Consideriamo due polinomi

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1 Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al controllo automatico si può aver bisogno di studiare le radici del seguente polinomio Q(z) = ϱn(z) + D(z) (3.1) al variare del parametro ϱ in (, ). Questo per esempio capita quando si vogliono studiare i poli del sistema a ciclo chiuso nello schema di controllo a retroazione unitaria di figura 1.9 con un controllore proporzionale, cioè G(z) = K P, al variare del guadagno K P del controllore. Posto infatti P (z) = n P (z) d P (z) si ha che il polinomio caratteristico del sistema a ciclo chiuso è p ch (z) = d P (z) + K P n P (z) che equivale alla (3.1) con ϱ = K P, N(z) = n P (z) e D(z) = d P (z). Prima di risolvere il problema enunciato nel caso generale consideriamo un semplice esempio. Esempio 10 Sia N(z) = 3 e D(z) = z 2 + 4z + 3, si ottiene Q(z) = z 2 + 4z ϱ3 59

2 60 CAPITOLO 3. IL LUOGO DELLE RADICI {3 {1 Figura 3.1: Luogo delle radici di Q(z) per ϱ [0, ) (rosso) e per ϱ [0, ) (blu). Le radici di tale polinomio di secondo grado si ottengono facilmente dalla ben nota formula z 1 = ϱ, z 2 = 2 1 3ϱ (3.2) È facile ora disegnare tali radici sul piano complesso al variare di ϱ in [0, ) Dalla (3.2) si vede che per ϱ = 0 le radici di Q(z) sono z 1 = 1 e z 2 = 3 che coincidono con quelle di D(z). Per valori di ϱ 1/3 le radici rimangono reali e diventano coincidenti e pari a 2 quando ϱ = 1/3. Quando ϱ > 1/3 le radici diventano complesse coniugate con parte reale pari a 2 e parte immaginaria che cresce all aumentare del parametro ϱ. Il luogo appena descritto è disegnato in rosso in figura 3.1. Per valori negativi del parametro ϱ, le radici sono sempre reali e per ϱ tendono una a + e l altra a. Il luogo appena descritto è disegnato in blu in figura 3.1. Chiameremo luogo positivo delle radici di (3.1) il luogo geometrico nel piano complesso descritto dalle radici dell equazione (3.1) al variare di ϱ da 0 a +. Chiameremo invece luogo negativo delle radici di (3.1) il luogo geometrico nel piano complesso descritto dalle radici dell equazione (3.1) al variare di ϱ da 0 a. Notiamo per prima cosa che l equazione complessa Q(z) = 0 dà luogo alle

3 61 seguenti due equazioni reali ϱ z z 1 z z 2... z z m = z p 1 z p 2... z p n (3.3) φ(z z 1 ) + φ(z z 2 ) φ(z z m ) φ(z p 1 ) φ(z p 2 )+ φ(z p 3 )... φ(z p n ) = ±(2k + 1)π, k = 0, 1, 2,... (3.4) Le due equazioni precedenti contengono molte informazioni, e di fatto permettono di tracciare tutto il luogo; esse vengono dette rispettivamente equazione del modulo e equazione della fase. Vediamo ora le regole generali per il tracciamento dei luoghi positivo e negativo delle radici di (3.1) quando n > m. R1 Si traccino sul piano complesso le radici di N(z) e di D(z). Di solito si indicano con dei cerchi le radici di N(z) e con delle croci quelle di D(z). R2 Il polinomio (3.1) è di grado n per cui ha n radici nel piano complesso; di conseguenza sia il luogo positivo che quello negativo hanno n rami, ciascuno dei quali è il luogo nel piano complesso di una delle radici al variare di ϱ. R3 Per ϱ = 0 le radici di Q(z) sono date dalle radici di D(z), cioè z = p 1, z = p 2,...,z = p n sono punti del luogo positivo e negativo corrispondenti a ϱ = 0. R4 Gli n rami del luogo positivo e/o negativo si raccordano nei cosiddetti punti singolari del luogo, ovverosia punti che, per un determinato valore di ϱ, sono radici multiple del polinomio (3.1). Tali punti sono quindi soluzioni sia della (3.1) che dell equazione d dz Q(z) = 0 In un punto singolare di molteplicità µ, confluiscono 2µ rami del luogo, alternativamente convergenti e divergenti per ϱ crescente, e le direzioni delle tangenti a questi rami, nel punto singolare, formano una stella regolare che divide l angolo giro in 2µ angoli uguali. La figura 3.2 mostra tale stella nel caso µ = 2 e µ = 3. R5 Ogni punto dell asse reale che si lascia a destra un numero dispari di radici reali (sia di N(z) che di D(z)) è un punto del luogo positivo. Ogni altro punto dell asse reale è un punto del luogo negativo.

