Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria

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1 Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria Silvana Stefani Piazza dell Ateneo Nuovo MILANO U6-368 silvana.stefani@unimib.it 1

2 Unità 8 Ammortamenti a tasso costante Classificazione Ammortamento americano, italiano, francese Estinzione anticipata 2

3 Classificazione L'ammortamento di un debito è la specificazione dei termini (rate e valute) nei quali si concretizzano la restituzione e la remunerazione del debito stesso. Gli ammortamenti si classificano in: rimborso globale finale: è detto anche prestito elementare. Il capitale S e gli interessi maturati vengono restituiti alla scadenza; rimborso globale con interessi periodici: Gli interessi I 1, I 2,..., I n, maturati nei vari periodi, vengono corrisposti periodicamente, in via anticipata o posticipata, mentre il capitale S viene rimborsato integralmente alla scadenza; rimborso graduale o ammortamento: Consiste nella corresponsione periodica degli interessi e restituzione graduale del capitale. 3

4 Rimborso globale finale Il metodo del rimborso globale finale prevede che, a fronte del capitale S preso a prestito all epoca iniziale, il debitore paghi alla scadenza, oltre al capitale preso a prestito, anche gli interessi maturati sullo stesso per l'intero periodo al tasso periodale i.* Nel regime ad interesse semplice MS(1+it) Nel regime ad interesse composto MS(1+i) t Nel regime ad interesse anticipato, all epoca iniziale il debitore riceve l importo SM(1-dt), dove d è il tasso di sconto periodale. * Si suppone qui che il tasso rimanga costante per tutto il periodo di vita del prestito 4

5 Rimborso globale con interessi periodici Nel rimborso globale con interessi periodici, il debitore riceve all epoca iniziale il capitale S preso a prestito, da rimborsarsi in un unica soluzione alla scadenza con versamento periodico degli interessi I sull intero importo S al tasso periodale di interesse i o di sconto d*. I is ds per per 1,2,..., n 0,1,..., n (per interessi post.) 1 (per interessi ant.) *Si suppone qui che l tassi rimangano costanti per tutto il periodo di vita del prestito 5

6 Rimborso globale con interessi periodici Pertanto, gli esborsi totali alle varie scadenze risultano, per pagamenti posticipati degli interessi, is S + is (1 + i) S per per 1,2,..., n n 1 e, per pagamenti anticipati degli interessi, ds S per per 0,1,2,..., n n 1 6

7 Ammortamento L importo di ciascuna rata R sarà costituito da una parte (quota capitale, C ) destinata alla restituzione (parziale o totale) della somma mutuata, e da una parte (quota interesse, I ) che remunera il capitale effettivamente disponibile nel periodo considerato*: R C + I *Si suppone qui che il tasso di remunerazione del prestito rimanga costante per tutto il periodo di vita del prestito 7

8 Schema di un piano di ammortamento L importo di ciascuna rata R sarà costituito da una parte (quota capitale, C ) destinata alla restituzione (parziale o totale) della somma mutuata, e da una parte (quota interesse, I ) che remunera il capitale effettivamente disponibile nel periodo considerato: Epoca Rata di rimborso R Quota capitale C Quota interesse I Debito residuo D Debito E estinto S n S 8

9 Schema di un piano di ammortamento Dove: Epoche: Indicata con t 0, t 1,..., t n (o più semplicemente con 0, 1,..., n, nel caso di rendite periodiche equintervallate) corrisponde ai tempi in cui vengono effettuati i pagamenti Rata R : Si indica con R ( 0, 1, 2,..., n) e rappresenta la somma da corrispondere periodicamente da parte del debitore. Quota capitale C : Si indica con C ( 1, 2,..., n) e rappresenta la quota con cui viene rimborsato, all epoca, il capitale mutuato S. 9

10 Schema di un piano di ammortamento Quota interesse I : Si indica con I ( 1, 2,..., n) in caso di pagamenti posticipati e rappresenta gli interessi, maturati tra l epoca 1 e sul debito residuo D 1, ossia sulle quote capitale non ancora rimborsate all epoca 1. Si indica con I ( 0, 1,..., n 1) in caso di pagamenti anticipati e rappresenta gli interessi, che matureranno tra l epoca e + 1 sul debito residuo D, ossia sulle quote capitale non ancora rimborsate all epoca. Debito residuo D : Si indica con D ( 0, 1, 2,..., n) e indica, con riferimento all epoca, la parte di debito, in termini di quote capitale C, ( 0, 1, 2,..., n) ancora da rimborsare a tale epoca. Debito estinto E : Si indica con E ( 0, 1, 2,..., n) e indica, con riferimento all epoca, la parte di debito, in termini di quote capitali C ( 0, 1, 2,..., n), già rimborsata a tale epoca. 10

