LE FUNZIONI MATEMATICHE

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1 ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante un grafico conoscere il concetto di equazione CONOSCENZE. il piano cartesiano. il concetto di funzione. la funzione di proporzionalitaá diretta e la sua rappresentazione. la rappresentazione cartesiana di una funzione matematica lineare. la funzione di proporzionalitaá inversa e la sua rappresentazione 6. la proporzionalitaá quadratica ABILITAÁ A. applicare le principali formule del piano cartesiano B. riconoscere ed operare con le principali funzioni C. individuare e rappresentare nel piano cartesiano una funzione di proporzionalitaá diretta D. individuare e rappresentare nel piano cartesiano una funzione lineare E. individuare e rappresentare nel piano cartesiano una funzione di proporzionalitaá inversa F. individuare e rappresentare nel piano cartesiano la proporzionalitaá quadratica PER RICORDARE La rappresentazione cartesiana:. la geometria analitica eá la disciplina che studia le figure geometriche mediante i metodi dell'algebra;. il piano cartesiano si compone di due rette orientate (verso destra e verso l'alto) tra loro perpendicolari che assumono il nome di assi cartesiani: asse delle ascisse (o delle x); asse delle ordinate (o delle y); il punto di intersezione degli assi eá detto origine;. un punto del piano eá individuato da una coppia x; y di numeri; essi corrispondono alla distanza del punto dall'asse orizzontale e verticale; tale coppia prende il nome di coordinate cartesiane;. il piano cartesiano si divide in quattro settori o quadranti: o quadrante: punti con ascissa e ordinata positiva; o quadrante: punti con ascissa negativa e ordinata positiva; o quadrante: punti con ascissa negativa e ordinata negativa; o quadrante: punti con ascissa positiva e ordinata negativa;. la distanza tra due punti A e B: di uguale ordinata eá data dalla differenza delle rispettive ascisse in valore assoluto; di uguale ascissa eá data dalla differenza delle rispettive ordinate in valore assoluto; generici nel piano si calcola costruendo un triangolo rettangolo avente per cateti le proiezioni del segmento AB sugli assi cartesiani e applicando il teorema di Pitagora;

