Schemi delle Lezioni di Matematica Generale. Pierpaolo Montana

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1 Schemi delle Lezioni di Matematica Generale Pierpaolo Montana

2 A volte i fenomeni economici che ci interessano non variano con continuitá oppure non possono essere osservati con continuitá, ma solo a intervalli regolari. ANNO PIL In questo caso abbiamo a che fare con una regola che ad ogni anno associa un valore numerico che rappresenta il Prodotto Interno Lordo del sistema economico considerato. 1

3 Definiamo successione una funzione il cui dominio sia l insieme dei numeri naturali e il codominio sia l insieme dei numeri reali. Esempi: - le quotazioni azionarie, o di un qualsiasi bene. - le stime di fatturato annuali, o trimestrali per una qualsiasi impresa. - la serie storica di una qualsiasi variabile di contabilitá nazionale 2

4 Formalmente quindi una successione é una funzione s : N R In generale, anziché s(n) si usa la notazione s n. 3

5 Alcune osservazioni. Una successione puó essere anche finita, ovvero definita su un sottoinsieme finito di N. In generale quando si parla di successione si intende una successione infinita, ovvero una successione definita su tutto N. Una successione infinita potrebbe essere definita a partire da un certo numero naturale in poi, ad esempio il numero di abitanti del pianeta terra alla fine dell anno considerato a partire dal in poi costituisce una successione definita a partire dal valore 2003 in poi. Tuttavia possiamo ricondurci al caso generale semplicemente ridefinendo l indice della successione, basta sottrarre 2003 a ciascun indice... ANNO INDICE POP

6 Consideriamo ora dei casi particolari di successioni Una successione di numeri si dice progressione aritmetica se é costante la differenza tra i termini consecutivi. Formalmente, una successione a n é una progressione aritmetica se a n a n 1 = d d R Il parametro costante d si chiama la ragione della progressione aritmetica. 5

7 Tutti i termini di una progessione aritmetica sono individuati univocamente se sono dati il primo termine a 0 e la ragione. Esempio: Consideriamo la progressione aritmetica di primo termine a 0 = 12 e ragione d = 5 a 0-12 a 1-7 a 2-2 a 3 3 a 4 8 a 5 13 Una progressione aritmetica é crescente se e solo se d > 0, decrescente se e solo se d < 0 Cosa succede se d = 0? 6

8 Se voglimo calcolare il 128-esimo termine della progessione precedente, non cé bisogno di calcolare tutti i precedenti 127 termini, infatti a n = a 0 + n d Questa formula la possiamo dimostrare per induzione: Ovviamente é valida per n = 0 a 0 = a d 7

9 Supponiamola valida per n 1 e vediamo se é valida per n Supponiamo allora che sia a n 1 = a 0 + (n 1) d Poiché a n a n 1 = d abbiamo anche a n = a n 1 + d sostituendo si ha: a n = a 0 + (n 1) d + d = a 0 + n d Q.E.D 8

10 Quiz. 1. A cosa corrisponde la progressione artimetica di primo termine a 0 = 0 e ragione d = Puó essere limitata una progressione aritmetica? 9

11 Vediamo ora di risolvere un problema classico. Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica n i=1 a i =? 10

12 Cominciamo con un esempio storicamente famoso Somma dei primi 100 numeri naturali. A quanto é uguale la seguente espressione? 100 i=1 i Osserviamo che = = = ovvero la somma dei termini equidistanti dal termine centrale é costante e vale 101. poiché le somme precedenti sono 50 si ha 100 i=1 i = =

13 Non é difficile seguire lo stesso ragionamento e dimostrare che é n i=1 i = n (n + 1) 2 Dimostriamo invece per induzione la formula precedente Ovviamente é 1 i=1 i = 1 (1 + 1) 2 = 1 12

14 Supponiamo vera la formula per (n 1), ovvero supponiamo che sia vera la seguente n 1 i=1 i = (n 1) n 2 Basta scrivere n i=1 i = n 1 i=1 i + n e sostituire n i=1 i = (n 1) n 2 + n 13

15 da cui n i=1 i = (n 1) n + 2 n 2 = n (n + 1) 2 ovvero n i=1 i = n (n + 1) 2 Q.E.D. 14

