Introduzione al Campionamento e

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1 Introduzione al Campionamento e all analisi analisi in frequenza Presentazione basata sul Cap.V di Introduction of Engineering Experimentation, A.J.Wheeler, A.R.Ganj, Prentice Hall Campionamento L'utilizzo dei sistemi di acquisizione dati comporta che i segnali variabili nel tempo vengano campionati, cioè acquisiti per tempi discreti. Come esistono le problematiche legate alla quantizzazione, cioè la discretizzazione sull asse delle ampiezze, cosi esistono problemi analoghi legati al campionamento, cioè la discretizzazione sull asse dei tempi. Errori nel campionamento possono generare misure completamente errate. Definizione: Frequenza di campionamento, f s, numero di campioni acquisiti nell unità di tempo. 1

2 Campionamento Supponiamo di voler acquisire un segnali sinusoidale di frequenza 10 Hz con diverse frequenze di campionamento: Segnale sinusoidale di partenza a 10 Hz Campionamento 5 Hz. 11 Hz. 18 Hz Hz. 2

3 Campionamento Osservazioni: Nessuno dei primi tre campionamenti consente di riconoscere la esatta frequenza del segnale iniziale. L ultimo risultato coglie esattamente la frequenza, ma introduce una variazione di ampiezza. Per una frequenza di campionamento superiore al doppio di quella del segnale originale, la piu bassa frequenza riprodotta è proprio quella del segnale originale. Da cio deriva il teorema di Nyquist Shannon: per non alterare il contenuto in frequenza di un segnale la frequenza di campionamento deve essere maggiore del doppio della frequenza massima contenuta nel segnale: f s > 2f m Campionamento Osservazioni: Anche segnali a frequenza superiore possono mostrare valori coincidenti per gli istanti di campionamento. Per la precisione, esistono infinite frequenze superiori a quella originale che possono avere valori identici agli stessi istanti di campionamento. L unica possibilità e quella di eliminarle mediante filtraggio. Tuttavia, avendo rispettato il teorema del campionamento, la frequenza più bassa è proprio quella del segnale originale. 3

4 Campionamento Il campionamento provoca sempre una riduzione del contenuto informativo presente nel segnale continuo: si perde l'informazione sul valore assunto in tutti i tempi diversi dagli istanti di campionamento. Esempidi quello che può succedere campionando una sinusoide: id I due casi mostrano come il campionamento possa generare ambiguità di interpretazione: i punti campionati appartengono ad entrambe le sinusoidi. Necessario stabilire i requisiti per un corretto campionamento, ovvero per evitare perdita di informazioni importanti. Aliasing Il fenomeno, noto come Aliasing, può essere descritto anche nel dominio delle frequenze. Nel dominio delle frequenze il coseno è una linea spettrale collocata alla frequenza corrispondente alla pulsazione/periodicità. f app <f reale f app =0 f f La sinusoide a frequenza maggiore dovrebbe essere collocata nella parte destra del diagramma, mentre appare in quella sinistra. Il contributo energetico affetto da aliasing si sposta ad una frequenza inferiore e si confonde con il contenuto in frequenza eventualmente presente in quella parte dello spettro. 4

5 Aliasing L aliasing si manifesta nel dominio delle frequenze come uno spostamento ad una frequenza inferiore della linea spettrale relativa alla sinusoide reale non adeguatamente campionata: F2, F3 e F4 non esistono realmente nella banda 0 f Nyq, ma sono le immagini (alias) delle corrispondenti componenti al di fuori della banda 0 f Nyq Spettro reale Finestra osservata In assenza di un termine di confronto non si è in grado di dire se quello che si vede è vero o apparente: quindi l aliasing deve sempre essere evitato Aliasing Consideriamo 3 sinusoidi di ampiezza unitaria e frequenze 2, 5 e 42 Hz

6 Aliasing Avendo interesse per la banda fino a 25 Hz campioniamo a 50Hz Avendo commesso aliasing, si ha questa situazione: E evidente la distorsione dovuta all aliasing, sia nel tempo che in frequenza, Aliasing Utilizzando un filtro passa basso, otteniamo: 4 2 Att db

7 Aliasing Folding Diagram E possibile tracciare un semplice diagramma, detto Folding Diagram, che ci permetta di prevedere quale frequenza genererà aliases noti i parametri di acquisizione Definendo f N =f s /2 come folding frequency è immediato stabilire la presenza di aliases. Esempio: f m = 80Hz, f N =f S /2= 100/2=50Hz f m /f N =1.6 7

