B. Vogliamo determinare l equazione della retta

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1 Risoluzione quesiti ordinamento Quesito N.1 Indicata con α la misura dell angolo CAB, si ha che: 1 Area ( ABC ) = AC AB sinα = 3 sinα π 3 sinα = 3 sinα = 1 α = Il triangolo è quindi retto in A. La misura del terzo lato BC è pertanto: BC = + 3 = 13. Quesito N. Determiniamo il dominio della funzione f ( ) = D = R / 1 Quindi il dominio della funzione è: { } Quesito N.3 Consideriamo nel piano cartesiano i punti A(, 1) e ( 6, ) passante per il punto B e avente massima distanza dal punto A. Prima risoluzione Indico con AH la distanza di A dalla retta generica r passante per il punto B. L equazione della generica retta passante per B è: y + = m( + 6) H appartiene alla circonferenza di diametro AB. Il massimo valore di AH si ha quando H coincide con B e quindi quando la retta r è tangente alla circonferenza in B. B. Vogliamo determinare l equazione della retta

2 Determiniamo il coefficiente angolare della retta AB e deduciamo quello della retta r ad essa perpendicolare. y m( AB) = = m( r) = Equazione retta r : y + = ( + 6) + y + 14 = Seconda soluzione Consideriamo l equazione della generica retta r passante per il punto B : y m( 6) la distanza del punto A da tale retta è data da: m (, ) = = d A r f m Quindi: f m 1+ m m, m m 1+ m = = 1+ m m, m < 1+ m Studio la crescenza / decrescenza della funzione prima. Derivando si ottiene: f ' ( m) m +, m > ( 1 ) ( 1 ) + m + m = m +, m < ( 1+ m ) ( 1+ m ) Il segno della derivata prima è: f '( m ) > per f '( m ) < per m < m > < m < f ( m ) presenta un massimo relativo per + = +. f m continua in R, attraverso lo studio del segno della derivata la funzione non è derivabile per m =. m =

3 m lim = e m f = massimo assoluto per m =. Equazione retta è quindi: + y + 14 =. Poiché il Il grafico della funzione f ( m ), non richiesto, è il seguente:, possiamo concludere che la funzione f ( m) ha un Quesito N.4 Determiniamo il volume del tronco di piramide. Consideriamo il tronco di piramide che ha per basi il quadrato ABCD di lato a e il quadrato A1 B1C 1D 1 di lato b. HH e Indichiamo con h l altezza del tronco di piramide 1 VH, quindi VH = + h. con la misura del segmento 1 Il volume del tronco di piramide è dato dalla differenza tra il volume V della piramide VABCD e il volume V ' della VA B C D. piramide a h + b V(..) = V V ' = * t p 3 3 VA B C D sono La piramide VABCD e la piramide simili, quindi possiamo scrivere la seguente proporzione: a : b = + h : a b : b = h : b = h a b a + h = h a b Sostituendo nella * otteniamo: a h + b a a b b h a b h a b V( t. p. ) = = h h = = a b 3 a b 3 a b a b 3 a b h V( t. p. ) = ( a + ab + b ) 3

4 Quesito N.5 Il volume iniziale della valigia è Se ciascuna dimensione viene aumentata dell r %, si ha che: a a + r% a = a 1 + r% b b + r% b = b 1 + r% c c + r% c = c 1 + r% Il volume finale sarà pertanto: V = a b c ( 1 %) ( 1 %) ( 1 %) ( 1 %) ( 1 %) 3 3 V = a + r b + r c + r = + r a b c = + r V L aumento percentuale sarà pertanto: 3 V V ( 1 + r% ) V V 3 1 = 1 = 1 + % 1 1 V V Per % = 1% ( r ) r, otteniamo per l aumento percentuale: 3 Per % = % r, otteniamo per l aumento percentuale: 3 Per % = 5% r, otteniamo per l aumento percentuale: % % 1+ % 1 1 3% 1+ 5% %, quasi il raddoppio. Quesito N. 6 Se vogliamo disporre i numeri in ordine crescente il minore sarà: mentre il maggiore sarà I numeri, una volta ordinati, si presenteranno prima con la cifra 1, poi con la cifra,..quanti sono i numeri che iniziano con la cifra 1? Sono tanti quanti sono le permutazioni delle cifre rimanenti, cioè 6!=. Il numero più grande tra questi è: (che occupa il posto). Il numero immediatamente successivo avrà come prima cifra e sarà: (occupa il 1 posto). Per trovare il numero che occupa la settima posizione, osserviamo che se nel primo numero permutiamo le ultime due cifre abbiamo solo!= possibilità, se permutiamo le ultime tre cifre abbiamo 3!=6 possibilità. Il numero che occupa la sesta posizione è: Quello immediatamente successivo, che quindi occupa la settima posizione, è: Quindi il numero che occupa la settima posizione è mentre quello che occupa la 1 posizione è Quesito Un foglio rettangolare, di dimensioni a, b ha area 1m e forma tale che, tagliandolo a metà (parallelamente al lato minore) si ottengono due rettangoli simili a quello di partenza. Quali sono le misure di a, b? a Con riferimento alla figura deve essere a : b = b : (significa che b è medio a proporzionale tra a e ) da cui a = b ovvero a = b Poiché è a b =1m, è ancora a = m, cioè a = 4 m e conseguentemente b = 1 4 m.

