questa metafora è chiamata Synthetic Camera Model Il processo di rendering 3D è basato su questo modello: La visualizzazione consiste nel creare una particolare vista della scena 3D (relazione scena/osservatore) 4
5 Il mondo in tre dimensioni In generale il rendering consiste nel creare una vista di una scena 3D. Si ha pertanto: La definizione del modello - nel mondo dell applicazione - è indipendente dalla posizione da cui si osserva la scena gli oggetti nel mondo reale sono indipendenti dalle fotografie scattate loro Le funzioni di modellazione (definite nel mondo dell applicazione) e le funzioni relative al posizionamento della macchina (o dell osservatore) all interno della scena sono distinte e separate 5
6 Il mondo in tre dimensioni Il processo di formazione dell immagine in un sistema ottico. Retina piano immagine distanza focale distanza focale lente 6
7 La macchina fotografica virtuale La metafora utilizzata per descrivere le relazioni scena/osservatore è quella della macchina fotografica virtuale (synthetic camera): la pellicola fotografica corrisponde al piano di proiezione, una lente di lunghezza focale d corrisponde al centro di proiezione Il piano di proiezione è a distanza d dal centro di proiezione 7
8 La macchina fotografica virtuale La metafora utilizzata per descrivere le relazioni scena/osservatore è quella della macchina fotografica virtuale (synthetic camera). Il generico punto P=(x,y,z) della scena ha coordinate P p =(x p,y p,- d) sul piano immagine. Dove: La trasformazione non è lineare, non è affine, non è reversibile Centro di proiezione nell origine di x,y,z Piano immagine perpendicolare all asse z 8
9 La macchina fotografica virtuale La macchina fotografica virtuale è costituita da un parallelepipedo in cui la faccia anteriore presenta un foro di dimensioni infinitesime (pinhole camera) e sulla faccia posteriore si formano le immagini θ è l angolo di vista a può essere modificato variando il rapporto tra la distanza focale (d) e la dimensione del piano immagine. 9
10 La macchina fotografica virtuale Per convenzione si assume che il piano immagine sia tra la scena ed il centro di proiezione, in modo da non avere immagini capovolte
11 La vista in 3D Il processo di formazione di una immagine di sintesi in 3D è costituito da una sequenza di operazioni: Definizione della trasformazione di proiezione (il modo di mappare informazioni 3D su un piano immagine 2D) Definizione dei parametri di vista (punto di vista, direzione di vista, etc.) Clipping in 3D (i parametri di vista individuano un volume di vista; occorre rimuovere le parti della scena esterne a tale volume) Trasformazione di proiezione e visualizzazione della scena (con trasformazione window-to-viewport finale)
12 La vista in 3D Il modello concettuale del processo di visione in 3D è il seguente (una volta scelto il tipo di proiezione e fissati i parametri di vista): Primitive di output in coordinate del mondo 3D Coordinate del mondo clippate Clippa sul volume di vista 2
13 La vista in 3D Il modello concettuale del processo di visione in 3D è quindi il seguente (una volta scelto il tipo di proiezione e fissati i parametri di vista): Primitive di output in coordinate del mondo 3D Coordinate del mondo clippate Clippa sul volume di vista 3D Proietta sul piano di proiezione 2D 3
14 La vista in 3D Il modello concettuale del processo di visione in 3D è quindi il seguente (una volta scelto il tipo di proiezione e fissati i parametri di vista): Primitive di output in coordinate del mondo 3D Coordinate del mondo clippate Coordinate del device 2D Clippa sul volume di vista Proietta sul piano di proiezione Trasforma nella viewport in coordinate del device 2D 4
15 Trasformazioni di proiezione Si dice proiezione una trasformazione geometrica che trasforma punti definiti in uno spazio di dimensione n in punti corrispondenti in uno spazio di dimensione m < n f : R n R Nella grafica le trasformazioni di proiezione utilizzate sono dallo spazio 3D (il mondo dell applicazione) allo spazio 2D (la superficie del dispositivo di output) m m < n 5
