Elementi di sismologia
|
|
- Cristina Alfano
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Elementi di sismologia Sismologia e Rischio Sismico Anno Accademico Giovanna Cultrera, cultrera@ingv.it Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia Trasformata di Fourier Premessa: l equazione delle onde Integrale di Fourier Proprietà Casi particolari Crediti D. Boore (USGS) S.Stein & M.Wysession An Introduction to Seismology, Earthquakes, and Earth Structure
2 Equazione del moto Soluzione omogenea equazione delle onde 2 u i = 1 v 2 x j 2 2 u i ( x, t) 2 t La soluzione è del tipo: u(x, t)= f(x + v t) f(x - v t) Funzioni di questo tipo descrivono un onda che si propaga nel tempo e nello spazio ad una velocità v
3 Equazione del moto Onde 2 u i 1 = x 2 1 v 2 2 u i ( x, t) 2 t u(x, t)= f(x + v t) f(x - v t) f può essere della forma: u( x, t) Ae i( wt kx) Acos( wt kx) + Ai sin( wt kx) che rappresenta un onda armonica (o sinusoidale), periodica nel tempo e nello spazio, che si propaga con velocità v = w / k
4 Equazione del moto Onde u( x, t) Ae i( wt kx) Acos( wt kx) + Ai sin( wt kx) onda armonica (o sinusoidale) varia nel Tempo Periodo: T = 2p / w Spazio Lunghezza d onda: l 2p /k
5 Ampiezza Ampiezza Trasformata di Fourier Definizioni utili Lunghezza d onda l Periodo T Distanza dalla sorgente Tempo k=1/l numero d onda In uno stesso istante di tempo, lo spostamento è periodico nello spazio (distanza). f=1/t frequenza w=2p/t frequenza angolare Fissata la posizione, lo spostamento è periodico nel tempo.
6 Light is a usually a multiple frequency signal, and the different frequencies correspond to what we call Sismogrammi in frequenza: La trasformata di Fourier Richiami sulla Trasformata di Fourier (si veda Numerical Recepies)
7 Serie temporale (accelerazione) Sismogrammi in frequenza Come possiamo vedere un sismogramma? a) nel tempo t [s] BAGNOLI: Terremoto dell Irpinia (23 novembre 1980; M=6.9)
8 fase ampiezza Sismogrammi in frequenza Come possiamo vedere un sismogramma? b) in frequenza Trasformata di Fourier f [Hz] BAGNOLI: Terremoto dell Irpinia (23 novembre 1980; M=6.9)
9 Trasformata di Fourier Cosa significa? Un segnale arbitrario...
10 Trasformata di Fourier Cosa significa?... Si puo ottenere sommando sinusoidi di frequenza diversa:
11 Trasformata di Fourier Cosa significa? Ovvero: Segnale arbitrario Combinazione di sinusoidi......di frequenza fissata
12 Trasformata di Fourier integrale di Fourier Una qualsiasi funzione (continua e dotata di derivata generalmente continua) può essere rappresentata come sovrapposizione di funzioni sinusoidali (coseni e seni): f (t) = [a(w) cos(w t )+ b(w) sen(w t)] dw 0 con w 2p/t a(w) p cos(w t) dt = C(w) cosf(w) b(w) p sen(w t) dt = C(w) senf(w) l integrale di Fourier riproduce il segnale tra [ 0, ]
13 Trasformata di Fourier integrale di Fourier f (t) = [a(w) cos(w t )+ b(w) sen(w t)] dw 0 Utilizziamo i numeri complessi (coppie di numeri reali): (a, b) = a + i b a = parte reale, I numeri complessi ammettono una rappresentazione geometrica nel piano. Passando in coordinate polari (A, f): a = A cos(f), b = A sen(f) b = parte immaginaria y b A f * a x
14 Trasformata di Fourier: definizione a(w) p cos(w t) dt = C(w) cosf(w) b(w) p sen(w t) dt = C(w) senf(w) Usando la rappresentazione esponenziale: e iw t =exp(iwt)= cos(w t) + i sen(w t) F(w) = F(w) e i f(w) = f(t) e iw t dt - Spettro delle ampiezze Spettro delle fasi
15 Trasformata di Fourier: definizione Definiamo quindi la trasformata di Fourier come una funzione complessa F(w) = F(w) e i f(w) Spettro delle ampiezze Spettro delle fasi Che si ottiene dall funzione di partenza f(t) F(w) = f(t) e iw t dt -
16 Trasformata di Fourier integrale di Fourier f (t) = [a(w) cos(w t )+ b(w) sen(w t)] dw 0 Si può dimostrare che f (t) = 1 2p F(w) e iw t dw -
17 Trasformata di Fourier: definizione Un segnale temporale f(t) di durata T si può esprimere come: f (t) = 1 F(w) e iw t dw - 2p con w 2p/t dove F(w) = f(t) e iw t dt - è la trasformata di Fourier
