Corso di Estimo Elementi di Matematica Finanziaria

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1 Corso di Estimo Elementi di Matematica Finanziaria Corso di Scienze e Tecnologie Agrarie

2 Indice argomenti Capitale e Interesse Interesse semplice Interesse composto Annualità Poliannualità r nominale e r effettivo

3 Indice argomenti Capitale e Interesse Interesse semplice Interesse composto Annualità Poliannualità r nominale e r effettivo

4 Indice argomenti Capitale e Interesse Interesse semplice Interesse composto Annualità Poliannualità r nominale e r effettivo

5 Indice argomenti Capitale e Interesse Interesse semplice Interesse composto Annualità Poliannualità r nominale e r effettivo

6 Indice argomenti Capitale e Interesse Interesse semplice Interesse composto Annualità Poliannualità r nominale e r effettivo

7 Indice argomenti Capitale e Interesse Interesse semplice Interesse composto Annualità Poliannualità r nominale e r effettivo

8 Capitale e Interesse Si definisce in estimo Capitale, C, uno stock di moneta disponibile in un dato momento. Si definisce interesse, I, l ammontare di moneta dovuta per disporre del capitale C per un determinato periodo di tempo. L interesse rappresenta il prezzo per l uso del capitale C. Si definisce con tasso di interesse, r, l interesse maturato da una un unita di capitale (1 e). Solitamente é definito in termini percentuali 3% (per ogni 100 e di C si richiedono 3e di I), o anche in termini unitari 0.03 (per 1e di C richiedo 0.03 di I)

9 Capitale e Interesse Si definisce in estimo Capitale, C, uno stock di moneta disponibile in un dato momento. Si definisce interesse, I, l ammontare di moneta dovuta per disporre del capitale C per un determinato periodo di tempo. L interesse rappresenta il prezzo per l uso del capitale C. Si definisce con tasso di interesse, r, l interesse maturato da una un unita di capitale (1 e). Solitamente é definito in termini percentuali 3% (per ogni 100 e di C si richiedono 3e di I), o anche in termini unitari 0.03 (per 1e di C richiedo 0.03 di I)

10 Capitale e Interesse Si definisce in estimo Capitale, C, uno stock di moneta disponibile in un dato momento. Si definisce interesse, I, l ammontare di moneta dovuta per disporre del capitale C per un determinato periodo di tempo. L interesse rappresenta il prezzo per l uso del capitale C. Si definisce con tasso di interesse, r, l interesse maturato da una un unita di capitale (1 e). Solitamente é definito in termini percentuali 3% (per ogni 100 e di C si richiedono 3e di I), o anche in termini unitari 0.03 (per 1e di C richiedo 0.03 di I)

11 Capitale e Interesse Si definisce in estimo Capitale, C, uno stock di moneta disponibile in un dato momento. Si definisce interesse, I, l ammontare di moneta dovuta per disporre del capitale C per un determinato periodo di tempo. L interesse rappresenta il prezzo per l uso del capitale C. Si definisce con tasso di interesse, r, l interesse maturato da una un unita di capitale (1 e). Solitamente é definito in termini percentuali 3% (per ogni 100 e di C si richiedono 3e di I), o anche in termini unitari 0.03 (per 1e di C richiedo 0.03 di I)

12 Interesse semplice e interesse composto L interesse di definisce semplice se gli interessi maturati in un periodo non si sommano a quelli del periodo successivo. L interesse di definisce composto se gli interessi maturati in un periodo si sommano a quelli del periodo successivo. La maturazione (pagamento) degli interessi può avvenire con periodi di tempo diversi, anno, semestre, trimestre, mese. Risulta importante, quindi, definire se il tasso di interesse sia un tasso di interesse annuale, semestrale...

13 Interesse semplice e interesse composto L interesse di definisce semplice se gli interessi maturati in un periodo non si sommano a quelli del periodo successivo. L interesse di definisce composto se gli interessi maturati in un periodo si sommano a quelli del periodo successivo. La maturazione (pagamento) degli interessi può avvenire con periodi di tempo diversi, anno, semestre, trimestre, mese. Risulta importante, quindi, definire se il tasso di interesse sia un tasso di interesse annuale, semestrale...

14 Interesse semplice e interesse composto L interesse di definisce semplice se gli interessi maturati in un periodo non si sommano a quelli del periodo successivo. L interesse di definisce composto se gli interessi maturati in un periodo si sommano a quelli del periodo successivo. La maturazione (pagamento) degli interessi può avvenire con periodi di tempo diversi, anno, semestre, trimestre, mese. Risulta importante, quindi, definire se il tasso di interesse sia un tasso di interesse annuale, semestrale...

15 Interesse semplice e interesse composto L interesse di definisce semplice se gli interessi maturati in un periodo non si sommano a quelli del periodo successivo. L interesse di definisce composto se gli interessi maturati in un periodo si sommano a quelli del periodo successivo. La maturazione (pagamento) degli interessi può avvenire con periodi di tempo diversi, anno, semestre, trimestre, mese. Risulta importante, quindi, definire se il tasso di interesse sia un tasso di interesse annuale, semestrale...

