SPECIFICHE DI PROGETTO DI SISTEMI DI CONTROLLO

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1 INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica SPECIFICHE DI PROGETTO DI SISTEMI DI CONTROLLO Ing. Cristian Secchi Tel secchi.cristian@unimore.it

2 Tipi di Specifiche Nel progetto di un sistema di controllo, il progettista cerca di far sì che il sistema in retroazione complessivo abbia alcune caratteristiche statiche e/o dinamiche desiderate. Queste caratteristiche vengono usualmente assegnate come specifiche che il sistema deve soddisfare in condizioni statiche (o di regime) e durante i transitori. Tali specifiche possono essere definite sia nel dominio temporale che nel dominio frequenziale e riguardano in generale: precisione a regime: capacità di un sistema di seguire alcuni segnali di riferimento con il minimo errore. risposta nel transitorio: andamento per tempi finiti dell uscita del sistema in retroazione in risposta a tipici segnali in ingresso. stabilità relativa: rifacendosi ai diagrammi di Nyquist, è possibile valutare il grado di stabilità di un sistema osservando la distanza del diagramma polare dal punto critico +j0. Si possono quindi definire parametri che permettono di valutare la stabilità relativa di un sistema discreto, in modo analogo a quanto fatto per quelli continui (margini di stabilità); Cristian Secchi ITSC05 p.2/30

3 Tipi di specifiche sensitività parametrica: si desidera che le prestazioni del sistema non vengano alterate da variazioni dei parametri rispetto ai valori nominali. reiezione di disturbi: capacità del sistema controllato di ridurre al minimo l influenza sull uscita di eventuali disturbi che entrano nell anello di controllo, quali errori di misura, variazioni di carico, rumore sulle variabili acquisite, ecc.; azione di controllo: vincoli sull ampiezza massima della variabile manipolabile v(t). Cristian Secchi ITSC05 p.3/30

4 Errori a regime R(s) - E(s) C(s) D(s) G(s) Dato il sistema G(s) = K( + sq )( + sq 2 )...( + sq m ) s N ( + sp )( + sp 2 )...( + sp p ) si definisce tipo del sistema il numero N di poli di G(s) presenti nell origine. Il tipo indica il numero di integratori presenti nel sistema. Un sistema di tipo 0 non presenta integratori puri tra ingresso ed uscita, un sistema di tipo ne presenta uno... Nel caso discreto la definizione di tipo fa riferimento al numero di poli nel punto z =. Cristian Secchi ITSC05 p.4/30

5 Errori a regime Si consideri il seguente sistema di controllo digitale a retroazione unitaria: R(z) - E(z) HP(z) D(z) Hold P (s) C(z) La funzione di trasferimento discreta del ramo diretto è G(z) =D(z)HP (z) con (nel caso di ricostruttore di ordine 0) [ ] P (s) HP (z) =( z )Z s Cristian Secchi ITSC05 p.5/30

6 Errori a regime E(z) =R(z) G(z)E(z) E(z) = +G(z) R(z) Assumendo che il sistema stabile, é possibile calcolare l errore a regime mediante il teorema del valore finale: [ e reg = lim k e(k) = lim z ( z )E(z) ] = lim z [( z ) +G(z) R(z) ] = lim z [ z z ] +G(z) R(z) Cristian Secchi ITSC05 p.6/30

7 Errore di posizione Si consideri come riferimento un gradino di ampiezza r 0 : r 0 R(z) = z L errore a regime vale: [ e p = lim ( z ) z +G(z) ] r 0 z [ r 0 = lim z +G(z) Definendo la costante di posizione (o costante di guadagno) come k p = lim z G(z) () ] L errore a regime e p diventa e p = r 0 +k p (2) Per valori finiti di k p l errore a regime è sempre non nullo, mentre si ha e p =0 solo nel caso in cui k p =. La condizione k p = èverificata per sistemi di tipo, 2,... Cristian Secchi ITSC05 p.7/30