18 Trasformata di Fourier: definizione La trasformata di Fourier è una funzione complessa F(w) = f(t) e iw t dt - Si può anche scrivere come F(w) = F(w) e i f(w) Spettro delle ampiezze Spettro delle fasi
19 Trasformata di Fourier: definizione A partire dallo spettro di Fourier (AMPIEZZA e FASE), F(w) = f(t) e iw t dt = F(w) e i f(w) - con w 2p/t è possibile ottenere il sismogramma di partenza: f (t) = 1 2p F(w) e i[w t +f(w)] dw - (se il segnale temporale f(t) ha durata T )
20 Trasformata di Fourier: definizione Segnale f (t) = 1 F(w) e iw t dw 2p - Spettro di ampiezza F(w) = F(t) e iw t dt -
21 fase ampiezza Trasformata di Fourier Sismogramma in frequenza: Esempio 1 Serie temporale (accelerazione) t [s] FFT (ampiezza e fase) FFT ampiezza (scala logaritmica) f [Hz]
22 fase ampiezza Trasformata di Fourier Esempio 2 ANZIO, 22/08/2005 (Mw=4.5)
23 Ampiezza ampiezza 0 f (Hz) 10 Trasformata di Fourier Esempio 3 SUMATRA, 26/12/2004 (Mw=9.3) BOB ANZIO, 22/08/2005 (Mw=4.5)
24 Ampiezza FFT S. Stein & M. Wysession Trasformata di Fourier Esempio 4
25 Trasformata di Fourier proprietà Derivata e integrale Es. d f (t) d = 1 dt dt 2p F(w) e iw t - dw Convoluzione Linearità ( n) n f ( t) ( iw) f ( w) + w f ( t) * f ( t) f ( t ) f ( t t ) dt f ( w) f ( ) a f t) + a f ( t) a f ( w) + a f ( ) = 1 iw F(w) e iw t dw 2p - 1 1( w Traslazione iwa f ( t a) e f ( w) Teorema di Parseval f ( t) w f ( ) 2 2 Parseval identity (sum of the square values)
26 Prodotto di convoluzione * il prodotto di convoluzione rappresenta un integrale nel tempo f(t) * g(t) = f(t) g(t-t) dt - + nel dominio del tempo
27 Prodotto di convoluzione f(t) * g(t) = f(t) g(t-t) dt - + nel dominio del tempo t1 t2 t3
28 f(t) * g(t) = f(t) g(t-t) dt nel dominio del tempo + -
29 Prodotto di convoluzione * il prodotto di convoluzione rappresenta un integrale nel tempo f(t) * g(t) = f(t) g(t-t) dt - + TF[f(t) * g(t)] = F(w) x G(w) nel dominio del tempo nel dominio della frequenza
30 Casi particolari Funzione limitata (durata T) Funzione discreta (passo dt)
31 1- Serie di Fourier Funzione limitata nel tempo Funzione limitata nel tempo Segnale È equivalente ad un segnale periodico di periodo T Segnale T T T T
32 1- Serie di Fourier integrale di Fourier serie di Fourier Per un segnale PERIODICO di periodo T, Segnale l integrale di Fourier T f (t) = 1 2p T F(w) e i[w t +f(w)] dw - T Integrale di Fourier diventa una serie (sommatoria) Serie di t C o [C n sen( nw o t + f n )] Fourier
33 1- Serie di Fourier integrale di Fourier serie di Fourier t C o [C n sen( nw o t + f n )] dove C n = (a n2 + b n2 ) f n = arctan (a n / b n ) fase ampiezza 2 /2 e 2 /2 /2 /2 cos(nw o t) dt = C n cosf n sen(nw o t) dt = C n senf n
34 1- serie di Fourier Ampiezza e frequenza t C o [C n sen( nw o t + f n )] Serie di Fourier somma di funzioni sinusoidali di diversa ampiezza e fase C n = (a n2 + b n2 ) ampiezza f n = arctan (a n / b n ) fase con frequenze discrete f = n w o /2p
35 1- serie di Fourier Ampiezza e frequenza C n = (a n2 + b n2 ) Spettro di ampiezza /T /T /T /T /T /T /T frequenza fondamentale w o 2p / T armoniche superiori n w o 2p n / T
36 1- serie di Fourier frequenza La serie di Fourier è discreta con frequenza fondamentale f o = w o /2p = 1 / T frequenza fondamentale (n=1) armoniche superiori n wo 2p n / T
37 Casi particolari Funzione limitata (durata T) Funzione discreta (passo dt)
38 2-Trasformata di Fourier Caso particolare: funzione discreta Se la funzione è discreta, ovvero rappresentata da un numero discreto di punti (passo di campionamento Dt fs=1/dt) la trasformata di Fourier è periodica Intervallo di validità [-f N f N ], dove f N =1 / (2 Dt) è la frequenza di Nyquist
39 2-Trasformata di Fourier Frequenza di Nyquist f N = 1 / (2 Dt) = 1/T N Se il passo di campionamento è Dt, la sinusoide di frequenza f N (ovvero di periodo T N ) è campionata con 2 punti T N Dt =T N /2 t 2 punti/ciclo sono il numero minimo di punti necessario per definire univocamente una sinusoide