16 Interesse semplice e interesse composto Indichiamo con n la durata dell operazione in numero di anni o frazioni di anni. n = 2, la durata dell operazione é di 2 anni. n = 3 12, 0.25 é la frazione di anno.

17 Interesse semplice e interesse composto Indichiamo con n la durata dell operazione in numero di anni o frazioni di anni. n = 2, la durata dell operazione é di 2 anni. n = 3 12, 0.25 é la frazione di anno.

18 Interesse semplice e interesse composto Indichiamo con n la durata dell operazione in numero di anni o frazioni di anni. n = 2, la durata dell operazione é di 2 anni. n = 3 12, 0.25 é la frazione di anno.

19 Formule di calcolo Nel calcolo dell interesse semplice gli interessi I vengono liquidati alla fine del periodo. Dato un capitale iniziale C 0, una durata n e un tasso di interesse (unitario) annuale r, gli interessi I saranno dati da: I = C 0 r n Es: C 0 = e, r = 0.05, n = 2. I = = I calcoli possono essere effettuati usando un foglio elettronico

20 Formule di calcolo Nel calcolo dell interesse semplice gli interessi I vengono liquidati alla fine del periodo. Dato un capitale iniziale C 0, una durata n e un tasso di interesse (unitario) annuale r, gli interessi I saranno dati da: I = C 0 r n Es: C 0 = e, r = 0.05, n = 2. I = = I calcoli possono essere effettuati usando un foglio elettronico

21 Formule di calcolo Nel calcolo dell interesse semplice gli interessi I vengono liquidati alla fine del periodo. Dato un capitale iniziale C 0, una durata n e un tasso di interesse (unitario) annuale r, gli interessi I saranno dati da: I = C 0 r n Es: C 0 = e, r = 0.05, n = 2. I = = I calcoli possono essere effettuati usando un foglio elettronico

22 Formule di calcolo Nel calcolo dell interesse semplice gli interessi I vengono liquidati alla fine del periodo. Dato un capitale iniziale C 0, una durata n e un tasso di interesse (unitario) annuale r, gli interessi I saranno dati da: I = C 0 r n Es: C 0 = e, r = 0.05, n = 2. I = = I calcoli possono essere effettuati usando un foglio elettronico

23 Formule di calcolo Nel calcolo dell interesse semplice gli interessi I vengono liquidati alla fine del periodo. Dato un capitale iniziale C 0, una durata n e un tasso di interesse (unitario) annuale r, gli interessi I saranno dati da: I = C 0 r n Es: C 0 = e, r = 0.05, n = 2. I = = I calcoli possono essere effettuati usando un foglio elettronico

24 Formule di calcolo Nel calcolo dell interesse semplice gli interessi I vengono liquidati alla fine del periodo. Dato un capitale iniziale C 0, una durata n e un tasso di interesse (unitario) annuale r, gli interessi I saranno dati da: I = C 0 r n Es: C 0 = e, r = 0.05, n = 2. I = = I calcoli possono essere effettuati usando un foglio elettronico

25 Esempio Es: C 0 = e, r = 0.05, n = 250/365, 250 giorni dobbiamo ricostruire la frazione rispetto all anno. I = = Es: C 0 = 5.000e, r = 0.04, n = 4/12, 4 mesi dobbiamo ricostruire la frazione rispetto all anno. I = =

26 Esempio Es: C 0 = e, r = 0.05, n = 250/365, 250 giorni dobbiamo ricostruire la frazione rispetto all anno. I = = Es: C 0 = 5.000e, r = 0.04, n = 4/12, 4 mesi dobbiamo ricostruire la frazione rispetto all anno. I = =

27 Esempio Es: C 0 = e, r = 0.05, n = 250/365, 250 giorni dobbiamo ricostruire la frazione rispetto all anno. I = = Es: C 0 = 5.000e, r = 0.04, n = 4/12, 4 mesi dobbiamo ricostruire la frazione rispetto all anno. I = =

28 Esempio Es: C 0 = e, r = 0.05, n = 250/365, 250 giorni dobbiamo ricostruire la frazione rispetto all anno. I = = Es: C 0 = 5.000e, r = 0.04, n = 4/12, 4 mesi dobbiamo ricostruire la frazione rispetto all anno. I = =

29 Formule inverse Se conosciamo I, r ed n possiamo ricavare facilmente C 0, C 0 = I rn. Se conosciamo C 0, I ed n possiamo ricavare facilmente r, r = I C 0 n. Se conosciamo C 0, r ed n possiamo ricavare facilmente n, n = I C 0 r.

30 Formule inverse Se conosciamo I, r ed n possiamo ricavare facilmente C 0, C 0 = I rn. Se conosciamo C 0, I ed n possiamo ricavare facilmente r, r = I C 0 n. Se conosciamo C 0, r ed n possiamo ricavare facilmente n, n = I C 0 r.

