PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA

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1 Simulazione 01/15 ANNO SCOLASTICO 01/15 PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DI STATO PER IL LICEO SCIENTIFICO Il candidato risolva uno dei due problemi Problema 1 Nella figura è rappresentato in modo qualitativo il grafico cartesiano di una funzione reale ), definita, continua e derivabile in R, e di cui si sa che: lim ) 0; x è simmetrica rispetto all origine O del riferimento; ammette un solo massimo relativo e un solo minimo relativo a) Stabilisci, motivando la risposta, a quale tra le seguenti famiglie di funzioni può appartenere ): ax ax f1 ( x), f ( x) bxe, con a, b R 1 b x b) Dopo aver dimostrato che ) è del tipo f ( ) 1 x, determina i rispettivi valori di a e b per i quali sono soddisfatte le seguenti condizioni: ) presenti il massimo relativo in corrispondenza di x ; il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di ) nell origine sia 1 c) Stabilito che i valori di a e b richiesti nel punto precedente sono a e b, sia f x la funzione corrispondente Calcola l area della regione finita del piano delimitata dal grafico della funzione e dalle rette tangenti al grafico nell origine O e nel punto di massimo M d) Supponi che, per x 0, x rappresenti il tempo (in secondi) e ) la velocità istantanea (in m/s) di un punto in moto rettilineo In quali intervalli di tempo l accelerazione istantanea è positiva, in quali è negativa, e in quali istanti è nulla? Qual è la distanza complessivamente percorsa dal punto rispetto all origine nell intervallo di tempo compreso tra x 0 e x T? Tale distanza ha un limite superiore o cresce indefinitamente al crescere del tempo T? Motiva la risposta Problema Si vuole sperimentare una nuova turbina, con una pala che ha la forma schematizzata in figura Una qualunque sezione con un piano perpendicolare all asse di rotazione z può essere rappresentata con Copyright Zanichelli MATutor (616)

2 Simulazione 01/15 la funzione ), definita e continua nell intervallo [ ; 6], di cui è assegnato il grafico in figura e di cui si sa che: i tratti AB, CD e EF sono segmenti di retta; il tratto BC è un arco di parabola con asse parallelo all asse y e vertice di ordinata ; il tratto DE è un arco di circonferenza di centro Q; 1 a) Determina l espressione analitica di ) nell intervallo di definizione [ ; 6] b) Dimostra che ) è derivabile in ogni punto dell intervallo di definizione c) Detto P un punto dell arco BC, ricava la posizione di P in modo che il quadrilatero APCO abbia area massima e determina il valore di tale area Copyright Zanichelli 015 MATutor (616)

3 Simulazione 01/15 d) Sia x F( x) f ( t) dt, con ;6 x Calcola F (0) e F (1), quindi determina l errore relativo percentuale che si compie sul valore di F (0) se si approssima il calcolo dell integrale utilizzando il metodo dei trapezi, con una suddivisione in 8 parti uguali dell intervallo di integrazione e) A partire dal valore di F (1) determinato al punto d), stima i valori di F () e poi di F (), senza ricorrere a un ulteriore calcolo integrale Utilizza il risultato per determinare: tra quali valori interi di x è compreso x 0 tale che Fx ( 0) 0; il volume approssimato V complessivamente racchiuso tra il piano xz e le due ali della pala Copyright Zanichelli 015 MATutor (616)

4 Simulazione 01/15 ANNO SCOLASTICO 01/15 PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DI STATO PER IL LICEO SCIENTIFICO Risoluzione Problema 1 ax a) Verifichiamo se le funzioni della famiglia f1( x) soddisfano le tre condizioni richieste 1 bx a, b R Studiamo il limite per x che tende a infinito: ax a lim f1( x) lim lim 0 x x 1 bx x 1 x b x Stabiliamo se f ( ) 1 x è una funzione dispari: ax f1( x) f 1( x), 1 bx quindi f ( ) 1 x è una funzione dispari Calcoliamo la derivata prima f '( ) 1 x e studiamo il suo segno, ricordando che a e b sono positivi: a1 b x f1 '( x) 1 bx Dallo schema dei segni deduciamo che f ( ) 1 x ammette sempre, qualunque siano i valori positivi a e b, uno e un solo massimo relativo e uno e un solo minimo relativo Le funzioni del tipo f ( ) 1 x soddisfano quindi le condizioni richieste Per quanto riguarda le funzioni della famiglia ax lim f ( x) lim bxe, x x ( ) ax f x bxe, con Copyright Zanichelli 015 MATutor (616) a, b R, notiamo che: pertanto la funzione f (x) non può appartenere alla famiglia di funzioni f ( ) b) Per quanto trovato al punto precedente, affinché f ( ) 1 x abbia il massimo relativo in corrispondenza di x deve essere: 1 1 b b, x