4 62 CAPITOLO 3. IL LUOGO DELLE RADICI Figura 3.2: Tangenti ai rami del luogo in un punto singolare di molteplicità 2 (a sinistra) e tre (a destra). La prova si ottiene facilmente dall equazione della fase: infatti le radici che non sono sull asse reale danno contributi che si annullano due a due in quanto esse sono simmetriche rispetto ad esso (coppie complesse coniugate); le radici reali che sono a sinistra del punto generico z dell asse reale danno luogo a vettori z z i o z p j che hanno fase nulla, mentre quelle che sono a destra di z danno luogo a vettori che hanno fase π, per cui l equazione (3.4) può essere soddisfatta solo se di queste ce ne sono un numero dispari, altrimenti darebbero un contributo pari a ±2kπ, che è diverso da ±(2k + 1)π. Dalle precedenti osservazioni discende immediatamente la prossima regola: R6 Il luogo delle radici (sia positivo che negativo) è simmetrico rispetto all asse reale. Ora sappiamo che tutti i rami del luogo partono da p 1, p 2,..., p n per ϱ = 0, dove vanno a finire quando ϱ + o ϱ? R7 Per ϱ + [ϱ ], m rami del luogo positivo [negativo] vanno a finire esattamente nelle m radici z 1, z 2,..., z m di N(z), i rimanenti n m vanno all infinito. Questo può essere dedotto dall equazione ϱn(z) + D(z) = 0 Si vede facilmente che per ϱ ± tale equazione è soddisfatta dalle radici del polinomio N(z); inoltre, si può anche scrivere ϱn(z) D(z) = 1 che per ϱ ± può essere soddisfatta solo per quei valori di z per cui N(z)/D(z) tende a zero; ma questo si verifica quando z dato

5 63 che il grado di D(z) è maggiore di quello di N(z). Quindi ϱn(z) lim ϱ ± D(z) N(z) = 1 lim z D(z) = 0 Nell ultima relazione il rapporto N(z)/D(z) all aumentare di z tende a comportarsi come il rapporto tra i termini di grado massimo N(z) lim z D(z) = lim 1 z z n m che dimostra la presenza quindi di uno zero di molteplicità n m all infinito; per cui n m rami del luogo raggiungeranno questo zero all infinito. R8 Gli n m rami del luogo che vanno all infinito seguono n m asintoti che si incontrano sull asse reale nel punto di ascissa z 0 così ottenuta z 0 = n i=1 Re(p i) m j=1 Re(z j) n m e formando angoli con l asse reale in base alla seguente formula (1 + 2k)π α k =, n m k = 0, 1, 2,..., n m 1, luogo positivo (3.5) α k = 2kπ, n m k = 0, 1, 2,..., n m 1, luogo negativo (3.6) In figura 3.3 sono mostrati gli asintoti dei luoghi positivo e negativo per n m = 1, 2, 3, 4. Omettiamo la prova di queste ultime due formule. Le regole R1-R8 permettono di tracciare il luogo delle radici con sufficiente accuratezza per gli scopi che ci interessano. Vediamo i vari passi in caso tipico.

6 64 CAPITOLO 3. IL LUOGO DELLE RADICI z 0 z 0 z 0 Figura 3.3: Asintoti dei luoghi positivo e negativo per n m = 1 (in alto a sinistra), n m = 2 (in alto a destra), n m = 3 (in basso a sinistra), e n m = 4 (in basso a destra). Esempio 11 Consideriamo il caso in cui N(z) = (z + 4) D(z) = (z i4)(z + 3 i4) Applichiamo la R1 e, come mostrato in figura 3.4, tracciamo sul piano complesso le radici di N(z) (cerchi) e quelle di D(z) (croci). In base alla R3 il luogo positivo parte dalle radici di D(z) per ϱ = 0. Inoltre, in base alla R5, fa parte del luogo positivo la porzione dell asse reale che va dalla radice z = 4 all infinito; infatti tutti i punti di tale insieme lasciano alla loro destra un numero dispari di radici (le coppie complesse coniugate non danno contributo). Dalla R7 sappiamo che, quando ϱ, m = 1 radice va a finire nella radice z = 4 di N(z) e la rimanente n m = 1 radice va all infinito secondo un asintoto che forma con l asse reale un angolo α = π, e che quindi coincide proprio con il semiasse reale negativo. La figura 3.4 illustra questa situazione. Da queste premesse si può ora tracciare l andamento qualitativo del luogo positivo: sapendo che delle radici iniziali (ϱ = 0) z = 3 + i4 e z = 3 i4,