8 Analisi spettrale In presenza di sinusoidi pure, la determinazione della frequenza è semplice, a patto di non incorrere in aliasing. Più complesso è determinare le frequenze contenute in un generico segnale tempovariante. Si parla in questo caso di analisi spettrale. Due situazioni tipiche: La conoscenza del contenuto in frequenza serve per la definizione della catena di misura La conoscenza del contenuto in frequenza è l obiettivo finale della prova (ad esempio prove di vibrazioni). Si consideri l onda triangolare di frequenza 1000 Hz riportata in figura. Analisi spettrale Apparentemente, si tratta di un semplice segnale a 1000 Hz. In realtà è il risultato della sovrapposizione di infinite armoniche, multipli dispari della frequenza base, quali 1000 Hz, 3000 Hz, 5000 Hz, ecc. Lo strumento per determinare queste componenti è noto come Analisi di Fourier, che prende il nome dal suo sviluppatore. Ogni funzione periodica f(t) è esprimibile come la somma di un termine costante ed una serie di termini cosinusoidali e sinusoidali: 8

9 Analisi spettrale Nel caso dell onda triangolare prima riportata, si definisce f 0 la frequenza base o fondamentale quella di 1000 Hz, e il periodo T il suo inverso. I differenti termini della serie di Fourier valgono: Benché la serie contenga infiniti termini, in genere si valutano i primi termini e quando la f(t) non è esprimibile in forma analitica, il calcolo degli integrali avviene in modo numerico. f(t) = f( t) f(t) = f( t) Funzione pari Funzione dispari Analisi spettrale Calcolando i primi termini della serie per l onda triangolare considerata si ottiene: Tutti i termini cosinusoidali a n sono nulli, risultato non sorprendente essendo il segnale di partenza molto più simile and un seno che non ad un coseno. Le prime 4 armoniche hanno frequenza pari a 1000, 3000, 5000 e 7000 Hz. 9

10 Analisi spettrale Possiamo anche rappresentare il contributo di ciascuna armonica riportando per ciascun ordine la rispettiva ampiezza: Analisi spettrale Limite di applicazione: la funzione deve essere periodica nel periodo T. Dato che non è possibile stabilirlo a priori quando si fanno misure, come risolvere questo problema? Forzare il segnale ad essere periodico Passaggio alla Trasformata di Fourier 10

11 Trasformata di Fourier Si tratta di una generalizzazione della serie di Fourier, che consente di superare il requisito di segnale periodico. Nel caso di segnali discreti (campionati) esiste una implementazione particolarmente efficiente chiamata Fast Fourier Transform. Punto di partenza: serie di Fourier ma in forma esponenziale complessa. con i coefficienti c n generalmente complessi. Trasformata di Fourier Nella serie di Fourier si è introdotta la frequenza base, inverso del periodo T. Tanto più si estende il periodo di osservazione, tanto più questa frequenza si abbassa. Al limite, estendendo T all infinito, si ottiene una rappresentazione spettrale non più discreta (multipli della frequenza fondamentale) ma continua. Si può quindi definire la Trasformata di Fourier di una funzione f(t) come: Con F(ω) funzione continua e complessa. E possibile anche fare l operazione inversa: 11

12 Trasformata discreta di Fourier Problema: nelle normali misure si ricavano valori discreti nel tempo dei segnali e quindi la forma integrale è sostituita dalla sommatoria: Con F coefficienti di sinusoidi a frequenze crescenti 0, Δf, 2Δf, 3Δf, (N 1)Δf. Definizioni: Numero di campioni acquisiti: N Risoluzione in frequenza: Δf = 1/T Risoluzione temporale: Δt = T/N Frequenza di campionamento f s = N/T Esempio Consideriamo ora un segnale composto da due armoniche a 10 e 15 Hz avente la seguente espressione analitica: Calcolandone lo spettro osservando un periodo di 1 secondo ed acquisendo 128 e 512 punti, si ottiene: 12

13 Esempio Le due armoniche fondamentali sono dominanti, ma compaiono anche contributi di armoniche adiacenti, più rilevanti nel caso di soli 128 campioni, dovute alla ridotta risoluzione. Da notare la differenza di scala dell asse y! Se si vogliono confrontare le diverse armoniche non è un problema, ma se si vogliono ricostruire i valori reali, le ampiezze vanno scalate perché sono funzione dei parametri di acquisizione essendo ottenute con una FFT. Le ampiezze corrette vanno scalate per 2/N Esempio Nell esempio precedente il periodo di osservazione conteneva un multiplo intero dei periodi delle armoniche contenute. In genere non si hanno informazioni a priori sul contenuto del segnale di misura. Supponiamo di voler misurare, sempre con T di 1 secondo con 512 campioni, il segnale: Il risultato è una diffusione dell energia, originariamente associata alle sole due armoniche presenti, in tutte le armoniche adiacenti. Questo fenomeno è detto Leakage. 13

14 Leakage Periodica nella finestra Non periodica nella finestra 27 Finestratura Un rimedio consiste nell applicare finestre temporali al segnale misurato che mandano a zero il segnale stesso all inizio e alla fine della finestra di misura, quale quella nota come Hanning: 14

15 Finestratura Finestratura esponenziale Viene utilizzata nel caso di segnali che non decadono a zero nella finestra di misura T. 15