Corso di Analisi Matematica Serie numeriche

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1 Corso di Analisi Matematica Serie numeriche Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 25

2 1 Definizione e primi esempi 2 Serie a termini non negativi 3 Serie a termini di segno variabile ICD (Bari) Analisi Matematica 2 / 25

3 Serie numeriche Motivazione: dare significato alla somma di infiniti numeri reali. Per gli antichi greci sommare infiniti numeri e ottenere un risultato finito era considerato paradossale (come mostra il celebre paradosso di Achille e la tartaruga). In realtà non è così paradossale che una somma di infiniti addendi possa dare un risultato finito. Esempi: area del quadrato, misura di un asta. ICD (Bari) Analisi Matematica 3 / 25

4 Serie numeriche Definizione Data una successione di numeri reali {a n }, si chiama serie numerica la scrittura formale n= 0 a n che si legge serie o somma per n da 0 a di a n. ICD (Bari) Analisi Matematica 4 / 25

5 Serie numeriche Per dare significato a questo nuovo simbolo, si costruisce nuova successione {s n } i cui termini sono così definiti come segue. Si noti che s 0 = a 0 s 1 = a 0 + a 1. s n = a 0 + a a n.. s n = n a k. k=0 ICD (Bari) Analisi Matematica 5 / 25

6 Serie numeriche Definizione Per ogni n N, il numero s n sopra definito viene detto somma parziale n-esima della serie a n. n=0 La successione {s n } si chiama successione delle somme parziali della serie a n. n=0 ICD (Bari) Analisi Matematica 6 / 25

7 Serie numeriche Definizione Sia {a n } una successione di numeri reali. La serie a n è convergente, divergente o irregolare se la successione {s n } delle sue somme parziali è convergente, divergente o irregolare. In particolare, se {s n } è convergente e lim s n = s si dice che s è la n + somma della serie e si scrive a n = s. n=0 n=0 ICD (Bari) Analisi Matematica 7 / 25

8 Osservazioni Se una serie a n è convergente allora vale la seguente relazione: n=0 a n = n=0 lim n + k=0 n a k = lim s n. n + Si definisce la somma di infiniti addendi calcolando il limite per n + della somma finita dei primi n addendi. L espressione studiare il carattere di una serie significa stabilire se la serie converge, diverge o è irregolare. ICD (Bari) Analisi Matematica 8 / 25

9 Osservazioni Talvolta invece che sommare a partire da 0 si parte da un certo intero N: a n. n=n Parlare di una serie coinvolge sempre due diverse successioni: la succ. {a n } dei termini della serie e la succ. {s n } delle sue somme parziali. Fare bene attenzione a quale delle due si riferiscono le affermazioni fatte! ICD (Bari) Analisi Matematica 9 / 25

10 Serie geometrica Sia q R. Si consideri la serie n=0 che prende il nome di serie geometrica. La sua somma parziale n esima, per ogni n 0, è 1 q n+1 se q 1; s n = 1 q n + 1 se q = 1. q n ICD (Bari) Analisi Matematica 10 / 25

11 Serie geometrica Quindi lim s n = n + Dunque, la serie geometrica converge se q < 1 e diverge (a + ) se q 1; è irregolare se q q se q < 1; + se q 1; non esiste se q 1. n=0 q n = 1 1 q ; ICD (Bari) Analisi Matematica 11 / 25

12 Serie di Mengoli È la serie n=1 1 n(n + 1) che è convergente ed ha per somma 1. Infatti 1 n(n + 1) = 1 n 1 n + 1 da cui s n = 1 1 n + 1. Si tratta di un caso particolare di serie telescopica. ICD (Bari) Analisi Matematica 12 / 25

13 Serie telescopiche Una serie di termini a n, n N, si dice telescopica se il suo termine generale a n = b n b n+1 ove {b n } n N è una opportuna successione di numeri reali. La somma parziale n esima di una serie telescopica è dunque data da s n = b N b n+1. Il carattere di una serie telescopica dipende dal carattere della successione {b n } n N. ICD (Bari) Analisi Matematica 13 / 25

