Istituto Tecnico Industriale Statale Enrico Mattei

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1 Istituto Tecnico Industriale Statale Enrico Mattei Specializzazione di Elettronica ed Elettrotecnica URBINO Corso di Sistemi Automatici Elettronici ESERCITAZIONE TRASFORMATA DI LAPLACE Circuiti del primo ordine Autore: Massimo Zandri Anno Scolastico 2013/2014

2 Indice 1 Circuiti del primo ordine Circuiti di tipo R-L Esercizi Circuiti di tipo RC Esercizi

3 1 CIRCUITI DEL PRIMO ORDINE 1 Circuiti del primo ordine In questa sezione si tratterà: definizione di un circuito elettrico del primo ordine scrittura delle equazioni diferenziali analogia con il circuito trasformato secondo Laplace confronto tra i due metodi risolutivi. Il metodo della trasformazione di Laplace è mlto utile perché permette una soluzione più semplice di problemi costituiti da equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Ottenuto il sistema fisico nel dominio della s è possibile effettuare i calcoli in maniera più semplice rispetto alla soluzione delle equazioni differenziali lineari. L operazione difficile è il passaggio inverso dal dominio s al dominio t, che tuttavia può essere effettuato utilizzado le tabelle di trasformazione riperibili sia sul libro di riferimento, sia in moltissimi siti internet. Di seguito si presentano alcuni esercizi svolti che potranno essere utili agli studenti del V anno del corso di Elettronica ed Elettrotecnica, come base per la comprensione di un potente metodo di calcolo, oltre ad una utile fonte di esercizi guidati. Utilità della [ ] nei sistemi lineari 1.1 Circuiti di tipo R-L Si iniza con l analisi di un circuito di tipo R-L senza condizione iniziale. ESEMPIO 1. Dato il circuito della seguente fig. 1 valutare il valore della corrente i(t) come funzione del tempo Il circuito è costituito da un generatore ideale costante di tensione V 1 = 12V e da un interruttore che si chiude all istante t = 0. Per poter disporre di una soluzione completa occorre indicare anche la condizione 3

4 1.1 Circuiti di tipo R-L 1 CIRCUITI DEL PRIMO ORDINE Figura 1: Circuito R-L con condizione iniziale nulla. iniziale, che può essere vista come l energia presente in una zona dello spazio. In questo caso l elemento che può contenere energia è l induttore secondo la relazione U L = 1 2 Li2 e come primo esercizio si ipotizzerà che tale eneriga sia nulla, quindi in maniera più formale i(0+) = 0[A]. Il tasto viene chiuso all istante t = 0 e di lì in avanti la corrente può fluire nel circuito. Tale sistema fisico può essere trattato seguendo due approcci alternativi: scrivendone le equazioni differenziali nel dominio del tempo oppure scrivendone la trasformata di Laplace nel dominio s e poi applicando il procedimento inverso per tornare del dominio del tempo. In questo esempio accenneremo al primo e svilupperemo nel dettaglio il secondo. Usando il secondo principio di Kirchoff, si può scrivere l equilibrio elettrico alla maglia, dopo la chiusura del tasto: V 1 = L d i(t)+ri(t) (1) dt che ammette due soluzioni differenti: la prima per l integrale generale cioè per la (1) con il valore di E = 0 e la seconda per l integrale particolare, da ricercarsi tra i polinomi in t del tipo: V 1 = a n t n +...+a 0 4

5 1.1 Circuiti di tipo R-L 1 CIRCUITI DEL PRIMO ORDINE La soluzione di tipo generale della (1) è data da una funzione del tipo i g (t) = ke αt mentre la soluzione particolare è data da: i p (t) = E 0 trattandosi di un sistema lineare, la soluzione diventarà i(t) = i g (t)+i p (t). Questo approccio sarà trattato nel dettaglio nei corsi di matematica e non verrà ulteriormente sviluppato, perché ci si dedicherà alla trattazione secondo il metodo di Laplace. L uso del metodo di Laplace, consiste nel trasformare gli elementi del circuito in elementi equivalenti nel dominio s, che è una variabile appartenente al campo complesso, ma che non ha un particolare significato. Serve a rendere la soluzione del problema più semplice. Per prima cosa si definisce una corrente generalizzata I(s) da usare al posto della i(t), si -trasformano gli elementi del circuito e si pone attenzione ad inserire le condizioni iniziali negli elementi che immagazzinano energia. Si riepiloga di seguito le trasformate degli elementi circuitali: V 1 V 1 /s L d i(t) sli(s) Li(0+) dt Ri(t) RI(s) e quindi la (1) diventa: V 1 /s = sli(s) Li(0+)+RI(s) (2) e poiche la condizione iniziale è nulla la (2) diventa: V 1 /s = sli(s)+ri(s) = I(s)(sL+R) (3) Si può pertanto isolare il termine I(s) ed ottenere: I(s) = V 1 s(sl+r) (4) 5