40 2-Trasformata di Fourier Frequenza di Nyquist Quindi le armoniche con frequenze f tali che f < fn (T>2Dt) vengono ben campionate con un numero di punti maggiore di 2 Dt t f > fn (T<2Dt) vengono viste come sinusoidi con frequenza f*< fn Dt t
41 2-Trasformata di Fourier Caso particolare: funzione discreta la trasformata di Fourier è periodica Intervallo di validità [-f N f N ], f N =1 / (2 Dt) è la frequenza di Nyquist Se il segnale ha un contenuto in frequenza al di fuori dell intervallo [-f N f N ] Fenomeno di ALIASING (sovrapposizione)
42 2-Trasformata di Fourier Caso particolare: funzione discreta Fenomeno di ALIASING (sovrapposizione) la trasformata di Fourier non permette di rappresentare correttamente le frequenze del segnale al di fuori dell intervallo [-fn fn] Segnale discreto con passo di campionamento 1 / fs < 1 / fn Segnale discreto con passo di campionamento 1 / fs > 1 / fn ALIASING
43 Casi particolari Funzione limitata (durata T) la trasformata di Fourier è discreta [df= 1/T ] Funzione discreta (passo dt) la trasformata di Fourier è periodica [ f N =1 / (2 dt) ]
44 FFT limitata: f < 1/ (2 dt)=f Nyquist f (t) = 1 F(w) e iw t dw 2p - Trasformata di Fourier F(w) = f(t) e iw t dt = F(w) e i f(w) - con w 2p/T ATTENZIONE!!! Il segnale sismico è limitato di durata T FFT discreta : w dw n w o ~ n 2p/ T discreto (passo di campionamento dt)
45 Sismogrammi in frequenza: La trasformata di Fourier FINE della digressione
Studio dei segnali nel dominio della frequenza. G. Traversi
Studio dei segnali nel dominio della frequenza G. Traversi Segnali periodici e serie di Fourier Una funzione periodica f(t) di periodo T (purché integrabile) è esprimibile con una serie del tipo: f (t)
DettagliIntroduzione al Campionamento e
Introduzione al Campionamento e all analisi analisi in frequenza Presentazione basata sul Cap.V di Introduction of Engineering Experimentation, A.J.Wheeler, A.R.Ganj, Prentice Hall Campionamento L'utilizzo
DettagliIl Campionameto dei segnali e la loro rappresentazione. 1 e prende il nome frequenza di
Il Campionameto dei segnali e la loro rappresentazione Il campionamento consente, partendo da un segnale a tempo continuo ovvero che fluisce con continuità nel tempo, di ottenere un segnale a tempo discreto,
DettagliElettronica II Proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier; impedenza complessa; risposta in frequenza p. 2
Elettronica II Proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier; impedenza complessa; risposta in frequenza Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, 26013
DettagliElementi di sismologia
Elementi di sismologia Sismologia e Rischio Sismico Anno Accademico 2009-2010 Giovanna Cultrera, cultrera@ingv.it Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia Parametri per descrivere il movimento del
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6
EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)
DettagliUniversità degli Studi del Sannio Corso di laurea magistrale in Scienze e Tecnologie Geologiche. Insegnamento di Geofisica Applicata modulo B 4 CFU
Corso di laurea magistrale in Scienze e Tecnologie Geologiche Insegnamento di Geofisica Applicata modulo B 4 CFU Anno accademico 2010/2011 docente: Rosalba Maresca E-mail: maresca@unisannio.it 1 SASW (Spectral
DettagliRevisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza
Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza rgomenti: trasformazione in frequenza: significato e funzionamento; schemi di rappresentazione; trasformata discreta. 1 Rappresentazione dei
DettagliSistema dinamico a tempo continuo
Sistema dinamico a tempo continuo Un sistema è un modello matematico di un fenomeno fisico: esso comprende le cause e gli effetti relativi al fenomeno, nonché la relazione matematica che li lega. X INGRESSO
DettagliForma d onda rettangolare non alternativa.
