MATLAB Analisi di Sistemi LTI

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1 Esercitazione 1/30 MATLAB Analisi di Sistemi LTI Vincenzo LIPPIELLO PRISMA Lab Dipartimento di Informatica e Sistemistica Università di Napoli Federico II

2 Sommario 2/30 Modello LTI Rappresentazione di polinomi Forme di rappresentazione Conversione del modello Dinamiche del modello Interconnessione di modelli LTI Serie Parallelo Retroazione

3 Sommario 3/30 Risposta nel dominio del tempo Risposta in evoluzione libera Risposta all impulso Risposta al gradino Risposta ad un ingresso generico Risposta nel dominio della frequenza Diagramma di Bode Diagramma di Nichols Diagramma di Niquist Analisi mediante l interfaccia LTIView Esercizi

4 Modello LTI Rappresentazione di polinomi 4/30 MATLAB tratta i polinomi come particolari vettori riga, i cui elementi sono i coefficienti dei monomi del polinomio in ordine di potenza decrescente Ad esempio, il polinomio S S S S 1 +4 viene rappresentato come p = [ ];

5 Modello LTI Rappresentazione di polinomi 5/30 La funzione conv moltiplica due vettori e quindi due polinomi Ad esempio, il prodotto tra polinomi (S 2 +S 1 +1)*(S S ) viene effettuato con prod = conv([1 1 1],[ ]); che dà come risultato il vettore [ ]

6 Modello LTI Rappresentazione di polinomi 6/30 La funzione roots calcola le radici di un polinomio Ad esempio p = [ ]; r = roots(p); In r sono memorizzate le radici del polinomio p La funzione inversa è la funzione poly pp = poly(r); In pp viene ripristinato il polinomio originale p

7 Modello LTI Rappresentazione di polinomi 7/30 La funzione residue calcola residui e poli di una funzione di trasferimento Ad esempio num = [ ]; den = conv([1 1 1],[ ]); [r,p,k] = residue(num,den); In r sono memorizzati i residui della funzione, in p i poli ed in k l'eventuale termine aggiuntivo nel caso in cui il numero di zeri sia maggiore o uguale al numero di poli della funzione

8 Modello LTI Forme di rappresentazione 8/30 Rappresentazione Guadagno-Zeri-Poli La funzione sys = zpk(z,p,k) crea un modello gradagno-zeri-poli Ad esempio z = []; p = [0.1+i 0.1-i]; k = [2]; sys = zpk(z,p,k); corrisponde alla funzione di trasferimento 2 F(s) = (s-0.1+j) (s-0.1-j)

9 Modello LTI Forme di rappresentazione 9/30 Rappresentazione polinomiale La funzione sys = tf(num,den) crea un modello con rappresentazione polinomiale della funzione di trasferimento Ad esempio num = [1 1]; den = [1 2 2]; sys = tf(num,den); corrisponde alla funzione di trasferimento F(s) = s + 1 s 2 + 2s + 2

10 Modello LTI Forme di rappresentazione 10/30 Rappresentazione ingresso-stato-uscita La funzione sys = ss(a,b,c,d) crea un modello ingresso-statouscita di sistema rappresentato nella forma matriciale dx = A x + B u y = C x + D u Ad esempio A = [1 0;-1-0.5]; b = [1;2]; c = [0 1]; d = [0]; sys = ss(a,b,c,d); corrisponde alla funzione di trasferimento F(s) = 2s - 3 s 2 0.5s 0.5

11 Modello LTI Conversione del modello 11/30 Il passaggio tra le diverse forme di rappresentazione può essere realizzato in modo diretto utilizzando le seguenti funzioni La funzione sys2 = zpk(sys) converte il modello sys nella forma di rappresentazione guadagno-zeri-poli La funzione sys2 = tf(sys) converte il modello sys nella forma di rappresentazione polinomiale La funzione sys2 = ss(sys) converte il modello sys nella forma di rappresentazione ingresso-stato-uscita

12 Modello LTI Dinamiche del modello 12/30 Le principali proprietà dinamiche di un modello LTI possono essere direttamente valutate mediante le seguenti funzioni: fb = bandwidth(sys) k = dcgain(sys) p = pole(sys) z = zero(sys) [p,z] = pzmap(sys) banda passante della risposta in frequenza guadagno in bassa frequenza valuta i poli del modello valuta gli zeri del modello valuta e disegna la mappa poli-zeri del modello

