Capitolo. La funzione di trasferimento. 2.1 Funzione di trasferimento di un sistema. 2.2 L-trasformazione dei componenti R - L - C

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1 Capitolo La funzione di trasferimento. Funzione di trasferimento di un sistema.. L-trasformazione dei componenti R - L - C. Determinazione delle f.d.t. di circuiti elettrici..3 Risposta al gradino

2 . Funzione di trasferimento di un sistema.. Definizione La f.d.t. viene definita come rapporto della trasformata di Laplace del segnale d uscita U( e quello d ingresso E(. E( L[e(t)] U( L[u(t)] f.d.t. G( U( E(.. Utilità della f.d.t. Dalla f.d.t. è possibile trarre informazioni: sul comportamento del sistema nel dominio della frequenza (vedi diagramma di Bode e Nyquist) sulla sua stabilità (vedi metodo di Nyquist, Bode) sulla risposta di una rete a segnali di tipo diversi, ad es. U( G( E( u(t) L - [U(] II-3

3 ..3 Caratteristiche della f.d.t. La f.d.t. o G( è indipendente dal segnale che si applica all ingresso. E una caratteristica del sistema (ogni sistema ha la sua f.d.t.) Per i circuiti elettrici, essendo i segnali di ingresso e di uscita tensioni o correnti si ha che la G(S) può essere: un impedenza se u(t) è una tensione ed e(t) una corrente un ammettenza se u(t) è una corrente ed e(t) una tensione; un numero puro se rappresenta il rapporto tra tensioni o correnti. La f.d.t. essendo una funzione complessa è caratterizzata da un modulo e da una fase. il modulo corrisponde al guadagno o attenuazione del sistema la fase corrisponde allo sfasamento dell uscita rispetto all ingresso la f.d.t. coincide con l uscita U(, nella variabile s, di un sistema quando all ingresso è applicato un impulso unitario δ (t) (delta di Dirac). U( δ( G( G( u(t) L - [U(] La f.d.t. in generale è data dal rapporto di due polinomi in s. G( a s + a s m m m m n n bns + bn s as + a b s + b 0 0 con m n..4 Poli e Zeri Gli zeri sono i valori della variabile s che annullano il numeratore della G(. I poli sono i valori della variabile s che annullano il denominatore. I poli e zeri sono le singolarità della f.d.t. II-3

4 ..5 Forme della f.d.t. La f.d.t., oltre alla forma di funzione razionale (o rapporto tra due polinomi), può assumere le altre forme: forma in cui compaiono poli e zeri (s z)(s z ) (s zm ) G( K0 con (s p )(s p ) (s p ) n K 0 a b m n forma in cui compaiono le costanti di tempo (detta anche forma normale) K(+ sτ G( g s (+ sτ o o τ zi e z i z p τ pi )(+ sτ )(+ sτ p i z p ) (+ sτ ) (+ sτ zm pn ) ) ; rappresentano le costanti di tempo della rete. K è detto guadagno statico e rappresenta il valore che assume la f.d.t. quando s0 cioè per segnali d ingresso costanti (in c.c.)..6 Ordine di un sistema Un sistema dicesi del primo ordine quando la sua f.d.t. presenta un solo polo (il denominatore della f.d.t. è un polinomio di primo grado) K Es. G() s p ( + sτ) τ I poli della f.d.t. si ricavano annullando il denominatore della G( Un sistema dicesi del secondo ordine quando quando la sua f.d.t. presenta due poli (il denominatore della f.d.t. è un polinomio di secondo grado) ωn Es. G() s s + ζωns + ωn Parametri caratteristici: ζ è detto coefficiente di smorzamento (determina il tipo di risposta) ω n è chiamata pulsazione naturale Poli della f.d.t. p ζω ± ω ζ, n n risulta inoltre che p p ωn (il prodotto delle radici è uguale al termine noto) Le radici possono essere per: reali distinti (ζ >); reali coincidenti (ζ ); complessi coniugati (0 < ζ < ) II-33

5 Esercizi sulle forme della f.d.t. Esercizio Nota la f.d.t. come rapporto tra polinomi in s porla : a) nella forma in cui compaiono poli e zeri b) nella forma in cui compaiono le costanti di tempo G ( s ) s 3 s + 6s 8 + 6s + s + 6 Soluzione: b) forma in cui compaiono i poli e gli zeri Per porre la G( nella forma in cui compaiono poli e zeri, occorre determinare i valori di s che annullano il denominatore (zeri) e i valori di s che annullano il denominatore (poli) Numeratore N( s +6s-8 0 (s +3s-4) 0 le soluzioni sono s -4 ; s + quindi: N( (s+4)(s-) Denominatore D( s 3 +6s +s+6 0 il polinomio si annulla per s - quindi è divisibile per (s +) con la regola di Ruffini troviamo il quoziente: Q( s +5s di conseguenza: (s +) (s +5s+6) 0 le soluzioni dell equazione sono: s -, s -, s -3 pertanto : D( (s+)(s+)(s+3) quindi: s + 6s 8 (s )(s + 4) G( 3 s + 6s + s + 6 (s + )(s + )(s + 3) b) forma in cui compaiono le costanti di tempo s + 4 (s )4( ) (s )(+ 4 G( 4 s + s (s + )( )3( ) (s + )(+ 3 in cui K (guadagno statico ) è uguale a 4/3 4 ( + 3 II-34

6 Esercizio Nota la f.d.t. determinare il guadagno statico, i poli e gli zeri (s + ) G ( (s + )(s + 3) Soluzione: il guadagno statico K è il valore che la f.d.t. assume quando s 0 () K G(0) 8 ()(3) i poli sono: p -, p - gli zeri sono: z - II-35

