Autovalori e Autovettori
|
|
- Tito Grandi
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Daniela Lera Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica A.A
2 Autovalori e Autovettori Definizione Siano A C nxn, λ C, e x C n, x 0, tali che Ax = λx. (1) Allora λ è detto autovalore di A ed x autovettore corrispondente a λ. L insieme di autovalori di A costituisce lo spettro di A. Il modulo massimo ρ(a) degli autovalori di A è il raggio spettrale di A.
3 Dalla (1): Autovalori e Autovettori (A λi)x = 0 è un sistema omogeneo che ammette soluzioni non nulle se e solo se det(a λi) = 0. det(a λi) = P(λ) è il polinomio caratteristico di A. P(λ) = 0 è detta equazione caratteristica.
4 Proprietà degli autovalori 1. Se A è diagonale o triangolare, gli autovalori di A sono gli elementi principali. 2. Se Ax = λx allora A 1 x = (1/λ)x. 3. Se Ax = λx allora A x = λx, con A trasposta coniugata di A, a ij = ā ji. 4. Se λ è autovalore di una matrice unitaria, A A = AA = I, risulta λ = 1. Inoltre n λ i = tra, i=1 n λ i = deta i=1
5 Trasformazioni per similitudine Definizione Due matrici A, B si dicono simili se esiste una matrice non singolare S per cui A = SBS 1 Teorema Due matrici simili hanno gli stessi autovalori con le stesse molteplicità.
6 Trasformazioni per similitudine Definizione Una matrice A simile ad una matrice diagonale D si dice diagonalizzabile. Teorema Sia A una matrice hermitiana, A = A, e siano λ 1,..., λ n i suoi autovalori (reali). Allora A è definita positiva sse λ i > 0, i = 1,..., n.
7 Localizzazione degli autovalori Teorema di Gerschgorin. Sia λ il generico autovalore della matrice A e siano: r i = n j=1 j i a ij, c j = n i=1 i j a ij, i, j = 1,..., n le somme righe e colonne di A, risulta che 1. ogni autovalore di A appartiene all unione dei cerchi riga R 1,..., R n, con R i = {z C z a ii r i }, i = 1,..., n 2. ogni autovalore di A appartiene all unione dei cerchi colonna C 1,..., C n, con C j = {z C z a jj c j }, j = 1,..., n
8 Osservazione Una matrice diagonalmente dominante in senso stretto, a ii > r i, i = 1,..., n, è non singolare. Esempio 1 La matrice è non singolare. A =
9 Esempio 2 Localizzare gli autovalori della matrice B = (λ 1 = 2, λ 2 = λ 3 = 1).
10 Condizionamento Vediamo ora quando il problema del calcolo degli autovalori di una matrice risulta bencondizionato. Cioé, data una matrice A, si vuol vedere come si propagano sugli autovalori le perturbazioni sugli elementi di A.
11 Condizionamento Supponiamo di considerare matrici diagonalizzabili, cioé esiste P non singolare tale che P 1 AP = diag[λ 1,..., λ n ] = D Le colonne di P sono gli autovettori di A. Supponiamo inoltre che per ogni matrice diagonale D. D = max 1 i n d i
12 Condizionamento Teorema(Bauer-Fike) Sia A diagonalizzabile e sia A + E una perturbazione di A. Indicando con λ un autovalore di A + E si ha: min λ λ i P P 1 E. 1 i n
13 Condizionamento Corollario Se A è una matrice normale, A A = AA, e se A + E è una qualunque perturbazione di A, si ha: min 1 i n λ λ i E 2 per ogni autovalore λ di A + E.
14 Condizionamento N.B. La classe delle matrici normali comprende le matrici simmetriche, ortogonali e unitarie. Per queste matrici il corollario mostra che il problema è bencondizionato. Numero di condizionamento K(A) = P P 1 numero di condizionamento relativo al problema del calcolo degli autovalori della matrice A.