6 1.1 Circuiti di tipo R-L 1 CIRCUITI DEL PRIMO ORDINE Giuntiquioccorrerebbeapplicarela 1 I(s)cheèdidifficilecalcoloedèpreferibile ricorrere alle tabelle di antitrasformazione, purché la I(s) sia fattorizzata in frazioni con denominatore di primo grado. Ovviamente la cosa è piuttosto semplice poiché la (4) ha già il denominatore fattorizzato. È pertanto possibile scrivere la (4) in questo modo: I(s) = V 1 s(sl+r) = A s + B sl+r (5) e svolgendo i calcoli ottenere: V 1 s(sl+r) = A s + B sl+r = sla+ra+bs s(sl+r) = s(la+b)+ra s(sl+r) (6) Affinché la frazione a sinistra della precedente coincida con la frazione più a destra, occorre che denominatore e numeratore coincidano e questo evidentemente accade se: { LA+B = 0 RA = V 1 e risolvendo si ottiene: { B = LA A = V 1 /R Sostituendo i nuovi valori di A e B al secondo termine dalla (6) si ottiene: A s + B sl+r = V 1/R + LV 1/R s sl+r = V 1/R LV 1/R s sl+r (7) Per antitrasformare agevolmente occore che la seconda frazione dia del tipo 1 s+α e quindi si porvvede a raccogliere il termine L a fattore comune. V 1 /R s LV 1/R sl+r = V 1/R LV 1/R s L(s+R/L) = V 1/R V 1/R s s+r/l (8) Dalle tabelle di antitrasformazione si ottiene in definitiva: I(s) = V 1/R s V 1/R s+r/l = i(t) = V 1 R u(t) V 1 R R e L t u(t) (9) 6

7 1.1 Circuiti di tipo R-L 1 CIRCUITI DEL PRIMO ORDINE La (9) può esserescritta in maniera più compatta raccogliendo i termini comuni: i(t) = V 1 R R (1 e L t )u(t) (10) ricordando che il termine L/R prende il nome di costante di tempo e quindi τ = L/R indica un tempo caratteristico del sistema fisico. ESEMPIO 2. Dato il circuito della seguente fig. 2 valutare il valore della corrente i(t) come funzione del tempo Riscriviamo la equazione n. 2 tenendo conto delle differenze intervenute in questo R L nel dominio s prende il nome di polo Figura 2: Circuito R-L con condizione iniziale non nulla. caso: assenza di generatore costante V 1 e presenza di condizione iniziale i(0) = 1.5[A]. Si ottiene: 0 = sl 2 I(s) L 2 i(0+)+r 2 I(s) (11) e quindi portando al primo membro la condizione iniziale si ha: L 2 i(0+) = sl 2 I(s)+R 2 I(s) = (sl 2 +R 2 )I(s) (12) Sistema con condizione iniziale. 7

8 1.2 Esercizi 1 CIRCUITI DEL PRIMO ORDINE da cui I(s) = L 2i(0+) (sl 2 +R 2 ) e raccogliendo al denominatore il termine in L 2 si ha: I(s) = i(0+) (s+r 2 /L 2 ) (13) In questo caso l antitrasformazione è molto più semplice del caso precedente, poiché la forma è già conforme alla tabella: 1.2 Esercizi I(s) = i(0+) (s+r 2 /L 2 ) R 2 L = i(t) = i(0+)e t 2 u(t) (14) Risolvere i seguenti questiti: Sostituendo i valori delle figura calcolare le costanti di tempo del circuito 1 e circuito 2 Disegnare il grafico della corrente i(t) in entrambe i casi Scrivere la funzione v L (t) ai capi dell induttore. 1.3 Circuiti di tipo RC In maniera anloga a quanto già visto in precedenza, il metodo della trasformata di Laplace è utile anche per calcolare il comportamento di circuiti di tipo capacitivo, costituiti da una resistore ed un condensatore. ESEMPIO 3. Dato il circuito della seguente fig. 3, costituito da un condensatore e da un resistore, valutare il valore della corrente i(t) come funzione del tempo. Anche in questo caso si analizza dapprima l equilibrio elettrico del circuito, scrivando l equazione di Kirchoff alla maglia utilizzando le ralazioni di tipo differenziale o integrale. 8