Forma d onda rettangolare non alternativa. Lo studio della forma d onda rettangolare è utile, perché consente di conoscere il contenuto armonico di un segnale digitale. FIGURA 33 Forma d onda rettangolare.
DettagliDispensa sulle funzioni trigonometriche
Sapienza Universita di Roma Dipartimento di Scienze di Base e Applicate per l Ingegneria Sezione di Matematica Dispensa sulle funzioni trigonometriche Paola Loreti e Cristina Pocci A. A. 00-0 Dispensa
DettagliAppunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.
Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine
DettagliAll.n.7 GAD PEC RI12 INDAGINE GEOFISICA TRAMITE TECNICA MASW
All.n.7 GAD PEC RI2 INDAGINE GEOFISICA TRAMITE TECNICA MASW Easy MASW La geofisica osserva il comportamento delle onde che si propagano all interno dei materiali. Un segnale sismico, infatti, si modifica
DettagliDescrizione matematica della propagazione Consideriamo una funzione ξ = f(x) rappresenatata in figura.
ONDE Quando suoniamo un campanello oppure accendiamo la radio, il suono è sentito in punti distanti. Il suono si trasmette attraverso l aria. Se siamo sulla spiaggia e una barca veloce passa ad una distanza
DettagliCatene di Misura. Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/
Catene di Misura Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/ Piero Malcovati Dipartimento di Ingegneria Industriale e dell Informazione Università di Pavia piero.malcovati@unipv.it Piero Malcovati
DettagliUniversità degli Studi di Cassino e del Lazio Meridionale. Area Didattica di Ingegneria. Corso di Laurea in Ingegneria Industriale
Università degli Studi di Cassino e del Lazio Meridionale Area Didattica di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Industriale Lezioni del Corso di Misure Industriali 1 Università degli Studi di Cassino
DettagliElementi di teoria dei segnali /b
Elementi di teoria dei segnali /b VERSIONE 29.4.01 Filtri e larghezza di banda dei canali Digitalizzazione e teorema del campionamento Capacità di canale e larghezza di banda Multiplexing e modulazioni
DettagliLa trasformata Zeta. Marco Marcon
La trasformata Zeta Marco Marcon ENS Trasformata zeta E l estensione nel caso discreto della trasformata di Laplace. Applicata all analisi dei sistemi LTI permette di scrivere in modo diretto la relazione
DettagliRichiami su norma di un vettore e distanza, intorni sferici in R n, insiemi aperti, chiusi, limitati e illimitati.
PROGRAMMA di Fondamenti di Analisi Matematica 2 (DEFINITIVO) A.A. 2010-2011, Paola Mannucci, Canale 2 Ingegneria gestionale, meccanica e meccatronica, Vicenza Testo Consigliato: Analisi Matematica, M.