16 Trasformazioni di proiezione Una proiezione di un oggetto 3D in un piano è definita da un insieme di raggi lineari proiettori - aventi origine in un centro di proiezione Ogni punto dell oggetto è attraversato da un raggio che interseca il piano di proiezione 6
17 Trasformazioni di proiezione La proiezione di un segmento è a sua volta un segmento Non è quindi necessario calcolare i proiettori di tutti i punti di una scena, ma solo quelli relativi ai vertici delle primitive che la descrivono 7
18 Trasformazioni di proiezione Le proiezioni caratterizzate da: proiettori rettilinei (anziché curve generiche) proiezione giacente su un piano (anziché su una superficie generica) prendono il nome di proiezioni geometriche piane Molte delle proiezioni cartografiche non sono proiezioni geometriche piane 8
19 Trasformazioni di proiezione Le proiezioni geometriche piane si classificano in: Proiezioni prospettiche (distanza finita tra il centro ed il piano di proiezione) Proiezioni parallele (distanza infinita tra il centro ed il piano di proiezione) 9
20 Trasformazioni di proiezione Le proiezioni parallele prendono il nome dai proiettori che sono paralleli Per una proiezione prospettica si deve specificare il centro di proiezione, per la proiezione parallela invece la direzione di proiezione La proiezione prospettica è più realistica della parallela in quanto riproduce la visione reale (gli oggetti appaiono di dimensione decrescenti via via che ci si allontana dall osservatore) 2
21 La flagellazione di Piero della Francesca (469) 5,6 4 2
22 Trasformazioni di proiezione Le proiezioni parallele sono utili quando si richiede che linee parallele nel modello tridimensionale rimangano tali nella proiezione (ad esempio per effettuare misure sulla proiezione) 22
23 Le proiezioni prospettiche Nella proiezione prospettica, ogni insieme di linee parallele (ma non parallele al piano di proiezione) converge in un punto detto punto di fuga Se l insieme di linee è parallelo ad uno degli assi coordinati, il punto di fuga si chiama principale (massimo 3); 23
24 Proiezione prospettica Al variare della distanza focale (d) 24
25 Proiezione prospettica Al variare della distanza focale (d) 25
26 Proiezione prospettica Al variare della distanza focale (d) 26
27 Proiezione prospettica Al variare della distanza focale (d) 27
28 La proiezione prospettica d piccolo d grande d infinito (p. parallela Più distorsione prospettica. Effetto "fish-eye" (grandangolo) Proporzioni più mantenute Effetto "zoom" (eg. vista dal satellite) 28
29 Proiezioni parallele Le proiezioni parallele si classificano in base alla relazione esistente tra la direzione di proiezione e la normale al piano di proiezione Se le due direzioni coincidono si parla di proiezioni ortografiche, altrimenti di proiezioni oblique 29
30 Trasformazioni prospettiche coordinate omogenee Una proiezione trasforma punti definiti in un sistema di coordinate 3D in punti corrispondenti in un sistema 2D Una proiezione di un oggetto 3D in un piano è definita da un insieme di raggi lineari - proiettori - che interseca un centro di proiezione Ogni punto dell oggetto è attraversato da un raggio che interseca il piano di proiezione 3
31 Sistema di proiezione Il Il sistema di di acquisizione è posto in in ffed ed è modellizato x,x con con una una lente lente di di lunghezza focale λ y,y P(X,Y,Z) (x,y) Piano di proiezione f z Il Il sistema di di riferimento del del mondo è tale tale che: che: X=x; X=x; Y=y; Y=y; Z è lungo l asse ottico della della lente lente 3
32 Trasformazioni prospettiche coordinate omogenee Consideriamo un punto P di coordinate (X,Y,Z), nel sistema di riferimento del mondo. Secondo lo schema precedente i punti (X,Y,Z) sono di fronte la lente a distanza maggiore della distanza focale λ Sia (x,y) la proiezione del punto P nel piano immagine Dalla similitudine dei triangoli si ha: Si ricava quindi x λ X = λ λ Z y λ Y = λ λ Z y = λ x = λ Y Z λ X Z λ 32