31 Formule inverse Se conosciamo I, r ed n possiamo ricavare facilmente C 0, C 0 = I rn. Se conosciamo C 0, I ed n possiamo ricavare facilmente r, r = I C 0 n. Se conosciamo C 0, r ed n possiamo ricavare facilmente n, n = I C 0 r.

32 Montante Si definisce montante, M n, la somma del capitale C e dei relativi interessi I M n = C 0 +I = C 0 +C 0 rn = C 0 (1+rn) Le formule derivate sono: C 0 = Mn (1+rn). Sc = M n C 0 = M n (1 1 (1+rn) parlare di sconto Sc invece che di interesse I r = n = Mn 1 C 0 n. Mn 1 C 0 r. ). In questo caso si può

33 Montante Si definisce montante, M n, la somma del capitale C e dei relativi interessi I M n = C 0 +I = C 0 +C 0 rn = C 0 (1+rn) Le formule derivate sono: C 0 = Mn (1+rn). Sc = M n C 0 = M n (1 1 (1+rn) parlare di sconto Sc invece che di interesse I r = n = Mn 1 C 0 n. Mn 1 C 0 r. ). In questo caso si può

34 Montante Si definisce montante, M n, la somma del capitale C e dei relativi interessi I M n = C 0 +I = C 0 +C 0 rn = C 0 (1+rn) Le formule derivate sono: C 0 = Mn (1+rn). Sc = M n C 0 = M n (1 1 (1+rn) parlare di sconto Sc invece che di interesse I r = n = Mn 1 C 0 n. Mn 1 C 0 r. ). In questo caso si può

35 Montante Si definisce montante, M n, la somma del capitale C e dei relativi interessi I M n = C 0 +I = C 0 +C 0 rn = C 0 (1+rn) Le formule derivate sono: C 0 = Mn (1+rn). Sc = M n C 0 = M n (1 1 (1+rn) parlare di sconto Sc invece che di interesse I r = n = Mn 1 C 0 n. Mn 1 C 0 r. ). In questo caso si può

36 Montante Si definisce montante, M n, la somma del capitale C e dei relativi interessi I M n = C 0 +I = C 0 +C 0 rn = C 0 (1+rn) Le formule derivate sono: C 0 = Mn (1+rn). Sc = M n C 0 = M n (1 1 (1+rn) parlare di sconto Sc invece che di interesse I r = n = Mn 1 C 0 n. Mn 1 C 0 r. ). In questo caso si può

37 Montante Si definisce montante, M n, la somma del capitale C e dei relativi interessi I M n = C 0 +I = C 0 +C 0 rn = C 0 (1+rn) Le formule derivate sono: C 0 = Mn (1+rn). Sc = M n C 0 = M n (1 1 (1+rn) parlare di sconto Sc invece che di interesse I r = n = Mn 1 C 0 n. Mn 1 C 0 r. ). In questo caso si può

38 Montante Si definisce montante, M n, la somma del capitale C e dei relativi interessi I M n = C 0 +I = C 0 +C 0 rn = C 0 (1+rn) Le formule derivate sono: C 0 = Mn (1+rn). Sc = M n C 0 = M n (1 1 (1+rn) parlare di sconto Sc invece che di interesse I r = n = Mn 1 C 0 n. Mn 1 C 0 r. ). In questo caso si può

39 Esempio Calcolare il montante maturato su un capitale di e5000, depositato ad un tasso r del 4% per 213 giorni: M = 5000 ( ) = e. Calcolare il capitale iniziale C 0, il tasso r, il periodo n e lo sconto Sc.

40 Esempio Calcolare il montante maturato su un capitale di e5000, depositato ad un tasso r del 4% per 213 giorni: M = 5000 ( ) = e. Calcolare il capitale iniziale C 0, il tasso r, il periodo n e lo sconto Sc.

41 Esempio Calcolare il montante maturato su un capitale di e5000, depositato ad un tasso r del 4% per 213 giorni: M = 5000 ( ) = e. Calcolare il capitale iniziale C 0, il tasso r, il periodo n e lo sconto Sc.

42 Formule di calcolo Nel caso di interesse composto, gli interessi si sommano al capitale nel tempo. In questo caso avremo che nel caso di interessi annuali M 1 = C 0 +I 1 = C 0 +C 0 r = C 0 (1+r) Nel secondo periodo M 2 = M 1 +I 2 = M 1 +M 1 r = M 1 (1+r) = C 0 (1+r) 2. M n = C 0 (1+r) n = C 0 q n è il montante alla fine del periodo n.

43 Formule di calcolo Nel caso di interesse composto, gli interessi si sommano al capitale nel tempo. In questo caso avremo che nel caso di interessi annuali M 1 = C 0 +I 1 = C 0 +C 0 r = C 0 (1+r) Nel secondo periodo M 2 = M 1 +I 2 = M 1 +M 1 r = M 1 (1+r) = C 0 (1+r) 2. M n = C 0 (1+r) n = C 0 q n è il montante alla fine del periodo n.