8 Errore di velocità Si consideri come riferimento un segnale a rampa: L errore a regime vale [ e v = lim ( z ) z R(z) = Tz r 0 ( z ) 2 +G(z) Definendo la costante di velocità come Tz ] r 0 ( z ) 2 k v = lim z ( z )G(z) T [ Tr 0 = lim z ( z )G(z) ] l errore a regime diventa e v = r 0 k v Cristian Secchi ITSC05 p.8/30

9 Errore di velocità Per valori finiti di k v l errore a regime per ingresso a rampa assume valori non nulli, mentre si ha e v =0solo per k v =. Questa condizione è verificata per sistemi di tipo 2,3,...,mentrenonloèpersistemi di tipo 0e.Sinotiinfine che per sistemi di tipo 0, si ha k v =0e quindi l errore diverge. Cristian Secchi ITSC05 p.9/30

10 Errore di accelerazione Si consideri come riferimento un segnale parabolico: R(z) = T 2 z ( + z )r 0 2( z ) 3 Applicando il teorema del valore finale, l errore a regime vale [ e a = lim ( z ) z +G(z) T 2 z ( + z )r 0 2( z ) 3 Definendo la costante di accelerazione come k a = lim z ( z ) 2 G(z) T 2 l errore a regime per ingresso a parabola vale e a = r 0 k a ] [ T 2 ] r 0 = lim z ( z ) 2 G(z) Cristian Secchi ITSC05 p. 0/30

11 Errore di accelerazione Per valori finiti di k a risulta e a 0, mentre e a =0solo per k a =, condizione verificata per sistemi di tipo 3, 4,... Persistemi di tipo 0esihak a =0e quindi l errore diverge. Per trovare l errore a regime nel caso di segnali canonici di grado superiore (cubici,...) si prosegue esattamente nello stesso modo. Cristian Secchi ITSC05 p. /30

12 Esempio: sistema di tipo 0 G(z) = z 0.5z con T =0.25 s. Le costanti di errore di posizione, velocità ed accelerazione si ottiene: k p = lim z G(z) = 2 k v = ( z )G(z) lim z T = 0 k a = ( z )G(z) lim z T 2 = 0 e quindi gli errori per ingresso a gradino, rampa e parabola sono rispettivamente (r 0 =): e p = +2 =0.333, e v = 0 =, e a = 0 = Cristian Secchi ITSC05 p. 2/30

13 Esempio: sistema di tipo 0.2 Sistema di ordine 0 con ingresso a gradino Errore y Sistema di ordine 0 con ingresso a rampa 2 Errore y Sistema di ordine 0 con ingresso a parabola 4 Errore y s Cristian Secchi ITSC05 p. 3/30 s

14 Esempio: sistema di tipo G(z) = 0.3z 2.2z +0.2z 2 = 0.3z 2 ( z )( 0.2z ) con T =0.5 s. Le costanti di errore di posizione, velocità ed accelerazione sono: k p = lim z G(z) = k v = ( z )G(z) lim z T = 0.75 k a = ( z )G(z) lim z T 2 = 0 e quindi gli errori per ingresso a gradino, rampa e parabola sono rispettivamente (r 0 =): e p =0, e v =.333, e a = Cristian Secchi ITSC05 p. 4/30

15 Esempio: sistema di tipo.2 Sistema di ordine con ingresso a gradino 2 Errore y Sistema di ordine con ingresso a rampa 2 Errore y Sistema di ordine con ingresso a parabola 4 Errore 40 2 y s Cristian Secchi ITSC05 p. 5/30 s

