Lenti sottili: Definizione

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1 Lenti sottili: Definizione La lente è un sistema ottico costituito da un pezzo di materiale trasparente omogeneo (vetro, policarbonato, quarzo, fluorite,...) limitato da due calotte sferiche (o, più generalmente, da due superfici non piane, e.g., cilindriche o gaussiane). A differenza dei sistemi diottrici piani, essa può formare immagini reali. Nel seguito, considereremo solo lenti sferiche. Biconvessa Piano convessa Lenti convergenti Menisco convergente Menisco divergente Piano concava Lenti divergenti Biconcava Una lente sottile è definita come una lente il cui spessore è considerato piccolo rispetto alle distanze generalmente associate alle sue proprietà ottiche (raggi di curvatura delle calotte, distanze focali, distanze degli oggetti e delle immagini). Dal punto di vista geometrico, la lente sottile è assimilata ad un piano.

2 Lenti sottili: Fuochi d d f f Asse r 2 r 1 F fuoco secondario F fuoco primario Asse Lente positiva (convergente) d d f f F Asse F Asse r 2 r 1 Lente negativa (divergente) Il fuoco primario F è un punto assiale tale che ogni raggio proveniente da esso o diretto in esso si propaga parallelamente all asse a seguito della rifrazione. Il fuoco secondario F è un punto assiale tale che ogni raggio propagantesi parallelamente all asse è diretto in esso o appare provenire da esso a seguito della rifrazione.

3 Lenti sottili: Costruzione grafica dell immagine Indicando con f ed f rispettivamente le distanze di F ed F dalla lente, dal principio di reversibilità segue: f = f (a differenza di quanto si verifica nel diottro sferico). Costruzione dell immagine s s Q f S f f f Q T Q T y M raggio principale F A F M Asse y M F M A raggio principale F Asse S Q s s Nell approssimazione parassiale il raggio passante per il centro della lente A è indeviato perché attraversa superfici parallele con piccolo angolo di incidenza. Applicando il principio di reversibilità, il ruolo dell oggetto e dell immagine si invertono. Come per il diottro sferico, M ed M sono coniugati, e così pure i piani per essi perpendicolari all asse.

4 Lenti sottili: Formula di Gauss Q M T y F A F M y S x f f x s s Q Dalla proporzionalità fra i triangoli F AS seguono, rispettivamente: y y s = y f e Q T S ed F T A e fra i triangoli QT S ed y y s = y f Sommando membro a membro e ponendo f = f, si ottiene nella forma gaussiana la formula dei punti coniugati: 1 s + 1 s = 1 f

5 Lenti sottili: Formula di Newton Dalla proporzionalità fra i triangoli F M Q, rispettivamente (f = f ): y x = y f QMF ed F AS e fra i triangoli e y x = y f T AF ed Moltiplicando membro a membro si ricava la forma newtoniana della formula dei punti coniugati: xx = f 2 Nella forma gaussiana le distanze sono misurate rispetto alla lente, in quella newtoniana esse sono misurate rispetto ai fuochi. La formula di Newton viene generalizzata semplicemente quando i mezzi ai lati della lente hanno indice di rifrazione diverso: xx = ff

6 Lenti sottili: Ingrandimento lineare Forma gaussiana Poiché i triangoli rettangoli QMA e Q M A sono simili, sostituendo y = MQ e y = M Q M Q MQ = AM AM m y y = s s Quando s ed s sono entrambe positive, il segno negativo indica che l immagine è capovolta. Forma newtoniana L ingrandimento lineare m nella forma newtoniana si ricava direttamente dalla proporzionalità fra i triangoli QMF ed F AS e fra i triangoli T AF ed F M Q : m y y = f x = x f

