Fondamenti di Automatica. Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI

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1 Fondamenti di Automatica Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI

2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Soluzione delle equazioni di stato per sistemi dinamici LTI a tempo continuo Esempi di soluzione delle equazioni di stato per sistemi dinamici LTI a tempo continuo Analisi modale per sistemi dinamici LTI a tempo continuo Concetti di base sulla trasformata zeta Soluzione delle equazioni di stato per sistemi dinamici LTI a tempo discreto Analisi modale per sistemi dinamici LTI a tempo discreto

3 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Soluzione delle equazioni di stato per sistemi dinamici LTI a tempo continuo

4 Soluzione delle equazioni di stato per sistemi dinamici LTI a tempo continuo Soluzione nel dominio della frequenza s (trasformata di Laplace) Soluzione nel dominio del tempo (formula di Lagrange)

5 Soluzione nel dominio della frequenza s Richiami sulla trasformata di Laplace

6 Richiami sulla trasformata di Laplace 1/6 Definizione Sia f(t) : R R La trasformata (unilatera) di Laplace è un operatore dallo spazio delle funzioni reali di variabile reale allo spazio delle funzioni complesse di variabile complessa s definita (quando esiste) da: { } st F ( s) = L f () t = f () t e dt 0

7 Linearità Richiami sulla trasformata di Laplace 2/6 Siano f 1 (t) ed f 1 (t) due funzioni, aventi trasformata di Laplace F 1 (s) ed F 2 (s) rispettivamente e c 1, c 2 R. Allora: L { } cf() t + cf () t = cf( s) + cf( s)

8 Richiami sulla trasformata di Laplace 3/6 L Derivazione Sia f(t) una funzione derivabile n volte e avente trasformata di Laplace F(s). Allora: { } L L { } f () t = sf ( s) f (0) { } f t s F s sf f 2 () = ( ) (0) (0) f ( t) = s F ( s) s f (0 ) s f (0 ) f (0 ) ( n) n n 1 n 2 ( n 1)

9 Richiami sulla trasformata di Laplace 4/6 Integrazione Sia f(t) una funzione integrabile e avente trasformata di Laplace F(s). Allora : L Ritardo nel tempo { t () } f τ dτ 0 = F ( s) s Sia f(t) una funzione avente trasformata di Laplace F(s). Allora: L { } τ f ( t τ ) = F ( s) e s

10 Richiami sulla trasformata di Laplace 5/6 Prodotto di convoluzione Siano f 1 (t) ed f 1 (t) due funzioni aventi trasformata di Laplace F 1 (s) ed F 2 (s) rispettivamente, allora il loro prodotto di convoluzione definito come: t f () t f () t f ( t τ ) f () τ dτ f () τ f ( t τ) dτ = = ammette trasformata di Laplace L { } f () t f () t = F ( s) F ( s) t

11 Richiami sulla trasformata di Laplace 6/6 Principali trasformate f () t F ( s) δ () t 1 ε () t n t n! 1 s 1 s n + 1 f () t F ( s) e at 1 s a n at t e 1 n! s a sin( ω t ) cos( ω t ) ( ) ω n s + ω0 s s + ω0 f () t F ( s) ( ) At e si A 1

12 Soluzione nel dominio della frequenza s Calcolo della soluzione nel dominio della trasformata di Laplace

13 Descrizione di sistemi dinamici LTI TC Il comportamento dinamico di un sistema LTI TC è descritto dalle equazioni di ingresso stato uscita: ( x t) = Ax() t + B u() t y () t = C x() t + Du() t Si ricorda che: x(t) R n, u(t) R p, y(t) R q A R nxn, B R nxp, C R qxn, D R qxp

14 Il movimento di sistemi dinamici LTI TC Utilizzando le equazioni di stato: ( x t) = Ax() t + B u() t si vuole calcolare la soluzione x(t) a partire da uno stato iniziale x(t = 0 - ) = x 0 noto e a fronte di un andamento dell ingresso u(t) noto t 0. La soluzione x(t) si indica con il termine movimento dello stato.

