EQUAZIONI E DISEQUAZIONI LOGARITMICHE Esercizi risolti Classi quarte

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1 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI LOGARITMICHE Esercizi risolti Classi quarte La presente dispensa riporta la risoluzione di alcuni esercizi inerenti equazioni e disequazioni logaritmiche. N.B. In questa dispensa, i logaritmi naturali sono indicati con ln. In altri testi si trova anche la notazione log, ma la convenzione tipograca più corretta e diusa è ln. Per la risoluzione degli esercizi si devono avere ben chiare le proprietà dei logaritmi, sopratutto le seguenti identità: log a a =, a log a = 1 Equazioni logaritmiche Es.86, pag. 11 log a ( 5) + log a ( 7) + log a = 0 Sintetizziamo i logaritmi, applicando la proprietà della somma, visto che la base è sempre la stessa (qui si suppone a > 0). L'equazione diviene: log a [ ( 5) ( 7)] = 0 Esponenziamo M.A.M. in base a, avendo che ( 5) ( 7) = a 0, ossia: Risolvendo questa semplice equazione, abbiamo: Imponendo le C.E. abbiamo: = 18 ( 5) ( 7) = 1 4, 86, = 18 + { 5 > 0 > 5 7 > 0 > 7 7, 154 Come si vede, solo la seconda radice soddisfa ad entrambe le condizioni, quindi è da ritenersi accettabile. La soluzione è pertanto: Es.89, pag. 11 = 18 + log( + ) log = log 1 Sintetizziamo i logaritmi a primo membro, applicando la proprietà della dierenza, visto che la base è sempre la stessa. L'equazione diviene: ( ) + log = log 1 Applichiamo la proprietà della potenza a secondo membro: log 1 ( ) 1 = log = log 1 4 L'equazione diviene: ( ) + log = log 1 4 1

2 Siccome abbiamo una uguaglianza fra due logaritmi con la stessa base, uguagliamo gli argomenti: + Tale semplice equazione fratta dà come soluzione = 8, sotto le C.E. 0. Secondo le C.E. si ha che: { + > 0 > > 0 Come si vede, l'unica soluzione trovata va scartata, pertanto possiamo concludere che si tratta di un'equazione impossibile in R = 1 4 Es.96, pag. 11 log log = 0 Qui si sostituisce log = t e log = t. Quindi la nostra equazione diviene: Ciò implica che: t t = 0 t =, t = 1 log = = e, log = 1 = e 1 = 1 e L'unica C.E. qui è > 0, sicuramente soddisfatta da entrambe le soluzioni, che sono pertanto accettabili. Es.0, pag log 10 log 10 1 log 10 + log 10 = 11 Qui basta sostituire log 10 = t e trasformare l'equazione logaritmica in un'equazione algebrica fratta: 1 + t t 1 t + t = 11 Tale equazione, risolta con i metodi usuali (ed un po' di pazienza!), dà la soluzione t =, sotto le C.E. t 1 0 e t 0. Ciò implica che: log 10 = = 10 L'unica C.E. qui è > 0, sicuramente soddisfatta dalla soluzione trovata, che è pertanto accettabile. Es. 0, pag. 1 ( 4 log 9 ) ( 1 1 ) = 14 log 9 log 9 Anche in questo caso poniamo t = log 9, avendo: ( 4 t ) ( 1 1 ) = 14 t t Quindi: Facendo denominatore comune: 4 t + t + t = 14 9 t 4 = 14

3 9 4t 14t = t = 0 t = 1 t t sotto la C.E. t 0. Ricordando la sostituzione fatta, si ha che: log 9 = 1 Esponenziando M.A.M. in base 9 abbiamo: 9 log 9 = 9 1/ = 9 = ± Le uniche condizioni di esistenza impongono che > 0, per cui l'unica soluzione accettabile è =. Es.14, pag. 1 log (e + e) = Esponenziando membro a membro in base e si ha: e log(e +e) = e e + e = e da cui: e = e e. Prendendo ora i logaritmi naturali di ambo i membri si ha: log e = log(e e) = log(e e) Le C.E. imporrebbero che e + e > 0, ma questo avviene R, in quanto nella disequazione c'è a primo membro la somma di due termini sempre positivi. La soluzione trovata è sicuramente accettabile. Per ritrovare quanto dato dal testo, osserviamo che è: e e = e (e 1) log(e e) = log[e (e 1)] = log e + log(e 1) = 1 + log(e 1) che è la soluzione scritta. Es. tratto dalle dispense log ( 1) + log () = 0 Sintetizziamo i logaritmi a primo membro, applicando la proprietà della somma, visto che la base è sempre la stessa. L'equazione diviene: Esponenziando M.A.M. in base abbiamo: log [( 1) ] = 0 Si ha subito che log ( 1) = 0 ( 1) = 1 Approssimiamo le due soluzioni: 1 = 0 = 1 ± 5 1 = 1 5 Imponendo le C.E. abbiamo che: 0, 618, = { 1 > 0 > 1 > 0 1, 618 Si vede subito che delle due soluzioni è accettabile solamente, per cui l'unica soluzione di questa equazione è: = , 618