7 65 i4 ½ = 1 {4 {3 {i4 Figura 3.4: Alcuni punti caratteristici del luogo positivo i4 ½ = 1 z 1 {4 {3 {i4 Figura 3.5: Diagramma completo del luogo positivo

8 66 CAPITOLO 3. IL LUOGO DELLE RADICI al crescere di ϱ, una dovrà andare a collocarsi nella radice z = 4 e l altra dovrà andare all infinito lungo il semiasse reale negativo, sapendo inoltre dalla R6 che il luogo è simmetrico rispetto all asse reale, è facile vedere che l unico andamento possibile è quello indicato in figura 3.5: le radici dalla loro posizione iniziale convergono verso il punto singolare z 1, da dove poi si sdoppiano una verso z = 4 a l altra verso. In questo caso, il punto singolare z 1 può essere facilmente calcolato risolvendo l equazione di secondo grado (z i4)(z + 3 i4) + ϱ(z + 4) = 0 e trovando il valore di ϱ per cui si hanno due radici reali e coincidenti; si ottiene ϱ 10 e z 1 8. Si noti che i rami che convergono sul punto singolare z 1, in base alla R4 lo fanno perpendicolarmente rispetto all asse reale. Sfruttando le stesse regole (vedi figura 3.6) è immediato tracciare il luogo negativo, mostrato in figura 3.7 dove z per ϱ 6.

9 67 i4 ½ = {1 {4 {3 {i4 Figura 3.6: Alcuni punti caratteristici del luogo negativo i4 ½ = {1 {4 {3 z 2 {i4 Figura 3.7: Diagramma completo del luogo negativo

10 68 CAPITOLO 3. IL LUOGO DELLE RADICI Esempio 12 Sia N(z) = z 2 D(z) = z 2 (z i)(z + 1 i) Come al solito per prima cosa tracciamo le radici dei due polinomi sul piano complesso, come mostrato in figura 3.8. In base alla R3 le radici i {1 2 {i Figura 3.8: Radici di N(z) e D(z) z = 0 (doppia), z = 1 + i e z = 1 i sono i punti di partenza, per ϱ = 0, sia del luogo positivo che di quello negativo. Inoltre, dalla R5, la parte dell asse reale che appartiene al luogo positivo è quella a sinistra della radice z = 2. Per ϱ ±, dato che m = 1, una delle radici iniziali andrà a collocarsi nel punto z = 2; le rimanenti n m = 3 andranno all infinito secondo tre asintoti centrati nel punto z 0 = ( 2 2)/3 = 4/3 e formanti angoli α h = (1 + 2h)π 3 = π/3 h = 0 π h = 1 5π/3 h = 2 luogo positivo α h = 2hπ 0/3 h = 0 3 = 2π/3 h = 1 4π/3 h = 2 luogo negativo (3.7) Questa situazione è mostrata nelle figure 3.9 e Tenendo sempre a mente che, in base alla R6, il luogo è simmetrico rispetto all asse reale, si ottiene l andamento di figura 3.10 per il luogo positivo e quello di figura 3.12 per il luogo negativo.

11 69 z 0 ½ = 1 Figura 3.9: Alcuni punti caratteristici del luogo positivo ½ = 1 z 0 2 Figura 3.10: Diagramma completo del luogo positivo

12 70 CAPITOLO 3. IL LUOGO DELLE RADICI z 0 ½ = {1 Figura 3.11: Alcuni punti caratteristici del luogo negativo ½ = {1 z 0 2 Figura 3.12: Diagramma completo del luogo negativo

13 Le figure 3.13 e 3.14 riportano altri due esempi di tracciamento del luogo delle radici. 71 z 1 = {3 Figura 3.13: Luogo delle radici per N(z) = (z + 1) 2 e D(z) = z 3. z 1 = {3 {9 {4 {1 Figura 3.14: Luogo delle radici per N(z) = z + 1 e D(z) = z 2 (z + 9).