7 Lenti sottili: Formula del costruttore di lenti Formula del costruttore di lenti Generalmente le tavole dei manuali riportano l indice di rifrazione n dei materiali per luce monocromatica gialla (riga D della lampada al sodio). I raggi di curvatura delle calotte sferiche che delimitano la lente possono essere direttamente misurate mediante uno strumento apposito, lo sferometro. Noti n del materiale della lente ed i raggi di curvatura delle superfici di una lente sottile, se ne può calcolare la distanza focale per una lente sottile; viceversa, in fase di progettazione, si possono calcolare i raggi di curvatura per ottenere una specifica distanza focale f a : 1 f ( 1 = (n 1) 1 ) r 1 r 2 Per applicare la formula, occorre tener presente le convenzioni adoperate: la propagazione dei raggi è da sinistra a destra le superfici attraversate in questo verso sono considerate aventi raggio positivo se convesse raggio negativo se concave. a Per la dimostrazione, cfr. F.A. Jenkins, H.E. White, Fundamentals of Optics, McGraw-Hill, 1976, par. 4.9

8 Lenti sottili: Combinazione La formazione delle immagini si calcola applicando la formula dei punti coniugati ad ogni lente e considerando come oggetto per ogni lente l immagine formata dalla lente precedente, prendendo cura di rispettare le convenzioni sui segni (notando, cioè, se gli oggetti considerati sono reali o virtuali). Consideriamo, per esempio due lenti sottili coassiali convergenti A 1 ed A 2 poste alla distanza relativa d = 2 cm, aventi, rispettivamente, f 1 = +3 cm ed f 2 = +4 cm. Posto un oggetto a distanza s 1 = 4 cm dalla prima lente, calcoliamo la posizione s 1 dell immagine da essa formata; dalla formula dei punti coniugati risulta: s 1 = +12 cm. Quindi questa immagine è reale, situata 12 cm a destra di A 1 e 10 cm a destra di A 2. Pertanto il calcolo rispetto ad A 2 va eseguito considerando un oggetto posto alla distanza s 2 = 10 cm. Riapplicando la formula dei punti coniugati, si trova s 2 = cm. L immagine finale è reale, ed è posta a 2, 86 cm a destra di A 2, a 4, 86 cm a destra di A 1.

9 Lenti sottili: Potere Il potere di una lente sottile è misurato in diottrie posto che la distanza focale f sia misurata in metri, ed è definito come P = 1 f Sostituendo f dalla formula del costruttore di lenti, si ottiene la forma alternativa ( 1 P = (n 1) 1 ) r 1 r 2 Il valore del potere è positivo per le lenti convergenti, negativo per le lenti divergenti. Es., P = 2 D è il potere diottrico di una lente divergente avente f = 50 cm. Le lenti per occhiali da vista sono fabbricate normalmente in passi di 0.25 diottrie. La superficie rivolta verso l occhio è concava per consentire il movimento libero delle ciglia, pur tenendo la lente vicina all occhio.

10 Lenti sottili: Lenti addossate Si considerino due lenti sottili coassiali L 1 ed L 2 poste a contatto ed un oggetto posto a distanza molto grande (s ). Si procede come nel caso della combinazione di lenti, tenendo conto che ora d = 0. I raggi paralleli incidenti sulla prima lente L 1 convergerebbero nel fuoco secondario F 1 posto alla distanza f 1. Esso costituisce l oggetto (virtuale) per la seconda lente L 2, caratterizzata dalla distanza focale secondaria f 2. Il punto in cui si forma l immagine finale è (per definizione) il fuoco secondario del sistema F, e la sua distanza dalle lenti, f, si calcola applicando la formula dei punti coniugati alla lente L 2 : 1 f f = 1 f 2 1 f = 1 f f 2. Se le lenti sono in aria, le distanze focali primarie e secondarie sono uguali, gli apici possono essere soppressi, e si ricava P = P 1 + P 2 Il potere diottrico di lenti sottili a contatto è dato dalla somma dei poteri diottrici delle singole lenti.

