Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria

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1 Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria Silvana Stefani Piazza dell Ateneo Nuovo MILANO U6-368 silvana.stefani@unimib.it 1

2 Unità 7 Costituzione di un capitale Classificazione Fondo di costituzione Costituzione mediante n versamenti Costituzione con variazione del tasso 2

3 COSTITUZIONE DI UN CAPITALE Una sequenza di prestazioni finanziarie periodiche (ossia una rendita) può essere utilizzata per costituire, ad una determinata epoca futura, una disponibilità finanziaria di importo prestabilito. In questo modo si procede alla costituzione di un capitale. 3

4 Classificazione La costituzione di un capitale viene classificata in base a: numero di versamenti: costituzione mediante unico versamento iniziale costituzione graduale mediante più versamenti epoche di pagamento: versamenti posticipati il capitale S da costituire si renderà disponibile all atto in cui si effettuerà l ultimo versamento costituzione con versamenti anticipati. Il capitale S da costituire si renderà disponibile un periodo dopo l ultimo versamento 4

5 Costituzione mediante unico versamento Il capitale S che si vuole costituire all epoca futura t tramite un unico versamento R è il montante di R in t, dati il regime di capitalizzazione ed il tasso di interesse periodale i. In particolare, nel regime di capitalizzazione semplice: S = R (1 + it) nel regime di capitalizzazione composta (convenzione esponenziale): S = R (1 + i) t 5

6 Costituzione mediante unico versamento ESEMPIO: Qualora si intenda disporre di Euro dopo 5 anni dal versamento iniziale, e posto che il tasso praticato dalla banca sia il 4.56% in capitalizzazione composta, il versamento iniziale è: da cui si ricava: R = ( ) R =

7 Costituzione mediante versamenti periodici Il prospetto di costituzione di un capitale può essere rappresentato nel modo seguente: Epoca (k) Fondo in k-1 (F k-1 ) Interesse (if k-1 ) Rata (R k ) : : : : n Fondo in k (F k ) 7

8 Costituzione mediante versamenti periodici Dove: Epoche: epoche cui si effettuano i versamenti Fondo di costituzione F k-1 : montante delle somme versate entro tale epoca, compresa la rata che scade in k-1 Interesse: interessi maturati tra l epoca k-1 e k e che si capitalizzano Rata in k: importo da versare all epoca k. Può essere costante o variabile Fondo in k: somma di quanto disponibile in k-1, interessi maturati e versamento effettuato. F k = F k-1 + if k-1 + R k 8

9 Costituzione di un capitale mediante versamenti periodici di importo costante R in regime composto al tasso periodale i La costituzione di un capitale S mediante n versamenti posticipati costanti di importo R si può vedere come il montante di una rendita a rate costanti, quindi usando il regime composto si avranno le relazioni: && S = Rs S = Rs n i n i Rispettivamente nei casi di rate posticipate a anticipate 9

10 Costituzione mediante versamenti ESEMPIO: periodici Si vuole costituire in 10 anni un capitale di 1000 Euro, al tasso i=12%, mediante dieci versamenti annui di importo costante R. Calcolare R sia nel caso anticipato che in quello posticipato. 10 1, = R *1,12 R = 50,88 0, , = R R = 56,98 0,12 Ovviamente maggiore nel secondo caso. 10

11 Fondo di costituzione all epoca k mediante versamenti periodici di importo costante R in regime composto al tasso periodale i. Per conoscere quale somma è stata accantonata fino ad una certa epoca, occorre calcolare il fondo di costituzione a quella data epoca. Il fondo di costituzione ad una epoca t, ossia il montante in t delle k rate versate fino a quell epoca, è Ft = Rs se t = k F t k i f è intero f = F ( 1 + i ) = Rs ( 1+ i ) se t = k + f (con k intero e 0 < f < 1) k k i F t = F ( 1 + if ) = Rs ( 1+ if ) se t = k + f (con k intero e 0 < f < 1) k k i Gli ultimi due casi si riferiscono rispettivamente alla convenzione esponenziale e lineare. 11

