Funzioni di trasferimento. Lezione 14 2

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1 Lezione 14 1

2 Funzioni di trasferimento Lezione 14 2

3 Introduzione Lezione 14 3

4 Cosa c è nell Unità 4 In questa sezione si affronteranno: Introduzione Uso dei decibel e delle scale logaritmiche Diagrammi di Bode Lezione 14 4

5 Funzione di trasferimento Si consideri una rete con ingresso s(t) ed un uscita y(t) Si lavori nel dominio delle frequenze Si definisce funzione di trasferimento il rapporto tra la trasformata di Fourier dell'uscita e quella dell'ingresso: H( jω) = Y ( ω) S( ω) Lezione 14 5

6 Esempio Si consideri la rete nel dominio di Fourier ingresso: e(t) uscita: v(t) funzione di trasferimento V ω H( jω) ω ( ) 1 = = E( ) 1 + jωrc Lezione 14 6

7 Introduzione Lezione 14 7

8 Filtro passa basso 1/3 Importanza funzioni trasferimento È molto difficile prevedere nel tempo quale potrebbe essere l'andamento dell'uscita v(t) facendo variare l'ingresso e(t). Lavorando però nel dominio delle frequenze si hanno relazioni algebriche. Tutto diventa semplice Lezione 14 8

9 Filtro passa basso 2/3 Per elevati valori della frequenza la funzione di trasferimento tende ad annullarsi La rete filtra, cioè lascia passare solo le frequenze più basse contenute nel segnale e(t). La banda del segnale di uscita si riduce rispetto a quella dell'ingresso nel senso che sono praticamente eliminate tutte le frequenze superiori ad un certo valore. Lezione 14 9

10 Filtro passa basso 3/3 Il circuito si comporta quindi come un filtro passa basso. H( jω) = jω RC Lezione 14 10

11 Filtri passa alto e passa banda 1/2 Tutte le reti dinamiche hanno proprietà filtranti. Il circuiti indicato a sinistra rappresenta un filtro passa alto. Il circuito a destra un filtro passa banda. Lezione 14 11

12 Filtro passa alto e passa banda 2/2 Il comportamento di un filtro dipende da come si comporta al variare della frequenza il modulo della funzione di trasferimento ossia dalla sua banda La banda della funzione di trasferimento è costituita dagli intervalli di frequenza dove il suo modulo è convenzionalmente significativo Lezione 14 12

13 Introduzione Lezione 14 13

14 Significato 1/2 La funzione di trasferimento rappresenta l uscita della rete quando l ingresso è il segnale impulsivo: La funzione di trasferimento è una trasformata di Fourier Nel dominio del tempo la funzione di trasferimento è un segnale Conseguenza: H jω H jω * ( ) = ( ) Lezione 14 14

15 Significato 2/2 Il modulo della funzione di trasferimento è funzione pari della frequenza La fase della funzione di trasferimento è funzione dispari della frequenza Lezione 14 15

16 Notazione più semplice Per rendere più evidenti le proprietà delle funzioni di trasferimento conviene introdurre la pulsazione complessa La funzione di trasferimento viene quindi scritta Esempio per il filtro passa basso: Lezione s = jω H ( jω ) = H( s) 1 H() s = 1 + src

17 Dominio dei fasori 1/2 Per le reti in regime sinusoidale con pulsazione ω o, indicando con Y il fasore associato all uscita e con S il fasore all ingresso vale la seguente proprieta: Y S = H( jω ) o Lezione 14 17

18 Dominio dei fasori 2/2 Se l ingresso è somma di due o più sinusoidi non isofrequenziali: st ( ) = S cos( ω t+ ϕ ) + S cos( ω t+ ϕ ) m 1 1 2m 2 2 A regime l uscita vale: yt H j S e e H j S e e j 1 j 1t j 2 j 2t ( ) = Re[ ( ω ) ϕ ω ] + Re[ ( ω ) ϕ ω ] m 2 2m Lezione 14 18

19 Esempio 1 1/3 Nel filtro passa basso con R= 1 k ohm, C=1 nf, l ingresso vale: et t t 6 ( ) = cos(1000 ) + 10cos(10 ) determinare l uscita v(t) a regime Lezione 14 19

20 Esempio 1 2/3 Risulta: RC=10-6, ω = 0, S = 0.5, ϕ = 0, 1 1m 1 1 H( jω1 ) = H(0) = = j10 0 ω = 1000, S = 0.5, ϕ = 0, 2 2m H( jω2 ) = H( j1000) = = j 6 1+ j Lezione 14 20