5 Osservazione I numeri 4 e 4 1 sono numeri irrazionali (in scrittura decimale, né limitati, né periodici) ma sono numeri euclidei, costruibili elementarmente con riga e compasso. Una calcolatrice però ci dà subito i valori adeguati alla precisione che vogliamo: 4 = e = Perciò, arrotondando ai millimetri, = 119 misure richieste. a mm e b = 41 mm, che sono le Nota: Il problema è di grande rilevanza pratica. Infatti le dimensioni trovate sono quelle del formato capostipite della serie di formati stabiliti dall International Organization for Standardization (cui è federato il nostro UNI- Ente Nazionale di Unificazione): proseguendo nel dimezzare il lato maggiore dei rettangoli simili si ottengono le misure che danno il formato alla carta da lettera, A4 (quarto dimezzamento, 19mm), al formato cartolina, A6 (1514) e a tutti gli altri formati utilizzati comunemente nel mondo intero. Una novità: dall anno scolastico corrente anche il modello di diploma di scuola secondaria superiore si uniforma ai formati internazionali. Fino allo scorso anno aveva dimensioni, adesso, lo stabilisce la C.M. n. 44 del 9 maggio 13, sarà stampato nel formato A3 (9 4 mm) Quesito = La funzione f ha il grafico in figura. Se g ha un minimo? Si illustri il ragionamento seguito. g f t dt, per quale valore positivo di, La risposta al quesito la cercheremo seguendo due diversi ragionamenti: 1. Per sapere se g ( ) ha un minimo dobbiamo guardare alla sua derivata ' Qual è g '( )? g. Dal secondo teorema fondamentale del calcolo noi sappiamo che f ( t) dt = f ( ) costante. Di qui segue che ' = d d c, dove c è una g f. Il grafico di f è zero in =, =, = 4. In uno di questi punti ci può essere un minimo. Possiamo escludere = perché cerchiamo un valore positivo. Allora dal grafico vediamo che f è negativa a sinistra di = 4 e positiva alla sua destra. Ciò equivale a dire g ha un punto di minimo in = 4 che.. Per trovare la risposta al quesito seguiamo ora la via geometrica. La funzione g ( ) = f t dt [è anche detta funzione di accumulazione] rappresenta l area della regione compresa tra la curva e l asse, da zero a. Quindi il valore di g cresce da = a = ma da = a = 4, è dunque negativa e la sottraiamo dalla prima. La funzione, g ( ) ha un minimo. cominciare di nuovo a crescere: in = 4 l area è al di sotto dell asse g decresce fino a = 4 per poi

6 Quesito N. 9 Calcolare il sin cos sen lim 4 Il limite si presenta nella forma indeterminata ( ) ( )( + ) ( cos + 1) sin cos sen sin cos 1 sin cos 1 cos 1 lim 4 = 4lim = 4lim = sin cos 1 sin sin sin sin = 4lim = 4lim = 4lim = ( cos + 1) ( cos + 1) ( cos + 1) Il limite poteva anche essere calcolato applicando due volte il teorema di L Hopital. Quesito N. 1 La risposta corretta è la A in quanto è l unico grafico nel quale la funzione è positiva < > (dove la curva è crescente), negativa per < < dove la curva è decrescente.