13 Interconnessione di modelli LTI Serie 13/30 La connessione in serie di due modelli LTI SISO può essere realizzata mediante il seguente comando sys = series(sys1,sys2) oppure moltiplicando direttamente i due sistemi sys = sys1 * sys2 Il nuovo modello sys è il risultato della serie del modello sys1 seguito dal modello sys2

14 Interconnessione di modelli LTI Parallelo 14/30 La connessione in parallelo di due modelli LTI SISO può essere realizzata mediante il seguente comando sys = parallel(sys1,sys2) oppure sommando direttamente i due sistemi sys = sys1 + sys2

15 Interconnessione di modelli LTI Retroazione 15/30 La connessione in retroazione negativa di due modelli LTI SISO può essere realizzata mediante il seguente comando sys = feedback(sys1,sys2) Sono anche ammessi casi in cui uni dei sue sistemi è un semplice guadagno (sys1 = k oppure sys2 = h) Con il comando sys=feedback(sys1,sys2,+1) si ottiene il modello corrispondente alla reazione positiva

16 Risposta nel dominio del tempo Risposta in evoluzione libera 16/30 La risposta in evoluzione libera di un modello LTI ingressostato-uscita, con stato iniziale x(0) assegnato, può essere valutata e graficata(*) con il comando [y,t,x] = initial(sys,x0) dove y è il vettore dei valori assunti dall uscita del modello, t è il vettore dei tempi e x è la traiettoria dello stato Esempio: A = [ ; ]; c = [ ]; x0 = [1; 0] sys = ss(a,[],c,[]); initial(sys,x0) (*) Come regola generale, per generare il grafico queste funzioni devono essere invocate in modo da non dover ritornare valori, ovvero senza gli argomenti a sinistra

17 Risposta nel dominio del tempo Risposta all impulso 17/30 La risposta all impulso di un modello LTI può essere valutata e graficata con il comando [y,t] = impulse(sys) [y,t,x] = impulse(sys) (per i modelli i-s-u) dove y è il vettore dei valori assunti dall uscita del modello, t è il vettore dei tempi e x è la traiettoria dello stato Esempio: A = [ ; ]; b = [-1; 2]; c = [ ]; sys = ss(a,b,c,0); impulse(sys)

18 Risposta nel dominio del tempo Risposta al gradino 18/30 La risposta al gradino di un modello LTI può essere valutata e graficata con il comando [y,t] = step(sys) [y,t,x] = step(sys) (per i modelli i-s-u) dove y è il vettore dei valori assunti dall uscita del modello, t è il vettore dei tempi e x è la traiettoria dello stato Esempio: A = [ ; ]; b = [1; 0]; c = [ ]; sys = ss(a,b,c,0); step(sys)

19 Risposta nel dominio del tempo Risposta al gradino 19/30 Cliccando con il tasto destro sul grafico, accedendo al menù delle caratteristiche, è possibile rilevare automaticamente le principali caratteristiche della risposta al gradino: t s Tempo di salita (10-90%) t a Tempo di assestamento (default al 2%) s % Sovraelongazione y Valore di regime

20 Risposta nel dominio del tempo Risposta ad un ingresso generico 20/30 La risposta ad un ingresso generico di un modello LTI può essere valutata e graficata con il comando [y,t,x] = lsim(sys,u,t) [y,t,x] = lsim(sys,u,t,x0) (per i modelli i-s-u) dove u è il vettore dei valori assunti dall ingresso del modello, y è il vettore dei valori assunti dall uscita, t è il vettore dei tempi e x è la traiettoria dello stato Esempio: t=0:0.01:10; u=2*sin(pi*t).*(t<4)+5*(t>=6); sys = tf([2 5 1],[1 2 3]); lsim(sys,u,t)

21 Risposta nel dominio del tempo Risposta ad un ingresso generico 21/30 Il segnale di ingresso può essere composto in modo discreto, usando le funzioni elementari del Matlab, oppure mediante la funzione [u,t]=gensig(type,tau) che può generare un segnale periodico di tipo sinusoidale (type= sin ), onda quadra (type= square ) o impulso periodico (type= impulse ), di periodo tau Esempio: [u,t] = gensig('square',4,10,0.1); sys = tf([2 5 1],[1 2 3]); lsim(sys,u,t)