16 Specifiche sul transitorio Il comportamento di un sistema dinamico stabile a partire da certe condizioni iniziali (tipicamente di quiete) in risposta a sollecitazioni esterne può essere distinto in una fase di evoluzione transitoria, di durata limitata, ed una fase a regime, che viene raggiunta in pratica per t sufficientemente grande. Le caratteristiche del transitorio sono di particolare interesse per il progetto del sistema di controllo. Solitamente, le specifiche che il sistema in retroazione deve soddisfare nel transitorio sono riferite alla risposta del sistema al segnale a gradino. Cristian Secchi ITSC05 p. 6/30

17 Specifiche sul transitorio Nel caso tempo-continuo, si definiscono le seguenti caratteristiche temporali della risposta a gradino: tempo di salita T s : tempo impiegato dall uscita per passare dal 0% al 90% (o anche dal 5% al 95%) del valore finale; tempo di assestamento T a : tempo oltre il quale l uscita si discosta meno del 5% rispetto al valore finale (si può considerare, con specifiche più restrittive, anche lo scostamento del 2%); tempo di ritardo T r : tempo richiesto perché l uscita raggiunga il 50% del valore finale; istante di massima sovraelongazione T m : istante di tempo in cui si ha la massima sovraelongazione; massimo sorpasso o massima sovraelongazione S: valore del massimo scostamento dell uscita rispetto al valore di regime c( ). Solitamente S è definito in valore percentuale rispetto al valore di regime: S = c(t m) c( ) 00 c( ) Cristian Secchi ITSC05 p. 7/30

18 Specifiche sul transitorio S 0.05 c(t) Ts Tr Tm Ta t Cristian Secchi ITSC05 p. 8/30

19 Specifiche sul transitorio per sistemi del 2 o ordine Queste grandezze sono quantificate in rapporto a sistemi del secondo ordine, e sono direttamente collegate alla posizione nel piano s della coppia di poli del sistema. Nel caso di sistemi di ordine superiore, nella quasi totalità dei casi di interesse pratico, è presente una coppia di poli dominanti, cioè di una coppia di poli a parte reale (negativa) in modulo molto minore della parte reale di altri poli eventualmente presenti nel sistema. In tal caso, le stesse formule valide per i sistemi del secondo ordine continuano ad essere adottate in modo approssimato. Cristian Secchi ITSC05 p. 9/30

20 Specifiche sul transitorio per sistemi del 2 o ordine Si consideri un sistema del secondo ordine: G(s) = ω 2 n s 2 +2δω n + ω 2 n dove δ è il coefficiente di smorzamento e ω n la pulsazione naturale del sistema. La posizione della coppia di poli nel piano s è data da: δω n jω jω n δ 2 ω n α 0 σ Cristian Secchi ITSC05 p. 20/30

21 Specifiche sul transitorio per sistemi del 2 o ordine tempo di salita (da 0% a 00%): T r = π α ω n δ 2 istante di massimo sorpasso: T m = π ω n δ 2 massimo sorpasso percentuale: tempo di assestamento S = 00 [c(t m ) ] = 00e δπ δ 2 T a = 3 δω n (al 5 %), oppure T a = 4 δω n (al 2 %) Cristian Secchi ITSC05 p. 2/30

22 Specifiche sul transitorio per sistemi del 2 o ordine La massima sovraelongazione percentuale dipende unicamente dal parametro δ. Data una specifica sulla sovraelongazione percentuale S% < S, è possibile trovare un δ = δ tale per cui S = 00e δπ δ 2 É possibile costruire sul piano s un luogo di punti a δ costante (δ = δ) entro cui devono stare i poli del sistema affinchè la specifica sulla massima sovraelongazione percentuale sia soddisfatta Cristian Secchi ITSC05 p. 22/30

23 Specifiche sul transitorio per sistemi del 2 o ordine Il tempo di assestamento dipende dal parametro δω n = σ = Re(p i ). Data una specifica sul tempo di assestamento T a < T, è possibile trovare un valore δω n = δ ω n tale per cui T = 3 δ ω n É possibile costruire sul piano s un luogo di punti a δω n costante (δω n = δ ω n ) a sinistra del quale evono stare i poli del sistema affinchè la specifica sul massimo tempo di assestamento sia soddisfatta. Cristian Secchi ITSC05 p. 23/30