33 Trasformazioni prospettiche coordinate omogenee Le equazioni di trasformazione sono non lineari x λ X = λ λ Z y λ Y = λ λ Z Per esprimere la dipendenza da Z in modo lineare - mediante una matrice di trasformazione - è necessario utilizzare le coordinate omogenee 33
34 34 Trasformazioni prospettiche coordinate omogenee Siano (X,Y,Z) le coordinate cartesiane di un punto P Le coordinate omogenee di P sono definite come (kx, ky, kz, k) con k costante arbitraria - diversa da zero Siano = λ M = Z Y X P matrice di trasformazione coordinate cartesiane = k kz ky kx P h coordinate omogenee
35 35 Applicando tale matrice a un generico punto P h, di coordinate omogenee (kx, ky, kz, k) si ottiene: Trasformazioni prospettiche coordinate omogenee + = = = k kz kz ky kx k kz ky kx MP P h h λ λ *
36 Trasformazioni prospettiche coordinate omogenee Per trasformare in coordinate cartesiane è sufficiente imporre che: kz + λ k = Da cui si ottiene: Sostituendo k in P h* : k λ = λ Z * P h = λx λ λy Z λ λz Z λ Z 36
37 37 In coordinate cartesiane si ha: Trasformazioni prospettiche coordinate omogenee = Z Z Z Y Z X P λ λ λ λ λ λ *
38 38 Trasformazione inversa Consideriamo la trasformazione inversa da un punto del piano immagine ad un punto 3D = λ M matrice di trasformazione inversa * h P h M P =
39 Trasformazione inversa dal piano immagine x,y al sistema X,Y,Z Consideriamo il piano immagine posto a Z= Consideriamo un punto P sul piano immagine di coordinate (x, y, ) Le coordinate omogenee di P sono: kx * ky P h = k 39
40 4 Applicando la matrice di trasformazione inversa si ottiene: Trasformazione inversa dal piano immagine x,y al sistema X,Y,Z = = = k ky kx k ky kx P M P h h * λ
41 Trasformazione inversa dal piano immagine x,y al sistema X,Y,Z In coordinate cartesiane si ottiene: P = X Y Z = x y La trasformazione di una scena 3D in un piano immagine è una trasformazione molti a uno. Si verifica che il punto (x, y) del piano immagine corrisponde all insieme dei punti 3D - nel sistema (X,Y,Z) - situati sulla retta r passante per i punti (x, y, ) e (,,λ) 4
42 Trasformazione inversa dal piano immagine x,y al sistema X,Y,Z Equazione della retta r nel sistema (X, Y, Z) x X = (λ Ζ ) λ y Y = (λ Ζ ) λ Si ha cioè che il punto 3D che genera un punto immagine non può essere completamente ricostruito dalla sua proiezione sul piano immagine. E necessario infatti conoscere una delle tre coordinate X,Y,Z Il problema può essere risolto con 2 immagini acquisite da un sistema stereo 42
43 Trasformazioni affini Sono una combinazione di scaling, traslazione, rotazione e shearing Le linee rette rimangono rette Le linee parallele rimangono parallele Trasformazioni lineari conformali Sono un sottoinsieme delle trasformazioni affini cioè combinazione di scaling dello stesso fattore in x, y, z, traslazione e rotazione Trasformazioni proiettive Come per le trasformazioni affini le linee rette rimangono rette, ma le linee parallele convergono verso punti di fuga 43
Processo di rendering
Processo di rendering 1 Trasformazioni di vista Trasformazioni di vista Il processo di visione in tre dimensioni Le trasformazioni di proiezione I parametri della vista 3D I sistemi di coordinate 2 I parametri
DettagliCapitolo 4 Trasformazioni Geometriche
Capitolo 4 Trasformazioni Geometriche Prima parte: argomenti trattati Trasformazioni geometriche e matrici Entità geometriche e trasformazioni affini; Trasformazioni geometriche nel piano (traslazione,
DettagliProiezioni Grafica 3d
Proiezioni Grafica 3d Giancarlo RINALDO rinaldo@dipmat.unime.it Dipartimento di Matematica Università di Messina ProiezioniGrafica 3d p. 1 Introduzione Il processo di visualizzazione in 3D è intrinsecamente
Dettagli4. Proiezioni del piano e dello spazio
4. Proiezioni del piano e dello spazio La visualizzazione di oggetti tridimensionali richiede di ottenere una vista piana dell'oggetto. Questo avviene mediante una sequenza di operazioni. Innanzitutto,
DettagliEsempi di funzione. Scheda Tre
Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.
DettagliEsercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x
FUNZIONI Esercizio 1 Studiare la funzione f(x) = ln ( ) x e disegnarne il grafico. x 1 Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: { e x per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1
DettagliCorso di Visione Artificiale. Stereopsi. Samuel Rota Bulò
Corso di Visione Artificiale Stereopsi Samuel Rota Bulò Introduzione La stereopsi è il processo di inferenza della struttura 3D da una coppia di immagini di una stessa scena catturate da posizioni diverse.
DettagliLa propagazione delle onde luminose può essere studiata per mezzo delle equazioni di Maxwell. Tuttavia, nella maggior parte dei casi è possibile
Elementi di ottica L ottica si occupa dello studio dei percorsi dei raggi luminosi e dei fenomeni legati alla propagazione della luce in generale. Lo studio dell ottica nella fisica moderna si basa sul
DettagliESTRAZIONE DI DATI 3D DA IMMAGINI DIGITALI. (Visione 3D)
ESTRAZIONE DI DATI 3D DA IMMAGINI DIGITALI () Una immagine (digitale) permette di percepire solo una rappresentazione 2D del mondo La visione 3D si pone lo scopo di percepire il mondo per come è in 3 dimensioni
DettagliCURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello.
CURVE DI LIVELLO Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. Definizione. Si chiama insieme di livello k della funzione f
Dettaglila restituzione prospettica da singolo fotogramma
la restituzione prospettica da singolo fotogramma arch. francesco guerini francesco.guerini@gmail.com politecnico di Milano, Facoltà di Architettura e Società Laboratorio di Rappresentazione 1 Prof. Andrea
DettagliINFORMATICA GRAFICA SSD ING-INF/05 Sistemi di elaborazione delle informazioni a.a. 2007/2008. CAP 5. Pipeline grafica
INFORMATICA GRAFICA SSD ING-INF/05 Sistemi di elaborazione delle informazioni a.a. 2007/2008 CAP 5. Pipeline grafica Introduzione Pipeline grafica:= sequenza di trasformazioni che i dati grafici devono
DettagliDiagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari
CAPITOLO 9 Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari Esercizio 9.1. Verificare che v = (1, 0, 0, 1) è autovettore dell applicazione lineare T così definita T(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (2x 1 2x 3, x
Dettagli15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
15 febbraio 010 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 009-010 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura
DettagliFUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x)
1 FUNZIONE Dati gli insiemi A e B, si definisce funzione da A in B una relazione o legge o corrispondenza che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. Si scrive: A B f: A B f() (si legge:
DettagliOpenGL: visualizzazione 3D
OpenGL: visualizzazione 3D La visualizzazione di una scena avviene come se si stesse usando una macchina fotografica per la quale si può controllare la posizione nello spazio 3D; si può cambiare il tipo
DettagliProva scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski
10/9/2008 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b su R 3 associata, rispetto alla base canonica {e 1, e 2, e 3 } alla matrice 3 2 1 A = 2 3 0. 1 0 1 1) Provare che (R 3, b) è uno spazio vettoriale
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
Dettagli.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1
Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. x 1. x..y B C.y 5 x 4..y 4 L elemento è
DettagliINTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.
INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati
DettagliRette e piani con le matrici e i determinanti
CAPITOLO Rette e piani con le matrici e i determinanti Esercizio.. Stabilire se i punti A(, ), B(, ) e C(, ) sono allineati. Esercizio.. Stabilire se i punti A(,,), B(,,), C(,, ) e D(4,,0) sono complanari.
DettagliRETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE
RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Terzo Appello del corso di Geometria e Algebra II Parte - Docente F. Flamini, Roma, 7/09/2007 SVOLGIMENTO COMPITO III APPELLO
DettagliGrafica al calcolatore - Computer Graphics
Grafica al calcolatore - Computer Graphics 5 - Rendering 29/10/12 Grafica 2013 1 Rendering Il termine rendering indica la serie di algoritmi, geometrici e non, a cui si sottopone una data descrizione di
DettagliLenti sottili/1. Menisco convergente. Menisco divergente. Piano convessa. Piano concava. Biconcava. Biconvessa. G. Costabile
Lenti sottili/1 La lente è un sistema ottico costituito da un pezzo di materiale trasparente omogeneo (vetro, policarbonato, quarzo, fluorite,...) limitato da due calotte sferiche (o, più generalmente,
DettagliFig. 2. Proiezioni ortogonali di un parallelepipedo su piani esterni alla figura
3. LE PROIEZIONI ORTOGONALI Le proiezioni ortogonali sono originate dallo scopo di proiettare su un piano (il foglio della rappresentazione) un oggetto posto nello spazio, che conservi le stesse caratteristiche
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. FOGLIO DI ESERCIZI 4 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2010/11 Esercizio 4.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i
DettagliDISEGNO TECNICO INDUSTRIALE
DISEGNO TECNICO INDUSTRIALE COSTRUZIONI GEOMETRICHE Anno Accademico 2014-2015 Le Costruzioni Geometriche Nello studio del disegno tecnico, inteso come linguaggio grafico comune fra i tecnici per la progettazione
DettagliAlgebra Lineare e Geometria
Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da
DettagliLE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO
LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Una trasformazione geometrica è una funzione che fa corrispondere a ogni punto del piano un altro punto del piano stesso Si può pensare come MOVIMENTO di punti e
DettagliL EQUILIBRIO UNIVERSALE dalla meccanica celeste alla fisica nucleare
L EQUILIBRIO UNIVERSALE dalla meccanica celeste alla fisica nucleare Cap.4 giroscopio, magnetismo e forza di Lorentz teoria del giroscopio Abbiamo finora preso in considerazione le condizionidi equilibrio
DettagliMATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).
MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica
DettagliTeoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26
Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo
DettagliFUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE
FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A
DettagliCONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE
CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).
DettagliGEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)
Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo
DettagliLA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO. Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015 CONVEGNO MATHESIS VERONA
LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO CONVEGNO MATHESIS Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015 Perché Assenza di ogni riferimento alla geometria analitica dello spazio nel quadri di Mondrian La
DettagliMatteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci. Fasci. N.B.: Questo argomento si trova sull eserciziario. Fasci di rette nel piano
Fasci N.B.: Questo argomento si trova sull eserciziario Fasci di rette nel piano 1 Fasci di piani nello spazio 2 Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci Date due rette r ed r di equazione: : 0 :
DettagliGrandezze scalari e vettoriali
Grandezze scalari e vettoriali Esempio vettore spostamento: Esistono due tipi di grandezze fisiche. a) Grandezze scalari specificate da un valore numerico (positivo negativo o nullo) e (nel caso di grandezze
Dettaglib) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:
Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere
DettagliTRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO. Parte 1
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Parte 1 La geometria è la scienza che studia la forma e l estensione dei corpi e le trasformazioni che questi possono subire. In generale per trasformazione geometrica
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1)
ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1) Un insieme è una collezione di oggetti. Il concetto di insieme è un concetto primitivo. Deve esistere un criterio chiaro, preciso, non ambiguo, inequivocabile,
