Modulo di Estimo rurale

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1 Modulo di Estimo rurale C.so di Laurea STAGR (triennale a.a. 12/13) Fondamentali di Matematica Finanziaria Dott. PROSPERI Maurizio Universita' degli Studi di Foggia Dip. di Scienze Agrarie, degli Alimenti e dell'ambiente Via Napoli 25 Tel e mail: m.prosperi@unifg.it 1

2 Introduzione alla Matematica Finanziaria Che cos'e' la Matematica Finanziaria? > insieme di strumenti che consentono di effettuare operazioni matematiche su valori monetari Perche' i valori monetari sono diversi rispetto ad altre grandezze fisiche? > il futuro e' incerto e l'homo oeconomicus ha un'aspettativa di vita limitata: "meglio avere EUR oggi (che sono sicuro di potermeli godere) rispetto a EUR tra 10 anni!!" 2

3 Operazioni di Matematica Finanziaria Sono operazioni matematiche rivolte a valori monetari che hanno una distribuzione temporale eterogenea posticipazione C 0 C anticipazione Per effettuare operazioni matematiche (+ ; ; x ; / ) occorre innanzitutto riferire i valori monetari allo stesso periodo di tempo: posticipazione: spostamento di valori nel futuro anticipazione (o sconto): spostamento di valori nel passato 3

4 Definizioni C: capitale, ovvero lo stock di moneta disponibile in un determinato momento C 0 : capitale iniziale, tipicamente riferito al tempo zero" M n, C n : capitale finale, riferito a un momento futuro "n" I : interesse, ovvero il costo per utilizzare il capitale altrui I = f(c 0, r, n), dove: r : saggio d'interesse > prezzo d'uso dell'unita' di capitale, per un intervallo di tempo unitario (tipicamente 1 anno) C n = C 0 + I 4

5 Interesse semplice e composto Interesse semplice: riguarda operazioni finanziarie in cui gli interessi maturati in un periodo NON si sommano al capitale nel calcolo dell'interesse successivo (solitamente riguarda operazioni che avvengono nell'arco dello stesso anno solare) C 0 I 0 2 =f(c 0,r,n) I 2 4 =f(c 0,r,n) Interesse composto: gli interessi maturati a fine di un dato periodo si sommano al capitale, per divenire FRUTTIFERI per il periodo successivo (solitamente piu' anni) I 0 1 =f(c 0,r,n) I 1 2 =f(c 0 +I 0 1 ),r,n) C

6 Il calcolo dell'interesse E' l'operazione fondamentale per comprendere la matematica finanziaria, e dipende da: Momento di maturazione dell'interesse (annuale, semestrale, quadrimestrale, trimestrale, bimestrale, mensile) C 0, capitale iniziale r, Saggio d'interesse n, durata dell'intervallo in cui viene utilizzato il capitale 6

7 Il saggio (o tasso) d'interesse Prezzo d'uso dell'unita' di capitale (es 1 Eur), riferito all'unita' di tempo (es. 1 anno) Perche' l'utilizzo di un capitale genera un "costo"? a) rischio e incertezza sul futuro, rispetto al presente (preferenza temporale) b) sacrificio conseguente alla rinuncia (certa!) di consumi presenti, in cambio di consumi futuri (sperati!) c) perdita del potere d'acquisto della moneta (es. inflazione) 7

8 Criticita' della scelta del saggio d'interesse La scelta di un saggio eccessivamente elevato: Scoraggia gli investimenti i cui effetti si manifestano in periodi lunghi Scoraggia gli investimenti che presentano una (relativa) maggiore concentrazione dei costi negli anni iniziali, e benefici maggiormente concentrati nel futuro.. e cosa succederebbe con un tasso troppo basso??? 8

9 ...mentre un tasso troppo basso determinerebbe... Eccessiva enfasi nei confronti di progetti con benefici incerti (rischio) Eccessiva enfasi nei progetti a lungo termine Indebitamento (pubblico o privato) 9

10 Calcolo dell'interesse semplice (Per questa parte del programma, fare riferimento al Cap.27, esercizi compresi!!) Formula principale: I = C 0 r n Formule derivate, per calcolare i diversi elementi: C0 = I / (r n) r = I / (C 0 n) n = I / (C 0 r) Montante (semplice): M n = C 0 +I = C 0 +(C 0 r n) = C 0 (1+rn) Montante unitario: somma del capitale di 1 Eur + interessi maturati in 1 anno. q = 1+r Sconto (Sc): corrisponde all'interesse compreso in M n, e si calcola quando si intende restituire un debito in anticipo: Mn 1 + r n r n Sc = Mn C 0 ; Sc=Mn ; Sc=Mn (1 ) 10

