Studio dei segnali nel dominio della frequenza. G. Traversi

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1 Studio dei segnali nel dominio della frequenza G. Traversi

2 Segnali periodici e serie di Fourier Una funzione periodica f(t) di periodo T (purché integrabile) è esprimibile con una serie del tipo: f (t) = A 0 + C n sen(nωt + ϕ n ) ovvero può essere considerata la somma di un termine costante e di altre sinusoidi, delle quali la prima ha frequenza f=ω/2π=1/t (fondamentale) e le successive con frequenze multiple, 2f (seconda armonica), 3f (terza armonica), ecc. n=1 Sviluppando la funzione seno (sen(x+y)=sen(x)cos(y)+cos(x)sen(y)) si ottiene: f (t) = A 0 + n=1 ( A n cos(nωt) + B n sen(nωt) ) A n = C n sen(ϕ n ) B n = C n cos(ϕ n ) C n = A 2 2 n + B ϕ n n = arctg A n B n

3 Segnali periodici e serie di Fourier I coefficienti A 0, A n, B n, si possono calcolare come: A 0 = 1 T A n = 2 T B n = 2 T T 0 T 0 T 0 f (t) dt f (t) cos(nωt) dt f (t) sen(nωt) dt A 0 è il valore medio della f(t) La serie di Fourier permette di esprimere una funzione periodica attraverso un numero discreto di parametri, che sono le ampiezze delle componenti cosinusoidali A n e sinusoidali B n alla frequenza fondamentale (f) e alle frequenze multiple (nf).

4 Serie di Fourier dell onda triangolare

5 Serie di Fourier dell onda quadra

6 Serie di Fourier dell onda a dente di sega

7 Esempio di serie di Fourier Funzione a impulsi di durata t: a) forma d onda, b) spettro d ampiezza se il periodo vale T, spettro d ampiezza se il periodo vale 2T.

8 Segnali non periodici e integrale di Fourier Un segnale non periodico può essere considerato come un segnale periodico con t-> e f->0. Con un segnale non periodico si passa quindi da uno spettro a righe, cioè discreto, ad uno spettro continuo. La somma di tutti i contributi avviene quindi con un integrale (integrale di Fourier): f (t) = f (t) = 0 0 C(ω) sen[ ωt + ϕ(ω) ]dω [ A(ω)cos(ωt) + B(ω)sen(ωt) ] dω C(ω) = A 2 (ω) + B 2 (ω) A(ω) = C(ω) sen( ϕ(ω) ) B(ω) = C(ω) cos( ϕ(ω) ) ϕ(ω) = arctg A(ω) B(ω) A(ω) = 1 π f (t) cos(ωt)dt B(ω) = 1 π f (t) sen(ωt)dt

9 Trasformata di Fourier Definizione di trasformata di Fourier, valida per tutti i segnali x(t) per i quali l integrale al secondo membro esiste. X( f ) = F x(t) Antitrasformata di Fourier: x(t) = F 1 X( f ) [ ] = x(t) e jωt dt [ ] = X( f ) e jωt df Trasformata e antitrasformata coincidono a meno del segno nell esponenziale.

10 Proprietà della trasformata di Fourier Linearità: x 1 (t) + x 2 (t) X 1 ( f ) + X 2 ( f ) k x(t) k X( f ) Cambio di scala: x(k t) 1 k X f k Traslazione nel tempo: x(t + t 0 ) e jωt 0 X( f ) Traslazione in frequenza o modulazione: e jω 0 t x(t) X( f + f 0 )

11 Proprietà della trasformata di Fourier Moltiplicazione e convoluzione: x 1 (t) x 2 (t) X 1 ( f ) X 2 ( f ) x 1 (t) x 2 (t) X 1 ( f ) X 2 ( f ) L operazione di convoluzione fra due segnali è definita come: x 1 (t) x 2 (t) = x 1 (τ) x 2 (t τ)dτ = x 1 (t τ) x 2 (τ)dτ Derivazione: x'(t) jω X( f ) Integrazione: x(t) 1 jω X( f )

12 Proprietà della trasformata di Fourier Simmetria: x(t) reale -> X(f)=X*(-f) La trasformata di Fourier di un segnale reale gode della simmetria complessa coniugata (simmetria Hermitiana). La parte reale e il modulo sono simmetrici rispetto all origine (pari), la parte immaginaria e la fase sono antisimmetriche rispetto all origine (dispari). Traslazione in frequenza o modulazione: e jω 0 t x(t) X( f + f 0 ) x(t) cos(ωt) 1 [ 2 X( f + f 0) + X( f f 0 )] Moltiplicare x(t) per il sen o il cos consente di modulare un segnale in ampiezza. Lo spettro di un segnale modulato in ampiezza è uno spettro bilatero centrato attorno alla frequenza del segnale modulante.

13 Esempio: trasformata di funzione a rettangolo t A T 2 t T x(t) = A rect = 2 T 0 altrove t rect T La trasformata di Fourier è: T 2 X( f ) = A e jωt dt = T 2 T 2 T 2 T 2 = A cos(ωt)dt = A T T 2 A ( cos(ωt) jsen(ωt) )dt = sen(πf T) πf T = A T sinc( f T) Quindi la trasformata della funzione x(t) = A sinc t è: X( f ) = A T rect( f T) T

14 Esempio: trasformata di una delta di Dirac La trasformata di Fourier di una funzioe delta di Dirac d(t) si ottiene dalla trasformata del rettangolo ponendo T->0 e AT=1: F[ δ(t) ] = sinc(0) = lim T 0 sen(πft) πft =1 Viceversa, la trasformata di Fourier della costante 1 è la delta di Dirac: F( 1) = δ( f )

15 Esempio: trasformata della funzione seno e coseno [ ] = sen(ωt) e jωt dt = F sen(ωt) = j 2 e j 2π ( f f 0 )t dt e jωt e jωt e jωt dt = 2 j e j 2π ( f + f 0 )t dt = j 2 δ f f 0 ( ( ) δ( f + f 0 )) [ ] = cos(ωt) e jωt dt = F cos(ωt) e jωt + e jωt 2 e jωt dt = = 1 2 e j 2π ( f f 0 )t dt + e j 2π ( f + f 0 )t dt = 1 2 δ f f 0 ( ( ) + δ( f + f 0 ))

16 Esempio: trasformata dell onda quadra a media nulla

17 Esempio: trasformata dell onda quadra a media non nulla

18 Esempio: trasformata dell onda quadra a media non nulla

19 Relazione tra Serie e Trasformata di Fourier La trasformata di Fourier di un segnale periodico è una sommatoria di funzioni delta di Dirac, le cui ampiezze corrispondono ai coefficienti complessi della serie di Fourier. x(t) periodico in t X(f) discreto (campionato) in f x(t) discreto (campionato) in t X(f) periodico in f

20 Esempio di integrale di Fourier