5 Simulazione 01/15 mentre affinché il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f ( ) 1 x nell origine sia deve essere: a1 b 0 f 1' (0) a, 1 b 0 per cui i valori richiesti sono a e 1 b c) La funzione ) corrispondente ai valori individuati è: x 8x ) x x 1 La tangente al grafico nel punto f (0) 0 ha equazione y x Il massimo della funzione si trova nel punto M ;, dove la retta tangente ha equazione y Le due tangenti si intersecano nel punto P 1; La regione finita del piano di cui dobbiamo calcolare l area è rappresentata in figura Possiamo ricavare l area richiesta S come differenza tra l area del trapezio rettangolo OHMP, dove H è la proiezione di M sull asse x, e l area sottesa al grafico di ) nell intervallo [0; ]: x x ln ( ) x x ( 1) 8 S dx dx x (ln8 ln ) ln 0, d) Cambiando lettere, possiamo indicare con: 8t vt () t la velocità istantanea del punto materiale L accelerazione at () è rappresentata dalla derivata della funzione velocità, quindi: 8( t ) a( t) v '( t) ( t ) Poiché il tempo t deve essere non negativo, abbiamo: a ( t) 0 t 0 0 t ; Copyright Zanichelli MATutor (616)

6 Simulazione 01/15 a( t) 0 t 0 t ; a( t) 0 t 0 t Nell intervallo di tempo 0;T, il punto materiale percorre una distanza s pari a: T T T T ln ( t ) ln 0 8t s s( T) s(0) v( t) dt dt 0 0 t Poiché: T lim ln, T concludiamo che la distanza percorsa dal punto tende a infinito, nonostante la velocità tenda a zero con il passare del tempo Problema a) I segmenti AB, CD ed EF appartengono alle rette r AB, r CD e r EF di equazioni rispettivamente: r : y x 8, AB r : y x, CD r : y x 1 EF L arco di parabola BC appartiene al grafico di una funzione del tipo che ha vertice in ( ; ) e passa per il punto ( ; ), quindi: b a a 1 a b c b 9a b c c 1 La parabola ha dunque equazione y x x 1 y ax bx c ; sappiamo Infine, la circonferenza di centro Q(; 1) e raggio QD 5 ha equazione: ( x) ( y1) 5 x y 6x y 5 0, per cui l arco DE fa parte della semicirconferenza di equazione: y x x 1 6 Possiamo pertanto definire la funzione ) nel seguente modo: x 8 se x x x 1 se x 1 ) x se 1 x 1 1 x 6x se 1 x 5 x1 se 5 x 6 b) La funzione ( ) f x è derivabile in ; ; 1 1;1 1;5 5;6 una funzione derivabile in ciascuno degli intervalli aperti poiché è definita da Copyright Zanichelli MATutor (616)

7 Simulazione 01/15 Mostriamo che la funzione è derivabile anche nei punti estremi degli intervalli Poiché ) è continua in tali punti, è sufficiente verificare che il limite da sinistra e il limite da destra della derivata prima, in ciascuno di questi punti, coincidono: lim f '( x) lim, x x lim f '( x ) lim ( x ) ; x x lim f '( x ) lim ( x ), x1 x1 lim f '( x) lim( ), x1 x1 x lim f '( x) lim, x 6x x5 x5 lim f '( x) lim ( ), x1 x1 x lim f '( x) lim, x 6x x1 x1 lim f '( x) lim x5 x5 La funzione ) è dunque derivabile in ] ; 6[ e ammette inoltre derivata destra f '( ) e derivata sinistra f '(6) La derivata prima ha la seguente espressione: se x x se x 1 f '( x) se 1 x 1 x se 1 x 5 x 6x se5 x 6 c) Consideriamo un generico punto P( x; x x 1) sull arco BC, quindi con x 1 Possiamo ricavare l area ( ) Sx del quadrilatero APCO come somma delle aree dei triangoli rettangoli APH e COK, dove H e K sono le proiezioni sull asse x dei punti P ec rispettivamente, e del trapezio rettangolo HPCK, per cui: Copyright Zanichelli 015 MATutor (616)