11 Lenti spesse Se lo spessore di una lente d (distanza tra i vertici delle superfici) non è trascurabile rispetto alle lunghezze caratteristiche (ed in particolare alla distanza focale), essa si dice spessa. In questa categoria si può far rientrare, più in generale, ogni sistema ottico centrato, considerandolo come tutt uno. Nel seguito questo è implicitamente assunto, anche se, per semplicità ci si riferisce ad una singola lente spessa. Si considerino due superfici sferiche coassiali di raggio r 1 ed r 2 delimitanti un mezzo con indice n posto tra due mezzi aventi indice n ed n, rispettivamente, e sia M un punto immagine sull asse ottico posto nel mezzo 1 a distanza s 1 dal primo vertice A 1. Riapplicando il procedimento già adoperato in precedenza: si calcola la distanza s 1 da A 1 dell immagine M formata dal primo diottro; rispetto al secondo diottro, si considera M come un oggetto posto a distanza s 2 = s 1 d dal secondo vertice A 2; si calcola la distanza s 2 dell immagine M da A 2. Nell approssimazione di raggi parassiali, M ed M sono punti coniugati. Le formule da adoperare (rispettando le convenzioni) sono: n s 1 + n s 1 = n n r 1 n s 2 + n s 2 = n n r 2

12 Lenti spesse: Punti principali È possibile costruire direttamente l immagine se sono noti i punti cardinali del sistema, che sono i fuochi ed i punti principali. Piano principale primario Piano principale secondario n n n n n n F F A 1 H A2 A H A 1 2 f f La figura mostra il fuochi di una lente spessa. I piani passanti per le intersezioni dei prolungamenti dei raggi incidenti e dei raggi rifratti costituiscono il piano principale primario π ed il piano principale secondario π, e le loro intersezioni H ed H con l asse sono dette punti principali. I due piani principali sono piani coniugati e tra essi c è corrispondenza punto a punto: I piani principali sono due piani con ingrandimento lineare unitario positivo. Le distanze focali sono misurate dai fuochi F ed F ai rispettivi punti principali H ed H (e non dai fuochi ai vertici A 1 ed A 2 ). Se n = n, allora f = f. Se n n, allora n /n = f /f.

13 Lenti spesse: Costruzione grafica La conoscenza dei fuochi e dei punti principali consente di costruire graficamente le immagini con le stesse procedure adoperata per diottro e lente sottile. Q π π A A M F H H F M B B s s Q

14 Lenti spesse: Formula dei punti coniugati È anche possibile applicare, nell approssimazione di raggi parassiali, le formule dei punti coniugati, se anche le distanze s, s sono misurate rispetto ai punti principali: n s + n s = n f = n f (se n n ) 1 s + 1 s = 1 f = 1 f (se n = n ) Dalla geometria è possibile ricavare una serie di relazioni tra le distanze caratteristiche del sistema: n f = n A 1 F = f A 2 F = +f f 1 + n f 2 ( 1 d f 2 ( 1 d ) f 1 ) dn f 1 f 2 = n f A 1 H = f d f 2 A 2 H = f d f 1

15 Lenti spesse: Punti nodali Dato un punto oggetto fuori asse, si consideri quello tra i raggi incidenti che emerge dalla lente parallelo a sé stesso. I due punti di intersezione, N ed N, dei suoi prolungamenti con l asse sono detti punti nodali. Fuochi, punti principali e punti nodali costituiscono i punti cardinali. Se n = n, allora i punti nodali coincidono con i punti principali. Comunque, in generale, vale la proprietà NN = HH L interesse per i punti nodali sta nel fatto che la loro posizione può essere determinata sperimentalmente a, e dalle relazioni N F = F H f NF = H F f avendo pure individuato sperimentalmente la posizione dei fuochi primario e secondario, si ricava la posizione dei punti principali. La distanza HN può anche essere calcolata dalla formula HN = f (1 n/n ); essa è utile per calcolare l ingrandimento lineare: a F.A. Jenkins, H.E. White, op. cit. m = y y = s HN s + HN

16 Aberrazioni Cosa accade quando l approssimazione parassiale non è sufficiente? Aberrazione di sfericità Crown Flint Doppietto acromatico Aberrazione cromatica