11 Relazioni fondamentali di un ammortamento Oltre alle relazioni precedenti, ogni piano di ammortamento deve soddisfare le seguenti condizioni: I id 1 Ogni quota interesse (posticipata) è proporzionale al debito residuo del periodo precedente secondo il tasso periodale di interesse i. I dd Ogni quota interesse (anticipata) è proporzionale al debito residuo dello stesso periodo secondo il tasso di sconto periodale d. 11

12 Relazioni fondamentali di un ammortamento D S, E all epoca iniziale dell ammortamento D 0, E n n S all epoca finale dell ammortamento D + D C, E E 1 1 C Ogni quota capitale va a diminuire il debito residuo e a incrementare il debito estinto. 12

13 Relazioni fondamentali di un ammortamento E + D La somma del debito estinto e di quello residuo rimane costante per ogni epoca e pari al capitale iniziale. C S Condizione di chiusura elementare del piano di rimborso: la somma delle quote capitale è uguale al capitale preso a prestito S. ( ) Condizione di chiusura finanziaria del piano di rimborso o condizione di equità: la somma dei valori attuali delle rate è uguale al capitale preso a prestito S. S R 1+ i S 13

14 Tipi particolari di ammortamento Verranno di seguito descritti alcuni tipi di ammortamento di uso comune. Per ognuno degli ammortamenti è indicata la proprietà che li caratterizza. Americano: il capitale finale è costituito in modo progressivo su un fondo collaterale Francese: le rate sono costanti Italiano: le quote capitale sono costanti (Tedesco: le quote interesse sono anticipate.) 14

15 Ammortamento Americano L ammortamento di tipo americano è un operazione finanziaria composita nella quale figurano: Prestito a rimborso globale con interessi periodici calcolati al tasso periodale i; costituzione di capitale che, tramite versamenti complementari Q, costituisca all epoca n un capitale di importo pari all ammontare del prestito. La costituzione avviene al tasso i, solitamente inferiore a i. Amm.to Costit. +S -is -is -is -S 0 -Q -Q -Q+S n 15

16 Ammortamento Americano Il debitore, a fronte dell importo S ricevuto all epoca iniziale, subisce alla scadenza (< n) un esborso complessivo S (somma della rata di rimborso R costituita unicamente dagli interessi is corrisposti periodicamente e posticipatamente al creditore al tasso di interesse periodale i, e della quota di costituzione Q ) S R + Q, 1,2,..., n 1 e R n is + in quanto è presente anche il rimborso integrale del capitale. Quest ultimo importo (S) non rappresenta in realtà un esborso, in quanto è pari alla disponibilità maturata sul fondo di costituzione. S 16

17 Ammortamento Americano Nel caso in cui sia Q 1 Q 2 Q n, ossia nel caso di versamenti posticipati di importo costante, capitalizzati in regime composto al tasso periodale i, dovrà valere: Qs n i S dove S Si + 1 s n i' S s n i' σ Si n i' + Sσ n i' 17

18 Ammortamento Americano Il piano di rimborso, noto come ammortamento americano, è anche chiamato ammortamento a due tassi in quanto di norma lo svolgimento parallelo delle due operazioni (rimborso globale con interessi periodici e costituzione di un capitale) avviene in base a due tassi distinti: un tasso i di remunerazione per l operazione di rimborso prestito e un tasso i' di accumulazione per l operazione di costituzione del capitale S. Se i i allora S Si + Sσ S( i + σ che coincide con la rata di ammortamento periodale calcolata con l ammortamento di tipo francese (vedi più avanti) n i n i ) 18

19 Ammortamento Americano La tabella seguente mostra un piano di ammortamento americano di un prestito di Euro ammortizzabile in 10 anni al tasso annuo di interesse i 12% e i' 10%. Anno Quote Debito Versamento Fondo Esborso interessi residuo , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,50 19

20 Ammortamento Francese L ammortamento di tipo francese, o a rata costante o progressivo, prevede che, a fronte del capitale S preso a prestito all epoca iniziale, il debitore corrisponda n rate posticipate di ammortamento alle varie scadenze, in modo tale che le rate siano tutte di uguale importo R. L importo R delle rate è determinato in base al principio di equivalenza finanziaria, ovvero mediante l'uguaglianza dei valori attuali, con S Ra n i α n i R 1 a n i Sα n i 20