44 Formule di calcolo Nel caso di interesse composto, gli interessi si sommano al capitale nel tempo. In questo caso avremo che nel caso di interessi annuali M 1 = C 0 +I 1 = C 0 +C 0 r = C 0 (1+r) Nel secondo periodo M 2 = M 1 +I 2 = M 1 +M 1 r = M 1 (1+r) = C 0 (1+r) 2. M n = C 0 (1+r) n = C 0 q n è il montante alla fine del periodo n.

45 Formule di calcolo Nel caso di interesse composto, gli interessi si sommano al capitale nel tempo. In questo caso avremo che nel caso di interessi annuali M 1 = C 0 +I 1 = C 0 +C 0 r = C 0 (1+r) Nel secondo periodo M 2 = M 1 +I 2 = M 1 +M 1 r = M 1 (1+r) = C 0 (1+r) 2. M n = C 0 (1+r) n = C 0 q n è il montante alla fine del periodo n.

46 Formule di calcolo Nel caso di interesse composto, gli interessi si sommano al capitale nel tempo. In questo caso avremo che nel caso di interessi annuali M 1 = C 0 +I 1 = C 0 +C 0 r = C 0 (1+r) Nel secondo periodo M 2 = M 1 +I 2 = M 1 +M 1 r = M 1 (1+r) = C 0 (1+r) 2. M n = C 0 (1+r) n = C 0 q n è il montante alla fine del periodo n.

47 Esempio C 0 = , r = 0.06, n = 6, M 6 =? M 6 = ( ) 6 = e

48 Esempio C 0 = , r = 0.06, n = 6, M 6 =? M 6 = ( ) 6 = e

49 Formule derivate Se si deposita oggi in banca la somma di ead un r = 5%, quale sarà l interesse maturato dopo 8 anni? I = M 8 C 0 = C 0 (1+r) 8 C 0 = C 0 (q 8 1) = 47750

50 Formule derivate Se si deposita oggi in banca la somma di ead un r = 5%, quale sarà l interesse maturato dopo 8 anni? I = M 8 C 0 = C 0 (1+r) 8 C 0 = C 0 (q 8 1) = 47750

51 Definizioni Le Annualità sono delle somme che maturano ad intervalli costanti di tempo (ogni anno, ogni semestre, ogni trimestre...) Le Annualità possono essere posticipate o anticipate a seconda del periodo di scadenza. Le Annualità possono essere limitate o illimitate. Si definisce accumulazione finale la somma delle Annualità capitalizzate alla fine del periodo. Si definisce accumulazione iniziale la somma delle Annualità attualizzate all inizio del periodo.

52 Definizioni Le Annualità sono delle somme che maturano ad intervalli costanti di tempo (ogni anno, ogni semestre, ogni trimestre...) Le Annualità possono essere posticipate o anticipate a seconda del periodo di scadenza. Le Annualità possono essere limitate o illimitate. Si definisce accumulazione finale la somma delle Annualità capitalizzate alla fine del periodo. Si definisce accumulazione iniziale la somma delle Annualità attualizzate all inizio del periodo.

53 Definizioni Le Annualità sono delle somme che maturano ad intervalli costanti di tempo (ogni anno, ogni semestre, ogni trimestre...) Le Annualità possono essere posticipate o anticipate a seconda del periodo di scadenza. Le Annualità possono essere limitate o illimitate. Si definisce accumulazione finale la somma delle Annualità capitalizzate alla fine del periodo. Si definisce accumulazione iniziale la somma delle Annualità attualizzate all inizio del periodo.

54 Definizioni Le Annualità sono delle somme che maturano ad intervalli costanti di tempo (ogni anno, ogni semestre, ogni trimestre...) Le Annualità possono essere posticipate o anticipate a seconda del periodo di scadenza. Le Annualità possono essere limitate o illimitate. Si definisce accumulazione finale la somma delle Annualità capitalizzate alla fine del periodo. Si definisce accumulazione iniziale la somma delle Annualità attualizzate all inizio del periodo.

55 Definizioni Le Annualità sono delle somme che maturano ad intervalli costanti di tempo (ogni anno, ogni semestre, ogni trimestre...) Le Annualità possono essere posticipate o anticipate a seconda del periodo di scadenza. Le Annualità possono essere limitate o illimitate. Si definisce accumulazione finale la somma delle Annualità capitalizzate alla fine del periodo. Si definisce accumulazione iniziale la somma delle Annualità attualizzate all inizio del periodo.