24 Specifiche sul transitorio per sistemi del 2 o ordine Tutte queste specifiche hanno ovviamente la loro corrispondenza nel caso discreto. Le definizioni rimangono le stesse, anche considerando il fatto che solitamente il sistema controllato (da un controllore digitale) è un sistema continuo, la cui uscita è quindi qualitativamente simile a quella di un sistema del 2 o ordine. Considerando la Z-trasformata della funzione G(s), si possono fare alcune interessanti considerazioni sull andamento della risposta in funzione della posizione dei poli sul piano z, giungendo, come nel caso tempo-continuo, alla definizione di luoghi a δ costante e a δω n costante sul piano z. Cristian Secchi ITSC05 p. 24/30

25 Specifiche sul transitorio per sistemi del 2 o ordine Nella figura a sinistra è evidenziata la regione entro la quale devono stare i poli di un sistema del secondo ordine per soddisfare le specifiche su tempo di assestamento, massima sovraelongazione percentuale e massimo ω n (legato alla massima banda passante). Nella figura a sinistra è evidenziata la regione corrispondente sul piano z. Cristian Secchi ITSC05 p. 25/30

26 Specifiche frequenziali Un modo alternativo per esprimere le specifiche dinamiche è quello tramite specifiche frequenziali, ossia legate ai parametri della funzione di risposta armonica. I tipici parametri considerati sono: margini di stabilità (di fase e ampiezza); picco di risonanza; banda della funzione di risposta armonica in anello chiuso. Tramite il prototipo del sistema di secondo ordine, possono sempre essere legati (in modo approssimato se il sistema è di ordine superiore) ai parametri della risposta temporale al gradino. Nel campo discreto i parametri considerati sono definiti in modo del tutto analogo. Cristian Secchi ITSC05 p. 26/30

27 Specifiche frequenziali MarginedifaseM F : detto φ l argomento di G(e jωt ) in corrispondenza della pulsazione ω 0 che fornisce G(e jω 0T ) =, il margine di fase M F èil complemento a π di φ, cioè M F = π φ Tipici valori di specifica sono 45 o 60 o. MarginediampiezzaM A : è l inverso del guadagno di anello alla pulsazione ω a cui corrisponde la fase π: M A = G(e jω T ) dove arg{g(e jω T )} = π. Valori usuali di specifica per questo parametro sono 4-6 (2-6 db). Cristian Secchi ITSC05 p. 27/30

28 Specifiche frequenziali Il margine di fase e il margine di ampiezza rappresentano il grado di stabilità del sistema, cioè quanto il sistema è lontano dall instabilità. Questo può essere formalmente dimostrato tramite il criterio di Nyquist. Imporre un certo valore di questi parametri significa imporre una certa robustezza al sistema. Questo è utile nel caso il sistema presenti incertezze oppure dinamiche non modellate. Cristian Secchi ITSC05 p. 28/30

29 Specifiche frequenziali Picco di risonanza G r : massimo valore che assume il modulo di G(e jωt ) al variare di ω. Esso è funzione del coefficiente di smorzamento secondo la relazione G r = 2δ δ 2 Espresso solitamente in decibel, ha valori tipici di 2-3 db G r (db) delta Cristian Secchi ITSC05 p. 29/30

30 Specifiche frequenziali Pulsazione di risonanza ω r : pulsazione alla quale si verifica il picco di risonanza ω r = ω n 2δ 2 Banda passante ω b : pulsazione alla quale il modulo della funzione di risposta armonica si riduce di 3 db rispetto al valore del modulo per ω =0. Cristian Secchi ITSC05 p. 30/30

31 INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica SPECIFICHE DI PROGETTO DI SISTEMI DI CONTROLLO Ing. Cristian Secchi Tel secchi.cristian@unimore.it