8 Simulazione 01/15 AH PH PH CK HK CK KO Sx ( ) ( x )( x x 1) ( x x 1)( 1 x) x 1x 1 Valutiamo quando Sx ( ) assume valore massimo: S '( x) x ; S'( x) 0 per x ; S'( x) 0 per x ; S'( x) 0 per x La funzione Sx ( ) è crescente per x e decrescente per massimo per x e in questo caso l area del quadrilatero APCO vale: S 0 max S x, quindi assume valore d) Calcoliamo i due valori esatti richiesti per la funzione integrale: F(0) f ( t) dt (t 8) dt ( t t 1) dt ( t) dt t 8t t t t t 1 1 ; F(1) f ( t) dt F 0 ( t) dt t 1 Valutiamo invece adesso in modo approssimato, con il metodo dei trapezi, il valore F (0), cioè l area sottesa al grafico di ) nell intervallo ;0 Suddividiamo l intervallo ;0 in 8 parti uguali, ciascuna di ampiezza 0,5, e calcoliamo i corrispondenti valori di ), compilando la seguente tabella Copyright Zanichelli MATutor (616)

9 Simulazione 01/15 x 0 x 1 x x x x 5 x 6 x x 8,5,5 1,5 1 0,5 0 0) 1) ) ) ) 5) 6) ) 8) Applichiamo la formula dei trapezi: b a f ( x0 ) f ( x8 ) S f ( x1 ) f ( x ) f ( x ) n Possiamo quindi calcolare l errore relativo percentuale che si compie stimando F (0) con il metodo dei trapezi: 9 F(0) S 1 r 1,1% F(0) 88 e) Calcoliamo i valori F () e F () senza ricorrere al calcolo integrale Per questo valutiamo l area della regione sottesa al grafico di ) negli intervalli 1; e ;, il che implica sostanzialmente calcolare l area dei settori circolari DQN e PQN, dove P e N sono i punti del grafico di ) di ascissa x e x rispettivamente Infatti, dette T e S le proiezioni di D e N sull asse x, e detta la misura in radianti dell angolo DQN ˆ, abbiamo: F () F(1) Area TDQS Area DQN 19 (1 ) 19 5 QD Ricaviamo innanzitutto il valore approssimato di : DR tan QR arctan 1,10 Risulta allora: 19 5 F ( ) arctan 0,566 Copyright Zanichelli MATutor (616)

10 Simulazione 01/15 Analogamente, detta W la proiezione di P sull asse x e la misura in radianti dell angolo ˆ PQN, abbiamo: (1 ) 1 QP 5 F() F() Area WPQS Area PQN F() F() Essendo: PU 1 1 tan arctan 0,6, QU abbiamo: 5 1 F ( ) F() arctan,6 Per simmetria, l area sottesa al grafico nell intervallo ; è uguale a quella dell intervallo ;, quindi: F() F() F() F(), 59 F ( ) F() Riassumendo: 19 F ( 1),, F ( ), 6, F ( ) 0, 566, F ( ), 59, da cui, per il teorema dell esistenza degli zeri, deduciamo che Fx ( 0) 0 per un valore x 0 compreso fra e Infine, ricordando che la pala della turbina è alta 8 cm, otteniamo il volume V richiesto mediante il seguente calcolo integrale: 8 6 ( ) 8 0 ( ) 8 6 ( ) 8 0 ( ) 8 V f x dt f x dx f x dx f x dx f ( x ) dx 0 0 (0) 16 F() F(0) F(0) 16F() 16 0, , 9 8F Il volume complessivamente racchiuso tra il piano xz e le due ali della turbina è di circa 16 cm Copyright Zanichelli MATutor (616)