DettagliLa funzione di risposta armonica
0.0. 3.1 1 La funzione di risposta armonica Se ad un sistema lineare stazionario asintoticamente stabile si applica in ingresso un segnale sinusoidale x(t) = sen ωt di pulsazione ω: x(t) = sin ωt (s) =
DettagliCAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI Abbiamo studiato successioni e serie numeriche, ora vogliamo studiare successioni e serie di funzioni. Dato un insieme A R, chiamiamo successione di funzioni
DettagliRevisione dei concetti fondamentali
Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza Argomenti: trasformazione in frequenza: significato e funzionamento; schemi di rappresentazione; trasformata discreta. 1 Rappresentazione dei
DettagliTransitori del primo ordine
Università di Ferrara Corso di Elettrotecnica Transitori del primo ordine Si consideri il circuito in figura, composto da un generatore ideale di tensione, una resistenza ed una capacità. I tre bipoli
DettagliCarichiamo il segnale contenuto nel file ecg_es_20121128.mat
Esercitazione su analisi segnale ECG Carichiamo il segnale contenuto nel file ecg_es_20121128.mat Il file contiene due variabili - dt, che vale 0.004 - ecg, che è vettore lungo 6500 campioni La frequenza
DettagliCaratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza
Capitolo 5 Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza 5. Introduzione In questo capitolo affrontiamo lo studio dei segnali aleatori nel dominio della frequenza. Prendiamo come esempio
DettagliDescrizione del funzionamento di un Lock-in Amplifier
Descrizione del funzionamento di un Lock-in Amplifier S.C. 0 luglio 004 1 Propositi di un amplificatore Lock-in Il Lock-in Amplifier é uno strumento che permette di misurare l ampiezza V 0 di una tensione
DettagliAnalisi dei segnali nel dominio della frequenza
Laboratorio di Telecomunicazioni - a.a. 2010/2011 Lezione n. 7 Analisi dei segnali nel dominio della frequenza docente L.Verdoliva In questa lezione affrontiamo il problema dell analisi dei segnali tempo
DettagliApplicazioni lineari
Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari Definizione. Se V e W sono spazi vettoriali, una applicazione lineare è una funzione f: V W tale che, per ogni v, w V e per ogni a, b R si abbia f(av
DettagliI appello - 24 Marzo 2006
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Energetica e Gestionale A.A.2005/2006 I appello - 24 Marzo 2006 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. I.) Studiare la convergenza puntuale,
DettagliSVILUPPO IN SERIE DI FOURIER. Prof. Attampato Daniele
SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER Prof. Attampato Daniele SVILUPPO IN SERIE DI UNA FUNZIONE Uno dei problemi più frequenti in matematica è legato alla necessità di approssimare una funzione. Uno degli strumenti
DettagliAppunti sul corso di Complementi di Matematica- modulo Analisi Prof. B.Bacchelli
Appunti sul corso di Complementi di Matematica- modulo Analisi Prof. B.Bacchelli 09- Integrale doppio: Riferimenti: R.Adams, Calcolo ifferenziale 2. Capitoli 5.1, 5.2, 5.4. Esercizi 5.3, 5.4 Integrale
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y + y 2 =. y + x tan y = 2. Risolvere il problema di Cauchy y() = 1 2 π. 3. Risolvere il problema
DettagliSVILUPPO IN SERIE DI FOURIER
SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER Cenni Storici (Wikipedia) Jean Baptiste Joseph Fourier ( nato a Auxerre il 21 marzo 1768 e morto a Parigi il 16 maggio 1830 ) è stato un matematico e fisico, ma è conosciuto
DettagliCapitolo 1 ANALISI COMPLESSA
Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA 1 1.4 Serie in campo complesso 1.4.1 Serie di potenze Una serie di potenze è una serie del tipo a k (z z 0 ) k. Per le serie di potenze in campo complesso valgono teoremi analoghi
DettagliCorso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor
a.a. 2013/14 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Polinomi e serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli
DettagliProgrammazione per competenze del corso Matematica, Secondo biennio
Programmazione per del corso Matematica, Secondo biennio Competenze di area Traguardi per lo sviluppo delle degli elementi del calcolo algebrico algebriche di primo e secondo grado di grado superiore al
DettagliCorso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche. Analisi dei segnali A.A. 2008-09.
Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Analisi dei segnali A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Segnali continui e discreti Un segnale tempo-continuo è
DettagliLA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ED ESEMPI
LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ED ESEMPI Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC Proprieta della () LINEARITA : la della combinazione lineare (somma pesata) di due segnali e uguale alla
DettagliIntroduzione ai sistemi di trasmissione dell Informazione
Introduzione ai sistemi di trasmissione dell Informazione La trasmissione dell Informazione Sorgente Destinazione Trasformazione & Elaborazione Mezzo Trasmissivo Host A Host B Struttura reale di una interconnessione
DettagliLa propagazione delle onde luminose può essere studiata per mezzo delle equazioni di Maxwell. Tuttavia, nella maggior parte dei casi è possibile
Elementi di ottica L ottica si occupa dello studio dei percorsi dei raggi luminosi e dei fenomeni legati alla propagazione della luce in generale. Lo studio dell ottica nella fisica moderna si basa sul
DettagliTrasformazioni geometriche nel piano cartesiano
Trasformazioni geometriche nel piano cartesiano Francesco Biccari 18 marzo 2013 Una trasformazione geometrica del piano è una legge (corrispondenza biunivoca) che consente di associare a un determinato
DettagliMATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.
MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un
DettagliINTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.
INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati
DettagliInsiemi di livello e limiti in più variabili
Insiemi di livello e iti in più variabili Insiemi di livello Si consideri una funzione f : A R, con A R n. Un modo per poter studiare il comportamento di una funzione in più variabili potrebbe essere quello
DettagliTeoria dei Fenomeni Aleatori 1
Integrale Doppio Sia g( x,y ) una funzione continua nel piano ( x,y ) o D è un dominio sul piano ( x,y ) o P è una sua partizione che ricopre il dominio D: ( ) P D D... D... = 1,1 1,2 i,j, con Di,j = ΔxiΔ
Dettagli3 GRAFICI DI FUNZIONI
3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom
DettagliTeoria dei Segnali Richiami ai numeri complessi; serie e trasformata di Fourier
Teoria dei Segnali Richiami ai numeri complessi; serie e trasformata di Fourier Valentino Liberali Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano valentino.liberali@unimi.it Teoria dei Segnali
DettagliMETODI MATEMATICI PER LA FISICA
Si svolgano cortesemente i seguenti esercizi ESERCIZIO (6 PUNTI) METODI MATEMATICI PER LA FISICA PROVA SCRITTA - 2 GENNAIO 25 Una volta identificato, nel piano complesso α, il dominio di convergenza della
DettagliINTERFEROMETRO (Michelson)
S I beam splitter Semispecchio divide il raggio sorgente in due raggi, inviandoli a due specchi distinti: uno fisso e l altro mobile δ (OM - OF) INTERFEROMETRO (Michelson) specchio fisso OF OM + D m specchio
DettagliSTRUMENTAZIONE E MISURE ELETTRICHE. Condizionamento ed acquisizione del segnale
STRUMENTAZIONE E MISURE ELETTRICHE Condizionamento ed acquisizione del segnale Prof. Salvatore Nuccio salvatore.nuccio@unipa.it, tel.: 0916615270 1 Circuito di condizionamento Un sensore/trasduttore (S/T)
DettagliAPPUNTI SUL CAMPO MAGNETICO ROTANTE
APPUTI UL CAPO AGETICO ROTATE Campo agnetico Rotante ad una coppia polare Consideriamo la struttura in figura che rappresenta la vista, in sezione trasversale, di un cilindro cavo, costituito da un materiale
DettagliFUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE
FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A
DettagliAnalisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012
Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione
DettagliIntroduzione all Analisi dei Segnali
Tecniche innovative per l identificazione delle caratteristiche dinamiche delle strutture e del danno Introduzione all Analisi dei Segnali Prof. Ing. Felice Carlo PONZO - Ing. Rocco DITOMMASO Scuola di
DettagliControlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L.
Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 3, 1 Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL:
DettagliModulo di Meccanica e Termodinamica
Modulo di Meccanica e Termodinamica 1) Misure e unita di misura 2) Cinematica: + Moto Rettilineo + Moto Uniformemente Accelerato [+ Vettori e Calcolo Vettoriale] + Moti Relativi 3) Dinamica: + Forza e
DettagliIL FILTRAGGIO DEL SEGNALE
CAPITOLO 4 IL FILTRAGGIO DEL SEGNALE 4.1 - SISTEMA LINEARE NON DISTORCENTE E un sistema lineare che restituisce in uscita una replica indistorta del segnale di entrata, intendendo x(t) y(t) = Ax(t-t 0
DettagliIntorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in
Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Solitamente si fa riferimento ad intorni simmetrici =, + + Definizione: dato
DettagliAnalisi Matematica di circuiti elettrici
Analisi Matematica di circuiti elettrici Eserciziario A cura del Prof. Marco Chirizzi 2011/2012 Cap.5 Numeri complessi 5.1 Definizione di numero complesso Si definisce numero complesso un numero scritto
DettagliSpostamento Ampiezza Ciclo Periodo Frequenza
Vibrazioni e onde I corpi elastici sono soggetti a vibrazioni e oscillazioni Il diapason vibra e produce onde sonore Le oscillazioni della corrente elettrica possono produrre onde elettromagnetiche Le
DettagliIndice. 1 Introduzione alle Equazioni Differenziali 1 1.1 Esempio introduttivo... 1 1.2 Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità...