4 Es. tratto dalle dispense log 10 ( ) log 10 ( + 1) = 0 Qui si possono sintetizzare i logaritmi a primo membro oppure portare il secondo addendo a secondo membro, così si ha: log 10 ( ) = log 10 ( + 1) Ora, essendo un'uguaglianza fra due logaritmi con la stessa base si possono uguagliare gli argomenti, avendo: ( ) = ( + 1) = 4 Imponendo le C.E. si ha: { > 0 > + 1 > 0 Come si vede, la soluzione soddisfa ad entrambe queste condizioni, per cui è da ritenersi accettabile. Es. 1, pag. 1 log 1 = log Si tratta di un'uguaglianza fra due logaritmi naturali, per cui basta uguagliare gli argomenti, avendo: 1 = 1 = 0 1 = 0 Tale equazione, sotto la C.E. 0, ammette le due soluzioni 1 = 1 e = 1 +, che come si può osservare facilmente sono la prima negativa e la seconda positiva. L'unica C.E. impone che 1 > 0. Tale disequazione fratta andrebbe risolta coi metodi soliti, ma si può facilmente procedere ad una sostituzione diretta delle due soluzioni trovate per accorgersi che sono entrambe accettabili. Es.07, pag. 1 log 1/ log 1/ (5 + 9) = 0 Qui abbiamo un doppio logaritmo. Eseguiamo una prima esponenziazione M.A.M. in base 1/: ( ) log1/ log 1 1/ (5+9) = Esponenziamo nuovamente M.A.M.: ( ) log1/ (5+9) 1 = ( ) 0 1 log 1/(5 + 9) = 1 ( ) = 1 Tale equazione ha per soluzione = 6 15 Le C.E. sono costituite dalle due disequazioni: Imponendo le C.E. si ha: { > 0 > 9 5 log 1/ (5 + 9) > 0 mediante sostituzione diretta del risultato si ha: 6 ( 15 log 1/ [5 6 ) ] > 9 5 > 0 4

5 La prima disequazione risulta vera. La seconda è equivalente a: ( ) 1 log 1/ = 1 > 0 che è manifestamente vera, quindi la soluzione trovata è accettabile. Disequazioni logaritmiche Es. 45, pag. 1 Esponenziando M.A.M. in base si ha: log + log > 1 + > 1 Visto che la base è > 1, tra gli esponenti vige la stessa disuguaglianza, quindi la nostra disequazione diviene: + > Tale disequazione algebrica fratta è equivalente a: + > 0 > 0 Studiando separatamente i segni di numeratore e denominatore e poi eseguendo il prodotto dei segni, prendendo segno positivo, abbiamo: 0 < < { + > 0 0 < < Con un po' di pazienza si risolve la prima disequazione fratta, avendo che: { < > 0 0 < < Prendendo ora l'intersezione delle soluzioni si ha: 0 < < Es.46, pag. 1 log 1/ ( ) > 0 Esponenziando M.A.M. in base 1/ si ha: (1/) log 1/ ( ) > (1/) 0 Visto che la base è 1/ < 1, tra gli esponenti vige la disuguaglianza contraria, quindi la nostra disequazione diviene: < 1 > 4 Tale disequazione ha per soluzioni: < > { > 0 < > 5

6 Risolvendo la prima disequazione si ha: { < > < > Prendendo ora l'intersezione delle soluzioni e notando che < < <, si ha: < < < < Es.48, pag. 1 log 1/ ( ) > log 1/ 6 Esponenziando M.A.M. in base 1/ si ha: (1/) log 1/ ( ) > (1/) log 1/ 6 Visto che la base è 1/ < 1, tra gli esponenti vige la disuguaglianza contraria, quindi la nostra disequazione diviene: < 6 6 < 0 Tale disequazione ha per soluzioni: < < { > 0 < < Risolvendo la prima disequazione si ha: { < 0 > 1 < < Prendendo ora l'intersezione delle soluzioni, si ha: < < 0 1 < < Es.5, pag. 14 ( ) + 1 log 1/ < log 1 1/ Esponenziando M.A.M. in base 1/ si ha: ( + 1 (1/) log 1/ 1 ) < (1/) log 1/ Visto che la base è 1/ < 1, tra gli esponenti vige la disuguaglianza contraria, quindi la nostra disequazione diviene: > Tale disequazione algebrica fratta è equivalente a: > > 0 1 Studiando separatamente i segni di numeratore e denominatore e poi eseguendo il prodotto dei segni, prendendo segno negativo, abbiamo: < 1 0 < < 1 + < 0 6