DettagliLe trasformazioni geometriche
Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni affini del piano o affinità Le similitudini Le isometrie Le traslazioni Le rotazioni Le simmetrie assiale e centrale Le omotetie
DettagliLezione del 28-11-2006. Teoria dei vettori ordinari
Lezione del 8--006 Teoria dei vettori ordinari. Esercizio Sia B = {i, j, k} una base ortonormale fissata. ) Determinare le coordinate dei vettori v V 3 complanari a v =,, 0) e v =, 0, ), aventi lunghezza
DettagliUn prototipo di 3D scanner
Un prototipo di 3D scanner Visual Computing Group 1999 Visual Computing Group 1 Obiettivi Progettazione e realizzazione di uno 3d scanner a basso costo, a partire da hardware comune: una foto camera /
DettagliTrasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011
1 Trasformazioni Geometriche 1 Roberto etroni, 2011 Trasformazioni Geometriche sul piano euclideo 1) Introduzione Def: si dice trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni
DettagliGEOMETRIA DELLE MASSE
1 DISPENSA N 2 GEOMETRIA DELLE MASSE Si prende in considerazione un sistema piano, ossia giacente nel pian x-y. Un insieme di masse posizionato nel piano X-Y, rappresentato da punti individuati dalle loro
DettagliCapitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore
Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore 13.1: Introduzione L analisi dei due capitoli precedenti ha fornito tutti i concetti necessari per affrontare l argomento di questo capitolo:
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004
ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e
DettagliLenti sottili: Definizione
Lenti sottili: Definizione La lente è un sistema ottico costituito da un pezzo di materiale trasparente omogeneo (vetro, policarbonato, quarzo, fluorite,...) limitato da due calotte sferiche (o, più generalmente,
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare
DettagliIL SISTEMA CARTOGRAFICO NAZIONALE
IL SISTEMA CARTOGRAFICO NAZIONALE La Il paragrafo è intitolato La Carta di Gauss poiché, delle infinite formule che si possono adottare per mettere in corrispondenza i punti dell'ellissoide con quelli
DettagliAppunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.
Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine
DettagliGIROSCOPIO. Scopo dell esperienza: Teoria fisica. Verificare la relazione: ω p = bmg/iω
GIROSCOPIO Scopo dell esperienza: Verificare la relazione: ω p = bmg/iω dove ω p è la velocità angolare di precessione, ω è la velocità angolare di rotazione, I il momento principale d inerzia assiale,
DettagliAnalisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012
Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione
DettagliELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.
ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper
DettagliLa spirale iperbolica: Fu descritta per la prima volta da Pierre Varignon (1654-1722). L equazione, espressa in coordinate polari, è del tipo:
Esistono delle forme geometriche che sono in grado, per complessi fattori psicologici non del tutto chiariti, di comunicarci un senso d equilibrio, di gradimento e di benessere. Tra queste analizzeremo
DettagliPROIEZIONI ORTOGONALI
PROIEZIONI ORTOGONALI 104 Il metodo della doppia proiezione ortogonale Il metodo attualmente conosciuto come metodo delle proiezioni ortogonali (o proiezioni ortografiche) inizialmente nacque come metodo
DettagliMOMENTI DI INERZIA. m i. i=1
MOMENTI DI INEZIA Massa Ad ogni punto materiale si associa uno scalare positivo m che rappresenta la quantità di materia di cui è costituito il punto. m, la massa, è costante nel tempo. Dato un sistema
DettagliI tre concetti si possono descrivere in modo unitario dicendo che f e iniettiva, suriettiva, biiettiva se e solo se per ogni b B l equazione
Lezioni del 29 settembre e 1 ottobre. 1. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Sia f : A B una funzione da un insieme A ad un insieme B. Sia a A e sia b = f (a) B l elemento che f associa ad a, allora
Dettagli1 Giochi a due, con informazione perfetta e somma zero
1 Giochi a due, con informazione perfetta e somma zero Nel gioco del Nim, se semplificato all estremo, ci sono due giocatori I, II e una pila di 6 pedine identiche In ogni turno di gioco I rimuove una
DettagliEsponenziali elogaritmi
Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.
Dettagli2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio Φ di coniche di equazione. determinando in particolare le sue coniche spezzate ed i suoi punti base.