56 Accumulazione finale di Annualità posticipate limitate Definiamo con A n l accumulazione finale delle Annualità posticipate limitate. n A n = aq n 1 +aq n aq +a = aq n i (1) i=1 se moltiplichiamo per q ambo i membri otteniamo A n q = aq n +aq n aq 2 +aq (2) Sottraiamo ora da ambo i membri la (1) otteniamo A n q A n = aq n +aq n aq 2 +aq (aq n 1 +aq n aq+a) (3) da cui si ottiene A n = a qn 1 q 1 = 1 aqn (4) r

57 Accumulazione finale di Annualità posticipate limitate Definiamo con A n l accumulazione finale delle Annualità posticipate limitate. n A n = aq n 1 +aq n aq +a = aq n i (1) i=1 se moltiplichiamo per q ambo i membri otteniamo A n q = aq n +aq n aq 2 +aq (2) Sottraiamo ora da ambo i membri la (1) otteniamo A n q A n = aq n +aq n aq 2 +aq (aq n 1 +aq n aq+a) (3) da cui si ottiene A n = a qn 1 q 1 = 1 aqn (4) r

58 Accumulazione finale di Annualità posticipate limitate Definiamo con A n l accumulazione finale delle Annualità posticipate limitate. n A n = aq n 1 +aq n aq +a = aq n i (1) i=1 se moltiplichiamo per q ambo i membri otteniamo A n q = aq n +aq n aq 2 +aq (2) Sottraiamo ora da ambo i membri la (1) otteniamo A n q A n = aq n +aq n aq 2 +aq (aq n 1 +aq n aq+a) (3) da cui si ottiene A n = a qn 1 q 1 = 1 aqn (4) r

59 Accumulazione finale di Annualità posticipate limitate Definiamo con A n l accumulazione finale delle Annualità posticipate limitate. n A n = aq n 1 +aq n aq +a = aq n i (1) i=1 se moltiplichiamo per q ambo i membri otteniamo A n q = aq n +aq n aq 2 +aq (2) Sottraiamo ora da ambo i membri la (1) otteniamo A n q A n = aq n +aq n aq 2 +aq (aq n 1 +aq n aq+a) (3) da cui si ottiene A n = a qn 1 q 1 = 1 aqn (4) r

60 Esempio Calcolare l accumulazione finale A n di 10 Annualità posticipate di 100e al saggio del 5%. A n = a qn 1 r = 100 (1+0.05) =

61 Esempio Calcolare l accumulazione finale A n di 10 Annualità posticipate di 100e al saggio del 5%. A n = a qn 1 r = 100 (1+0.05) =

62 Quote di reintegrazione e ammortamento Utilizzando la formula sull accumulazione finale possiamo calcolare le quote per il reintegro dei capitale. Nel corso di Economia Agraria si è esaminato il problema della costituzione delle quote di ammortamento. Utilizzando le formule precedenti le quote Q possono essere calcolate come: Q = a = A n r q n 1 Esempio: Si vogliono calcolare le quote annuali da accantonare per il reintegro di trattore di 80 hp per un valore die40000 nell arco di 15 anni al tasso del 5% Q = (1+0.05) 15 1 =

63 Quote di reintegrazione e ammortamento Utilizzando la formula sull accumulazione finale possiamo calcolare le quote per il reintegro dei capitale. Nel corso di Economia Agraria si è esaminato il problema della costituzione delle quote di ammortamento. Utilizzando le formule precedenti le quote Q possono essere calcolate come: Q = a = A n r q n 1 Esempio: Si vogliono calcolare le quote annuali da accantonare per il reintegro di trattore di 80 hp per un valore die40000 nell arco di 15 anni al tasso del 5% Q = (1+0.05) 15 1 =

64 Quote di reintegrazione e ammortamento Utilizzando la formula sull accumulazione finale possiamo calcolare le quote per il reintegro dei capitale. Nel corso di Economia Agraria si è esaminato il problema della costituzione delle quote di ammortamento. Utilizzando le formule precedenti le quote Q possono essere calcolate come: Q = a = A n r q n 1 Esempio: Si vogliono calcolare le quote annuali da accantonare per il reintegro di trattore di 80 hp per un valore die40000 nell arco di 15 anni al tasso del 5% Q = (1+0.05) 15 1 =

65 Quote di reintegrazione e ammortamento Utilizzando la formula sull accumulazione finale possiamo calcolare le quote per il reintegro dei capitale. Nel corso di Economia Agraria si è esaminato il problema della costituzione delle quote di ammortamento. Utilizzando le formule precedenti le quote Q possono essere calcolate come: Q = a = A n r q n 1 Esempio: Si vogliono calcolare le quote annuali da accantonare per il reintegro di trattore di 80 hp per un valore die40000 nell arco di 15 anni al tasso del 5% Q = (1+0.05) 15 1 =

66 Quote di reintegrazione e ammortamento Utilizzando la formula sull accumulazione finale possiamo calcolare le quote per il reintegro dei capitale. Nel corso di Economia Agraria si è esaminato il problema della costituzione delle quote di ammortamento. Utilizzando le formule precedenti le quote Q possono essere calcolate come: Q = a = A n r q n 1 Esempio: Si vogliono calcolare le quote annuali da accantonare per il reintegro di trattore di 80 hp per un valore die40000 nell arco di 15 anni al tasso del 5% Q = (1+0.05) 15 1 =