14 Serie armonica Serie armonica: è la serie ed è divergente. n=1 1 n Serie armonica generalizzata: è la serie ed è divergente se α (, 1]; convergente se α (1, + ). n=1 1 n α ICD (Bari) Analisi Matematica 14 / 25

15 Condizione necessaria per la convergenza Teorema Sia {a n } n N una successione di numeri reali. Se la serie a n è convergente allora n=n lim a n = 0. n + Non vale il viceversa (controesempio: serie armonica). Se lim a n non esiste o esiste ma è diverso da 0 allora a n non n + n=n converge. ICD (Bari) Analisi Matematica 15 / 25

16 Resto di una serie Teorema Sia a k una serie convergente. Allora per ogni n N converge anche la serie k=0 k=n (detta serie resto della serie di partenza) e, detta R n la sua somma, cioè R n = a k k=n a k si ha lim R n = 0. n + ICD (Bari) Analisi Matematica 16 / 25

17 Operazioni e serie Se due serie a n e b n sono convergenti allora la serie somma (a n + b n ) è convergente; per ogni c R la serie c a n è convergente. ICD (Bari) Analisi Matematica 17 / 25

18 Serie a termini non negativi Una serie Proprietà: a n è a termini non negativi se a n 0 per ogni n N. n=n La successione delle somme parziali di una serie a termini non negativi è crescente: s n+1 = s n + a n+1 s n. Da qui si ricava che Una serie a termini non negativi o è convergente o è divergente (a + ). Essa converge se e solo se la successione delle sue somme parziali n-esime è limitata. Esaminiamo ora alcune condizioni sufficienti per la convergenza. ICD (Bari) Analisi Matematica 18 / 25

19 Criterio del confronto Proposizione Siano a n e b n due serie a termini non negativi tali che 0 a n b n definitivamente. Allora bn convergente a n convergente; an divergente b n divergente. La serie b n si chiama maggiorante, la serie a n si chiama minorante. ICD (Bari) Analisi Matematica 19 / 25

20 Criterio del confronto asintotico Proposizione Se due successioni {a n } e {b n } di numeri reali positivi sono asintotiche a n b n allora le corrispondenti serie a n e b n hanno lo stesso carattere, cioè o sono entrambe convergenti o sono entrambe divergenti. ICD (Bari) Analisi Matematica 20 / 25

21 Criterio della radice Proposizione Sia a n serie a termini non negativi. Se esiste il limite allora se l < 1 la serie converge; se l > 1 la serie diverge; lim n + se l = 1 nulla si può concludere. n an = l ICD (Bari) Analisi Matematica 21 / 25

22 Criterio del rapporto Proposizione Sia a n serie a termini non negativi. Se esiste il limite allora se l < 1 la serie converge; se l > 1 la serie diverge; a n+1 lim n + a n se l = 1 nulla si può concludere. = l ICD (Bari) Analisi Matematica 22 / 25

23 Serie assolutamente convergenti Definizione Una serie di a n si dice assolutamente convergente se la serie (a termini non negativi) a n converge. Teorema Se una serie è assolutamente convergente allora è convergente. Se una serie è a termini positivi la definizione di convergenza assoluta coincide con quella di convergenza. Se una serie è convergente non è detto che sia assolutamente convergente. ICD (Bari) Analisi Matematica 23 / 25

24 Serie a termini di segno alternato Definizione Una serie si dice a termini di segno alternato se è del tipo ( 1) n a n n=0 ove {a n } è una successione di numeri reali tali che a n 0 per ogni n. ICD (Bari) Analisi Matematica 24 / 25

25 Criterio di Leibniz Teorema Sia data la serie ( 1) n a n. n=0 Se {a n } è una successione di numeri reali tali che a n 0 per ogni n; {a n } è decrescente; lim a n = 0; n + allora la serie è convergente. Inoltre R n = ( 1) k a k a n. k=n ICD (Bari) Analisi Matematica 25 / 25