16 Vediamo ora il problema generale della somma dei primi n termini di una progressione aritmetica di primo termine a 0 e ragione d: n 1 i=0 a i =? Poiché é: a i = a 0 + i d per sostituzione abbiamo n 1 i=0 a 0 + i d 15

17 ovvero: n 1 i=0 a 0 + i d = n 1 i=0 a 0 + d n 1 i=0 i = n a 0 + d n 1 i=0 i = n a 0 + d (n 1) n 2 16

18 Problema 1. Devo restituire un prestito di euro in cinque rate. Poiché la mia capacitá di rimborso é crescente nel tempo secondo una progressione artimetica, stabilisco un piano di rimborso di cui fisso la prima quota capitale pari a euro. A quanto ammontano le rimanenti quote capitali? (Considero solamente le quote capitali, quindi non analizzo il calcolo degli interessi). 17

19 Soluzione: n a 0 + d (n 1) n 2 = d = d 10 Questa quantitá deve essere pari a d 10 = ovvero d = =

20 Anno Rata

21 Una successione {a n } si dice in progressione geometrica se é costante il rapporto tra un suo termine e il suo precedente. Formalmente a n a n 1 = q q R Il parametro costante q si chiama la ragione della progressione geometrica. Generalmente si considerano solamente progressioni geometriche formate da termini positivi, con ragione positiva. Non consideriamo altri casi. 20

22 Anche in questo caso tutti i termini di una progessione geometrica sono individuati univocamente se sono dati il primo termine a 0 e la ragione q. Esempio: Consideriamo la progressione geometrica di primo termine a 0 = 1 e ragione q = 2 a 0 1 a 1 2 a 2 4 a 3 8 a 4 16 a 5 32 Una progressione geometrica é crescente se e solo se q > 1, decrescente se e solo se q < 1 Sapreste dimostrarlo? Cosa succede se q = 1? 21

23 Analogamente a quanto visto per le progressioni aritmetiche, si puó esprimere il termine generico in funzione del primo termine e della ragione a n = a 0 q n Dimostrazione (per induzione) Ovviamente é valida per n = 0 a 0 = a 0 q 0 = a 0 1 = a 0 22

24 Supponiamola valida per n 1 e vediamo se é valida per n Supponiamo allora che sia a n 1 = a 0 q n 1 Poiché a n a n 1 = q abbiamo anche a n = a n 1 q sostituendo si ha: a n = a 0 q n 1 q = a 0 q n Q.E.D 23

25 Quiz. 1. Puó essere limitata una progressione geometrica? 24

26 Analogamente, vediamo ora di risolvere il problema della somma. Somma dei primi n termini di una progressione geometrica n i=1 a i =? 25

27 Dimostrazione classica Chiamiamo S n la somma dei primi n termini di una progressione geometrica: S n = a 0 + a a n 1 Moltiplichiamo la precedente uguaglianza per la ragione q, l uguaglianza resta valida perché q > 0: q S n = q a 0 + q a q a n 1 ovvero: q S n = a 1 + a q a n 1 26

28 ma a n 1 = a 0 q n 1, quindi q S n = a 1 + a a 0 q n Sottraendo membro a membro la prima relazione dalla seconda otteniamo: q S n S n = a 1 +a a 0 q n a 0 +a a n 1 27

29 ovvero (q 1) S n = a 0 q n a 0 = a 0 (q n 1) infine S n = a 0 qn 1 q 1 = a 0 1 qn 1 q Q.E.D. La dimostrazione per induzione della stessa formula la lasciamo per esercizio. 28

30 Problema 1. Devo restituire un prestito di euro in cinque rate. Poiché la mia capacitá di rimborso é crescente nel tempo in ragione del 20% annuo, stabilire il piano di rimborso in cui le quote capitale crescano in ragione del 20 % annuo. A quanto ammonta la quota capitale iniziale? (Anche in questo caso, considero solamente le quote capitali, quindi non analizzo il calcolo degli interessi). 29

31 Soluzione: Devo trovare cinque termini di una progressione geometrica di ragione q = 1, 2 tali che la loro somma sia pari a , ovvero trovare a 0 in modo tale che sia = a 0 1, , 2 1 ovvero a 0 = , 2 1 1, = , 2 1, a 0 = , 41 30