2 LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 6. le coordinate del punto medio M di un segmento AB sono date dalle semisomme delle ascisse e delle ordinate degli estremi del segmento; 7. per rappresentare i poligoni nel piano cartesiano basta individuare i vertici e unirli con spezzate, determinandone cosõá i lati; 8. per calcolare il perimetro dei poligoni nel piano cartesiano basta determinare la misura dei lati mediante le formule per il calcolo della distanza fra due punti e sommare i risultati parziali ottenuti; 9. per calcolare l'area dei poligoni nel piano cartesiano basta determinare la misura delle dimensioni mediante le formule per il calcolo della distanza fra due punti e applicare le formule per il calcolo delle aree. Le funzioni matematiche: 0. una funzione eá una relazione R da A verso B che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B;. il dominio di una funzione f eá l'insieme di elementi di A che sono in corrispondenza con almeno un elemento di B;ilcodominio eá l'insieme di elementi di B che sono in relazione con almeno un elemento di A;. una funzione matematica eá un tipo di funzione in cui il variare della grandezza y rispetto alla grandezza x avviene sulla base di un meccanismo che puoá essere espresso mediante una formula matematica;. una funzione empirica eá un tipo di funzione che non eá esprimibile mediante formule matematiche. La funzione di proporzionalitaá diretta:. due grandezze si dicono direttamente proporzionali se raddoppiando, triplicando, dimezzando... l'una, raddoppia, triplica, si dimezza... anche l'altra;. due grandezze x e y direttamente proporzionali hanno rapporto costante: y x ˆ m; 6. la legge di proporzionalitaá diretta eá rappresentata nel piano cartesiano da una retta passante per l'origine; 7. ogni funzione del tipo y ˆ mx rappresenta l'equazione della retta passante per l'origine; in essa m viene denominato coefficiente angolare e individua l'inclinazione o pendenza della retta rispetto all'asse x: a. se m > 0 le rette del fascio appartengono al o e o quadrante; b. se m < 0 le rette del fascio appartengono al o e o quadrante; c. se m ˆ la retta eá bisettrice del o e o quadrante; d. se m ˆ la retta eá bisettrice del o e del o quadrante; 8. ogni funzione del tipo y ˆ mx q, con m e q costanti, eá rappresentata nel piano cartesiano da una retta; in essa m eá il coefficiente angolare e q eá l'ordinata all'origine; 9. y ˆ k (con k costante) eá l'equazione di una retta parallela all'asse delle x; 0. x ˆ h (con h costante) eá l'equazione di una retta parallela all'asse delle y;. due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare m ˆ m 0 ;. due rette sono perpendicolari se il coefficiente angolare della prima eá l'opposto e il reciproco del coefficiente dell'altro: m ˆ m 0 ;. le coordinate dei punti di intersezione di una retta, di equazione y ˆ mx q, rispettivamente con gli assi x e y, si ottengono ponendo in essa y ˆ 0ex ˆ 0 e calcolando i valori corrispondenti dell'ascissa e dell'ordinata; y y. l'equazione di una retta passante per due punti di coordinate note eá: ˆ x x ; y y x x. l'equazione di una retta passante per un punto P e di coefficiente angolare m eá y y 0 ˆ m x x 0. La funzione di proporzionalitaá inverse e quadratica: 6. due grandezze si dicono inversamente proporzionali se raddoppiando, triplicando, dimezzando... l'una, si dimezza, diventa un terzo, si raddoppia... l'altra; 7. due grandezze x e y inversamente proporzionali hanno il prodotto costante: y x ˆ k;

3 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO 8. la legge di proporzionalitaá inversa eá rappresentata nel piano cartesiano da una iperbole equilatera; 9. due grandezze x e y sono in proporzionalitaá quadratica quando la relazione che le lega eá del tipo y ˆ ax ; 0. la parabola eá l'insieme dei punti del piano descritti dall'equazione y ˆ ax con a costante diversa da zero; la parabola passa per l'origine degli assi ed ha come asse di simmetria la retta x ˆ 0. ESERCIZI DI CONOSCENZA Completa la seguente definizione: la geometria analitica eá la disciplina che studia... mediante... Un punto appartenente al secondo quadrante ha: a. ascissa positiva e ordinata positiva; b. ascissa negativa e ordinata positiva; c. ascissa negativa e ordinata negativa. La misura della distanza tra due punti A e B aventi uguale ordinata eá data: a. dalla differenza delle rispettive ordinate in valore assoluto; b. dalla differenza delle rispettive ordinate; c. dalla differenza delle rispettive ascisse in valore assoluto. La misura della distanza tra due punti A e B aventi uguale ascissa eá data: a. dalla differenza delle rispettive ordinate in valore assoluto; b. dalla differenza delle rispettive ordinate; c. dalla differenza delle rispettive ascisse in valore assoluto. Completa la seguente regola: per determinare la distanza tra due punti generici A e B nel piano cartesiano si calcola la misura dell'ipotenusa del... avente per cateti... 6 Qual eá la formula per calcolare le coordinate del punto medio di un segmento AB? a. x M ˆ x A x B e y M ˆ y A y B ; b. x M ˆ x A x B e y M ˆ y A y B ; c. x M ˆ xa x B e y M ˆ ya y B. 7 Completa le seguenti definizioni: a. una funzione eá una relazione R da A verso B che... ad ogni elemento di A... elemento di B; b. si chiama grandezza costante una grandezza i cui valori numerici...; c. si chiama grandezza... una grandezza che puoá assumere diversi valori numerici; d. la funzione matematica eá un tipo di funzione in cui il variare... rispetto alla x avviene sulla base di un meccanismo che puoá essere espresso mediante una...; e. le funzioni empiriche sono funzioni che... mediante......; f. due grandezze sono direttamente proporzionali... eá costante. 8 Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se: a. raddoppiando, triplicando,... l'una, l'altra si dimezza, diventa un terzo,...; b. raddoppiando, triplicando,... l'una, l'altra raddoppia, triplica,...; c. non c'eá un particolare legame tra le due grandezze.