DPARTMENTO D MATEMATCA E NFORMATCA Corso di Laurea in ngegneria Telematica Prova scritta di Elementi di Algebra e Geometria assegnata il 18/7/02 È assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni
DettagliDimensionamento delle strutture
Dimensionamento delle strutture Prof. Fabio Fossati Department of Mechanics Politecnico di Milano Lo stato di tensione o di sforzo Allo scopo di caratterizzare in maniera puntuale la distribuzione delle
DettagliPer studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R
Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.
DettagliAndrea Pagano, Laura Tedeschini Lalli
3.5 Il toro 3.5.1 Modelli di toro Modelli di carta Esempio 3.5.1 Toro 1 Il modello di toro finito che ciascuno può costruire è ottenuto incollando a due a due i lati opposti di un foglio rettangolare.
Dettagli2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento
DettagliLA RETTA. Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali
Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali LA RETTA Abbiamo visto che l'equazione generica di una retta è del tipo Y = mx + q, dove m ne rappresenta la pendenza e q il punto in cui la retta incrocia
DettagliFASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette:
FASCI DI RETTE DEFINIZIONE: Si chiama fascio di rette parallele o fascio improprio [erroneamente data la somiglianza effettiva con un fascio!] un insieme di rette che hanno tutte lo stesso coefficiente
DettagliMisure di base su una carta. Calcoli di distanze
Misure di base su una carta Calcoli di distanze Per calcolare la distanza tra due punti su una carta disegnata si opera nel modo seguente: 1. Occorre identificare la scala della carta o ricorrendo alle
Dettagli13. Campi vettoriali
13. Campi vettoriali 1 Il campo di velocità di un fluido Il concetto di campo in fisica non è limitato ai fenomeni elettrici. In generale il valore di una grandezza fisica assegnato per ogni punto dello
DettagliAnno 5 Funzioni inverse e funzioni composte
Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire e ricercare le funzioni inverse e le funzioni composte. Al termine di questa lezione sarai in grado di:
DettagliEffetto reddito ed effetto sostituzione.
. Indice.. 1 1. Effetto sostituzione di Slutsky. 3 2. Effetto reddito. 6 3. Effetto complessivo. 7 II . Si consideri un consumatore che può scegliere panieri (x 1 ; ) composti da due soli beni (il bene
DettagliTOPOGRAFI A E ORIENTAMENTO IN MONTAGNA. 04-09-2014 XXIV Corso di Alpinismo A1
Club Alpino Italiano - Sezione di Bozzolo TOPOGRAFI A E ORIENTAMENTO IN MONTAGNA TOPOGRAFIA E ORIENTAMENTO IN MONTAGNA Cenni di geodesia e topografia Cartografia Lettura ed interpretazione delle carte
DettagliRelazioni statistiche: regressione e correlazione
Relazioni statistiche: regressione e correlazione È detto studio della connessione lo studio si occupa della ricerca di relazioni fra due variabili statistiche o fra una mutabile e una variabile statistica
DettagliCoordinate 3D. Coordinate cartesiane. Coordinate 3D. Coordinate cartesiane. Coordinate cartesiane. Sinistrorsa. Destrorsa
200 Coordinate D Anche nella grafica D gli oggetti da visualiare vengono codificati a partire da primitive che collegano punti. I punti appartengono ad uno spaio tridimensionale. Vengono memoriati utiliando
DettagliBasi di matematica per il corso di micro
Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione
Dettagli~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE
STUDIO DI FUNZIONE Passaggi fondamentali Per effettuare uno studio di funzione completo, che non lascia quindi margine a una quasi sicuramente errata inventiva, sono necessari i seguenti 7 passaggi: 1.