9 1.3 Circuiti di tipo RC 1 CIRCUITI DEL PRIMO ORDINE A partire dall istante t = 0 e per i tempi successivi, si ha: V 1 = Ri(t)+ 1 C t 0 i(t)dτ +v C (0) (15) Figura 3: Circuito R-C con condizione iniziale nulla. dove l ultimo termine della relazione indica la condizione iniziale del sistema elettrico. In questo esempio si considera il valore della condizione iniziale pari a 0 e quindi v C (0) = 0V. Senza entrare nei dettagli della soluzione analitica nel dominio del tempo, si può applicare direttamente il metodo di Laplace, che permette di trasformare l equazione differenziale nel dominio della s. Trasformando si ottiene: V 2 = Ri(t)+ 1 C t 0 i(t)dτ = V 2 s = R 3I(s)+ 1 sc 1 I(s) (16) e come già visto in precedenza, la seconda parte della relazione può essere riar- rangiata in questo modo: V 2 s = ( R sc 1 ) I(s) = I(s) = V 2 s sc 1 R 3 C 1 s+1 (17) Soluzione di un circuito RC con uso della - trasformata È possibile, nella 17 semplificare la s a numeratore e denominatore e raccogliere il termine RC. Si ottiene quindi: C I(s) = V 2 R 3 C 1 (s+1/r 3 C 1 ) = V 2 1 (18) R 3 (s+1/r 3 C 1 ) 9

10 1.3 Circuiti di tipo RC 1 CIRCUITI DEL PRIMO ORDINE L antitrasformazione è facilmente ottenibile perché la forma di I(s) è, a parte i coefficienti, disponibile nelle tabelle di trasformazione. In conclusione dalla 19 si torna alla funzione nel dominio del tempo: I(s) = V 2 R 3 1 (s+1/r 3 C 1 ) = i(t) = V 2 In questo contesto la costante di tempo è τ = R 3 C 1. R e t R 3 C 1 u(t) (19) ESEMPIO 4. Dato il circuito della seguente fig. 4, costituito da un condensatore caricato a 15V e da un resistore, valutare il valore della corrente i(t) come funzione del tempo. Figura 4: Circuito R-C con condizione iniziale impostata. Si può riscrivere la relazione 16 in termini di Laplace, tenendo conto che il gene- ratore di tensione costante non è presente ed agisce il solo generatore di condizione iniziale. Circuito con condizione iniziale 0 = R 4 I(s)+ 1 I(s) v C(0) = v C(0) = R 4 I(s)+ 1 I(s) (20) sc 2 s s sc 2 Risolvendo in I(s) si ottiene: v C (0) s = ( R sc 2 ) I(s) = I(s) = v C(0) s 10 sc 2 R 4 C 2 s+1

11 1.4 Esercizi 1 CIRCUITI DEL PRIMO ORDINE da cui si ottiene Infine antitrasformando si ottiene: I(s) = v C(0) R 4 1 s+ 1 R 4 C 2 (21) i(t) = v C(0) e t R 4 C 2 u(t) (22) R 4 e quindi la corrente i(t) viene ad assumere la solita forma di esponenziaole con decadimento verso lo Esercizi Risolvere i seguenti questiti: Sostituendo i valori delle figura calcolare le costanti di tempo del circuito 3 e circuito 4 Disegnare il grafico della corrente i(t) in entrambe i casi Scrivere la funzione v C (t) ai capi del condensatore. Risolvere il circuito 3 supponendo il condensatore carico a 2.5V ovvero v C (0) = 2.5V 11