Indice 1 Introduzione alle Equazioni Differenziali 1 1.1 Esempio introduttivo............................. 1 1.2 Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità.............. 5 i Capitolo 1 Introduzione
DettagliA.1 Definizione e rappresentazione di un numero complesso
441 APPENDICE A4 NUMERI COMPLESSI A.1 Definizione e rappresentazione di un numero complesso Si riepilogano i concetti e le operazioni elementari relativi ai numeri complessi. Sia z un numero complesso;
DettagliDefinisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:
Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato
DettagliLEZIONE DI ELETTRONICA per la classe 5 TIM/TSE
LEZIONE DI ELETTRONICA per la classe 5 TIM/TSE MODULO : Analisi dei circuiti lineari in regime sinusoidale PREMESSA L analisi dei sistemi elettrici lineari, in regime sinusoidale, consente di determinare
DettagliEsempi di funzione. Scheda Tre
Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.
DettagliAnalisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06
Analisi Mat. - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 3-3-6 Sia p il polinomio di quarto grado definito da pz = z 4. Sia S il settore circolare formato dai numeri complessi che hanno modulo minore o
DettagliTRAVE SU SUOLO ELASTICO
Capitolo 3 TRAVE SU SUOLO ELASTICO (3.1) Combinando la (3.1) con la (3.2) si ottiene: (3.2) L equazione differenziale può essere così riscritta: (3.3) La soluzione dell equazione differenziale di ordine
DettagliLaboratorio di Elettrotecnica
1 Laboratorio di Elettrotecnica Rappresentazione armonica dei Segnali Prof. Pietro Burrascano - Università degli Studi di Perugia Polo Scientifico Didattico di Terni 2 SEGNALI: ANDAMENTI ( NEL TEMPO, NELLO
DettagliFunzioni di trasferimento. Lezione 14 2
Lezione 14 1 Funzioni di trasferimento Lezione 14 2 Introduzione Lezione 14 3 Cosa c è nell Unità 4 In questa sezione si affronteranno: Introduzione Uso dei decibel e delle scale logaritmiche Diagrammi
DettagliAlcune applicazioni delle equazioni differenziali ordinarie alla teoria dei circuiti elettrici
Alcune applicazioni delle equazioni differenziali ordinarie alla teoria dei circuiti elettrici Attilio Piana, Andrea Ziggioto 1 egime variabile in un circuito elettrico. Circuito C. 1.1 Carica del condensatore
DettagliOscillazioni: il pendolo semplice
Oscillazioni: il pendolo semplice Consideriamo il pendolo semplice qui a fianco. La cordicella alla quale è appeso il corpo (puntiforme) di massa m si suppone inestensibile e di massa trascurabile. Per
Dettagli15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
15 febbraio 010 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 009-010 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura
DettagliGrandezze scalari e vettoriali
Grandezze scalari e vettoriali 01 - Grandezze scalari e grandezze vettoriali. Le grandezze fisiche, gli oggetti di cui si occupa la fisica, sono grandezze misurabili. Altri enti che non sono misurabili
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare
DettagliMatematica generale CTF
Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione
DettagliRette e curve, piani e superfici
Rette e curve piani e superfici ) dicembre 2 Scopo di questo articolo è solo quello di proporre uno schema riepilogativo che metta in luce le caratteristiche essenziali delle equazioni di rette e curve
DettagliProva parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8. Cognome:... Nome:... Matricola:...
Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8 Cognome:................ Nome:................ Matricola:................ (Dare una dimostrazione esauriente di tutte le
DettagliLa distribuzione Normale. La distribuzione Normale
La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una
DettagliModulazioni. Vittorio Maniezzo Università di Bologna. Comunicazione a lunga distanza
Modulazioni Vittorio Maniezzo Università di Bologna Vittorio Maniezzo Università di Bologna 06 Modulazioni 1/29 Comunicazione a lunga distanza I segnali elettrici si indeboliscono quando viaggiano su un
DettagliPROCESSING NEL DOMINIO OMEGA Scardinare la teoria: DFT (Discrete Fourier Transform)
1 PROCESSING NEL DOMINIO OMEGA Scardinare la teoria: DFT (Discrete Fourier Transform) Si desidera una rappresentazione delle sequenze in dominio ω «adatta» a fare processing con filtri digitali 2 E stato
DettagliFondamenti di Automatica. Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI
Fondamenti di Automatica Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Soluzione delle equazioni di stato per sistemi dinamici LTI a tempo continuo
DettagliTeoria dei Segnali Modulazione di frequenza e modulazione di fase
Teoria dei Segnali Modulazione di frequenza e modulazione di fase Valentino Liberali Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano valentino.liberali@unimi.it Teoria dei Segnali Modulazione di
DettagliComplementi di Analisi per Informatica *** Capitolo 2. Numeri Complessi. e Circuiti Elettrici. a Corrente Alternata. Sergio Benenti 7 settembre 2013
Complementi di Analisi per nformatica *** Capitolo 2 Numeri Complessi e Circuiti Elettrici a Corrente Alternata Sergio Benenti 7 settembre 2013? ndice 2 Circuiti elettrici a corrente alternata 1 21 Circuito
DettagliElettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 2
Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, 26013 Crema e-mail: liberali@dti.unimi.it
DettagliGRANDEZZE SINUSOIDALI
GRANDEE SINUSOIDALI INDICE -Grandezze variabili. -Grandezze periodiche. 3-Parametri delle grandezze periodiche. 4-Grandezze alternate. 5-Grandezze sinusoidali. 6-Parametri delle grandezze sinusoidali.
DettagliI appello - 26 Gennaio 2007
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Informatica e delle Telecom. A.A.006/007 I appello - 6 Gennaio 007 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. (N.B. il quesito teorico è obbligatorio)
DettagliSPAZI METRICI. Uno spazio metrico X con metrica d si indica con il simbolo (X, d). METRICI 1
SPAZI METRICI Nel piano R 2 o nello spazio R 3 la distanza fra due punti è la lunghezza, o norma euclidea, del vettore differenza di questi due punti. Se p = (x, y, z) è un vettore in coordinate ortonormali,
DettagliFederico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 1/21
Contenuto Integrali doppi. Teorema di Fubini Cambio di variabili: coordinate polari. Cambio di variabili: caso generale. Coordinate sferiche. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli.
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie
DettagliLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Può essere espressa sia nel dominio della s che nel dominio della j Definizione nel dominio della s. è riferita ai soli sistemi con un ingresso ed un uscita 2. ha per oggetto
DettagliTRASFORMATA DI FOURIER
C A P I T O L O 9 TRASFORMATA DI FOURIER 9. INTRODUZIONE La serie di Fourier permette di rappresentare una funzione periodica come somma di sinusoidi, e di ottenere lo spettro della funzione dalla serie.
DettagliCOMPITO DI SEGNALI E SISTEMI 18 Dicembre 2004
COMPIO DI SEGNALI E SISEMI 8 Dicembre 4 Esercizio Si consideri il modello di stato a tempo discreto descritto dalle seguenti equazioni: x(k + = Ax(k + Bu(k = x(k + u(k, v(k = Cx(k = [ ] x(k, k Z + i Si
DettagliSuccessioni di funzioni reali
E-school di Arrigo Amadori Analisi I Successioni di funzioni reali 01 Introduzione. In questo capitolo applicheremo i concetti di successione e di serie alle funzioni numeriche reali. Una successione di
DettagliParte 6. Applicazioni lineari
Parte 6 Applicazioni lineari A Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Applicazioni fra insiemi, 2 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, 2 3 Applicazioni lineari da R n a R
DettagliProva scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski
10/9/2008 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b su R 3 associata, rispetto alla base canonica {e 1, e 2, e 3 } alla matrice 3 2 1 A = 2 3 0. 1 0 1 1) Provare che (R 3, b) è uno spazio vettoriale
DettagliProgramma dettagliato del corso di MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Civile
Programma dettagliato del corso di MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Civile Anno Accademico 2015-2016 A. Ponno (aggiornato al 19 gennaio 2016) 2 Ottobre 2015 5/10/15 Benvenuto, presentazione
DettagliDOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.
FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di
Dettagliu 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k
Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure
DettagliAnno 5 4. Funzioni reali: il dominio
Anno 5 4 Funzioni reali: il dominio 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire cos è una funzione reale di variabile reale e a ricercarne il dominio. Al termine di questa lezione sarai in grado
DettagliLEZIONE 16. Proposizione 16.1.2. Siano V e W spazi vettoriali su k = R, C. Se f: V W
LEZIONE 16 16.1. Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Ricordo le seguenti due definizioni valide per applicazioni di qualsiasi tipo ϕ: X Y fra due insiemi. L applicazione ϕ si dice iniettiva se
Dettagli