14 72 CAPITOLO 3. IL LUOGO DELLE RADICI Esempio 13 Si consideri l equazione (1.1) che regola la dinamica del prezzo p(k) per un dato bene soggetto ad interazione tra domanda ed offerta e si assuma di avere un controllo PI dato dalla (2.5). Sia a = 1, b = 1/6 e K I = 1 e si voglia determinare come variano le radici del sistema a ciclo chiuso al variare del parametro K P. Il polinomio caratteristico del sistema a ciclo chiuso è ( ) 1 p ch (z) =a z 2 + (b a + K P + K I ) z b K P = z K P z 1 6 K P = =z z 1 ( 6 + K P (z 1) = z + 1 ) ( z 1 ) + K P (z 1) 2 3 È quindi possibile tracciare il luogo delle radici al variare di K P nella (3.1) Q(z) = p ch (z), ( N(z) = z 1 D(z) = z + 1 ) ( z 1 ) 2 3 ponendo e ϱ = K P. In base alla R3 le radici z = 1/2 e z = 1/3 sono i punti di partenza del luogo per K P = 0. Inoltre, dalla R5, la parte dell asse reale che appartiene al luogo positivo è quella tra la radice 1/3 e la radice z = 1 di N(z) e quella a sinistra della radice z = 1/2. Al crescere di K P, la radice che parte da z = 1/3 dovrà andare a collocarsi nella radice z = 1 e l altra, che parte da z = 1/2, dovrà andare all infinito lungo il semiasse reale negativo. Il luogo positivo è quindi quello mostrato in figura Per valori negativi di K P, una delle due radici dovrà andare a collocarsi nella radice z = 1 e l altra dovrà andare all infinito lungo il semiasse reale positivo. Necessariamente quindi ci dovranno essere due punti singolari, uno tra le radici z = 1/2 e z = 1/3, e l altro a destra della radice z = 1. In base alla R4, i punti singolari possono essere calcolati risolvendo il sistema di equazioni Q(z) =z z K P (z 1) = 0 (3.8) d dz Q(z) =2z K P = 0 (3.9) Ricavando dalla (3.9) K P = 2z 1/6 e sostituendo tale valore nell equazione (3.8), quest ultima diventa z(z 2) = 0 Si hanno quindi due punti singolari, uno in z 1 = 0 per K P = 1/6 e l altro in z 2 = 2 per K P = 25/6. Questo vuol dire che, quando K P = 1/6, il polinomio Q(z) ha due radici coincidenti in z = 0 e che, quando K P = 25/6,

15 il polinomio Q(z) ha due radici coincidenti in z = 2. Quindi, entrambi i punti singolari hanno molteplicità µ = 2 e poiché i valori di K P sono negativi, entrambi appartengono al luogo negativo. Il luogo negativo è quindi quello mostrato in figura K P = {7/6 73 K P!1 K P = 1/3 z 1 K P = 1 z 2 {1/2 1/3 1 1 K P! {1 K P = {7/6 Figura 3.15: Diagramma completo dei luoghi positivo e negativo Per calcolare i valori di K P che rendono il sistema stabile, cioè i valori di K P in corrispondenza dei quali il luogo esce dal cerchio di raggio unitario, si può ricorrere al criterio di Schur Cohn. In questo caso le condizioni affinché le radici di Q(z) siano tutte interne al cerchio di raggio unitario sono P (1) = 1 > 0 P ( 1) = 2 3 2K P > K P > 0 da cui si ricava 7 6 < K P < 1 3 Infatti, quando K P = 1/3, il polinomio Q(z) diventa Q(z) = z z 1 ( 2 = (z + 1) z 1 ) 2 ed una radice è sul cerchio unitario; quando invece K P = 7/6, il polinomio Q(z) diventa ( Q(z) = z 2 z + 1 = z 1 ) ( i z 1 ) i 2 ed entrambe le radici sono sul cerchio unitario.

16 74 CAPITOLO 3. IL LUOGO DELLE RADICI Si noti infine che, come visto precedentemente, per K P = 1/6 entrambe le radici sono in z = 0. Come conseguenza, poiché il controllo integrale rende il sistema di tipo 1, se il riferimento è un gradino, il sistema ha un errore a regime nullo e tempo di risposta finito.