4 LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 9 Con quale tipo di grafico si rappresenta una proporzionalitaá diretta nel piano cartesiano? 0 Cosa rappresenta m nell'equazione di una retta espressa nella forma y ˆ mx? Completa la seguente proprietaá. La funzione y ˆ mx rappresenta un fascio di rette passanti per l'origine; in particolare: a. se m < 0 le rette appartengono al...; b. se m > 0 le rette appartengono al...; c. se m ˆ la retta eá la...; d. se m ˆ la retta eá la... Tanto piuá eá alto il valore del coefficiente angolare m, tanto piuá l'inclinazione della retta tende a formare un angolo di: a. rispetto al semiasse positivo delle ascisse; b. 80 rispetto al semiasse positivo delle ascisse; c. 90 rispetto al semiasse positivo delle ascisse. Completa le seguenti proprietaá: a. l'equazione y ˆ mx q rappresenta...; b. l'equazione y ˆ k rappresenta una retta...; c. l'equazione x ˆ h rappresenta una retta... Due rette parallele: a. hanno lo stesso coefficiente angolare; b. hanno coefficienti angolari opposti e reciproci; c. hanno coefficienti angolari opposti. Qual eá la formula che permette di determinare l'equazione di una retta passante per due punti di coordinate note: y a. y ˆ x x y y ; b. ˆ x x y y ; c. ˆ x x. y y x x y y x x y y x x 6 Qual eá la formula che permette di determinare l'equazione di una retta passante per un punto P edi coefficiente angolare m: a. y y 0 ˆ m x 0 x ; b. y y 0 ˆ m : x x 0 ; c. y y 0 ˆ m x x 0. 7 Completa la seguente definizione: due grandezze si dicono inversamente proporzionali se raddoppiando, triplicando, dimezzando... l'una,... l'altra. 8 Due grandezze sono inversamente proporzionali se: a. il loro rapporto eá costante; b. il loro prodotto eá costante; c. la loro somma eá costante. 9 Da quale curva eá rappresentata nel piano cartesiano la legge della proporzionalitaá inversa? 0 Completa la seguente definizione: due grandezze x e y sono in proporzionalitaá quadratica quando la relazione che le lega si puoá esprimere con una formula del tipo... Completa la seguente definizione: una funzione del tipo y ˆ ax (con a 6ˆ 0) eá l'equazione di una... avente come asse di simmetria... e come vertice...; in particolare: se a > 0 la concavitaá della curva eá...; se a < 0 la concavitaá della curva eá...

5 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO BASE * I punti nel piano cartesiano Rappresenta in un piano cartesiano i punti A ; ; B ; ; C ; e D ;. Il punto A ha i valori dell'ascissa e dell'ordinata entrambi positivi e si trova nel primo quadrante. Il punto B ha il valore dell'ascissa negativo e quello dell'ordinata positivo e si trova nel secondo quadrante. Il punto C ha i valori dell'ascissa e dell'ordinata entrambi negativi; si trova nel terzo quadrante. Il punto D ha il valore dell'ascissa positivo e quello dell'ordinata negativo; si trova nel quarto quadrante. Rappresenta in un piano cartesiano i punti A ; ; B ; ; C ; e D ;. La distanza di due punti Calcola la distanza tra i punti A ; e B ;. Applichiamo la formula relativa alla distanza: AB ˆ q x A x B y A y B ˆ q ˆ q ˆ p 9 6 ˆ p ˆ. Calcola la distanza tra i punti A ; e B ;. 6 Calcola le coordinate del punto medio M del segmento di estremi A ; e B ;. 7 Il punto medio di un segmento Calcola le coordinate del punto medio M del segmento di estremi A ; e B 6;. Indichiamo con x M e y M le coordinate del punto medio M del segmento AB ed applichiamo le formule relative: ˆ 6 ˆ quindi M ; x M ˆ xa x B ˆ 6 ˆ y M ˆ ya y B ˆ Il codominio di una funzione Osserva il diagramma a lato che rappresenta una funzione da A in B. Determina il codominio.