Dettaglia.a. 2005/2006 Laurea Specialistica in Fisica Corso di Fisica Medica 1 Utilizzo ECG
a.a. 2005/2006 Laurea Specialistica in Fisica Corso di Fisica Medica 1 Utilizzo ECG 27/4/2006 Cuore come dipolo elettrico Il cuore considerato come un generatore elettrico complesso, in cui sono presenti
Dettagli09 - Funzioni reali di due variabili reali
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014
DettagliTest, domande e problemi di Robotica industriale
Test, domande e problemi di Robotica industriale 1. Quale, tra i seguenti tipi di robot, non ha giunti prismatici? a) antropomorfo b) cilindrico c) polare d) cartesiano 2. Un volume di lavoro a forma di
DettagliParte Seconda. Geometria
Parte Seconda Geometria Geometria piana 99 CAPITOLO I GEOMETRIA PIANA Geometria: scienza che studia le proprietà delle figure geometriche piane e solide, cioè la forma, l estensione e la posizione dei
DettagliCapitolo 2. Operazione di limite
Capitolo 2 Operazione di ite In questo capitolo vogliamo occuparci dell operazione di ite, strumento indispensabile per scoprire molte proprietà delle funzioni. D ora in avanti riguarderemo i domini A
DettagliCorrispondenze e funzioni
Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei
DettagliFAM. 1. Sistema composto da quattro PM come nella tabella seguente
Serie 11: Meccanica IV FAM C. Ferrari Esercizio 1 Centro di massa: sistemi discreti Determina il centro di massa dei seguenti sistemi discreti. 1. Sistema composto da quattro PM come nella tabella seguente
DettagliGli oggetti 3D di base
Gli oggetti 3D di base 04 Attraverso gli oggetti 3D di base, AutoCAD dispiega la sua capacità di modellazione per volumi e per superfici per quei modelli che si possono pensare come composizioni di oggetti
DettagliProf. Silvio Reato Valcavasia Ricerche. Il piano cartesiano
Il piano cartesiano Per la rappresentazione di grafici su di un piano si utilizza un sistema di riferimento cartesiano. Su questo piano si rappresentano due rette orientate (con delle frecce all estremità
DettagliDOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.
FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di
DettagliFisica II - CdL Chimica. Formazione immagini Superfici rifrangenti Lenti sottili Strumenti ottici
Formazione immagini Superfici rifrangenti Lenti sottili Strumenti ottici Ottica geometrica In ottica geometrica si analizza la formazione di immagini assumendo che la luce si propaghi in modo rettilineo
DettagliTeoria dei Fenomeni Aleatori 1
Integrale Doppio Sia g( x,y ) una funzione continua nel piano ( x,y ) o D è un dominio sul piano ( x,y ) o P è una sua partizione che ricopre il dominio D: ( ) P D D... D... = 1,1 1,2 i,j, con Di,j = ΔxiΔ
Dettagli3 GRAFICI DI FUNZIONI
3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom
DettagliEsame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 2013 - A)
Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 23 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Nello spazio R 3, siano dati il piano e i punti P = (, 2, ), Q = (2,, ). π : x + 2y 3
DettagliCONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE
CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e
Dettagli1 Definizione: lunghezza di una curva.
Abstract Qui viene affrontato lo studio delle curve nel piano e nello spazio, con particolare interesse verso due invarianti: la curvatura e la torsione Il primo ci dice quanto la curva si allontana dall
DettagliSommario Ottica geometrica... 2 Principio di Huygens-Fresnel... 4 Oggetto e immagine... 6 Immagine reale... 7 Immagine virtuale...
IMMAGINI Sommario Ottica geometrica... 2 Principio di Huygens-Fresnel... 4 Oggetto e immagine... 6 Immagine reale... 7 Immagine virtuale... 9 Immagini - 1/11 Ottica geometrica È la branca dell ottica che
DettagliLunghezza ocale. Donato Di Bello
F Lunghezza ocale Donato Di Bello Cinepresa, telecamera, macchina fotografica: tre strumenti tecnologici che utilizziamo per registrare la realtà intorno a noi o per trasformare in immagini la nostra fantasia.
DettagliDefinisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:
Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato
DettagliCreare primitive solide
Creare primitive solide I solidi sono caratterizzati dal fatto di avere una massa oltre alle superfici e agli spigoli. Rappresentano l intero volume dell oggetto. Caratteristiche Il solido viene creato:
DettagliLE FUNZIONI MATEMATICHE
ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante
Dettagli