15 La soluzione nel dominio della frequenza s 1/5 Il calcolo di x(t) e y(t) con la trasformata di Laplace avviene secondo lo schema: Equazioni in dom(t) soluzione in dom(t) x(t), y(t) L L -1 Equazioni in dom(s) soluzione in dom(s) X(s), Y(s)

16 La soluzione nel dominio della frequenza s 2/5 La soluzione nel dominio della frequenza si ottiene trasformando le equazioni di ingresso - stato - uscita: x() t = Ax() t + B u() t y() t = C x() t + Du() t L sx ( s ) x (0 ) = AX ( s ) + B U ( s ) Y ( s) = C X ( s) + DU( s) e calcolando esplicitamente X(s) e Y(s).

17 La soluzione nel dominio della frequenza s 3/5 Per il movimento dello stato si ottiene: H0 ( s ) H ( ) f s ( ) 1 ( ) 1 X ( s ) = si A x (0 ) + si A B U ( s ) = x 0 x MOVIMENTO LIBERO MOVIMENTO FORZATO = ( x ( t )) = ( x ( t )) L x = H ( s) x(0 ) + H ( s) U( s) f Antitrasformando, x(t) risulta pari alla somma di: x() t = x () t + x () t x l (t) movimento libero dipende solo da x(0 - ) x f (t) movimento forzato dipende solo da u(t) L f x f

18 La soluzione nel dominio della frequenza s 4/5 L andamento di y(t), detto movimento dell uscita o risposta del sistema, si ottiene trasformando l equazione statica di uscita y () t = C x() t + Du() t : 0 RISPOSTA LIBERA = ( y ( t )) H ( s) MATRICE DI TRASFERIMENTO H0 ( s) ( ) 1 ( ) 1 Y ( s) = C si A x(0 ) + C si A B + D U( s) L = H ( s) x(0 ) + H( s) U( s) RISPOSTA FORZATA = ( y ( t )) Antitrasformando, y(t) risulta pari alla somma di: y l (t) risposta libera dipende solo da x(0 - ) y f (t) risposta forzata dipende solo da u(t) L f

19 La soluzione nel dominio della frequenza s 5/5 H(s) matrice di trasferimento del sistema (legame ingresso uscita). H x 0 (s), H x f (s),h 0 (s), H(s) sono in generale matrici complesse i cui elementi sono funzioni razionali fratte (rapporto di polinomi) nella variabile complessa s. Le matrici H x 0 (s), H 0 (s) rappresentano il legame fra le condizioni iniziali e, rispettivamente, lo stato e l uscita. Le matrici H x f (s), H(s) rappresentano il legame tra l ingresso e, rispettivamente, lo stato e l uscita.

20 La matrice di trasferimento La matrice H(s) èdetta matrice di trasferimento e rappresenta il legame tra l ingresso e l uscita, nel dominio della trasformata di Laplace. Per un sistema a p ingressi e q uscite la matrice di trasferimento è costituita da una matrice a q righe e p colonne di funzioni razionali della variabile s.

21 Soluzione nel dominio della frequenza s La funzione di trasferimento

22 La funzione di trasferimento Se il sistema è a un ingresso (p = 1) e un uscita (q = 1) (SISO) allora la matrice di trasferimento si dice funzione di trasferimento (fdt). m NH ( s) bms + b s + + b s + b H( s) = =, m n n D ( s) s + a s + + a s + a H m 1 m n 1 n m < n fdt strettamente propria (il sistema è proprio b m D 0). m n fdt non strettamente propria (bipropria) (il sistema è improprio b m D 0). radici di N H (s) zeri della fdt del sistema. radici di D H (s) poli della fdt del sistema.