32 Anno Rata , , , , ,51 31

33 Il vostro vicino di banco durante le lezioni compra e vende in borsa covered warrants (un prodotto altamente speculativo). Nonostante l assidua dedizione alla attivitá di trading, i suoi risultati sono assolutamente determinstici: un giorno guadagna esattamente l 1% sul capitale investito il giorno successivo perde esattamente l 1% sul capitale investito Anche dopo essersi accorto dell andamento e quindi del fatto che non risolverá i suoi problemi esistenziali e di affitto in questo modo, si consola dicendo che almeno non perde nulla. Siete d accordo? 32

34 Consideriamo una successione {s n }. Sappiamo che l imagine del suo dominio é data da {s n : n N} ovvero dall insieme dei valori assunti dalla successione. Esempio: s n = 1 n allora: {s n : n N} = {1, 1 2,..., 1 n,... 33

35 Consideriamo l insieme di numeri reali 1 n, questo insieme risulta limitato superiormente e limitato inferiormente, ovvero limitato. Diciamo che una successione é limitata superiormente se il suo insieme delle immagini é limitato superiormente, ovvero se M R : M > s n n N Diciamo che una successione é limitata inferiormente se il suo insieme delle immagini é limitato inferiormente, ovvero se M R : M < s n n N Diciamo che una successione é limitata se il suo insieme delle immagini é limitato, ovvero se M R : M > s n n N 34

36 Esempi. 1. s n = n 2. s n = n 3. s n = ( 1) n n

37 Alcune successioni sono caratterizzate dal fatto che é verificata una delle seguenti relazioni: a n+1 > a n n N a n+1 a n n N a n+1 a n n N a n+1 < a n n N Esse si dicono rispettivamente crescenti, non decrescenti, decrescenti, non crescenti, o, in generale, successioni monotóne. 35

38 Esempi. Verificare quali delle precedenti successioni risulta monotona. Altri esempi: a n = ( 1 2 ) 2 a n = ( 1 2 ) 2 36

39 Per le successioni che hanno una infinitá di termini ci interessa conoscere come va a finire la successione, ovvero quale é il comportamento lmite della stessa. Ricordate il vostro compagno di banco speculatore? Come andrá a finire? Consideriamo la successione n 1. Possiamo notare che i valori di a n si addensano attorno al valore 0, ovvero che possiamo trovare dei valori di a n vicini quanto si vuole a 0 esattamente: comunque si prenda un valore ɛ > 0 esiste un valore n cosí grande che a n 0 < ɛ per ogni n > n. Notiamo che 0 corrisponde all unico punto di accumulazione dell insieme {a n }. 0 é anche l estremo inferiore di questo insieme, ma non é il minimo: non esiste nessun numero naturale n tale che 1 n = 0 37

40 Generalizziamo quanto abbiamo visto: Data una successione {a n } diciamo che il numero reale l é il limite per n che tende all infinito della successione se: ɛ > 0 n ɛ N : n > n ɛ E scriviamo lim n a n = l Una successione che converge a l R si dice convergente. Una successione che converge a zero si dice che é infinitesima. É facile dimostrare che se una successione converge a un numero reale, allora non puó convergere ad un altro (Teorema dell unicitá del limite) 38

41 Consideriamo una successione {a n } e consideriamo la successione {b n } che si ottiene moltiplicando ogni termine per un numero reale λ: b n = λa n So ha allora che se {a n } converge al limite l, allora {b n } converge al limite λ l Consideriamo ora due successioni {a n } e {b n }, la prima convergente a l 1 e la seconda a l 2. Definizmo la successione somma delle due naturalmente: c n = a n + b n allora lim n c n = l 1 + l 2 39

42 Una successione puó crescere o decrescere indefinitamente, in tal caso si dice che diverge a + o diverge a Una successione che non converge e non diverge si dice irregolare, o oscillante. Es. a n = ( 1) n Una successione monotona o é divergente o é convergente: non é una banalitá, significa che non é mai irregolare! 40

43 Esempi: a n = 1 n a n = n+1 n a n = 1 n a n = (1 + 1 n )n si ha lim n a n = e a n = (1+i)n i 41