15 Diagonalizzazione: ( A = 10 9 Si ha A 1 = max j i a ij. Esempio ( ) A = ) ( ) ( K(A) = P 1 P 1 1 = (21)(21) = 441. ) = PDP 1 Perturbando a 11 da 101 a 100 gli autovalori λ 1 = 1, λ 2 = 2 diventano λ i, λ i.
16 Metodo delle Potenze Il metodo della potenze determina l autovalore di modulo massimo di una matrice con il relativo autovettore. Sia A una matrice di ordine n con autovalori λ 1,..., λ n ordinati per modulo decrescente: λ 1 di molteplicità 1. λ 1 > λ 2 λ 3... λ n Supponiamo che gli autovettori x 1,..., x n siano linearmente indipendenti, cioè gli {x i }, i = 1,..., n sono una base per R n (C n ).
17 Descrizione del metodo Si determina la successione di vettori {y k } nel seguente modo: y 0 = z 0 z 0 arbitrario y k = Ay k 1 k = 1, 2,... Per k sufficientemente grande y k approssima il primo autovettore x 1 di A.
18 Notiamo che y k = Ay k 1 = A(Ay k 2 ) = A 2 y k 2 =... = A k y 0 Il vettore z 0 è esprimibile come combinazione lineare dei vettori di base {x i }, cioè: n z 0 = α i x i i=1 i=1 Quindi: n n y k = A k y 0 = A k ( α i x i ) = λ k i α i x i [ = λ k 1 α 1 x 1 + ( λ2 λ 1 ) k α 2 x i=1 ( λn λ 1 ) k α n x n ] k = 1, 2,..., supponendo α 1 0.
19 Primo autovettore Siccome λ i < 1, i = 2,..., n λ 1 allora per k "grande" si ha y k λ k 1 α 1x 1 cioè la direzione del vettore y k tende a quella del primo autovettore x 1.
20 Primo autovalore Si definisce Quoziente di Rayleigh σ k = (Ay k, y k ) (y k, y k ) = yt k+1 y k y T k y k quoziente di Rayleigh di y k. Esso tende all autovalore λ 1.
21 Primo autovalore Infatti: [ y k = λ k 1 α 1 x 1 + ( λ2 λ 1 ) k α 2 x ( λn λ 1 ) k α n x n ] y k+1 = λ k+1 1 [ α 1 x 1 + ( λ2 λ 1 ) k+1 α 2 x ( λn λ 1 ) k+1 α n x n ]
22 Primo autovalore Per k sufficientemente grande: Quindi y T k+1y k λ 2k+1 1 α 2 1x T 1 x 1 y T k y k λ 2k 1 α2 1x T 1 x 1 σ k λ 1
23 Potenze con scaling Il procedimento esposto presenta un grosso problema numerico. Infatti la norma di y k converge a zero quando λ 1 < 1 o all infinito quando λ 1 > 1: questo può dar luogo a fenomeni di underflow o overflow, rispettivamente. Si effettua quindi una operazione di scaling. Si normalizza cioé il vettore y k ad ogni iterazione.
24 Potenze con scaling Si costruisce una successione di vettori t k, con t k = 1 nel seguente modo: t k = y k y k 2, y k+1 = At k k = 0, 1, 2,...
25 Potenze con scaling Anche in questo caso t k tende al primo autovettore x 1. Inoltre il coefficiente σ k = (At k, t k ) (t k, t k ) = (y k+1, t k ) tende all autovalore λ 1.
26 Autovalore multiplo Osservazione Il metodo delle potenze è convergente anche nel caso in cui l autovalore λ 1 è multiplo. Supponiamo che λ 1 sia doppio, si ha: [ ( ) k y k = λ k λ3 1 α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x λ 1 ( λn λ 1 ) k α n x n ] Per k sufficientemente elevato y k approssima λ k 1 (α 1x 1 + α 2 x 2 ) che è autovettore di A essendo λ 1 = λ 2.