21 Esempio 1 3/3 et t t 6 ( ) = cos(1000 ) + 10cos(10 ) ω = 10, S = 10, ϕ = 0, 6 3 3m H( jω3 ) = H( j10 ) = = j j jϕ1 jω1t jϕ2 jω2t yt ( ) = Re[ H( jω ) S e e ] + Re[ H( jω ) S e e ] +... = cos(10 t) 5sin(10 t) 1 1m 2 2m = cos(1000 t) sin(1000 t) Lezione 14 21

22 Esempio 2 1/2 In una rete si abbia la seguente funzione di trasferimento: H() s = 2 s + 3s s s s Lezione 14 22

23 Esempio 2 2/2 L ingresso della rete sia dato da: st = determinare l uscita y(t) a regime: regime sinusoidale con ω = 4 il fasore associato all ingresso è: il fasore associato all uscita risulta: uscita: o s= j4 () 3sin(4) t S = j3 2 s + 3s Y = H( jωo ) S = H( j4)( j3) = ( j3) = j 3 2 s + 6s + 11s yt () = cos(4) t + sin(4) t Lezione 14 23

24 Esempio 3 In una rete si abbia la seguente funzione di trasferimento: 2 H() s = s + 3s s s s L ingresso della rete sia dato da: st ( ) = cos(2 t) Determinare l uscita y(t) a regime utilizzando la formula generale j2t yt ( ) = 30 H(0) + Re[ H( j2)10 e ] = 5 + cos(2 t) + sin(2 t) Lezione 14 24

25 Dominio di Laplace 1/2 Per le reti inizialmente scariche, indicando con S(s) la trasformata di Laplace dell ingresso e con Y(s) la trasformata di Laplace dell uscita vale la seguente proprietà: Ys () () Ss () = H s Poichè la funzione di trasferimento rimane sempre la stessa nel dominio dei fasori, nel dominio di Fourier e nel dominio di Laplace, si parla di H(s) definita nel dominio delle frequenze senza ulteriori specificazioni Lezione 14 25

26 Dominio di Laplace 2/2 La funzione di trasferimento rappresenta l uscita della rete quando l ingresso è il segnale impulsivo: La funzione di trasferimento H(s) è una trasformata di Laplace H(s) è una funzione analitica che possiede un semipiano destro di regolarità dove essa ha crescita lenta Per reti stabili l ascissa che definisce il semipiano di regolarità non può essere negativa In generale i poli di H(s) coincidono con i poli della rete Lezione 14 26

27 Proprietà 1/2 Nelle reti a parametri concentrati: La funzione di trasferimento H(s) è una funzione razionale fratta in s I coefficienti dei polinomi che definiscono il numeratore ed il denominatore di H(s) sono reali se esiste uno zero (polo)di H(s) complesso, esiste anche lo zero (il polo) complesso coniugato. Gli zeri del denominatore costituiscono i poli della funzione di trasferimento Lezione 14 27

28 Proprietà 2/2 Gli zeri del numeratore costituiscono gli zeri della funzione di trasferimento Per reti stabili l ascissa che definisce il semipiano di regolarità non può essere negativa In una rete stabile, i poli della funzione di trasferimento hanno parte reale non positiva Gli zeri di una funzione di trasferimento possono avere parti reali positive (reti a fase non minima) In generale i poli della funzione di trasferimento non dipendono né dall ingresso, né dall uscita considerate Lezione 14 28

29 Esempio La funzione: 3 1 3ω jωω 2 ( 9) non è una funzione di trasferimento Infatti posto s = jω ω = j s si ha: 1 3ω 1 3js = jωω ( 9) s( s 9) Lezione 14 29

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32 Introduzione Lezione 14 30

33 Esempio 1 1/4 Nel circuito in figura a) calcolare la funzione di trasferimento H(s)=I/E b) posto L=0.1 H, C=2F, R=1 ohm, alfa=6, calcolare i poli e gli zeri di H(s) Lezione 14 31

34 Esempio 1 2/4 Rete nel dominio delle frequenze Sovrapposizione degli effetti: I x 1 sl + 2 E sc sce+ ( s LC+ 1) α I = + α Ix = R+ sl+ R+ sl+ R+ sl+ sc sc sc x Lezione 14 32