6 6 LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS L'insieme degli elementi di B che sono in relazione con almeno un elemento di A eá formato dagli elementi e. Quindi il codominio eá f; g. 8 Osserva il diagramma a lato che rappresenta una funzione da A in B. Determina il dominio e il codominio. 9 La tabulazione di una funzione Dato il dominio A ˆ ; ; ; 7 e la funzione y ˆ x risultati ottenuti in una tabella. calcola il codominio e disponi i 0 Dato il dominio A ˆ ;; ; ; 7 risultati ottenuti in una tabella. Per determinare i valori di y, basta attribuire alla variabile indipendente x la serie di valori numerici con x A e ottenere cosõá i corrispondenti valori della variabile dipendente y: x ˆ! y ˆ ˆ ˆ ˆ x ˆ! y ˆ ˆ ˆ 8 x ˆ x ˆ 7! y ˆ ˆ ˆ ˆ 6 ˆ! y ˆ 7 ˆ La tabella richiesta eá pertanto: x y ˆ 8 0 ˆ ˆ 0 Le funzioni matematiche Ricava la funzione matematica relativa alla seguente tabella: x 6 y e la funzione y ˆ x calcola il codominio e disponi i I valori della variabile y si ottengono moltiplicando i valori della variabile x per ; pertanto la funzione matematica relativa eá y ˆ x.

7 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO 7 Ricava la funzione matematica relativa alla seguente tabella: x y Le funzioni matematiche nel piano cartesiano Rappresenta nel piano cartesiano la funzione y ˆ x. Fissiamo alcuni valori per la variabile indipendente x e determiniamo i corrispondenti valori della variabile dipendente y. Rappresenta nel piano cartesiano la funzione matematica y ˆ x. x 0 y 0 Possiamo determinare il grafico della funzione costruendo la retta che passa per i punti evidenziati. Il coefficiente di proporzionalitaá diretta Calcola il coefficiente di proporzionalitaá diretta corrispondente alla coppia di valori x, y della seguente tabella: x 6 y Il coefficiente di proporzionalitaá diretta eá dato dal rapporto y x ˆ vale. ˆ ˆ, quindi tale rapporto 6 6 Calcola il coefficiente di proporzionalitaá diretta corrispondente alla coppia di valori x, y della seguente tabella: 7 x 6 y La retta passante per due punti Scrivi l'equazione della retta che passa per i punti A ; e B ;. Basta sostituire nell'equazione y y ˆ x x le coordinate dei punti A e B: y y x x

8 8 LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS y ˆ x! y ˆ x! y ˆ x 0! 8 Scrivi l'equazione della retta che passa per l'origine e per il punto A ;. 9 Scrivi l'equazione della retta che passa per i punti A ; e B ;. 0! y ˆ x 0! y ˆ x 0! y ˆ x L'equazione di una retta Trova l'equazione della retta di coefficiente angolare m ˆ passante per il punto A ;. La formula che consente di trovare l'equazione eá y y 0 ˆ m x x 0 dove m eá il coefficiente angolare e x 0 e y 0 sono le coordinate del punto. Quindi avremo: y ˆ x! y ˆ x 6! y ˆ x 6! y ˆ x 7 Determina l'equazione della retta di coefficiente angolare m ˆ passante per il punto A ;. Il coefficiente di proporzionalitaá inversa Calcola il coefficiente di proporzionalitaá inversa corrispondente alla coppia di valori x, y della seguente tabella: x y Il coefficiente di proporzionalitaá inversa eá dato dal prodotto x y ˆ ˆ ˆ, quindi tale coefficiente vale. Calcola il coefficiente di proporzionalitaá inversa corrispondente alla coppia di valori x, y della seguente tabella: x y 6 0, ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO MEDIO ** La simmetria in un piano cartesiano Rappresenta in un piano cartesiano il punto A ; ; traccia i suoi punti simmetrici rispetto all'asse x, all'asse y e all'origine e scrivi le rispettive coordinate.

