I PROBLEMI ALGEBRICI

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1 I PROBLEMI ALGEBRICI La risoluzione di problemi è una delle attività fondamentali della matematica. Una grande quantità di problemi è risolubile mediante un modello algebrico costituito da equazioni e disequazioni. Le fasi da attuare per la risoluzione sono: FASE A: ANALISI DEL TESTO Dopo una prima lettura sommaria del testo italiano, occorre ripartire da capo, anche più volte, e smontare il testo in tante piccole parti che danno le indicazioni necessarie alla identificazione di tutto ciò che serve per risolvere il problema Rappresentazione grafica (disegno geometrico, simbolico, ) Identificazione dei dati (costanti e variabili) Identificazione delle relazioni tra i dati (esplicite o implicite) Identificazione delle richieste (grandezze da determinare) FASE B: COSTRUZIONE DEL MODELLO MATEMATICO E la fase più delicata. Si deve riuscire a tradurre tutte le indicazioni del testo in linguaggio matematico, utilizzando strutture e simboli per le variabili del problema. Le relazioni tra i dati diventano equazioni e disequazioni. Il problema algebrico è risolubile quando si hanno tante equazioni quante sono le variabili Organizzazione dei dati (costruzione di liste, alberi, tabelle, grafi, ) Traduzione delle relazioni in forma matematica (equazioni, disequazioni, ) FASE C: RISOLUZIONE DEL MODELLO MATEMATICO Una volta costruito il modello matematico, la sua risoluzione è un procedimento algoritmico che, in prima approssimazione, per i problemi algebrici utilizza la risoluzione di equazioni e si può così descrivere 1. Definizione di una incognita, del suo dominio e dei suoi vincoli 2. Determinazione delle altre variabili in funzione dell incognita 3. Determinazione di una relazione finale (equazione risolvente) tra dati costanti e variabili in funzione dell incognita 4. Risoluzione dell equazione risolvente e verifica della soluzione 5. Determinazione dei valori di tutte le variabili FASE D: CONCLUSIONE DEL PROBLEMA La determinazione di tutti i valori ci permette di calcolare ulteriori grandezze richieste, dopo di che si deve rispondere alle domande in coerenza al contesto del problema Ulteriori calcoli elementari Risposta a tutte le domande del problema

2 ESEMPIO N. 1 L età di Aldo è i quattro terzi dell età di Beatrice e la differenza di età tra i due amici è di quattro anni. Quanti anni hanno i due amici? Fase A: analisi del testo (mentale) l età di Aldo è una variabile (numero non noto) che indichiamo con un simbolo l età di Beatrice è una variabile (numero non noto) che indichiamo con un simbolo l età di Aldo è i quattro terzi dell età di Beatrice è una relazione tra le due variabili la differenza di età tra i due amici è di quattro anni è una relazione tra le due variabili Quanti anni hanno i due amici? è la richiesta del problema, richiesta dei due numeri Non c è bisogno di particolari rappresentazioni, per cui la dichiarazione delle variabili è età di Aldo = A età di Beatrice = B e le due relazioni sono tradotte con 1 a A = 4/3 B 2 a A B = 4 mentre le richieste del problema sono A =? B =? 1. Poniamo B come incognita (*) e, poiché è l età di una persona, dovrà essere un numero naturale; inoltre, l età di una persona non può essere grande a piacere, perciò la pensiamo non superiore a 120 anni. In sintesi, B = x x N x Determiniamo il valore di A dalla prima relazione A = 4/3 x 3. La seconda relazione ci dà l equazione risolvente sostituendovi le espressioni di A e di B: 4/3 x x = 4 4. Risolta, porta a x = 12 che è un valore accettabile (naturale e minore di 120) 5. Dunque, abbiamo il valore di B = 12 e quello di A = 4/3 12 A = 16 Risposta: Aldo ha 16 anni e Beatrice ne ha 12 La scelta di B come incognita è stata fatta osservando che se il valore di B è x allora la 1 a relazione ci dice subito il valore di A (passo 2)!