22 Risposta nel dominio della frequenza Diagramma di Bode 22/30 Il diagramma di Bode di un modello LTI può essere valutata e graficata con il comando [mag,phase,w] = bode(sys) dove mag e phase sono il vettore dei valori assunti dal modulo e dalla fase della risposta armonica, rispettivamente, e w è il vettore delle pulsazioni Esempio: sys = tf([ ],[ ]) bode(sys); grid

23 Risposta nel dominio della frequenza Diagramma di Bode 23/30 Cliccando con il tasto destro sul grafico, accedendo al menù delle caratteristiche, è possibile misurare automaticamente eventuali caratteristiche risonanti, ovvero frequenza e ampiezza del picco di risonanza Esempio: A = [ ; ]; b = [1; 0]; c = [ ]; sys = ss(a,b,c,0); bode(sys)

24 Risposta nel dominio della frequenza Diagramma di Nichols 24/30 Il diagramma di Nichols di un modello LTI può essere valutata e graficata con il comando [mag,phase,w] = nichols(sys) dove mag e phase sono il vettore dei valori assunti dal modulo e dalla fase della risposta armonica, rispettivamente, e w è il vettore delle pulsazioni Esempio: num = [ ]; den = [ ]; sys = tf(num,den) nichols(sys); ngrid

25 Risposta nel dominio della frequenza Diagramma di Nyquist 25/30 Il diagramma di Nyquist di un modello LTI può essere valutata e graficata con il comando [re,im,w] = niquist(sys) dove re e im sono il vettore dei valori assunti dalla parte reale e dalla parte immaginaria della risposta armonica, rispettivamente, e w è il vettore delle pulsazioni Esempio: sys = tf([2 5 1],[1 2 3]) nyquist(sys); grid

26 Analisi mediante l interfaccia LTIView 26/30 L analisi di sistemi LTI può essere effettuata utilizzando una apposita interfaccia, in grado di invocare automaticamente tutte le principali funzioni di analisi presentate in precedenza L interfaccia LTIView consente di analizzare e confrontare più sistemi simultaneamente L interfaccia può essere invocata con il comando ltiview(sys1,sys2,...,sysn) dove sys1,,sysn sono i sistemi da caricare nel modulo di analisi

27 Analisi mediante l interfaccia LTIView 27/30 Grazie ai menù contestuali è possibile selezionare i sistemi da analizzare e il tipo di risposta da graficare Sono disponibili tutte le risposte e diagrammi presentati (gradino, impulso, Bode, ) Esempio: sys1 = rss(3,2,2); sys2 = rss(4,2,2); ltiview(sys1,sys2);

28 Esercizi Numero n.1 28/30 Sia assegnato il sistema LTI rappresentato dalla seguente funzione di trasferimento 50 s + 50 F(s) = s s s s + 80 Si valutino: 9) i parametri della risposta al gradino (t s, t a5%, s %, y ); 10) la risposta al segnale u(t)=2*δ -1 (t)-δ -2 (t-5) *δ -1 (7-t)-2*δ -1 (t-7); 11) I parametri della risposta armonica (w 3, w 6, w 20, φ 20, M r, f r, B );

29 Esercizi Numero n.2 29/30 Sia assegnato il sistema LTI rappresentato dalle seguenti matrici A = [ ; 0.8 0] b = [1; 0] c = [1 3] d = 0 Si valutino: 10) la durata della risposta libera, valutata come il tempo di assestamento al di sotto del 5% del valore di picco, assegnato x(0)=[1;2]; 11) i parametri della risposta al gradino (t e, t s, t a1%, t a2%, t a5%, T, s %, y ); 12) la risposta ad un onda quadra di periodo 2s e ampiezza 10; 13) I parametri della risposta armonica (w 3, w 6, w 20, φ 20, M r, f r, B );

30 Esercizi Numero n.3 30/30 Sia assegnato il sistema LTI avente i seguenti poli, zeri e guadagno di alta frequenza p = [ j -2-j] z = [-3 4] k = -5 Si valutino: 9) i parametri della risposta al gradino (t s, t a5%, T, s %, y ); 10) la durata della risposta all impulso, valutata come il tempo di assestamento al di sotto del 2% del valore di picco; 11) la risposta ad un onda sinusoidale di periodo 1s e ampiezza 2;

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