9 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO 9 Rappresenta in un piano cartesiano il punto A ; ; trova il punto A 0 simmetrico rispetto all'asse x, il punto A 00 simmetrico rispetto all'asse y e A 000 simmetrico rispetto all'origine. Per calcolare le coordinate del punto simmetrico di A: rispetto all'asse x basta cambiare il segno all'ordinata ottenendo il punto A 0 :::::; ::::: ; rispetto all'asse y basta cambiare il segno... ottenendo il punto...; rispetto all'origine basta cambiare il segno... ottenendo il punto... La distanza di due punti Calcola la distanza tra i punti A ; 0 e B 8;. q AB ˆ x A x B y A y B ˆ q 8 0 ::::: ˆ p ::::: ˆ p ::::: ˆ p ::::: ˆ. Calcola la distanza tra i punti A ; e B ;. 6 Calcola le coordinate del punto medio M del segmento di estremi A ; 7 Il punto medio di un segmento Calcola le coordinate del punto medio M del segmento di estremi A ; e B ;. Indichiamo con x M e y M le coordinate del punto medio M del segmento AB ed applichiamo le formule relative: x M ˆ xa x B ˆ ::: ˆ ˆ ::: ˆ y M ˆ ya y ::: ::: B ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ::: Possiamo concludere che le coordinate del punto medio M sono ; e B ;. Il codominio di una funzione Dato l'insieme A ˆf; ; g, dominio della funzione f x ˆ x, determina il codominio. Per x ˆ! il corrispondente valore della y vale: :::::: ˆ :::::: ˆ Per x ˆ! il corrispondente valore della y vale: :::::: ˆ :::::: ˆ :::::: Per x ˆ! il corrispondente valore della y vale: :::::: :::::: ˆ :::::: :::::: ˆ :::::: Il codominio eá dato quindi dall'insieme B ˆf; 0; g. 8 Dato l'insieme A ˆf ; ; g, dominio della funzione f x ˆ x, determina il codominio. 8.

10 0 LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 9 La tabulazione di una funzione Dato il dominio A ˆ ; ; ;; e la funzione f x ˆ x disponi i risultati ottenuti in una tabella. calcola il codominio e 0 Dato il dominio A ˆ ; ; ; risultati ottenuti in una tabella. Per determinare i valori di y, basta attribuire alla variabile indipendente x la serie di valori numerici con x A e ottenere cosõá i corrispondenti valori della variabile dipendente y: x ˆ x ˆ x ˆ! y ˆ ::::: ˆ ˆ :::::! y ˆ ::::: ˆ ˆ ::::: ::::: ::::: ˆ ::::: ˆ :::::! y ˆ ::::: ::::: ˆ ::::: ::::: ˆ :::::::::: ˆ ::::: ::::: x ˆ! y ˆ ::::: ::::: ::::: ˆ ::::: ::::: ˆ :::::::::: ˆ ::::: ::::: x ˆ! y ˆ ::::: ::::: ::::: ::::: ˆ ::::: ::::: ::::: ˆ :::::::::: ˆ ::::: ::::: La tabella richiesta eá pertanto: x y 6 e la funzione f x ˆ x calcola il codominio e disponi i Le funzioni matematiche nel piano cartesiano Rappresenta nel piano cartesiano la funzione matematica y ˆ x. Determiniamo i valori della variabile dipendente y dopo aver fissato quelli della variabile indipendente x. x 0 y Riporta sul piano cartesiano a lato i punti trovati e uniscili in modo da formare una... 7 Rappresenta nel piano cartesiano la funzione matematica y ˆ x. Ricavare la funzione matematica dal grafico relativo Dopo aver ricavato i valori di x ediy dal seguente diagramma cartesiano, individua la funzione matematica che esso rappresenta.