12 ESEMPIO: Sono stati effettuati sei versamenti mensili posticipati di 200 Euro al tasso 0.5% mensile, e ci si domanda a quanto ammonti il fondo di costituzione accumulato. Si ha Costituzione mediante versamenti periodici F 6 1, * 0,005 6 = = 1215,10 Si noti che per la valutazione di F t si usa la formula relativa al calcolo del montante di rendite posticipate perché hanno rilevanza unicamente la numerosità delle rate già pagate e il fatto che l'ultima rata scade all'istante k. 12

13 Esempio di costituzione mediante versamenti periodici La Tabella seguente mostra un prospetto di costituzione di euro mediante sette versamenti annui posticipati di importo costante al tasso di interesse annuo del 5%. k Fondo in k-1 (F k-1 ) Interesse (if k-1 ) Rata in k (R k ) Fondo in k (F k )

14 Costituzione mediante versamenti periodici ad importo variabile Spesso nella realtà accade di pianificare un numero molto elevato di spese alle quali non sempre si è in grado di far fronte. Per questa ragione può essere necessario effettuare dei piani di risparmio. Una delle modalità attuabili al fine di costituire un capitale è quella di effettuare versamenti di importo variabile. Affinché all epoca n si renda disponibile il capitale S, dovrà valere, per il principio di equivalenza finanziaria S n = R s (1 + i) s= 1 n s 14

15 Costituzione mediante versamenti periodici ad importo variabile Questa equazione va interpretata come un equazione a n incognite, ossia le n rate di importo variabile R 1, R 2,..., R n. Le soluzioni si trovano fissando n-1 condizioni, ossia fissando n-1 rate. Nella pratica, si precisa usualmente una regola per lo sviluppo temporale delle rate, ad esempio in progressione aritmetica o geometrica di ragione assegnata. 15

16 Costituzione con variazione del tasso Se durante la costituzione si verifica una variazione dei tassi (ad esempio un aumento) si potrà costituire a scadenza un capitale maggiore, a parità di importo delle rate ancora da corrispondere, oppure si potrà costituire il capitale predeterminato mediante rate future di minore importo. Dopo il versamento del k-esimo importo (posticipato) degli n previsti, si ipotizzi che il tasso di interesse passi da i a i, e che non si voglia modificare l importo delle rate. 16

17 Costituzione con variazione del tasso All epoca n sarà disponibile la somma S' = Rs k (1 + i' ) i n k Rs n k i' cioè il fondo accumulato fino a k, capitalizzato per i rimanenti n-k periodi al nuovo tasso, viene sommato al capitale che si costituirà mediante le rate ancora da versare. Un analoga espressione si ricava nel caso di rimborso graduale anticipato. Nelle stesse ipotesi di variazione del tasso da i a i, si può alternativamente pensare di mantenere inalterato l importo S del capitale da costituire, e di modificare invece le rate successive. + 17

18 Costituzione con variazione del tasso L'importo R è così determinato S = Rs k ( + i n k + R sn k i ' 1 ') ' i cioè R è la rata che costituisce, in n-k versamenti a partire dall epoca k, la parte di capitale che eccede il valore capitalizzato fino a n del fondo di costituzione accumulato all epoca k. 18

19 Rimborso di un prestito Una particolare classe di rendite è molto utile per rappresentare la procedura di ammortamento di un debito. Finanziariamente, il problema consiste nell'indicare e valutare le modalità attraverso le quali si realizza la restituzione di un importo mutuato, congiuntamente alla corresponsione degli interessi. Un prestito, o mutuo, può essere considerato come un progetto di finanziamento, o provvista fondi, che presenta una sola entrata monetaria o input (capitale preso a prestito) seguito da una o più uscite monetarie o output (il rimborso globale finale o i rimborsi parziali). 19