23 Forme fattorizzate della funzione di trasferimento 1/2 Forma zeri e poli ( s z1) ( s z2) ( s zm ) ( )( ) ( ) Hs () = K s p s p s p 1 2 n z 1,, z m zeri della fdt p 1,, p n poli della fdt K guadagno infinito n m K = lim s H( s) s

24 Forme fattorizzate della funzione di trasferimento 2/2 Forma fattorizzata di Bode (forma fattorizzata in costanti di tempo) Sarà introdotta e studiata nel modulo di Controlli Automatici

25 Rappresentazione di singolarità complesse 1/4 p(s) = s 2 + a 1 s + a 0 = (s - σ 0 -jω 0 )(s - σ 0 + jω 0 ) polinomio di secondo grado con radici complesse coniugate s 1,2 = σ 0 ± jω 0. σ 0 e ω 0 parte reale e immaginaria rappresentazione cartesiana delle radici jω x jω 0 σ 0 σ x -jω 0

26 Radici complesse coniugate (2/4) Pulsazione naturale (ω n ) e smorzamento (ζ ) di una coppia di radici complesse coniugate jω θ ζ = sin(θ ) ω n = (σ ω 0 2 ) x ω n jω 0 σ 0 σ x - jω 0 σ 0 = ζω n ω 0 = ω n (1 ζ 2 ) ω n = (σ 02 +ω 02 ) ζ = σ 0 / (σ 02 +ω 02 ) ω n > 0 ζ < 1 per una coppia di radici complesse coniugate

27 Rappresentazione di singolarità complesse 3/4 Rappresentazione di un trinomio di 2 grado in funzione di smorzamento e pulsazione naturale s ζω s + ω n n

28 Rappresentazione di singolarità complesse 4/4 Funzione di trasferimento nella forma zeri e poli Hs () = K mr mc 2 2 ( s z ) i s + ζz, iωnz, is + ωnz, i i= 1 i= 1 nr nc 2 2 ( s pi ) s + ζp, iωnp, is + ωnp, i i= 1 i= 1 ( 2 ) ( 2 ) m r # zeri reali, m c # coppie zeri complessi coniugati m r + 2 m c = m n r # poli reali, n c # coppie poli complessi coniugati n r + 2 n c = n K guadagno infinito

29 Soluzione nel dominio del tempo La formula di Lagrange Movimento libero Movimento forzato

30 Descrizione di sistemi dinamici LTI TC Il comportamento dinamico di un sistema LTI TC è descritto dalle equazioni di ingresso stato uscita: ( x t) = Ax() t + B u() t y () t = C x() t + Du() t Si ricorda che: x(t) R n, u(t) R p, y(t) R q A R nxn, B R nxp, C R qxn, D R qxp

31 Il movimento di sistemi dinamici LTI TC Utilizzando le equazioni di stato: ( x t) = Ax() t + B u() t si vuole calcolare la soluzione x(t) a partire da uno stato iniziale x(t = 0 - ) = x 0 noto e a fronte di un andamento dell ingresso u(t) noto t 0. la soluzione x(t) si indica con il termine movimento dello stato.

32 La formula di Lagrange per il calcolo di x(t) L espressione di x(t) si calcola con la formula di Lagrange: t At A( t τ ) () (0) () τ 0 x ( t ) x t = e x + e Bu dτ = = x () t + x () t f x ( t ) f Il movimento dello stato x(t) è la somma di due contributi: x l (t) movimento libero dipende solo da x(0 - ) x f (t) movimento forzato dipende solo da u(t)

33 Calcolo del movimento dell uscita L andamento di y(t), detto movimento dell uscita, si ottiene dalla relazione statica: y () t = C x() t + Du() t dopo avere sostituito per x(t) l espressione ottenuta dalla formula di Lagrange: t At A( t τ ) () (0) () τ τ () 0 y ( t ) y t = Ce x + C e Bu d + Du t = = y () t + y () t f y ( t ) f

34 Calcolo del movimento dell uscita Anche il movimento dell uscita y(t) detto anche risposta del sistema è la somma di due contributi: y l (t) risposta libera dipende solo da x(0 - ) y f (t) risposta forzata dipende solo da u(t)

35 Utilizzo della trasformata di Laplace L impiego diretto della formula di Lagrange richiede però l utilizzo di procedimenti di calcolo integrale Al fine di semplificare tali procedimenti, risulta più utile fare ricorso alla trasformata di Laplace, giustificando in tal modo la soluzione nel dominio della frequenza s