67 Quote di reintegrazione e ammortamento Utilizzando la formula sull accumulazione finale possiamo calcolare le quote per il reintegro dei capitale. Nel corso di Economia Agraria si è esaminato il problema della costituzione delle quote di ammortamento. Utilizzando le formule precedenti le quote Q possono essere calcolate come: Q = a = A n r q n 1 Esempio: Si vogliono calcolare le quote annuali da accantonare per il reintegro di trattore di 80 hp per un valore die40000 nell arco di 15 anni al tasso del 5% Q = (1+0.05) 15 1 =

68 Accumulazione iniziale (Valore attuale) di Annualità posticipate limitate Definiamo con A 0 il valore attuale delle Annualità posticipate limitate. A 0 = a q n + a q n a n q = a q i (5) i=1 se moltiplico ambo i membri della (5) per 1 q e sottraggo questa nuova equazione alla (5) ottengo A 0 = a qn 1 rq n (6)

69 Accumulazione iniziale (Valore attuale) di Annualità posticipate limitate Definiamo con A 0 il valore attuale delle Annualità posticipate limitate. A 0 = a q n + a q n a n q = a q i (5) i=1 se moltiplico ambo i membri della (5) per 1 q e sottraggo questa nuova equazione alla (5) ottengo A 0 = a qn 1 rq n (6)

70 Quote di ammortamento di capitali La quota di ammortamento di capitali è la rata annua o semestrale che si versa per estinguere un debito per un determinato numero di anni. Estinzione del debito in rate annue posticipate La rata R può essere derivata dall espressione sull accumulazione iniziale: R = a = A 0 rq n q n 1 NB: se la rata è semestrale il tasso annuale r deve essere diviso per due e n deve essere moltiplicato per due.

71 Quote di ammortamento di capitali La quota di ammortamento di capitali è la rata annua o semestrale che si versa per estinguere un debito per un determinato numero di anni. Estinzione del debito in rate annue posticipate La rata R può essere derivata dall espressione sull accumulazione iniziale: R = a = A 0 rq n q n 1 NB: se la rata è semestrale il tasso annuale r deve essere diviso per due e n deve essere moltiplicato per due.

72 Quote di ammortamento di capitali La quota di ammortamento di capitali è la rata annua o semestrale che si versa per estinguere un debito per un determinato numero di anni. Estinzione del debito in rate annue posticipate La rata R può essere derivata dall espressione sull accumulazione iniziale: R = a = A 0 rq n q n 1 NB: se la rata è semestrale il tasso annuale r deve essere diviso per due e n deve essere moltiplicato per due.

73 Quote di ammortamento di capitali La quota di ammortamento di capitali è la rata annua o semestrale che si versa per estinguere un debito per un determinato numero di anni. Estinzione del debito in rate annue posticipate La rata R può essere derivata dall espressione sull accumulazione iniziale: R = a = A 0 rq n q n 1 NB: se la rata è semestrale il tasso annuale r deve essere diviso per due e n deve essere moltiplicato per due.

74 Quote di ammortamento di capitali La quota di ammortamento di capitali è la rata annua o semestrale che si versa per estinguere un debito per un determinato numero di anni. Estinzione del debito in rate annue posticipate La rata R può essere derivata dall espressione sull accumulazione iniziale: R = a = A 0 rq n q n 1 NB: se la rata è semestrale il tasso annuale r deve essere diviso per due e n deve essere moltiplicato per due.

75 Esempio Si richiede un prestito di euro da restituire in 20 anni con rate semestrali costanti al tasso r = 5%. Calcolare la rata: R = q40 q 40 1 =

76 Esempio Si richiede un prestito di euro da restituire in 20 anni con rate semestrali costanti al tasso r = 5%. Calcolare la rata: R = q40 q 40 1 =

77 Accumulazione iniziale (Valore attuale) di Annualità posticipate illimitate Nel caso di annualità posticipate illimitate avremo che n Dalla (6). 1 A 0 = lim n aqn rq n = a (7) r In questo caso conoscendo la annualità a e il tasso r possiamo immediatamente calcolare il valore attuale A 0 Nell esempio precedente avremo che A 0 = = 2000.

78 Accumulazione iniziale (Valore attuale) di Annualità posticipate illimitate Nel caso di annualità posticipate illimitate avremo che n Dalla (6). 1 A 0 = lim n aqn rq n = a (7) r In questo caso conoscendo la annualità a e il tasso r possiamo immediatamente calcolare il valore attuale A 0 Nell esempio precedente avremo che A 0 = = 2000.

79 Accumulazione iniziale (Valore attuale) di Annualità posticipate illimitate Nel caso di annualità posticipate illimitate avremo che n Dalla (6). 1 A 0 = lim n aqn rq n = a (7) r In questo caso conoscendo la annualità a e il tasso r possiamo immediatamente calcolare il valore attuale A 0 Nell esempio precedente avremo che A 0 = = 2000.