11 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO In base all'unitaá di misura del grafico, determiniamo i valori della variabile x e della variabile y, in corrispondenza di alcuni punti. Otteniamo cosõá alcune coppie di valori della funzione cercata: A ; ::::: ; B :::::; :::::. Analizzando tali coppie rileviamo che in tutti i casi i valori della y sono il... del corrispondente valore della x. Pertanto la funzione matematica rappresentata dal grafico eá y ˆ :::::x. Dopo aver ricavato i valori di x ediy dal seguente diagramma cartesiano, individua la funzione matematica che esso rappresenta. L'appartenenza di un punto ad una retta Verifica graficamente e algebricamente se i punti M ; e N ; appartengono alla retta di equazione y ˆ x. Verifica grafica Attribuiamo alla x valori appartenenti all'insieme Z compresi tra e, calcoliamo i valori corrispondenti della y e costruiamo il relativo grafico. per x ˆ y ˆ ˆ ˆ M ; per x ˆ y ˆ ˆ ˆ A ; per x ˆ 0 y ˆ ::: ˆ ::: ˆ B 0; per x ˆ y ˆ ::: ::: ˆ ::: ˆ 0 C ; 0 per x ˆ y ˆ ::: ::: ˆ ::: ::: ˆ ::: D ; Come possiamo notare, il punto M ; appartiene alla retta y ˆ x ; il punto N ;... a quest'ultima. Verifica algebrica Se nell'equazione y ˆ x, sostituiamo, alla x ed alla y rispettivamente l'ascissa e l'ordinata del punto M ;, otteniamo: ˆ! ˆ Poiche le coordinate del punto M soddisfano l'equazione, possiamo affermare che esso... alla retta y ˆ x. Ripetendo lo stesso procedimento per il punto N ;, otteniamo: :::::::::: ˆ! 6ˆ e quindi il punto... non appartiene alla retta y ˆ x. 6 Verifica graficamente e algebricamente se i punti M ; e N ; appartengono alla retta r di equazione y ˆ x.

12 LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 7 Il punto di intersezione di due rette Determina algebricamente le coordinate del punto di intersezione P delle rette di equazione r : y ˆ x e s : y ˆ x. Dopo aver verificato che le due rette r e s non sono parallele (m ˆ em ˆ ) mettiamo in relazione di uguaglianza i due secondi membri delle equazioni delle rette e calcoliamo il valore della x: x ˆ x! x x ˆ! x ˆ ::::::! x ˆ ::::! x ˆ. Sostituiamo ora il valore x ˆ in una delle due equazioni delle rette e calcoliamo cosõáil valore della y: y ˆ x y ˆ y ˆ ::::: Quindi il punto di intersezione P delle rette r e s ha come ascissa e ordinata rispettivamente e, P :::::; :::::. Notiamo che, sostituendo il valore x ˆ nell'equazione y ˆ x, avremmo ancora ottenuto lo stesso risultato, infatti: y ˆ x y ˆ y ˆ. Per comprendere meglio il risultato abbiamo inoltre rappresentato nel piano le due rette. 8 Determina algebricamente le coordinate del punto di intersezione P delle rette di equazione r : y ˆ x e s : y ˆ x. 9 0 Scrivi l'equazione della retta che passa per i punti A ; e B ;. La retta passante per due punti Scrivi l'equazione della retta che passa per i punti A ; e B ;. Per trovare l'equazione della retta passante per due punti A e B di coordinate note, basta sostituire nell'equazione y y y y ˆ x x x x le coordinate dei punti A e B: y ::::: ::::: ˆ x :::::! y ::::: ˆ x ::::: ::::::::! y ˆ ::::: ::::: x :::::! y ˆ x ::::: ::::: L'equazione di una retta Trova l'equazione della retta di coefficiente angolare m ˆ passante per il punto A ;. La formula che consente di trovare l'equazione eá y y 0 ˆ m x x 0. Quindi avremo: y ˆ ::::: x :::::! y ::::: ˆ ::::: x :::::! y ˆ x :::::! y ˆ x ::::: Trova l'equazione della retta di coefficiente angolare m ˆ passante per il punto A ;.