7 + 1 > 0 1 > 0 < 1 0 < < 1 + Risolvendo la prima disequazione si ha: < 1 > 1 > 0 < 1 0 < < 1 + Prendendo ora l'intersezione delle soluzioni, notando che 1 < 1 < 0 < 1 < 1 +, si ha: 1 < < 1 + Es.5, pag. 14 log(7 ) + log(1 ) > log( + ) Sintetizziamo i due logaritmi a primo membro ed applichiamo la proprietà della potenza per il logaritmo a secondo membro: log[(7 ) (1 )] > log( + ) Visto che la base è > 1, tra gli esponenti vige la stessa disuguaglianza, quindi la nostra disequazione diviene: (7 )(1 ) > ( + ) Risolvendo, abbiamo: < 7 > 0 < 7 1 > 0 < 1 + > 0 > < Prendendo ora l'intersezione delle soluzioni, si ha: < < Es.54, pag log log() Portiamo tutti i logaritmi a primo membro: log log 1 Applichiamo la proprietà della potenza per il primo logaritmo e sintetizziamo a primo membro: ( ) log 1 log 1 Esponenziamo M.A.M. in base e visto che abbiamo logaritmi naturali. Visto che la base è e > 1, tra gli esponenti vige la stessa disuguaglianza, quindi la nostra disequazione diviene: e 1 Risolvendo, abbiamo: e 7

8 { > 0 e Prendendo ora l'intersezione delle soluzioni, visto che /e > 0, si ha: > e Es.59, pag. 14 Qui basta porre log = t e risolvere pertanto: log log 4 < 0 t t 4 > 0 1 < t < 4 Si ha, risostituendo, quindi, che 1 < log < 4. Esponenziamo tutti i membri in base e, che essendo e > 1 non altera la disugualianza fra gli esponenti: e 1 < e log < e 4 e 1 < < e 4 { > 0 e 1 < < e 4 Prendendo ora l'intersezione delle soluzioni, visto che 1/e > 0 e e 4 > 0, si ha: e 1 < < e 4 Es.7, pag. 15 log (e e ) > 1 Esponenziamo tutti i membri in base, che essendo > 1 non altera la disugualianza fra gli esponenti: La disequazione risolvente è pertanto: e log (e e ) > 1 e e > e e > 0 Per risolverla basta ovviamente sostituire e = t, avendo: t t > 0 t < 1 t > Risostituendo, si ha che e < 1 e >. La prima disequazione è impossibile, mentre la seconda è soddisfatta per > log. { e e > 0 La prima disequazione va risolta notando che: > log e e > 0 e > e > > 0 Il sistema risolvente diviene: { > 0 > log Prendendo ora l'intersezione delle soluzioni, visto che log 0, 69 > 0, si ha: > log 8

9 Es.80, pag. 15 log 1/ ( 1) > Esponenziamo tutti i membri in base 1/ < 1, prendendo la disuguaglianza inversa fra gli esponenti: La disequazione risolvente è pertanto: (1/) log 1/ ( 1) < (1/) 1 < 4 < 5 < log 5 { 1 > 0 La prima disequazione va risolta notando che: < log 5 1 > 0 > 1 > 0 Il sistema risolvente diviene: { > 0 < log 5 Prendendo ora l'intersezione delle soluzioni, visto che log 5, > 0, si ha: 0 < < log 5 Es.inventato log log 0 Si faccia grande attenzione alla dierenza di signicato: log = log signica che solamente la variabile è elevata al quadrato; log = (log ) signica invece che si deve elevare al quadrato tutto il risultato dell'operazione di logaritmo Usiamo la proprietà della potenza per il primo logaritmo, avendo: log log 0 Sostituiamo log = t, avendo t t 0 t t 0 La disequazione ha come soluzione: 0 t, quindi si ha che: e che log 0 e log e log e log e e 0 e La soluzione risulta dall'unione di queste due, ossia: 1 e { > 0 La soluzione nale è pertanto: 1 e 1 e 9