RICHIAMI SULLE MATRICI. Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come
RICHIAMI SULLE MATRICI Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a m1 a m2... a mn dove m ed n sono le dimensioni di A. La matrice A può
DettagliCondizionamento del problema
Condizionamento del problema x 1 + 2x 2 = 3.499x 1 + 1.001x 2 = 1.5 La soluzione esatta è x = (1, 1) T. Perturbando la matrice dei coefficienti o il termine noto: x 1 + 2x 2 = 3.5x 1 + 1.002x 2 = 1.5 x
DettagliCorso di Analisi Numerica
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Corso di Analisi Numerica 8 - METODI ITERATIVI PER I SISTEMI LINEARI Lucio Demeio Dipartimento di Scienze Matematiche 1 Norme e distanze 2 3 4 Norme e distanze
Dettaglix 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.
Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini
DettagliLEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0
LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi
DettagliANALISI DEL CONDIZIONAMENTO DI UN SISTEMA LINEARE
ANALISI DEL CONDIZIONAMENTO DI UN SISTEMA LINEARE Algebra lineare numerica 121 Ax = b A, b affetti dall errore di round-off si risolve sempre un sistema perturbato: con (A + A)(x + x) = b + b A = ( a i,j
DettagliParte 2. Determinante e matrice inversa
Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice
DettagliDiagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari
CAPITOLO 9 Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari Esercizio 9.1. Verificare che v = (1, 0, 0, 1) è autovettore dell applicazione lineare T così definita T(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (2x 1 2x 3, x
DettagliCorso di Calcolo Numerico
Corso di Calcolo Numerico Dottssa MC De Bonis Università degli Studi della Basilicata, Potenza Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis
Dettagliu 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k
Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure
Dettagli(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.
29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola
DettagliFederico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24
Contenuto Endomorfismi auto-aggiunti. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale Gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali. (Dimostrazione fatta usando i numeri complessi). Dimostrazione
Dettagli15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
15 febbraio 010 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 009-010 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura
Dettagli2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione
Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza
DettagliTutorato di GE110. Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica
Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di GE110 A.A. 2014-2015 - Docente: Prof. Angelo Felice Lopez Tutori: Federico Campanini e Giulia Salustri Soluzioni Tutorato 13
DettagliMetodi iterativi per sistemi lineari
Metodi iterativi per sistemi lineari Dario A. Bini, Università di Pisa 30 ottobre 2013 Sommario Questo modulo didattico contiene risultati relativi ai metodi iterativi per risolvere sistemi di equazioni
DettagliEsempio. Approssimazione con il criterio dei minimi quadrati. Esempio. Esempio. Risultati sperimentali. Interpolazione con spline cubica.
Esempio Risultati sperimentali Approssimazione con il criterio dei minimi quadrati Esempio Interpolazione con spline cubica. Esempio 1 Come procedere? La natura del fenomeno suggerisce che una buona approssimazione
DettagliChiusura lineare. N.B. A può essere indifferentemente un insieme, finito o no, o un sistema. Es.1. Es.2
Chiusura lineare Def. Sia A V (K) con A. Si dice copertura lineare (o chiusura lineare) di A, e si indica con L(A), l insieme dei vettori di V che risultano combinazioni lineari di un numero finito di
DettagliIntroduzione al MATLAB c Parte 2
Introduzione al MATLAB c Parte 2 Lucia Gastaldi Dipartimento di Matematica, http://dm.ing.unibs.it/gastaldi/ 18 gennaio 2008 Outline 1 M-file di tipo Script e Function Script Function 2 Costrutti di programmazione
DettagliCorso di Matematica per la Chimica
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 203-4 I sistemi lineari Generalità sui sistemi lineari Molti problemi dell ingegneria, della fisica, della chimica, dell informatica e dell economia, si modellizzano
DettagliParte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli
Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici
DettagliAlgebra Lineare e Geometria
Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da
DettagliMETODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI
METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI LUCIA GASTALDI 1. Metodi iterativi classici Sia A R n n una matrice non singolare e sia b R n. Consideriamo il sistema (1) Ax = b. Un metodo iterativo per la soluzione
DettagliSISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI
SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE SISTEMI LINEARI QUADRATI:METODI ITERATIVI p./54 RICHIAMI di ALGEBRA LINEARE DEFINIZIONI A R n n simmetrica se A = A T ; A C
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura Primo Esonero del corso di Geometria Docente F. Flamini, Roma, 2//28 SOLUZIONI COMPITO I ESONERO Esercizio.
DettagliSpazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro. Dipartimento di Matematica Università di Bari. 9 e 16 Marzo 2007
Spazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro Dipartimento di Matematica Università di Bari 9 e 16 Marzo 2007 Felice Iavernaro (Univ. Bari) Spazi lineari 9-16/03/2007 1 / 17 Condizionamento dei sistemi lineari
DettagliCorso di Analisi Matematica Serie numeriche
Corso di Analisi Matematica Serie numeriche Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 25 1 Definizione e primi esempi 2 Serie a
DettagliESERCITAZIONE (7-11-13) Ing. Stefano Botelli
FONDAMENTI di AUTOMATICA ESERCITAZIONE (7-11-13) Ing. Stefano Botelli NB in presenza di matrici 3x3 bisogna intuire che esiste un metodo risolutivo particolare perchè non verrà mai richiesto a lezione
Dettagli1. Sia dato un poliedro. Dire quali delle seguenti affermazioni sono corrette.
. Sia dato un poliedro. (a) Un vettore x R n è un vertice di P se soddisfa alla seguenti condizioni: x P e comunque presi due punti distinti x, x 2 P tali che x x e x x 2 si ha x = ( β)x + βx 2 con β [0,
DettagliMETODI MATEMATICI PER LA FISICA
Si svolgano cortesemente i seguenti esercizi ESERCIZIO (6 PUNTI) METODI MATEMATICI PER LA FISICA PROVA SCRITTA - 2 GENNAIO 25 Una volta identificato, nel piano complesso α, il dominio di convergenza della
DettagliFondamenti di Automatica
Fondamenti di Automatica Analisi dei sistemi dinamici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1 Analisi dei
DettagliApplicazioni lineari
Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari Definizione. Se V e W sono spazi vettoriali, una applicazione lineare è una funzione f: V W tale che, per ogni v, w V e per ogni a, b R si abbia f(av
Dettagli9 Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari: fattorizzazione P A = LU
9 Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari: fattorizzazione P A LU 9.1 Il metodo di Gauss Come si è visto nella sezione 3.3, per la risoluzione di un sistema lineare si può considerare al posto
DettagliMatematica generale CTF
Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione
DettagliLE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE
LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE Sia f:a B una funzione tra due insiemi. Se y appartiene all immagine di f si chiama fibra di f sopra y l insieme f -1 y) ossia l insieme di tutte le controimmagini
DettagliUniversità degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esame di Geometria (Prof. F. Tovena) Argomenti: Proprietà di nucleo e immagine di una applicazione lineare. dim V = dim
DettagliDaniela Lera A.A. 2008-2009
Daniela Lera Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica A.A. 2008-2009 Metodi Runge-Kutta In alcuni esempi precedenti sono stati presentati vari metodi monostep. Esiste
DettagliLaboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica
Laboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica Ercole Suppa Liceo Scientifico A. Einstein, Teramo e-mail: ercolesuppa@gmail.com Teramo, 3 dicembre 2014 USR Abruzzo - PLS 2014-2015,
DettagliCorso di Analisi Numerica - AN1. Parte 2: metodi diretti per sistemi lineari. Roberto Ferretti
Corso di Analisi Numerica - AN1 Parte 2: metodi diretti per sistemi lineari Roberto Ferretti Richiami sulle norme e sui sistemi lineari Il Metodo di Eliminazione di Gauss Il Metodo di Eliminazione con
Dettagli1 Serie di Taylor di una funzione
Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita
DettagliCapitolo 2. Algebra Lineare numerica 79. a ij x i x j
Capitolo 2. Algebra Lineare numerica 79 Se c 0 e c sono nulli, allora la funzione q (x) = x Ax = n i=1 j=1 n a ij x i x j è detta comunemente forma quadratica (omogenea) ed è omogenea di grado 2. 3 A partire
DettagliCORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA
COGNOME NOME CORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA SIMULAZIONE SCRITTO DI MATEMATICA DISCRETA, SECONDA PARTE Per ottenere la sufficienza bisogna rispondere in modo corretto ad almeno
DettagliParte 6. Applicazioni lineari
Parte 6 Applicazioni lineari A Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Applicazioni fra insiemi, 2 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, 2 3 Applicazioni lineari da R n a R
DettagliELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura
Cognome Nome Matricola ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura (Primo appello/ii prova parziale 15/6/15 - Chiarellotto-Urbinati) Per la II prova: solo esercizi
DettagliLezione 9: Cambio di base
Lezione 9: Cambio di base In questa lezione vogliamo affrontare uno degli argomenti piu ostici per lo studente e cioè il cambio di base all interno di uno spazio vettoriale, inoltre cercheremo di capire
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Terzo Appello del corso di Geometria e Algebra II Parte - Docente F. Flamini, Roma, 7/09/2007 SVOLGIMENTO COMPITO III APPELLO
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y + y 2 =. y + x tan y = 2. Risolvere il problema di Cauchy y() = 1 2 π. 3. Risolvere il problema
DettagliDimensione di uno Spazio vettoriale
Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione
DettagliCAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI Abbiamo studiato successioni e serie numeriche, ora vogliamo studiare successioni e serie di funzioni. Dato un insieme A R, chiamiamo successione di funzioni
Dettagli1 Convessità olomorfa
1 Convessità olomorfa Esercizio 1 Sia f O(C n ) e sia X = {f = 0}; dimostrare che, per ogni K compatto di X, l inviluppo K O(Cn ) è contenuto in X. Esercizio 2 Fissato un reale δ (0, 2π), consideriamo
DettagliSUCCESSIONI NUMERICHE
SUCCESSIONI NUMERICHE Definizione: Si chiama successione numerica una funzione definita su IN a valori in IR, cioè una legge che associa ad ogni intero n un numero reale a n. Per abuso di linguaggio, si
DettagliLe funzioni elementari. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p.
Le funzioni elementari Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 200-20 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. /43 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto
DettagliCONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE
CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e
DettagliMetodi basati sugli autovettori per il Web Information Retrieval
Metodi basati sugli autovettori per il Web Information Retrieval HITS, PageRank e il metodo delle potenze LSI e SVD LSI è diventato famoso per la sua abilità nel permettere di manipolare i termini (all
DettagliEsercizi su lineare indipendenza e generatori
Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v
DettagliProva parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8. Cognome:... Nome:... Matricola:...
Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8 Cognome:................ Nome:................ Matricola:................ (Dare una dimostrazione esauriente di tutte le
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)
DettagliMatrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f).
Due Matrici A,B. Ker f = ker g. 1- Ridurre a scala A e B e faccio il sistema. 2 Se Vengono gli stessi valori allora, i ker sono uguali. Cauchy 1 autovalore, 1- Metto a matrice x1(0),x2(0),x3(0) e la chiamo
DettagliUniversità degli Studi di Roma La Sapienza Laurea in Ingegneria Energetica A.A. 2014-2015 Programma del corso di Geometria Prof.
Università degli Studi di Roma La Sapienza Laurea in Ingegneria Energetica A.A. 2014-2015 Programma del corso di Geometria Prof. Antonio Cigliola Prerequisiti Logica elementare. Principio di Induzione.
DettagliLEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE
LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE FLAVIO ANGELINI Sommario Queste note hanno lo scopo di indicare a studenti di Economia interessati alla finanza quantitativa i concetti essenziali
Dettagli3.1 Successioni. R Definizione (Successione numerica) E Esempio 3.1 CAPITOLO 3
CAPITOLO 3 Successioni e serie 3. Successioni Un caso particolare di applicazione da un insieme numerico ad un altro insieme numerico è quello delle successioni, che risultano essere definite nell insieme
DettagliEquazioni non lineari
Equazioni non lineari Data una funzione f : [a, b] R si cerca α [a, b] tale che f (α) = 0. I metodi numerici per la risoluzione di questo problema sono metodi iterativi. Teorema Data una funzione continua
DettagliCapitolo 4: Ottimizzazione non lineare non vincolata parte II. E. Amaldi DEIB, Politecnico di Milano
Capitolo 4: Ottimizzazione non lineare non vincolata parte II E. Amaldi DEIB, Politecnico di Milano 4.3 Algoritmi iterativi e convergenza Programma non lineare (PNL): min f(x) s.v. g i (x) 0 1 i m x S
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6
EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)
DettagliMATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.
MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un
Dettagli1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali
1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!
DettagliAnalisi bivariata. Dott. Cazzaniga Paolo. Dip. di Scienze Umane e Sociali paolo.cazzaniga@unibg.it
Dip. di Scienze Umane e Sociali paolo.cazzaniga@unibg.it Introduzione : analisi delle relazioni tra due caratteristiche osservate sulle stesse unità statistiche studio del comportamento di due caratteri
DettagliTecniche di analisi multivariata
Tecniche di analisi multivariata Metodi che fanno riferimento ad un modello distributivo assunto per le osservazioni e alla base degli sviluppi inferenziali - tecniche collegate allo studio della dipendenza
DettagliESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai
DettagliMATRICI E DETERMINANTI
MATRICI E DETERMINANTI 1. MATRICI Si ha la seguente Definizione 1: Un insieme di numeri, reali o complessi, ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe
DettagliControlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L.
Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 3, 1 Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL:
DettagliRango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali.
CAPITOLO 7 Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. Esercizio 7.1. Determinare il rango delle seguenti matrici al variare del parametro t R. 1 4 2 1 4 2 A 1 = 0 t+1 1 A 2 = 0 t+1 1
DettagliEsame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 2013 - A)
Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 23 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Nello spazio R 3, siano dati il piano e i punti P = (, 2, ), Q = (2,, ). π : x + 2y 3
DettagliEsercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x
FUNZIONI Esercizio 1 Studiare la funzione f(x) = ln ( ) x e disegnarne il grafico. x 1 Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: { e x per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1
DettagliAppunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.
Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine
DettagliLEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1
LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,
Dettagli1 Regole generali per l esame. 2 Libro di Testo
FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di GEOMETRIA E ALGEBRA (mn). (Ing. per l Ambiente e il Territorio, Ing. Informatica - Sede di Mantova) A.A. 2008/2009. Docente: F. BISI. 1 Regole generali per l esame L esame
DettagliCorso di Analisi Matematica. Successioni e serie numeriche
a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Successioni e serie numeriche Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità
DettagliSUCCESSIONI NUMERICHE
SUCCESSIONI NUMERICHE Una funzione reale di una variabile reale f di dominio A è una legge che ad ogni x A associa un numero reale che denotiamo con f(x). Se A = N, la f è detta successione di numeri reali.
Dettagli3 Applicazioni lineari e matrici
3 Applicazioni lineari e matrici 3.1 Applicazioni lineari Definizione 3.1 Siano V e W dei K spazi vettoriali. Una funzione f : V W è detta applicazione lineare se: i u, v V, si ha f(u + v = f(u + f(v;
DettagliIndice Elementi di analisi delle matrici I fondamenti della matematica numerica
Indice 1. Elementi di analisi delle matrici 1 1.1 Spazivettoriali... 1 1.2 Matrici... 3 1.3 Operazionisumatrici... 4 1.3.1 Inversadiunamatrice... 6 1.3.2 Matricietrasformazionilineari... 7 1.4 Tracciaedeterminante...