21 Ammortamento Francese: relazioni notevoli C 1 C + ic C (1 i) + + Le quote capitale crescono in progressione geometrica di ragione (1 + i). C S n i σ 1 ottenuta dalla relazione ricorsiva precedente e dal fatto che le quote capitale sommano S. C C (1 + i) 1 Sσ (1 + i) 1 1 n i ottenuta dalle due precedenti. 21

22 Ammortamento Francese: relazioni notevoli E Sσ s n i i il debito estinto è la somma delle quote capitale versate, espresso in termini delle prime due relazioni D Ra n i il debito residuo è il valore attuale delle rate ancora da versare. 22

23 Ammortamento Francese La tabella seguente mostra un piano di ammortamento francese di un prestito di Euro ammortizzabile in 10 anni al tasso annuo di interesse i 12%. Anno Rata Quota capitale Quota int. Debito residuo Debito estinto , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,30 0, ,50 23

24 Ammortamento Italiano L ammortamento di tipo italiano, o uniforme, prevede che, a fronte del capitale S preso a prestito all epoca iniziale, il debitore corrisponda le rate di ammortamento di importo variabile alle varie scadenze, in modo che le quote capitale siano di uguale importo. 24

25 Ammortamento Italiano Nell ammortamento di tipo italiano, all epoca iniziale il debitore prende a prestito la somma S convenendo il rimborso della stessa mediante il versamento delle rate R C +I con 1,2,,n alle rispettive scadenze in modo tale che sia: C C... Cn 1 2 ossia a quote capitale costanti. Di conseguenza (affinché sia soddisfatta la condizione elementare di chiusura) dovrà essere S n 1 C nq Q Q S n 25

26 Ammortamento Italiano: relazioni notevoli E Q il debito estinto è la somma delle quote capitale pagate il debito residuo è la somma delle quote capitale da pagare. Entrambi variano in progressione aritmetica, di ragione rispettivamente Q e -Q I D E ottenuta dalla precedente. S id 1 iq n S S n n n ( [ ] ( 1) n is )Q n n

27 Ammortamento Italiano: relazioni notevoli I +1 Le quote interessi variano in progressione aritmetica di ragione -iq S R [ 1 + i( n + 1) ] ottenuta considerando che R Q+I. R n +1 I R Ovvia visto che la rata varia solo con la quota interessi. iq iq 27

28 Ammortamento Italiano La tabella seguente mostra un piano di ammortamento italiano di un prestito di Euro ammortizzabile in 10 anni al tasso annuo di interesse i 12%. Anno Rata Quota Quota Debito Debito estinto capitale interesse residuo

29 29 Estinzione anticipata di un prestito Nel corso dell ammortamento di un prestito, può verificarsi, come accennato nel paragrafo precedente, che il debitore chieda di estinguere anticipatamente il suo debito, ossia chieda il riscatto del debito. Nel caso particolare dell'ammortamento francese: Usualmente, il tasso i è diverso dal tasso i del prestito. Se però i i, allora ' ) ' (1 1 ) ( ' i i R a R V s n i s n s + s s n i s n s D i i R a R V + ) ( ) (1 1

30 Estinzione anticipata di un prestito Se l estinzione avviene in un epoca intermedia tra il pagamento di una rata, ad esempio l s-esima, e la successiva, diciamo in s+f, con 0 < f < 1, si ha, per i i V s+ f R R a a n s i' n s i' (1 + (1 + i') f i' f ) c. c./ c. c./ c. e. c. l. Se però i i, allora V s+ f D D s ( 1+ i ) s ( 1+ if f ) c.e. c.l. 30

31 Estinzione anticipata di un prestito: esempio Un prestito di Euro deve essere rimborsato mediante 20 pagamenti annuali costanti posticipati al 13%. Quattro mesi dopo il pagamento della sesta rata si richiede il riscatto del debito che viene concesso al tasso annuo del 12% (c.e.). 013, R 60000* , 8541, 20 V ( 4 / 12 ) , 20 a ( , ) , 12 4 /

32 Conclusioni Ogni ammortamento può essere costruito sulle specifiche necessità, purché soddisfi ad alcune regole generali. Per costruire un ammortamento «personalizzato» devono essere verificate le seguenti condizioni: Chiusura elementare; Chiusura finanziaria. Quest ultima condizione è senz altro verificata se per ogni si ha I id -1. Questa procedura di costruzione del piano di ammortamento consente ampio grado di flessibilità nella determinazione delle quote capitale 32