35 Esempio 1 3/4 Risolvendo rispetto I x : I x = sc E slc+ src+ α 2 (1 α) 1 ne consegue: (1 α) sc I = (1 α) Ix = E α slc+ src+ α 2 (1 ) 1 Risposta a: I (1 α ) sc H() s = = E (1 α ) s LC+ src+ 1 α 2 Lezione 14 33

36 Esempio 1 4/4 Con i dati indicati Risposta b: zero in z o =0 poli in p 1,2 = H() s = s 2 1± j2 10s 2s + 5 Rete instabile Lezione 14 34

37 Esempio 2 1/3 Il circuito in figura è nel dominio delle frequenze calcolare la funzione di trasferimento H(s)=V/E Lezione 14 35

38 Esempio 2 2/3 Circuito equivalente Applicando Millman: V E V (1+ 1/ s) (1 + s) E+ (1 + 2 s) V = = s + s + 4s (1+ 1/ s) V V + V2 = = = V = V = s / s / s V1 + sv + 0 Lezione 14 36

39 Esempio 2 3/3 L equazione V V + sv s = = 0 porge: V1 = sv Sostituendo in V = (1 + se ) + (1+ 2 sv ) s + 4s si ottiene: 1+ s 1 V = E = E s + 4s + 4s+ 1 s + 3s+ 1 Funzione di trasferimento: H() s = Lezione s s + 1

40 Esempio 3 1/4 Il circuito in figura è nel dominio delle frequenze calcolare la funzione di trasferimento H(s)=V/E Lezione 14 38

41 Esempio 3 2/4 Circuito equivalente Applicando Millman: V 1 E V + 1 (1/ s) (1+ 1/ s) = (1/ s) (1+ 1/ s) V V + V2 = = = V = V = s / s 1 1 1/ s V + sv1 + 0 Lezione 14 39

42 Esempio 3 3/4 L equazione V V + sv s = = 0 porge: V 1 1 = V s Sostituendo in V 1 = E V + 1 (1/ s) (1+ 1/ s) (1/ s) (1+ 1/ s) si ottiene: V = s 2 s + 2s+ 2 E Funzione di trasferimento: H() s = s + 2s+ 2 Lezione s

43 Procedimento con il metodo dei nodi Esempio 3 4/4 E V V nodo 1 : = sv ( V) + + sv 1 1 V nodo 2 : sv1 + = V = Lezione s 2 s E + s+ 1

44 Esempio 4 Lezione 14 42

45 Altro metodo per l esempio 4 Lezione 14 43

46 Introduzione Lezione 14 44

47 Risuonatori I circuiti risuonatori sono particolari circuiti che hanno una funzione di trasferimento che presenta una banda molto stretta nell'intorno di una pulsazione che prende il nome di pulsazione di risonanza. Risuonatori serie Risuonatori parallelo Lezione 14 45

48 Risuonatore parallelo 1/4 Funzione di trasferimento H( jω) = jω C+ + j ω L R V() s 1 1 H( s) = = R ( sl) = As () sc 1 1 sc + + sl R Lezione 14 46

49 Risuonatore parallelo 2/4 Funzione di trasferimento: H( jω) 1 R = = 1 1 jω C+ + ω ω o 1+ jq jω L R ωo ω Parametri del risuonatore parallelo: pulsazione di risonanza: ω = o 1 LC fattore di qualità: Q= ω RC o Lezione 14 47

50 Risuonatore parallelo 3/4 Spettro di ampiezza della funzione di trasferimento la banda è centrata nella pulsazione di risonanza. al crescere di Q diminuisce la banda Lezione 14 48

51 Risuonatore parallelo 4/4 Larghezza di banda (a 3 db) della funzione di trasferimento la banda viene definita dall intervallo di pulsazione dove lo spettro risulta nel margine di 3 db dal valore massimo per valori elevati di Q risulta: B ω o Q Lezione 14 49

52 Espressione generale di Q In un risuonatore arbitrario che funziona in regime sinusoidale alla pulsazione di risonanza la somma W della energia sul condensatore e dell energia sull induttore non varia nel tempo in un periodo viene dissipata una energia che è pari alla potenza attiva moltiplicata il periodo Il fattore di qualità Q è espresso anche dalla formula: W Q = 2π energia dissipata in un periodo Lezione 14 50

53 Esempio Valutare il fattore di qualità di un risuonatore che lavorando alla frequenza di f o = 1 MHz abbia un banda di B f = 1 khz Risulta: 6 ωo fo 10 Q = = = = 1000 B B 3 10 f Lezione 14 51