13 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO L'appartenenza di un punto ad un'iperbole equilatera Verifica graficamente e algebricamente se i punti M ; 6 e N ; appartengono all'iperbole equilatera y ˆ 6 x. Verifica grafica Attribuiamo alla x dei valori numerici positivi, calcoliamo i corrispondenti valori della y e costruiamo il grafico: per x ˆ! y ˆ ::::::! M ; :::::: per x ˆ! y ˆ ::::::! A ::::::; :::::: per x ˆ! y ˆ ::::::! B ; :::::: per x ˆ 6! y ˆ ::::::! C ::::::; :::::: Dal grafico si capisce che il punto M ; :::::... all'iperbole; mentre il punto N ;... a quest'ultima. Verifica algebrica Se nella funzione y ˆ 6 sostituiamo alla x e alla y rispettivamente l'ascissa e l'ordinata del punto M, x otteniamo: y ˆ 6! 6 ˆ 6! 6 ˆ 6. x Le coordinate di M soddisfano la funzione, possiamo affermare quindi che il punto M... all'iperbole. Ripetendo lo stesso procedimento per il punto N, otteniamo ˆ 6 : cioeá il punto... all'iperbole. Verifica graficamente e algebricamente se i punti B ; e F ; appartengono all'iperbole equilatera y ˆ 8 x. ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO AVANZATO *** Rappresenta nel piano cartesiano i punti A ;, B ; 7, C ; 6, D 8; ; stabilisci di che tipo di quadrilatero si tratta e calcola il perimetro e l'area. Dati il dominio A ˆ ;; ; e la funzione f x ˆ x, determina il codominio. Siano dati gli insiemi A ˆf; ; ; ; g e B ˆf ; 8; ; 6; 0g. Individua una possibile relazione R da A in B tra gli elementi dei due insiemi facendo in modo di ottenere una funzione. Determina, inoltre, la formula matematica che lega le due variabili x e y e rappresenta la funzione con un diagramma cartesiano. Dato il coefficiente di proporzionalitaá diretta k ˆ completa la seguente tabella; determina la funzione matematica di proporzionalitaá e rappresentala graficamente in un piano cartesiano. x y