80 Accumulazione finale di annualità anticipate Per il calcolo dell accumulazione finale basta moltiplicare per il fattore q le formule delle accumulazioni per le Annualità posticipate: Accumulazione finale annualità anticipate limitate: A n = aq qn 1 (8) r Accumulazione iniziale (valore attuale) annualità anticipate limitate: A 0 = aq qn 1 rq n (9) Accumulazione iniziale (valore attuale) annualità anticipate illimitate: A 0 = aq 1 (10) r

81 Accumulazione finale di annualità anticipate Per il calcolo dell accumulazione finale basta moltiplicare per il fattore q le formule delle accumulazioni per le Annualità posticipate: Accumulazione finale annualità anticipate limitate: A n = aq qn 1 (8) r Accumulazione iniziale (valore attuale) annualità anticipate limitate: A 0 = aq qn 1 rq n (9) Accumulazione iniziale (valore attuale) annualità anticipate illimitate: A 0 = aq 1 (10) r

82 Accumulazione finale di annualità anticipate Per il calcolo dell accumulazione finale basta moltiplicare per il fattore q le formule delle accumulazioni per le Annualità posticipate: Accumulazione finale annualità anticipate limitate: A n = aq qn 1 (8) r Accumulazione iniziale (valore attuale) annualità anticipate limitate: A 0 = aq qn 1 rq n (9) Accumulazione iniziale (valore attuale) annualità anticipate illimitate: A 0 = aq 1 (10) r

83 Accumulazione finale di annualità anticipate Per il calcolo dell accumulazione finale basta moltiplicare per il fattore q le formule delle accumulazioni per le Annualità posticipate: Accumulazione finale annualità anticipate limitate: A n = aq qn 1 (8) r Accumulazione iniziale (valore attuale) annualità anticipate limitate: A 0 = aq qn 1 rq n (9) Accumulazione iniziale (valore attuale) annualità anticipate illimitate: A 0 = aq 1 (10) r

84 Poliannualità Le poliannualità sono dei valori che si ripetono ogni determinato numero di anni. Esempio, taglio del sughero ogni 10 anni. Occorre in questo caso definire : n : il numero degli anni del periodo t : il numero di periodi P : la periodicità ossia l ammontare di ognuno di questi valori poliannuali.

85 Poliannualità Le poliannualità sono dei valori che si ripetono ogni determinato numero di anni. Esempio, taglio del sughero ogni 10 anni. Occorre in questo caso definire : n : il numero degli anni del periodo t : il numero di periodi P : la periodicità ossia l ammontare di ognuno di questi valori poliannuali.

86 Poliannualità Le poliannualità sono dei valori che si ripetono ogni determinato numero di anni. Esempio, taglio del sughero ogni 10 anni. Occorre in questo caso definire : n : il numero degli anni del periodo t : il numero di periodi P : la periodicità ossia l ammontare di ognuno di questi valori poliannuali.

87 Poliannualità Le poliannualità sono dei valori che si ripetono ogni determinato numero di anni. Esempio, taglio del sughero ogni 10 anni. Occorre in questo caso definire : n : il numero degli anni del periodo t : il numero di periodi P : la periodicità ossia l ammontare di ognuno di questi valori poliannuali.

88 Poliannualità Le poliannualità sono dei valori che si ripetono ogni determinato numero di anni. Esempio, taglio del sughero ogni 10 anni. Occorre in questo caso definire : n : il numero degli anni del periodo t : il numero di periodi P : la periodicità ossia l ammontare di ognuno di questi valori poliannuali.

89 Poliannualità limitate costanti posticipate Le formule per il calcolo delle accumulazioni finali e iniziali delle poliannualità limitate sono molto simili a quelle delle annualità limitate. Occorre tener conto che ora n deve essere moltiplicato per il numero dei periodi t. Avremo quindi A tn = P qtn 1 q n 1 (i) usa la stessa strategia delle annualità per trovare il risultato. Provaci!!! A 0 = Atn q = P qtn 1 1 tn q n 1 q tn

90 Poliannualità limitate costanti posticipate Le formule per il calcolo delle accumulazioni finali e iniziali delle poliannualità limitate sono molto simili a quelle delle annualità limitate. Occorre tener conto che ora n deve essere moltiplicato per il numero dei periodi t. Avremo quindi A tn = P qtn 1 q n 1 (i) usa la stessa strategia delle annualità per trovare il risultato. Provaci!!! A 0 = Atn q = P qtn 1 1 tn q n 1 q tn

91 Poliannualità limitate costanti posticipate Le formule per il calcolo delle accumulazioni finali e iniziali delle poliannualità limitate sono molto simili a quelle delle annualità limitate. Occorre tener conto che ora n deve essere moltiplicato per il numero dei periodi t. Avremo quindi A tn = P qtn 1 q n 1 (i) usa la stessa strategia delle annualità per trovare il risultato. Provaci!!! A 0 = Atn q = P qtn 1 1 tn q n 1 q tn