DettagliRichiami di algebra lineare e geometria di R n
Richiami di algebra lineare e geometria di R n combinazione lineare, conica e convessa spazi lineari insiemi convessi, funzioni convesse rif. BT.5 Combinazione lineare, conica, affine, convessa Un vettore
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare
DettagliCorso di Geometria e Algebra Lineare - Sezione di Metodi Numerici
Corso di Geometria e Algebra Lineare - Sezione di Metodi Numerici C. Vergara 3. Metodo della fattorizzazione LU per la risoluzione di un sistema lineare Errori di arrotondamento. Prima di affrontare la
DettagliMetodi diretti per la soluzione di sistemi lineari
Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari N Del Buono 1 Introduzione Consideriamo un sistema di n equazioni in n incognite a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x
DettagliFOGLIO 6 - Esercizi Riepilogativi Svolti. Nei seguenti esercizi, si consideri fissato una volta per tutte un riferimento proiettivo per
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Edile/Architettura Esercizi per il corso di GEOMETRIA 2 - aa 2007/2008 Docente: Prof F Flamini - Tutore: Dott M Paganin FOGLIO 6 - Esercizi
DettagliLE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE
LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe
DettagliSulle funzioni di W 1,p (Ω) a traccia nulla
Sulle funzioni di W 1,p () a traccia nulla Sia u W 1,p (R n ) e supponiamo che il supp u, essendo un aperto di R n. Possiamo approssimare u con una successione di funzioni C il cui supporto è contenuto
DettagliEquazioni alle differenze finite (cenni).
AL 011. Equazioni alle differenze finite (cenni). Sia a n } n IN una successione di numeri reali. (Qui usiamo la convenzione IN = 0, 1,,...}). Diremo che è una successione ricorsiva o definita per ricorrenza
DettagliOttimizzazione Multi Obiettivo
Ottimizzazione Multi Obiettivo 1 Ottimizzazione Multi Obiettivo I problemi affrontati fino ad ora erano caratterizzati da una unica (e ben definita) funzione obiettivo. I problemi di ottimizzazione reali
DettagliLuigi Piroddi piroddi@elet.polimi.it
Automazione industriale dispense del corso 10. Reti di Petri: analisi strutturale Luigi Piroddi piroddi@elet.polimi.it Analisi strutturale Un alternativa all analisi esaustiva basata sul grafo di raggiungibilità,
DettagliLa Programmazione Lineare
4 La Programmazione Lineare 4.1 INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DI UN PROBLEMA DI PROGRAMMAZIONE LINEARE Esercizio 4.1.1 Fornire una rappresentazione geometrica e risolvere graficamente i seguenti problemi
DettagliSommario. Alcuni esercizi. Stefania Ragni. Dipartimento di Economia & Management - Università di Ferrara
Sommario Dipartimento di Economia & Management - Università di Ferrara Sommario Parte I: Capitalizzazione semplice e composta Parte II: Capitalizzazione mista Parte III: Capitalizzazione frazionata e tassi
DettagliFondamenti di Automatica. Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI
Fondamenti di Automatica Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Soluzione delle equazioni di stato per sistemi dinamici LTI a tempo continuo
DettagliGEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)
Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo
Dettagli8. Serie numeriche Assegnata la successione di numeri complessi {a 1, a 2, a 3,...} si considera con il nome di serie numerica.
8. Serie numeriche Assegnata la successione di numeri complessi {a 1, a 2, a 3,...} si considera con il nome di serie numerica la nuova successione {s n } definita come s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3
DettagliEsistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA Esistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto Relatore Prof. Andrea
DettagliESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI
ESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI PAOLO FACCIN 1. Esercizi sulle applicazioni lineari 1.1. Definizioni sulle applicazioni lineari. Siano V, e W spazi vettoriali, con rispettive basi B V := (v 1 v n) e B W
Dettagli1 Insiemi e terminologia
1 Insiemi e terminologia Assumeremo come intuitiva la nozione di insieme e ne utilizzeremo il linguaggio come strumento per studiare collezioni di oggetti. Gli Insiemi sono generalmente indicati con le
Dettagli