14 LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Verifica graficamente e algebricamente se il punto P ; appartiene alla retta y ˆ x. 6 Determina, senza rappresentazione grafica, il punto in cui la retta y ˆ x interseca l'asse y. 7 Determina graficamente ed algebricamente il punto di intersezione tra le rette r e s di equazione rispettivamente y ˆ x ey ˆ x. 8 Scrivi l'equazione della retta passante per i punti A ; e B ;. 9 Scrivi l'equazione della retta parallela alla retta di equazione y ˆ x e passante per P ;. 0 Scrivi l'equazione della retta perpendicolare alla retta di equazione y ˆ x e passante per P ;. Rappresenta nel piano cartesiano la circonferenza di centro O passante per il punto K 8; ; calcola quindi la misura della circonferenza e l'area del cerchio corrispondente. Dato il coefficiente di proporzionalitaá inversa k ˆ 8 completa la seguente tabella; determina la funzione matematica di proporzionalitaá e rappresentala graficamente in un piano cartesiano. x 8 y Dati i punti del piano A ; e B ; 6 verifica algebricamente se i punti A e B appartengono alla parabola y ˆ x. Determina graficamente i punti di intersezione della parabola di equazione y ˆ x con la retta di equazione y ˆ x. SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI CONOSCENZA le figure geometriche, i metodi algebrici. b. c. a. triangolo rettangolo, le proiezioni del segmento AB sugli assi cartesiani. 6 c. 7 a. associa, uno ed un solo; b. non cambiano nel tempo; c. variabile; d. della y, formula matematica; e. non sono esprimibili, formule matematiche; f. se il loro rapporto. 8 b. 9 una retta passante per l'origine degli assi. 0 l'inclinazione rispetto all'asse x: a. e quadrante; b. e quadrante; c. bisettrice del e quadrante; d. bisettrice del e quadrante. c. a. l'equazione di una retta generica; b. parallela all'asse delle x; c. parallela all'asse delle y. a. b. 6 c. 7 si dimezza, diventa un terzo, si raddoppia. 8 b. 9 iperbole equilatera. 0 y ˆ ax. parabola, l'asse y, l'origine degli assi, rivolta verso l'alto, rivolta verso il basso.

15 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO BASE p 6,7. 6 M ;. 8 D ˆf; g; C ˆfag. 0 y ˆ x. x 7 y coefficiente ˆ. 8 y ˆ x: 9 y ˆ x : y ˆ x : coefficiente ˆ : VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO MEDIO A 0 ; ; all'ascissa, A 00 ; ; ad ascissa e ordinata, A 000 ;. A 0 ; ; A 00 ; ; A 000 ;. AB ˆ q x A x B y A y B ˆ q 8 0 ˆ p ˆ ˆ ˆ ; y M ˆ. x M ˆ ˆ 6 M 7 8 ; 8 B ˆf; 0; g. 9 y ˆ ˆ ˆ ˆ 6 6 ; y ˆ y ˆ ˆ p ˆ 6 ˆ p 69 ˆ. ˆ ˆ ˆ 6 ˆ ; ˆ 9 ˆ 0; ˆ ˆ. ˆ ˆ ˆ ; ˆ ˆ 6 ˆ ; y ˆ ˆ ˆ ˆ ; y ˆ ˆ ˆ 6 ˆ 7 ; x y x y 7 6

16 6 LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS x 0 retta; y A ;, B ˆ ;, doppio, y ˆ x. y ˆ x. y ˆ ˆ ˆ ; y ˆ 0 ˆ 0 ˆ ; y ˆ ˆ ˆ 0; y ˆ ˆ ˆ ; non appartiene; appartiene; ˆ ; N. 6 ; M = r; N r. 7 x ˆ! x ˆ ; y ˆ ; P ;. 8 P 7; 7). 9 y ˆ x! y ˆ x! y ˆ x! y ˆ x 7. 0 y ˆ x. y ˆ x! y ˆ x! y ˆ x! y ˆ x 9. y ˆ x. x ˆ! y ˆ 6! M ; 6 ; x ˆ! y ˆ! A ; ; x ˆ! y ˆ! B ; ; x ˆ 6! y ˆ! C 6; ; M ; 6 appartiene; non appartiene; appartiene; N non appartiene. ˆ 8 8 vera! B iperbole; ˆ falsa! F 6 iperbole. VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO AVANZATO trapezio rettangolo; p ˆ 7,07; A ˆ 7,0. C ˆ 8 ; 7 ; 0 ;. y ˆ x; x y y ˆ x P appartiene alla retta. 6 0;. 7 P ; ; 8 y ˆ x 6. 9 y ˆ x : 0 y ˆ x. C ˆ ; A ˆ 89. x 8 y 8 y ˆ 8 x ; A non appartiene alla parabola, B appartiene alla parabola. A 0; 0 ; B ;.