11 Esercizio (1) Un risparmiatore ha depositato oggi una somma presso un istituto di credito, pari a Eur Quale somma potra' ritirare fra 3 mesi, considerando un saggio d'interesse annuo del 5%? Soluzione: M n = C 0 (1+rn) M n = (1 + 0,05 3/12) = (1 + 0,0125)=

12 Caso studio (2) Un agricoltore, per far fronte alle spese correnti per l'acquisto di mezzi tecnici della produzione della corrente campagna agraria (antiparassitari, fertilizzanti, contoterzismo, salariati avventizi) necessita di una liquidita' stimabile in Eur Potrebbe autofinanziarsi, riscuotendo dei buoni postali che attualmente hanno un rendimento del 3,5% annuo, oppure potrebbe chiedere un finanziamento a breve termine di 6 mesi, a un istituto di credito autorizzato, a un tasso del 7%. Si prevede che il periodo piu' critico per l'azienda comprenda un intervallo della durata di 5 mesi, a partire dal momento corrente, 1 Aprile Alla fine di tale periodo critico, si prevedono riscossioni di incassi relativi alla precedente campagna agraria, e pertanto un corrispondente incremento delle attuali disponibilita' di cassa sufficienti a far fronte tutte le successive spese di coltivazione. Si consideri che le liquidita' aziendali sono gestite tramite conto corrente, che ha un saggio di sconto praticamente nullo (r=0%) Si determini la soluzione piu' conveniente per l'agricoltore 12

13 Traccia consigliata Si tratta di valutare l'opzione piu' conveniente tra 2 ipotesi: a) disinvestire un investimento che ha una redditivita' del 3,5% b) fronteggiare un indebitamente con oneri passivi del 7% Ci sono 2 approcci diversi, ma che conducono alla stessa soluzione: I) approccio "economico", dove si confrontano costi e benefici II) approccio "finanziario", dove si confrontano entrate e uscite C 0 I 1 I

14 [Caso studio] Approccio I: analisi economica costi ricavi Si tratta di confrontare: a) ipotesi disinvestimento: Costo opportunita' per i mancati interessi attivi dei buoni postali (I 1 ): I= (0,035 5/12)=4.667 Eur b) ipotesi finanziamento: Costo economico per interessi passivi del finanziamento esterno (I 2 ): I= (0,07 6/12)= Eur Dal confronto, emerge dunque che (a) e' preferibile rispetto a (b), per una differenza di Eur 14

15 [Caso studio] Approccio II: analisi finanziaria entrate uscite (Questo approccio e' preferibile) Si tratta di confrontare: a) ipotesi disinvestimento: Non ci sono ne' Entrate, ne' Uscite aggiuntive b) ipotesi finanziamento: Differenza tra: le entrate per interessi attivi dei buoni postali (I 1 ) I= (0,035 5/12)=4.667 Eur e le uscite per interessi passivi del finanziamento esterno (I 2 ): I= (0,07 6/12)= Eur Differenza (I 1 I 2 )= Eur Dal confronto, emerge dunque che (a) e' preferibile rispetto a (b), per una differenza di Eur 15

16 Interesse composto In questo caso, l'interesse maturato alla fine di un periodo, va ad accumularsi con il capitale iniziale, e diventa a sua volta fruttifero C 0 M 1 =C 0 +I 0 1 M 2 =M 1 +I 1 2 M 3 =M 2 +I M n = C 0 (1+r) n = C 0 q n La formula inversa, ci consente di calcolare il capitale iniziale: 1 C 0 = M n q n q n : coeff. di posticipazione; 1 coeff. di anticipazione q n 16

17 Formule inverse dell'interesse composto Partendo dalla formula iniziale: M n = C 0 q n e' possibile risalire ai diversi elementi, quali: Interesse maturato nell'intero periodo: I=M n C 0 = C 0 q n C 0 ; I = C 0 (q n 1) Sconto, nel caso di restituzione anticipata di un debito: 1 Sc=M n C 0 =Mn (Mn/q n ); Sc = Mn (1 ) Saggio di sconto (dato che q=1+r): (1+r) n = M n /C 0 ; 1+r = (M n /C 0 ) 1/n ; r = (M n /C 0 ) 1/n 1 tempo : q n = M n / C 0 > (trasf. log.) > n ln q = ln M n ln C 0 ; n = (ln M n ln C 0 ) / ln q q n 17