92 Poliannualità limitate costanti posticipate Le formule per il calcolo delle accumulazioni finali e iniziali delle poliannualità limitate sono molto simili a quelle delle annualità limitate. Occorre tener conto che ora n deve essere moltiplicato per il numero dei periodi t. Avremo quindi A tn = P qtn 1 q n 1 (i) usa la stessa strategia delle annualità per trovare il risultato. Provaci!!! A 0 = Atn q = P qtn 1 1 tn q n 1 q tn

93 Poliannualità illimitate costanti posticipate e anticipate Il risultato può essere facilmente ricostruito calcolando il limite del caso di poliannualità limitate per tn A 0 = lim tn P qtn 1 1 q n 1 q = P 1 tn q n 1 Mentre per le poliannualità illimitate anticipate avremo: A 0 = P qn q n 1

94 Poliannualità illimitate costanti posticipate e anticipate Il risultato può essere facilmente ricostruito calcolando il limite del caso di poliannualità limitate per tn A 0 = lim tn P qtn 1 1 q n 1 q = P 1 tn q n 1 Mentre per le poliannualità illimitate anticipate avremo: A 0 = P qn q n 1

95 Poliannualità illimitate costanti posticipate e anticipate Il risultato può essere facilmente ricostruito calcolando il limite del caso di poliannualità limitate per tn A 0 = lim tn P qtn 1 1 q n 1 q = P 1 tn q n 1 Mentre per le poliannualità illimitate anticipate avremo: A 0 = P qn q n 1

96 Poliannualità illimitate costanti posticipate e anticipate Il risultato può essere facilmente ricostruito calcolando il limite del caso di poliannualità limitate per tn A 0 = lim tn P qtn 1 1 q n 1 q = P 1 tn q n 1 Mentre per le poliannualità illimitate anticipate avremo: A 0 = P qn q n 1

97 Definizioni Solitamente il tasso di interesse r è espresso in termini annuali, anche se le annualità maturano per frazioni di anno (es. semestre). In questo caso occorre utilizzare le formule del montante per ricavare dal tasso annuale nominale r il tasso annuale effettivo. Esempio Tasso annuale nominale r N = 10%. Tasso semestrale nominale 10% 2 = 5% Tasso annuale effettivo con un tasso semestrale del 5% : r E = (1+0.05) 2 1 = , cioè r E = 10.25% Nel caso di calcolo di anticipazioni in presenza di frazioni di anno occorre utilizzare il tasso di interesse effettivo anzichè quello nominale.

98 Definizioni Solitamente il tasso di interesse r è espresso in termini annuali, anche se le annualità maturano per frazioni di anno (es. semestre). In questo caso occorre utilizzare le formule del montante per ricavare dal tasso annuale nominale r il tasso annuale effettivo. Esempio Tasso annuale nominale r N = 10%. Tasso semestrale nominale 10% 2 = 5% Tasso annuale effettivo con un tasso semestrale del 5% : r E = (1+0.05) 2 1 = , cioè r E = 10.25% Nel caso di calcolo di anticipazioni in presenza di frazioni di anno occorre utilizzare il tasso di interesse effettivo anzichè quello nominale.

99 Definizioni Solitamente il tasso di interesse r è espresso in termini annuali, anche se le annualità maturano per frazioni di anno (es. semestre). In questo caso occorre utilizzare le formule del montante per ricavare dal tasso annuale nominale r il tasso annuale effettivo. Esempio Tasso annuale nominale r N = 10%. Tasso semestrale nominale 10% 2 = 5% Tasso annuale effettivo con un tasso semestrale del 5% : r E = (1+0.05) 2 1 = , cioè r E = 10.25% Nel caso di calcolo di anticipazioni in presenza di frazioni di anno occorre utilizzare il tasso di interesse effettivo anzichè quello nominale.

100 Definizioni Solitamente il tasso di interesse r è espresso in termini annuali, anche se le annualità maturano per frazioni di anno (es. semestre). In questo caso occorre utilizzare le formule del montante per ricavare dal tasso annuale nominale r il tasso annuale effettivo. Esempio Tasso annuale nominale r N = 10%. Tasso semestrale nominale 10% 2 = 5% Tasso annuale effettivo con un tasso semestrale del 5% : r E = (1+0.05) 2 1 = , cioè r E = 10.25% Nel caso di calcolo di anticipazioni in presenza di frazioni di anno occorre utilizzare il tasso di interesse effettivo anzichè quello nominale.

101 Definizioni Solitamente il tasso di interesse r è espresso in termini annuali, anche se le annualità maturano per frazioni di anno (es. semestre). In questo caso occorre utilizzare le formule del montante per ricavare dal tasso annuale nominale r il tasso annuale effettivo. Esempio Tasso annuale nominale r N = 10%. Tasso semestrale nominale 10% 2 = 5% Tasso annuale effettivo con un tasso semestrale del 5% : r E = (1+0.05) 2 1 = , cioè r E = 10.25% Nel caso di calcolo di anticipazioni in presenza di frazioni di anno occorre utilizzare il tasso di interesse effettivo anzichè quello nominale.