3 ESEMPIO N. 2 In un rettangolo la base è 4/3 dell altezza e la loro differenza è di 4 cm. Determinare l area del rettangolo Fase A: analisi del testo (mentale) D C Occorre una rappresentazione grafica (geometrica) La base e l altezza del rettangolo sono due variabili la base è 4/3 dell altezza e la loro differenza è di 4 m sono due relazioni l area del rettangolo è la richiesta del problema A B lunghezza della base = AB lunghezza dell altezza = BC AB = 4/3 BC (*) AB BA = 4 La coppia di relazioni è identica a quella del problema 1!! Area(ABCD) =? per cui la risoluzione algebrica è uguale (non nei vincoli). 1. BC = x x Q x > 0 2. AB = 4/3 x 3. Relazione finale 4/3 x x = 4 (equazione risolvente) 4. Soluzione x = 12 accettabile (razionale e positivo) 5. BC = 12 m AB = 4/3 12 m AB = 16 m L area del rettangolo si trova come prodotto tra base e altezza Area = AB BC Area = 16 m 12 m Area = 192 m 2 Risposta: l area del rettangolo è 162 m 2 Il modello a due equazioni con due variabili, o a tre equazioni con tre variabili (e, in generale, a n equazioni con n variabili) è un oggetto matematico definito SISTEMA che può essere manipolato con diversi metodi (algoritmi) sino ad arrivare alla determinazione di tutte le sue variabili. Qui viene applicato un algoritmo molto simile ad uno dei metodi risolutivi dei sistemi.

4 ESEMPIO N. 3 Per acquistare un auto del costo di euro Luigi paga un anticipo, poi, dopo sei mesi, una quota superiore di 500 euro ai due terzi dell anticipo e, alla fine dell anno, il saldo di euro (il tutto senza interessi). Quanto ha dato di anticipo? Fase A: analisi del testo (mentale) costo dell auto = costante anticipo = variabile quota = variabile saldo = costante quota superiore di 500 euro ai due terzi dell anticipo è una relazione Due variabili e una sola relazione: manca una relazione! (*) L ammontare dell anticipo è la richiesta costo dell auto = anticipo = a quota = q q = ⅔ a saldo = = a + q è la relazione implicita nel testo! a =? 1. a = x x Q (l euro ha due cifre decimali) x > 0 (la somma anticipata non può essere negativa) x < (la somma anticipata è minore del costo totale) 2. q = ⅔ x relazione finale = x + (⅔ x + 500) soluzione x = accettabile 5. anticipo = euro quota = ⅔ = euro (non richiesta) Risposta: Luigi ha versato un anticipo di euro Se nell analisi del testo compare un numero di relazioni minore del numero delle variabili allora occorre trovare quelle mancanti nel contesto del problema (relazioni implicite) oppure il problema è indeterminato.

5 ESEMPIO N. 4 In un rettangolo l altezza è ¾ della base e la diagonale misura 40 cm. Determinare i lati del rettangolo Fase A: analisi del testo (mentale) D C Occorre una rappresentazione grafica (geometrica) La base e l altezza del rettangolo sono due variabili La diagonale è un dato costante l altezza è ¾ della base è una relazione base e altezza sono le richieste del problema A B lunghezza della base = AB lunghezza dell altezza = BC AB = ¾ BC AB 2 + BC 2 = AC 2 è la relazione implicita nel testo (teorema di Pitagora!) (*) 1. BC = x x Q x > 0 x < 40 (il lato è minore della diagonale) 2. AB = ¾ x 3. Relazione finale (¾ x) 2 + x 2 = 40 2 l equazione è di secondo grado!! 4. Soluzioni x 1 = - 32 x 2 = + 32 x 1 non è accettabile (perché negativa) x 2 è accettabile 5. BC = 32 cm AB = ¾ 32 cm = 24 cm Risposta: i lati del rettangolo misurano AB = 24 cm e BC = 32 cm Il sistema delle due equazioni con due variabili (AC è una costante) è di secondo grado e, dunque, ammette due soluzioni. Nel nostro caso, una delle due non è accettabile.