18 Esercizio (3) Un promotore finanziario ci propone un investimento vincolato "estremamente redditizio", che ci consente di raddoppiare il capitale iniziale di Eur, dopo 20 anni. Confrontare tale opportunita' con la possibilita' di investire in buoni fruttiferi postali ordinari, al tasso del 2,4% annuo. Considerare un tasso d'inflazione tendenziale del 2,1% annuo. 18

19 Esercitazioni con foglio di calcolo elettronico Verranno effettuate esercitazioni mirate a: Inserimento manuale di formule finanziarie (interesse semplice e composto) su foglio di calcolo Simulazioni di scenari "what if", finalizzate a valutare la robustezza dei risultati degli esercizi Tecniche per velocizzare i calcoli e predisporre tabelle e grafici per report o relazioni di stima Si prevedono esercitazioni in Aula Campus One, ogni Lunedi, ore

20 Periodicita' Periodicità t < 1 anno t = 1 anno t > 1 anno 0 s 0 0 a 0 s s s s a s s s s a a a s s s Semestralità posticipate a Annualità posticipate Annualità anticipate anni p p p Poliannualità (t=2) posticipate p p p anni Semestralità anticipate anni anni anni Poliannualità (t=2) anticipate anni Sono valori costanti, che maturano a intervalli regolari di tempo (es. mensili, semestrali, annuali, biennali, decennali..) Possono essere posticipate/anticipate e limitate/illimitate Calcoleremo le accumulazioni iniziali e finali 20

21 Annualita' costanti posticipate n-1 n a a a a Accumulazione finale: A Annualita' cost. posticip.: n 0 q q n 2 q n 1 q a = a q n 1 r = A n n q r n A n = aq 1 i= 0 n i Si tratta di una progressione geometrica, di ragione (rapporto tra un temine e quello precedente) q; per sommare i termini: 1) moltiplicare ultimo termine x la ragione 2) sottrarre il primo termine 3) dividere il tutto per la ragione meno 1 A n =(aq n 1 q a) / (q 1) 21

22 Determinazione di n e r da periodicita' Le formule inverse sono piuttosto complesse. Pertanto, qualora si rendesse necessario il calcolo di n o r, a partire da accumulazioni finali, si suggerisce di utilizzare un metodo iterativo, facilmente implementabile su un foglio di calcolo elettornico: Per calcolare n: trovare quel numero tale per cui: An a (q n 1)/r = 0 Analogamente, per calcolare r: An a (q n 1)/r = 0 (si puo' usare una funzione "solver/risolutore" gia' presente su foglio di calcolo; vedi file iterazione calcolo n r periodicita.xls/.ods ) 22

23 Esercizio (4) Un contoterzista deve determinare la tariffa oraria di utilizzo di una macchina specializzata per l'esecuzione della raccolta meccanica delle olive. Il costo a nuovo della macchina e' pari a EUR Si determini il saggio (r) piu' appropriato L'orizzonte temporale (n) e' pari a 15 anni L'impiego medio annuo previsto e' pari a 500 ore Per l'esecuzione dei lavoro occorre 1 operaio specializzato I costi di funzionamento (inclusi i costi di manutenzione ordinaria) sono pari a 30 EUR/ora Suggerimento: adottare il criterio del "costo di produzione" del servizio erogato ai clienti del contoterzista 23

24 TAN e TAEG TAN: tasso annuo nominale. E' quello comunemente comunicato nelle proposte finanziarie, ed e' utilizzato per effettuare il calcolo della rata (metodo francese). Tuttavia non e' molto affidabile qualora si volessero confrontare 2 prodotti finanziari alternativi TAEG: tasso annuo effettivo globale. E' il costo "reale" del finanziamento, recentemente sostituito dall'indicatore Sintetico di Costo (ISC): rateizzazione degli interessi: le rate possono essere (ad es.) mensili o semestrali, e pertanto maturare degli interessi nell'arco dell'anno: Es. saggio mensile di un saggio nominale del 12% > 12%/12=1% ; Il saggio effettivo annuo > (1+0,01) 12 1 = 12,68% spese obbligatorie connesse alla pratica di finanziamento (apertura pratica; riscossione; assicurazione; mediazione; altre spese) 24