7 . L-trasformazione dei componenti R, L, C RESISTENZA dominio del tempo v( t) R i( t) V ( L [v(t)] R I ( dominio complesso La resistenza non subisce trasformazioni. R è uguale al rapporto tra V(, trasformata della tensione e la I(, trasformata della corrente CONDENSATORE dominio del tempo dominio complesso Considerando il condensatore inizialmente scarico (Vo0) I( s ) V ( L [v(t)] C s v ( t) i( t) dt + Vo C Vo è la carica iniziale La capacità si trasforma in una impedenza capacitiva di valore: V ( s ) I( s ) s C Se invece il condensatore inizialmente è carico alla tensione Vo: I( Vo V ( L [v(t)] + C s s La capacità si trasforma in un impedenza di valore, in serie s C Vo ad un generatore di tensione s II-36

8 INDUTTORE dominio del tempo dominio complesso di( t) v( t) L dt Se inizialmente l induttanza non è percorsa da corrente V( L[v(t)] sl I( L induttanza si trasforma in una impedenza induttiva di valore: V( sl I( Se invece inizialmente è percorsa da una corrente di valore Io V( L[v(t)] sl I( LIo L induttanza si trasforma in una impedenza induttiva di valore sl in serie ad un generatore di tensione di valore L Io II-37

9 . Determinazione della f.d.t. di un circuito 3.. Generalità Per la determinazione della funzione di trasferimento di un circuito elettrico, si procede nel seguente modo: Si determina il circuito L-trasformato operando le seguenti sostituzioni: - il segnale d ingresso e(t) (tensione o corrente) si trasforma in E( - il segnale d uscita u(t) (tensione o corrente) si trasforma in U( - la resistenza R non subisce trasformazioni. - la capacità C si trasforma in una impedenza di valore / - l induttanza L in una impedenza di valore sl ) Si ricava la U( applicando le leggi viste in c.c. al circuito L-trasformato 3) si effettua il rapporto tra la U( e la E( e si trova così la f.d.t. cercata U ( f. d. t. G( E(.. Determinazione della f.d.t. del circuito RC (filtro passa basso passivo) circuito RC circuito RC L -trasformato Applicando la legge di Ohm si ha: I ( dove sostituendo: t) R + quindi: I( R II-38

10 f.d.t. G ( Vi ( + Da notare: Il sistema è del ordine perché la f.d.t. ha un polo (il denominatore si annulla per s - /RC) 3..3 Determinazione della f.d.t. del circuito CR (filtro passa alto passivo) circuito CR circuito CR L -trasformato Applicando la legge di Ohm si ha: s ) sostituendo: R I( s ) dove I( R + s ) quindi: t ) R R + s ) R + s ) + s ) f.d.t. G ( s ) Vi ( s ) + Da notare: Il sistema è del ordine perché la f.d.t. ha un solo polo (il denominatore si annulla per s - /RC). La f.d.t. presenta anche uno zero nell origine II-39

11 ..4 Determinazione della f.d.t. del circuito RLC serie Circuito RLC circuito RLC L -trasformato i( dove sostituendo si ha: I( R + sl + t) Vo R + sl + quindi: t) + s LC + s ( f.d.t. G s ( LC + + LC + + Da notare: Il sistema è del ordine perché la f.d.t. ha due poli (il denominatore della f.d.t. è un trinomio di secondo grado. II-40

12 ..5 Determinazione della f.d.t. del derivatore, realizzato con Amp-Op Circuito derivatore Circuito derivatore L -trasformato Per l amplificatore invertente: s ) Z f.d.t. G( s ) s ) Z Nel nostro caso: Sostituendo: Z ; Z R G( s ) s ) s ) R Da notare: la f.d.t. ha uno zero nell origine (il numeratore si annulla per s0) Nel dominio del tempo, questo circuito si comporta come derivatore, infatti: s ) s ) antitrasformando si ha: dvi( t ) vo( t ) L [ s )] RC L [ s s )] RC dt (l uscita v o (t) è la derivata del segnale d ingresso v i (t) a meno di una costante) II-4

13 ..6 Determinazione della f.d.t. dell integratore, realizzato con Amp-Op Circuito integratore Circuito integratore L -trasformato Per l amplificatore invertente: s ) Z f.d.t. G( s ) s ) Z nel nostro Z R ; Z ; Sostituendo: s ) G( s ) s ) R Da notare: la f.d.t. ha uno polo nell origine (il denominatore si annulla per s0) Nel dominio del tempo, questo circuito si comporta come integratore, infatti: s ) s ) antitrasformando si ha: vo (t) L [ ] L vi(t)dt RC s RC (l uscita v o (t) è l integrale del segnale d ingresso v i (t) a meno di una costante) II-4

14 .3 Risposte nel domino del tempo dei sistemi del ordine Esercizio. Risposta di un circuito RC ad un gradino di tensione di ampiezza con l ipotesi che il condensatore sia inizialmente scarico. ) Si determina il circuito L-trasformato circuito RC circuito RC L -trasformato ) Si ricava la f.d.t. I ( dove sostituendo: t) R + I( R f.d.t. G( + G( E/s E s + E s( + ) II-43

15 ) Si antitrasforma Occorre riportare la a quella contenute nella colonna destra della tabella delle T.d.L Moltiplicando e dividendo per RC si ha: E RC E + RC s s + RC RC quindi antitrasformando si ha: vo( t ) E e t RC valore a reg ime transitorio Rappresentazione grafica della risposta del circuito RC al gradino di ampiezza E con C inizialmente scarico II-44